大學物理03剛體力學基礎

1、第第 3 章章 剛體力學基礎剛體力學基礎第第 3 章章 剛體力學基礎剛體力學基礎3.1 剛體運動的描述剛體運動的描述3.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動定理剛體的定軸轉(zhuǎn)動定理3.3 剛體的轉(zhuǎn)動慣量剛體的轉(zhuǎn)動慣量3.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律3.5 剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理3.6 回轉(zhuǎn)儀回轉(zhuǎn)儀 進動進動3.7 剛體的平面運動剛體的平面運動剛體：剛體： 既考慮物體的質(zhì)量既考慮物體的質(zhì)量, 又考慮形狀和大小，但忽又考慮形狀和大小，但忽略其形變的略其形變的物體模型物體模型。3.1 剛體運動的描述剛體運動的描述剛體可看作是質(zhì)量連續(xù)分布的且任意兩質(zhì)量元之間剛體可看作

2、是質(zhì)量連續(xù)分布的且任意兩質(zhì)量元之間相對距離保持不變的質(zhì)點系。相對距離保持不變的質(zhì)點系。一、剛體運動的基本形式一、剛體運動的基本形式 可以用質(zhì)點動力學的方法來處理剛體的平動問題。可以用質(zhì)點動力學的方法來處理剛體的平動問題。剛體內(nèi)各質(zhì)點在任一時刻具有相同的速度和加速度。剛體內(nèi)各質(zhì)點在任一時刻具有相同的速度和加速度。1. 平動平動剛體內(nèi)任一直線在運動過程中始終保持平行。剛體內(nèi)任一直線在運動過程中始終保持平行。a. 定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動b. 定點轉(zhuǎn)動定點轉(zhuǎn)動如：門、如：門、 窗的轉(zhuǎn)動等。窗的轉(zhuǎn)動等。如：陀螺的轉(zhuǎn)動。如：陀螺的轉(zhuǎn)動。3. 平面運動平面運動可以分解為剛體隨質(zhì)心的平移和繞質(zhì)心垂直于運動平可以分解

3、為剛體隨質(zhì)心的平移和繞質(zhì)心垂直于運動平面的定軸轉(zhuǎn)動。面的定軸轉(zhuǎn)動。剛體上每一質(zhì)元的運動都平行于某一固定平面。剛體上每一質(zhì)元的運動都平行于某一固定平面。如：車輪滾動。如：車輪滾動?？梢苑纸鉃殡S質(zhì)心的平移和繞質(zhì)心的定點轉(zhuǎn)動。可以分解為隨質(zhì)心的平移和繞質(zhì)心的定點轉(zhuǎn)動。4. 剛體的一般運動剛體的一般運動 剛體上所有質(zhì)點都繞同一直線剛體上所有質(zhì)點都繞同一直線(即轉(zhuǎn)軸即轉(zhuǎn)軸)作圓周運動。作圓周運動。2. 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動研究方法：研究方法：作定軸轉(zhuǎn)動時，剛體內(nèi)平行于轉(zhuǎn)軸的直線上作定軸轉(zhuǎn)動時，剛體內(nèi)平行于轉(zhuǎn)軸的直線上各點具有相同的運動狀態(tài)各點具有相同的運動狀態(tài)(速度和加速度速度和加速度)，因此，只要研，因此，只要研

4、究剛體內(nèi)某一究剛體內(nèi)某一垂直于轉(zhuǎn)軸的平面垂直于轉(zhuǎn)軸的平面(轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面)上各點的運動，上各點的運動，就可了解整個剛體的運動。就可了解整個剛體的運動。轉(zhuǎn)動平面內(nèi)：取轉(zhuǎn)心轉(zhuǎn)動平面內(nèi)：取轉(zhuǎn)心O，參考軸，參考軸x，1. 剛體的角位置與角位移剛體的角位置與角位移2. 剛體的角速度剛體的角速度 角加速度角加速度t dd二、二、定軸轉(zhuǎn)動的描述定軸轉(zhuǎn)動的描述 角量角量xOPr 轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面22ddtP點：角位置點：角位置 角位移角位移3. . 線量與角量的關系：線量與角量的關系：tvatdd22rrvan的的單單位位分分別別是是 SI:.rad/srad/s,rad,2rvrv 角速度角速度 的方向：

5、的方向：r v/角加速度的方向：角加速度的方向：加速轉(zhuǎn)動時，兩者同方向，減速轉(zhuǎn)動時，兩者反方向。加速轉(zhuǎn)動時，兩者同方向，減速轉(zhuǎn)動時，兩者反方向。rtrdd對于對于勻角加速轉(zhuǎn)動勻角加速轉(zhuǎn)動，則有：，則有：t022100tt)(20202式中：式中：00, 是是 t =0 時刻的角速度和角位置時刻的角速度和角位置。說明：說明：作定軸轉(zhuǎn)動時，剛體內(nèi)各點具有相同的角量，作定軸轉(zhuǎn)動時，剛體內(nèi)各點具有相同的角量，但不同位置的質(zhì)點具有不同的線量。但不同位置的質(zhì)點具有不同的線量。勻加速直線運動：勻加速直線運動：)(22102022000 xxavvattvxxatvv 剛體是一個質(zhì)點系，描述質(zhì)點系轉(zhuǎn)動的動力學

6、方程：剛體是一個質(zhì)點系，描述質(zhì)點系轉(zhuǎn)動的動力學方程：tLMdd 1. 剛體是質(zhì)點系，剛體所受關于原點剛體是質(zhì)點系，剛體所受關于原點O 的力矩的力矩等于合外力矩。等于合外力矩。2. 只有垂直轉(zhuǎn)軸的外力分量才產(chǎn)生沿轉(zhuǎn)軸方向的力矩只有垂直轉(zhuǎn)軸的外力分量才產(chǎn)生沿轉(zhuǎn)軸方向的力矩Mz ，而平行于轉(zhuǎn)軸的外力分量產(chǎn)生的力矩，而平行于轉(zhuǎn)軸的外力分量產(chǎn)生的力矩 Mxy 則被軸則被軸承上支承力的力矩所抵消。承上支承力的力矩所抵消。 3.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動定理剛體的定軸轉(zhuǎn)動定理一、剛體所受的力矩一、剛體所受的力矩說明說明oxyzF取慣性坐標系取慣性坐標系 ， xyzo軸為固定轉(zhuǎn)軸zFi設第設第 i 個質(zhì)元受外力個質(zhì)元

7、受外力 ，F(xiàn)i并假定并假定 垂直于轉(zhuǎn)軸。垂直于轉(zhuǎn)軸。iiiFRM軸軸z/iirooR xyzooRiFiirimiooiiiFrooM iiiFrFoo軸軸z 也被抵消也被抵消iiiiiizFrFrMsin所受關于所受關于O 點的外力矩為：點的外力矩為：剛體所受的關于定軸的合力矩：剛體所受的關于定軸的合力矩：iiiiiizzFrMMsin剛體所受的關于剛體所受的關于O 的角動量：的角動量：)(iiiiiivmRLLiiiiiiRvLrRzv),(iiiivmRL共面共面iiizLLsin二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量xzooiRirimooiviLiyiiiiivmRsini

8、iivmr 對整個剛體：對整個剛體：iizzLLJLz稱為剛體對轉(zhuǎn)軸稱為剛體對轉(zhuǎn)軸 z 的的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量。為剛體關于轉(zhuǎn)軸為剛體關于轉(zhuǎn)軸 z 的角動量。的角動量。2iiirmJiiiiiiirmvmr)(2關于剛體角動量的補充說明關于剛體角動量的補充說明mmbb LR sinbvrvvmrL sin222mbmbvL 2222sin2sinmRmbLLzJ結(jié)論：結(jié)論：1、角動量和角速度一般并不在同一個、角動量和角速度一般并不在同一個方向上方向上2、角動量與角速度在數(shù)值上也并不是、角動量與角速度在數(shù)值上也并不是以轉(zhuǎn)動慣量為比例系數(shù)的正比關系以轉(zhuǎn)動慣量為比例系數(shù)的正比關系tLMzzdd得到：得到

9、：tJMddJtJMdd=剛體定軸轉(zhuǎn)動定律：剛體定軸轉(zhuǎn)動定律：設轉(zhuǎn)動過程中設轉(zhuǎn)動過程中J不變不變， 則有：則有：由質(zhì)點系的角動量定理：由質(zhì)點系的角動量定理：tLMdd對剛體的定軸轉(zhuǎn)動，有：對剛體的定軸轉(zhuǎn)動，有：zzMMJL而且而且 剛體在作定軸轉(zhuǎn)動時，剛體的角剛體在作定軸轉(zhuǎn)動時，剛體的角加速度與它所受到的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣加速度與它所受到的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比。量成反比。三、剛體定軸轉(zhuǎn)動定律三、剛體定軸轉(zhuǎn)動定律推廣到推廣到 J 可變可變情形：情形：JtMdd 00000ddJJJtMJJtttttM0d稱為在稱為在 t0 到到 t t 時間內(nèi)作用在剛體時間內(nèi)作用在

10、剛體上的上的角沖量角沖量。剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理 是關于剛體定軸轉(zhuǎn)動的動力學方程。是關于剛體定軸轉(zhuǎn)動的動力學方程。 (與與 F = ma 比較比較)JtJMdd=例例 3-1 定滑輪：定滑輪：m， r，J ，物體：，物體：m1， m2， 輕繩不能伸輕繩不能伸長，無相對滑動。求滑輪轉(zhuǎn)動的角加速度和繩的張力。長，無相對滑動。求滑輪轉(zhuǎn)動的角加速度和繩的張力。amTgm111amgmT222JrTrT21解：解： 由于考慮滑輪的質(zhì)量，由于考慮滑輪的質(zhì)量，21TT 問題中包括平動和轉(zhuǎn)動。問題中包括平動和轉(zhuǎn)動。輪不打滑：輪不打滑： ra 聯(lián)立方程，可解得聯(lián)立方程，可解得 T1 ，

11、T2，a， 。 此裝置稱阿特伍德機此裝置稱阿特伍德機可用于測量重力加速度可用于測量重力加速度 g gm1gm21T1T2T2Taar例例3-2 均質(zhì)細棒：均質(zhì)細棒： m ， l ，對水平軸，對水平軸O： ，鉛，鉛直位置時，一直位置時，一水平力水平力 F 作用于距作用于距 O為為 l 處，計算處，計算O 軸對棒軸對棒的作用力的作用力( (稱軸反力稱軸反力) )。231mlJ FlO解：解：JlF xxmaNFcyymamgNc得：得：123llFNxmgNy設軸反力為設軸反力為 Nx，Ny。由轉(zhuǎn)動定律：由轉(zhuǎn)動定律：由質(zhì)心運動定律：由質(zhì)心運動定律：當當 l =2l/3 時，時， Nx =0 ，此時

12、的打擊點稱，此時的打擊點稱打擊中心打擊中心。l 2l/3 時，時，Nx 0 ，l 2l/3 時，時， Nx 0 。yNxNgmc討論：討論：22lm2lm0例例3-3 半徑為半徑為 R1 和和 R2、轉(zhuǎn)動慣量為、轉(zhuǎn)動慣量為 J1 和和 J2 的兩個圓的兩個圓柱體，可繞垂直軸轉(zhuǎn)動，最初大圓柱體的角速度為柱體，可繞垂直軸轉(zhuǎn)動，最初大圓柱體的角速度為 0，現(xiàn)，現(xiàn)將小圓柱體靠近碰到大圓柱體。由于摩擦，小圓柱體被帶將小圓柱體靠近碰到大圓柱體。由于摩擦，小圓柱體被帶著轉(zhuǎn)動，當相對滑動停止時，兩圓柱體各以恒定角速度沿著轉(zhuǎn)動，當相對滑動停止時，兩圓柱體各以恒定角速度沿相反方向轉(zhuǎn)動。求小圓柱的最終角速度多大？相

13、反方向轉(zhuǎn)動。求小圓柱的最終角速度多大？11, RJ22, RJ011, RJ22, RJ0設垂直于紙面向里為正向：設垂直于紙面向里為正向：01111JJtfR無相對滑動：無相對滑動： 2211RR21222102112RJRJRRJ分別對分別對 o1 軸和軸和 o2 軸運用角動量定理。軸運用角動量定理。解：解：ffo11Nf1Fo22F2f N222JtRf定義：定義：iiirmJ21. 剛體由分立的質(zhì)點組成時：剛體由分立的質(zhì)點組成時：iiirmJ22. 剛體為質(zhì)量連續(xù)體時：剛體為質(zhì)量連續(xù)體時：mrJd2單位單位( SI )：2mkg 轉(zhuǎn)動慣量僅取決于剛體本身的性質(zhì)，即與剛體的形轉(zhuǎn)動慣量僅取決

14、于剛體本身的性質(zhì)，即與剛體的形狀、大小、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關狀、大小、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關。一、剛體的轉(zhuǎn)動慣量及其計算一、剛體的轉(zhuǎn)動慣量及其計算3.3 剛體的轉(zhuǎn)動慣量剛體的轉(zhuǎn)動慣量例例3-4 求均質(zhì)細棒求均質(zhì)細棒( m ，l ) 的轉(zhuǎn)動慣量：的轉(zhuǎn)動慣量： (1) 轉(zhuǎn)軸通過中心與棒垂直，轉(zhuǎn)軸通過中心與棒垂直， (2) 轉(zhuǎn)軸通過棒的一端與棒垂直。轉(zhuǎn)軸通過棒的一端與棒垂直。解：解：xlmmddmxJd222121d22mlxxlmlllmlxxlmJ02231d(1)(2) 可見，轉(zhuǎn)動慣量因轉(zhuǎn)軸位置而變，故必須指明可見，轉(zhuǎn)動慣量因轉(zhuǎn)軸位置而變，故必須指明是是關于某軸的轉(zhuǎn)動慣量關于某軸的轉(zhuǎn)

15、動慣量。mrJd2OxOxdxdmdxdm例例3-5 求質(zhì)量求質(zhì)量 m 半徑半徑 R 的的 (1) 均質(zhì)圓環(huán)，均質(zhì)圓環(huán)， (2) 均質(zhì)圓盤均質(zhì)圓盤對通過直徑的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。對通過直徑的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：解：d2dRRmm mrJd2202d2)sin(RRmR221mR(1) 圓環(huán)：圓環(huán)：dsin22022mR dm241mRo dm(2) 圓盤：圓盤：d2d2Rmm mJJd21d2 可見，轉(zhuǎn)動慣量與剛體的質(zhì)量分布有關?？梢?，轉(zhuǎn)動慣量與剛體的質(zhì)量分布有關。RRm022d221剛體對任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體對任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量 J 等于對通過質(zhì)心的平行等于對通過質(zhì)心的平行轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量

16、轉(zhuǎn)動慣量 Jc 加上剛體質(zhì)量加上剛體質(zhì)量 m 乘以兩平行轉(zhuǎn)軸乘以兩平行轉(zhuǎn)軸間距離間距離 d 的平方。的平方。2cmdJJ 2 ioioiiioirrmrmJ iiiidrdrmcciiiiiirmdmdrmc22c2證明：證明：0crm二、平行軸定理二、平行軸定理coJcJd iorc irmi2cmdJ 例例3-6 計算掛鐘擺錘對計算掛鐘擺錘對O軸的轉(zhuǎn)動慣量。軸的轉(zhuǎn)動慣量。m l1 Om R2 2222212131RlmRmlmJ21JJJ21131lmJ 2c2mdJJ解：解：222221RlmRm例例3-7 設一薄板，已知對板面內(nèi)兩垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量分設一薄板，已知對板面內(nèi)兩垂直軸的轉(zhuǎn)動慣

17、量分別為別為Jx、Jy，計算板對，計算板對z 軸的軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量Jz。Oxyz解：解：iiizrmJ2xyJJ 稱稱垂直軸定理垂直軸定理 (適用于薄板適用于薄板)。如圓盤如圓盤(m、R)對過圓心的垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量對過圓心的垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量：yxJJJyixirimiiiiiyxm22 222214141mRmRmR例例3-8 質(zhì)量為質(zhì)量為M=16kg的實心滑輪，半徑為的實心滑輪，半徑為R=0.15m。一。一根細繩繞在滑輪上，一端掛一質(zhì)量為根細繩繞在滑輪上，一端掛一質(zhì)量為 m 的物體。求的物體。求( (1) )由由靜止開始靜止開始1 1秒鐘后，物體下降的距離。秒鐘后，物體下降的距離。( (

18、2) )繩子的張力。繩子的張力。解：解：maTmgRaMRTR221)sm(58810822Mmmgam)(5 . 215212122athN)(4051621TMmTgm例例3-9 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m ，長為，長為 l 的均質(zhì)細桿，轉(zhuǎn)軸在的均質(zhì)細桿，轉(zhuǎn)軸在O點，點，距距A端端 l/3 。今使棒從靜止開始由水平位置繞。今使棒從靜止開始由水平位置繞O點轉(zhuǎn)動，點轉(zhuǎn)動，求求(1)水平位置的角速度和角加速度。水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直位置時的角垂直位置時的角速度和角加速度。速度和角加速度。解：解：2cmdJJ222916121mllmmlJ00lgmlmglJM23962方向：方向： cO

19、BAgmcOBA(2)tJMddtmllmgdd91cos62dcos23dlgdcos23d200lglglg23sin2321202lg30 gmdd912ml例例3-10 一半徑為一半徑為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的均勻圓盤平放在粗糙的的均勻圓盤平放在粗糙的水平面上。若它的初角速度為水平面上。若它的初角速度為 0 0，繞中心，繞中心o o旋轉(zhuǎn)，問經(jīng)旋轉(zhuǎn)，問經(jīng)過多長時間圓盤才停止？（設摩擦系數(shù)為過多長時間圓盤才停止？（設摩擦系數(shù)為 ）drr解：解：rmgFrMdddrrRmmd2d222d2dRrgrmMmgRRrmgrMMr32d2d022! !ddrmgrFRo2d2RrmrtJMddtmR

20、mgRdd21322000d43dgRttgRt430tmRmgRdd21322000d43dgR2083gR為其轉(zhuǎn)過的角度。為其轉(zhuǎn)過的角度。mgRM32tmRdddd212定軸轉(zhuǎn)動角動量定理：定軸轉(zhuǎn)動角動量定理：tJMdd定軸轉(zhuǎn)動角動量守恒定律：定軸轉(zhuǎn)動角動量守恒定律：剛體在定軸轉(zhuǎn)動中，當剛體在定軸轉(zhuǎn)動中，當對轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零時，剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量保對轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零時，剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量保持不變。持不變。適用于剛體，非剛體和物體系。適用于剛體，非剛體和物體系。3.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律 0=M.0dd tJ當當時，時， 有有00JJ即即(常量常量)

21、一、一、 剛體剛體( J 不變不變)的角動量守恒的角動量守恒若若 M=0，則，則 J =常量，而剛體的常量，而剛體的 J 不變，故不變，故 的的大小，方向保持不變。大小，方向保持不變。此時，即使撤去軸承的支撐作用，此時，即使撤去軸承的支撐作用， 剛體仍將作剛體仍將作定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動定向回轉(zhuǎn)儀定向回轉(zhuǎn)儀 可以作定向裝置?？梢宰鞫ㄏ蜓b置。如：直立旋轉(zhuǎn)陀螺不倒。如：直立旋轉(zhuǎn)陀螺不倒。o 二、非剛體二、非剛體( J 可變可變)的角動量守恒的角動量守恒當當 J 增大，增大， 就減小，就減小，當當 J 減小，減小， 就增大。就增大。常量常量00JJ如：芭蕾舞，花樣滑冰中的轉(zhuǎn)動，如：芭蕾舞，花樣滑冰中的轉(zhuǎn)動

22、， 恒星塌縮恒星塌縮 (R0， 0) (R， ) 中子星中子星的形成等。的形成等。u0人與轉(zhuǎn)臺組成的系統(tǒng)對豎直人與轉(zhuǎn)臺組成的系統(tǒng)對豎直軸的角動量守恒：軸的角動量守恒：JJ00)21(2122221021tumRmRm22122021tRmum例例3-11 水平轉(zhuǎn)臺水平轉(zhuǎn)臺(m1 、 R ) 可繞豎直的中心軸轉(zhuǎn)動，初角可繞豎直的中心軸轉(zhuǎn)動，初角速度速度 0 0，一人，一人( (m2 )立在臺中心，相對轉(zhuǎn)臺以恒定速度立在臺中心，相對轉(zhuǎn)臺以恒定速度u沿沿半徑向邊緣走去，計算經(jīng)時間半徑向邊緣走去，計算經(jīng)時間 t，臺轉(zhuǎn)過了多少角度。臺轉(zhuǎn)過了多少角度。解：解：tt0dd臺轉(zhuǎn)過臺轉(zhuǎn)過的的角度角度：Rmmut

23、mmuR2/1122/1120)2(arctan)2(三、物體系的角動量守恒三、物體系的角動量守恒 若系統(tǒng)由幾個物體組成，當系統(tǒng)受到的外力對軸的若系統(tǒng)由幾個物體組成，當系統(tǒng)受到的外力對軸的力矩的矢量和為零，則系統(tǒng)的總角動量守恒：力矩的矢量和為零，則系統(tǒng)的總角動量守恒：常量常量iiiJ如：直升機機尾加側(cè)向旋葉，是為防止機身的反轉(zhuǎn)。如：直升機機尾加側(cè)向旋葉，是為防止機身的反轉(zhuǎn)。角動量守恒條件角動量守恒條件例例3-12 摩擦離合器摩擦離合器 飛輪飛輪1：J1、 1 1 摩擦摩擦輪輪2： J2 靜靜止，兩輪沿軸向結(jié)合，結(jié)合后兩輪達到的共同角速度。止，兩輪沿軸向結(jié)合，結(jié)合后兩輪達到的共同角速度。兩輪對共

24、同轉(zhuǎn)軸的角動量守恒兩輪對共同轉(zhuǎn)軸的角動量守恒2111JJJ2111JJJ解：解：試與下例的齒輪試與下例的齒輪嚙合過程比較。嚙合過程比較。21例例3-13 兩圓盤形齒輪半徑兩圓盤形齒輪半徑r1 、 r2 ，對通過盤心垂直于對通過盤心垂直于盤面轉(zhuǎn)軸的盤面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為轉(zhuǎn)動慣量為J1 、 J2，開始開始 1 1輪以輪以 0 0轉(zhuǎn)動，然轉(zhuǎn)動，然后兩輪正交嚙合，求嚙合后兩輪的角速度。后兩輪正交嚙合，求嚙合后兩輪的角速度。兩輪繞不同軸轉(zhuǎn)動，故對兩軸分兩輪繞不同軸轉(zhuǎn)動，故對兩軸分別用角動量定理：別用角動量定理：01111dJJtFr222dJtFr2211rr得：得：22121222011rJrJrJ22

25、121221012rJrJrrJ解：解：0122F1例例3-14 均質(zhì)細棒：均質(zhì)細棒：m1、 l ，水平軸水平軸O，小球：，小球：m2與棒與棒相碰，碰前相碰，碰前 碰后碰后 如圖，設碰撞時間很短，棒保如圖，設碰撞時間很短，棒保持豎直，求碰后棒的角速度。持豎直，求碰后棒的角速度。v v系統(tǒng)對系統(tǒng)對O軸角動量守恒軸角動量守恒 221312v lmlmlvmlmvvm123注意：注意：系統(tǒng)總動量一般不守恒，因為軸承處的外力不能忽略。系統(tǒng)總動量一般不守恒，因為軸承處的外力不能忽略。只當碰撞在打擊中心時，只當碰撞在打擊中心時，Nx=0，系統(tǒng)的水平動量守恒：，系統(tǒng)的水平動量守恒：解：解：vmlmvmvmv

26、m2121 2c12 3222131322)(v lmlmlvmvv O一、一、 剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能iiiiiirmvmE222k21212c mdJJ22ck21mdJE2c2c2121mvJ 定軸轉(zhuǎn)動可分解為剛體繞過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動和隨質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動可分解為剛體繞過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動和隨質(zhì)心（繞定軸作圓周運動）的平動。（繞定軸作圓周運動）的平動。221J2c21mv3.5 剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理oc由平行軸定理：由平行軸定理：222c2121mdJ二、力矩的功二、力矩的功1. 平行于定軸的外力對質(zhì)元不做功。平行于定軸的外力對質(zhì)元不做功。2. 由于剛體內(nèi)兩

27、質(zhì)元的相對距離不由于剛體內(nèi)兩質(zhì)元的相對距離不變，一對內(nèi)力做功之和為零。變，一對內(nèi)力做功之和為零。 ijijijrfAddiiAAiijijiirfFAd)(ijijijrrrd)(dijijijfrr 說明說明rijirdjrdijijrrdijrdij0iiiiiisFrFAdcosdddiM合外力對剛體做的元功：合外力對剛體做的元功：iiiiMAAddd力矩的功：力矩的功：0dMA功率：功率： tAPddzPriFidisdi設作用在質(zhì)元設作用在質(zhì)元 mi上的外力上的外力 位于轉(zhuǎn)動平面內(nèi)。位于轉(zhuǎn)動平面內(nèi)。iFiiiirFdsin dMMtMdd三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動

28、能定理tJMdd2022121dd00JJJMA合外力矩對剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。合外力矩對剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。ddddddJtJ四、剛體的重力勢能四、剛體的重力勢能以地面為勢能零點，剛體和地球以地面為勢能零點，剛體和地球系統(tǒng)的重力勢能：系統(tǒng)的重力勢能：iiigzmEpgmizOicriiimzmmgcmgz五、五、 剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理將重力矩作的功用重力勢能差表示：將重力矩作的功用重力勢能差表示：)(d0ccp0mgzmgzM得得)21()21(d200c2c0JmgzJmgzM其中，其中，M是除重力以外的其它外力矩。是除重力以外的其它外

29、力矩。剛體的機械能守恒定律剛體的機械能守恒定律2022121JJA剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理若若M=0，則則常量2c21Jmgz例例 3-15 均質(zhì)細棒均質(zhì)細棒m， l ，水平軸水平軸O，開始棒處于水平狀態(tài)，開始棒處于水平狀態(tài)，由靜止釋放，求棒擺到豎直位置時：由靜止釋放，求棒擺到豎直位置時： (1) 棒的角速度，棒的角速度，(2) 棒的轉(zhuǎn)動動能，棒的轉(zhuǎn)動動能，(3) 質(zhì)心的加速度，質(zhì)心的加速度，(4) 軸的支反力。軸的支反力。解：解：02212lmgJlg3(2)2k21JE (3) 2322cnglaFxFy0ct maFx(4)cnmamgFymgmgmgFy2523(1

30、)2lmg02 ctla例例3-16 細桿細桿A ： (m, L)可繞可繞軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動，水平處靜止釋放，水平處靜止釋放，在豎直位置與靜止物塊在豎直位置與靜止物塊B； (m) 發(fā)生彈性碰撞，求碰后發(fā)生彈性碰撞，求碰后： (1) vB B ，(2) 2 ， (3) max 。212121JmgL LgmLJ3 3112解：解：2222121212121BBmvJJLmvJJLggLvB321 3212碰后反方向轉(zhuǎn)動。碰后反方向轉(zhuǎn)動。BAmax22cos12121mgLJ1 .41 43cosmaxmaxBA例例3-17 圓錐體圓錐體R，h，J，表面有淺槽，令以，表面有淺槽，令以0轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動，小滑塊

31、小滑塊m 由靜止從頂端下滑，不計摩擦，求滑到底部滑由靜止從頂端下滑，不計摩擦，求滑到底部滑塊速度塊速度、圓錐體角速度。圓錐體角速度。解：解：系統(tǒng)機械能守恒：系統(tǒng)機械能守恒：)(212121222220RumJmghJhRu對豎直軸的角動量守恒：對豎直軸的角動量守恒：)20mRJJ （討論剛體的定點轉(zhuǎn)動。討論剛體的定點轉(zhuǎn)動。 回轉(zhuǎn)儀：由厚而重，形狀對稱的剛體繞對稱回轉(zhuǎn)儀：由厚而重，形狀對稱的剛體繞對稱軸軸高速自轉(zhuǎn)高速自轉(zhuǎn)的裝置。的裝置。當當 M =0 時，角動量及角速度矢量保持恒定時，角動量及角速度矢量保持恒定 定向回轉(zhuǎn)儀定向回轉(zhuǎn)儀。當當 回轉(zhuǎn)儀受到外力矩作用時，如：陀螺傾斜回轉(zhuǎn)儀受到外力矩作用

32、時，如：陀螺傾斜 ？ 進動進動 回轉(zhuǎn)效應。回轉(zhuǎn)效應。3.6 回轉(zhuǎn)儀回轉(zhuǎn)儀 進動進動設陀螺質(zhì)量為設陀螺質(zhì)量為m，以角速度，以角速度 自轉(zhuǎn)。自轉(zhuǎn)。重力對固定點重力對固定點o o的力矩：的力矩：gmrMsinmgrM 繞自身軸轉(zhuǎn)動的角動量：繞自身軸轉(zhuǎn)動的角動量：cJL 由角動量定理的微分式：由角動量定理的微分式：tMLdd顯然，顯然，,LML時刻改變方向而大小不變時刻改變方向而大小不變進動進動。1. 陀螺陀螺 mgorLddLL dtmgrtMLdsindddsindsindcJLLtmgrJdsindsinccddJmgrt進動角速度：進動角速度：2. 進動軸通過定點且與外力平行。進動軸通過定點且

33、與外力平行。1. (或或p)與與 有關有關，與與無關無關。3. 進動方向決定于外力矩和自轉(zhuǎn)角速度的方向。進動方向決定于外力矩和自轉(zhuǎn)角速度的方向。4. 較小時，較小時， 有周期性變化，稱為有周期性變化，稱為章動章動。 LLLdLdd o說明說明改變方向，情況如何？改變方向，情況如何？ mgorLdLLd L2. 杠桿回轉(zhuǎn)儀杠桿回轉(zhuǎn)儀當重物移近時，受力矩當重物移近時，受力矩 M作用，出現(xiàn)回轉(zhuǎn)現(xiàn)象。作用，出現(xiàn)回轉(zhuǎn)現(xiàn)象。平衡時，保持平衡時，保持 大小方向不變。大小方向不變。 cJL cpcdd dddJMtJLLdLd)(tL)d(ttLo俯視圖俯視圖 MtMLdd 回轉(zhuǎn)效應的應用：飛機，輪船，導彈中

34、的指向儀，回轉(zhuǎn)效應的應用：飛機，輪船，導彈中的指向儀， 炮筒內(nèi)的旋轉(zhuǎn)式來復線。炮筒內(nèi)的旋轉(zhuǎn)式來復線。 改變方向，情況如何？改變方向，情況如何？ pM改變方向，情況如何？改變方向，情況如何？ Ldd)(tL)d(ttLo俯視圖俯視圖 M3.7 剛體的平面平行運動剛體的平面平行運動 基本方程：基本方程：平面平行運動平面平行運動 自由度：自由度：3 平動（平動（2）+ 轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)動（1）質(zhì)心運動定律：質(zhì)心運動定律：tvmFcdd相對質(zhì)心的角動量定理：相對質(zhì)心的角動量定理：tLMdd tvmFcddtJMdd 若外力為保守力，則機械能守恒：若外力為保守力，則機械能守恒：EVJmvc222121 不是獨立

35、方程！不是獨立方程！ 若運動受到約束，則所受外力中除主動力外還存在著約束力，而若運動受到約束，則所受外力中除主動力外還存在著約束力，而約束力在解出運動前是未知的，因此除基本方程外還需列出相應的約束力在解出運動前是未知的，因此除基本方程外還需列出相應的約束方程，才能構(gòu)成完整的方程組。約束方程，才能構(gòu)成完整的方程組。cmaF ccJFdM2c121mlJ 2c12 mlFdmFa解：解： d =0 時，時， =0，剛體只有平動沒有轉(zhuǎn)動。，剛體只有平動沒有轉(zhuǎn)動。例例3-18 長長 l 質(zhì)量質(zhì)量 m 的勻質(zhì)細桿放在光滑的水平面上，以的勻質(zhì)細桿放在光滑的水平面上，以水平力水平力 垂直作用在細桿上，作用點

36、距質(zhì)心為垂直作用在細桿上，作用點距質(zhì)心為 d ，計算，計算 作用瞬間細桿的角加速度和質(zhì)心的加速度。作用瞬間細桿的角加速度和質(zhì)心的加速度。FFc.dF例例3-19 一勻質(zhì)圓球一勻質(zhì)圓球(r )從靜止開始沿一粗糙斜面純滾動從靜止開始沿一粗糙斜面純滾動而下，斜面傾角為而下，斜面傾角為 ，球從上端滾到下端球心高度相差，球從上端滾到下端球心高度相差為為 h ，計算小球滾到下端時質(zhì)心的速度和轉(zhuǎn)動角速度。，計算小球滾到下端時質(zhì)心的速度和轉(zhuǎn)動角速度。cgmNFtF解：解：ctsinmaFmg0cosNmgFctJrFra csin75cga 2c52mrJ 純滾動條件：純滾動條件：rv cghr7101sav

37、cc2也可由機械能守恒計算：也可由機械能守恒計算：2c2c2121Jmvmghghr7101ghha710sin/2csin75cga rv cmg N f cmafmgsinJRf Rac)(sin2mRJmgR上式即相對瞬心的轉(zhuǎn)動定律上式即相對瞬心的轉(zhuǎn)動定律 剛體作平面平行運動時，在一定條件下還可選瞬時轉(zhuǎn)動中心作剛體作平面平行運動時，在一定條件下還可選瞬時轉(zhuǎn)動中心作為角動量定理的參考點。為角動量定理的參考點。 瞬時轉(zhuǎn)動中心（瞬心）瞬時轉(zhuǎn)動中心（瞬心）剛體的平面平行運動可看作每一時刻都繞平面上或平面外某點剛體的平面平行運動可看作每一時刻都繞平面上或平面外某點的一個轉(zhuǎn)動，一般而言，此點在不同時刻在不同的位置上。即的一個轉(zhuǎn)動，一般而言，此點在不同時刻在不同的位置上。即轉(zhuǎn)動中心是隨時間改變的，故稱瞬時轉(zhuǎn)動中心。轉(zhuǎn)動中心是隨時間改變的，故稱瞬時轉(zhuǎn)動中心。ABABABABpABvAvBABvAvBvBvAAB長長2l，質(zhì)量，質(zhì)量m，均勻剛性棒，放在光滑水平面上，下端與水平面接，均勻剛性棒，放在光滑水平面上，下端與水平面接觸。棒的運動方程？觸。棒的運動方程？ xyCOp基本方法基本方法：mgNmac coscNlJ mgN sincly 約束方程約束方程 sincos,cos2ccc llyalJN2c31mlJ 最后得最