正五邊形畫(huà)法

1、正五邊形的畫(huà)法圓內(nèi)接正五邊形的畫(huà)法如下:1、任作一圓O2、任作圓O中互相垂直的兩直徑AB、CD3、作OD的垂直平分線(xiàn)交OD于E4、以E為圓心，EA長(zhǎng)為半徑作弧，交CD于F5、在圓O上順序作弦AG=GH=HM=MN=NA=AF則得正五邊形AGHMN已知邊長(zhǎng)作正五邊形的近似畫(huà)法如下:作線(xiàn)段AB等于定長(zhǎng)l,并分別以A,B為圓心,已知長(zhǎng)l為半徑畫(huà)弧與AB的中垂線(xiàn)交于K.以K為圓心，取AB的2/3長(zhǎng)度為半徑向外側(cè)取C點(diǎn)，使CK=2/3AB以 C為圓心,已知邊長(zhǎng) AB為半徑畫(huà)弧,分別與前兩弧相交于M,N.順次連接A,B,N,C,M各點(diǎn)即近似作得所要求的正五邊形.正多邊形的尺規(guī)作圖是大家感興趣的.正三邊形很

2、好做;正四邊形稍難一點(diǎn);正六邊形也很好做;正五邊形就更難一點(diǎn)，但人們也找到了正五邊形的直規(guī)作圖方法.確實(shí)，有的困難一些，有的容易一些.正七邊形的尺規(guī)作圖是容易一些，還是困難一些呢?人們很久很久未找到作正七邊形的辦法，這一事實(shí)本身就說(shuō)明作正七邊形不容易;一直未找到這種作法，也使人懷疑：究竟用尺規(guī)能否作出正七邊形來(lái)?數(shù)學(xué)不容許有這樣的判斷：至今一直沒(méi)有人找到正七邊形的尺規(guī)作圖方法來(lái)，所以斷言它是不能用尺規(guī)作出的.人們迅速地解決了正三、四、五、六邊形的尺規(guī)作圖問(wèn)題，卻在正七邊形面前止步了：究竟能作不能作，得不出結(jié)論來(lái).這個(gè)懸案一直懸而未決兩千余年.17世紀(jì)的費(fèi)馬，就是我們?cè)谇懊嬉褍纱翁岬搅说哪莻€(gè)法國(guó)

3、業(yè)余數(shù)學(xué)家，他研究了形如Fi (i為右下角標(biāo))=22i(底數(shù)2指數(shù)2的i次冪)+1 的數(shù).費(fèi)馬的一個(gè)著名猜想是，當(dāng) n3時(shí)，不定方程xn+yn=zn沒(méi)有正整數(shù)解.現(xiàn)在他又猜測(cè)Fi都是素?cái)?shù)，對(duì)于i=0，1，2，3，4時(shí)，容易算出來(lái)相應(yīng)的Fi：F0=3，F(xiàn)1=5，F(xiàn)2=17，F(xiàn)3=257，F(xiàn)4=65 537驗(yàn)證一下，這五個(gè)數(shù)的確是素?cái)?shù).F5=225+1是否素?cái)?shù)呢?僅這么一個(gè)問(wèn)題就差不多一百年之后才有了一個(gè)結(jié)論，偉大的歐拉發(fā)現(xiàn)它竟不是素?cái)?shù)，因而，偉大的費(fèi)馬這回可是猜錯(cuò)了!F5是兩素?cái)?shù)之積：F5=6416 700 417.當(dāng)然，這一事例多少也說(shuō)明：判斷一個(gè)較大的數(shù)是否素?cái)?shù)也決不是件簡(jiǎn)單的事，不然，何以

4、需要等近百年?何以需要?dú)W拉這樣的人來(lái)解決問(wèn)題?更奇怪的是，不僅F5不是素?cái)?shù)，F(xiàn)6，F(xiàn)7也不是素?cái)?shù)，F(xiàn)8，F(xiàn)9，F(xiàn)10，F(xiàn)11等還不是素?cái)?shù)，甚至，對(duì)于F14也能判斷它不是素?cái)?shù)，但是它的任何真因數(shù)還不知道.至今，人們還只知F0，F(xiàn)1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4這樣5個(gè)數(shù)是素?cái)?shù).由于除此而外還未發(fā)現(xiàn)其他素?cái)?shù)，于是人們產(chǎn)生了一個(gè)與費(fèi)馬的猜想大相徑庭的猜想，形如22i+1的素?cái)?shù)只有有限個(gè).但對(duì)此也未能加以證明.當(dāng)然，形如Fi=22i+1的素?cái)?shù)被稱(chēng)為費(fèi)馬素?cái)?shù).由于素?cái)?shù)分解的艱難，不僅對(duì)形如Fi=22i+1的數(shù)的一般結(jié)論很難做出，而且具體分解某個(gè)Fi也不是一件簡(jiǎn)單的事.更加令人驚奇的事情發(fā)生在距歐拉發(fā)現(xiàn)F5不是素?cái)?shù)之

5、后的60多年，一位德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯，在他僅20歲左右之時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)正多邊形的邊數(shù)是費(fèi)馬素?cái)?shù)時(shí)是可以尺規(guī)作圖的，他發(fā)現(xiàn)了更一般的結(jié)論：正n邊形可尺規(guī)作圖的充分且必要的條件是n=2k(2的k次冪)或 2kp1p2ps，(1，2s為右下角標(biāo))其中，p1，p2，ps是費(fèi)馬素?cái)?shù).正7邊形可否尺規(guī)作圖呢?否!因?yàn)?是素?cái)?shù)，但不是費(fèi)馬素?cái)?shù).倒是正17邊形可尺規(guī)作圖，高斯最初的一項(xiàng)成就就是作出了正17邊形.根據(jù)高斯的理論，還有一位德國(guó)格丁根大學(xué)教授作了正257邊形.就這樣，一個(gè)懸而未決兩千余年的古老幾何問(wèn)題得到了圓滿(mǎn)的解決，而這一問(wèn)題解決的過(guò)程是如此的蹊蹺，它竟與一個(gè)沒(méi)有猜對(duì)的猜想相關(guān)連.正17邊形被用最簡(jiǎn)單的圓

6、規(guī)和直尺作出來(lái)了，而正多邊形可以換個(gè)角度被視為是對(duì)圓的等分，那么這也相當(dāng)于僅用圓規(guī)和直尺對(duì)圓作了17等分，其圖形更覺(jué)完美、好看.高斯本人對(duì)此也頗為欣賞，由此引導(dǎo)他走上數(shù)學(xué)道路(他早期曾在語(yǔ)言學(xué)與數(shù)學(xué)之間猶豫過(guò))，而且在他逝后的墓碑上就鐫刻著一個(gè)正17邊形圖案.高斯把問(wèn)題是解決得如此徹底，以致有了高斯的定理，我們對(duì)于早已知道如何具體作圖的正三邊形、正五邊形，還進(jìn)而知道了它們?yōu)槭裁茨苡贸咭?guī)作圖，就因?yàn)?和5都是費(fèi)馬素?cái)?shù)(3=F0，5=F1);對(duì)于很久以來(lái)未找到辦法來(lái)作出的正七邊形，乃至于正11邊形、正 13邊形，現(xiàn)在我們能有把握地說(shuō)，它們不可能由尺規(guī)作圖，因?yàn)?、11、13都不是費(fèi)馬素?cái)?shù);對(duì)于正2

7、57邊形、正65 537邊形，即使我們不知道具體如何作，可是理論上我們已經(jīng)知道它們是可尺規(guī)作圖的;此外，為什么正四邊形、正六邊形可尺規(guī)作圖呢?因?yàn)?=22，因?yàn)?6= 2 3而 3=F0.費(fèi)馬數(shù)費(fèi)馬數(shù)是以數(shù)學(xué)家費(fèi)馬命名一組自然數(shù)，具有形式： 其中 n 為非負(fù)整數(shù)。若 2n + 1 是素?cái)?shù)，可以得到 n 必須是2的冪。（若 n = ab，其中 1 a, b 2是整數(shù)，則方程xn+yn=zn沒(méi)有滿(mǎn)足xyz0的整數(shù)解。這個(gè)是不定方程，它已經(jīng)由美國(guó)數(shù)學(xué)家外爾斯證明了(1995年)，證明的過(guò)程相當(dāng)艱深。 2.歐拉引入歐拉函數(shù)， 得到著名的歐拉定理費(fèi)馬小定理推廣； 研究了連分?jǐn)?shù)展開(kāi)問(wèn)題；用解析方法證明了素

8、數(shù)無(wú)限；討論平方和問(wèn)題及哥德巴赫猜想加性數(shù)論內(nèi)容。 3.高斯被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子” 。解決了正多邊形尺規(guī)作圖問(wèn)題， 將它和費(fèi)馬數(shù)聯(lián)系起來(lái)。高斯的著作算術(shù)研究提出了同余理論， 討論了平方剩余問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)了二次互反律。 高斯提出了著名的素?cái)?shù)定理（當(dāng)時(shí)是猜想），研究了指標(biāo)和估計(jì)問(wèn)題表示論的雛形。素?cái)?shù)定理定理定理描述素?cái)?shù)素?cái)?shù)的大致分布情況。 素?cái)?shù)的出現(xiàn)規(guī)律一直困惑著數(shù)學(xué)家。一個(gè)個(gè)地看，素?cái)?shù)在正整數(shù)中的出現(xiàn)沒(méi)有什么規(guī)律?？墒强傮w地看，素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)竟然有規(guī)可循。對(duì)正實(shí)數(shù)x，定義(x)為不大于x的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)。數(shù)學(xué)家找到了一些函數(shù)來(lái)估計(jì)(x)的增長(zhǎng)。以下是第一個(gè)這樣的估計(jì)。 (x)x/ln x 其中l(wèi)n x為x的自然對(duì)

9、數(shù)。上式的意思是當(dāng)x趨近，(x) 和x/ln x的比趨近1（注：該結(jié)果為高斯所發(fā)現(xiàn)）。但這不表示它們的數(shù)值隨著x增大而接近。 下面是對(duì)(x)更好的估計(jì)： (x)=Li (x) + O (x e(-(ln x)(1/2)/15)，當(dāng) x 趨近。 其中 Li(x) = (dt/ln x2,x)，而關(guān)系式右邊第二項(xiàng)是誤差估計(jì)，詳見(jiàn)大O符號(hào)。 下表比較了(x)，x/ln x和Li(x)： x (x) (x) - x/ln(x) Li(x) - (x) x/(x)佩爾方程由費(fèi)爾馬提出，但后來(lái)歐拉誤記為佩爾提出，并寫(xiě)入他的著作中。后人多稱(chēng)佩爾方程。沿續(xù)至今 設(shè)d是正整數(shù)，且d不含平方因子。 下面的不定方程

10、稱(chēng)為佩爾（Pell）方程： x2-dy2=1 求正整數(shù)解(x,y). 這是初等數(shù)論中最經(jīng)典的內(nèi)容之一。 假設(shè)(x_0,y_0)是一個(gè)最小解， 那么所有的解可寫(xiě)為 x_n+y_n*(d)0.5=(x_0+y_0*(d)0.5)(n+1) 佩爾方程與連分?jǐn)?shù)，二次型，代數(shù)數(shù)域等等都有密切聯(lián)系。 在一般的函數(shù)域上，我們也有類(lèi)似的佩爾方程， 它和向量叢的穩(wěn)定性有著微妙的關(guān)系。 以上的公式就是Pell方程的一般形態(tài). 對(duì)于 當(dāng)n為完全平方數(shù)時(shí)無(wú)解； 1. 首先構(gòu)造一個(gè)系數(shù)矩陣,顯然為了構(gòu)造這個(gè)矩陣，我們需要先得到 下面方程的一個(gè)最小特解(x,y0) 利用Euler的算法 1: p1 1; p2 0 2: q1 0; q2 1 3: a0 sqrt(n) 4: g1 0; h1 1 5: for i = 0 do 6: gi gi1 + aihi1 7: hi （ngi*gi） / hi-