深圳數(shù)學(xué) 八年級(jí) 勾股定理 能得到直角三角形嗎

1、能得到直角三角形嗎【基礎(chǔ)知識(shí)精講】1掌握勾股定理的逆定理。2會(huì)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)解析】1勾股定理的逆定理勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。即：在ABC中，若，則ABC為Rt。2如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形首先求出最大邊（如c）；驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系。若，則ABC是以C90的直角三角形。若，則ABC不是直三角形。A重點(diǎn)、難點(diǎn)提示1掌握用勾股定理的逆定理判定三角形是否為直角三角形，或兩條直線是否相互垂直；2能用勾股定理和勾股定理的逆定理解決一些實(shí)際問(wèn)題B考點(diǎn)指要勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而勾股定理的逆定

2、理是直角三角形的判定定理，它不僅可以判定三角形是否為直角三角形，而且可以判定三角形中哪一個(gè)角是直角，從而產(chǎn)生了證明兩直線互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通過(guò)計(jì)算來(lái)證明，這中間體現(xiàn)了一種代數(shù)方法解幾何題的思想（體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想）三角形的三邊分別為a、b、c，其中c為最大邊，（1）若，則三角形是直角三角形；（2）若，則三角形是銳角三角形；（3）若，則三角形是鈍角三角形，所以使用勾股定理的逆定理時(shí)常需要找出三角形的最大邊滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)【例題分析例1：已知ABC的三邊為a、b、c，有下列各組條件，判定ABC的形狀（1）a41，b40，c9；（2）思路分析為判定三角形的形狀，可

3、利用勾股定理的逆定理，判斷三角形的最大邊的平方是否等于另外兩邊的平方和（抓住最大的邊）解：（1），而，（完全平方公式的應(yīng)用），ABC是直角三角形，并且A是直角（2）mn0，而ABC是直角三角形，并且B是直角點(diǎn)評(píng)：利用勾股定理的逆定理不僅能夠判斷出三角形的形狀，而且還能夠知道三角形的哪個(gè)角是直角例2：如圖111，有一個(gè)棱長(zhǎng)為2米的正方體，現(xiàn)有一繩子從A出發(fā)，沿正方體表面到達(dá)C處，問(wèn)繩子最短是多少米？解：將該正方體的右表面翻折至前表面，使得A、C兩點(diǎn)共面，連結(jié)AC，此時(shí)線段AC的長(zhǎng)度即為最短距離，即繩長(zhǎng)最短為米點(diǎn)評(píng)：沿幾何體表面最短距離的問(wèn)題通常都是將幾何體表面展開(kāi)，求展開(kāi)圖中兩點(diǎn)之間的最短距離，

4、但一定要注意展開(kāi)圖中點(diǎn)的相應(yīng)位置例3：如圖112，在四邊形ABCD中，C是直角，AB13，BC4，CD3，AD12，求證：ADBD（可將直線的互相垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直角三角形的判定）解：在RtBCD中，BC4，CD3，由勾股定理，即BD5，在ABD中，BD5，AD12，AB13，由勾股定理的逆定理，ABD是直角三角形，并且ADB是直角，ADBD例4：若ABC的三邊滿足條件：，試判斷ABC的形狀思路分析若一個(gè)方程有多于一個(gè)的未知數(shù)，如本題有三個(gè)未知數(shù)，想要分別解出這些量只能依靠條件的恒等變形，挖掘隱含條件來(lái)處理解：原等式可化為，配方，得：，（配方要準(zhǔn)確、熟練）當(dāng)且僅當(dāng)才能成立，（非負(fù)數(shù)原理）a5，b

5、12，c13，最大邊為c，而，根據(jù)勾股定理的逆定理，ABC是直角三角形，且C為直角點(diǎn)評(píng)：要學(xué)會(huì)觀察已知條件的特征，從而尋找解決問(wèn)題的突破點(diǎn)例5：已知，如圖113，D是ABC邊BC上一點(diǎn)，且，求證：思路分析從邊的平方關(guān)系就會(huì)聯(lián)想到直角三角形，這是勾股定理逆定理的基本思路證明：在ADC中，（注意已知形式的提示）由勾股定理的逆定理可知：ADC90，ADBC于D，在RtABD和RtACD中，由勾股定理：，兩式相減，得：例6：如圖114，南北向MN為我國(guó)的領(lǐng)海線，即MN以西為我國(guó)領(lǐng)海，以東為公海上午9時(shí)50分，我國(guó)反走私艇A發(fā)現(xiàn)正東方有一走私艇C以每小時(shí)13海里的速度偷偷向我領(lǐng)海開(kāi)來(lái)，便立即通知正在線上

6、巡邏的我國(guó)反走私艇B密切注意反走私艇A通知反走私艇B：A和C兩艇的距離是13海里，A、B兩艇的距離是5海里反走私艇B測(cè)得距離C艇是12海里，若走私艇C的速度不變，最早會(huì)在什么時(shí)間進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海？解：設(shè)MN與AC相交于E，則BEC90，又，ABC為直角三角形，ABC90，MNCE，走私艇進(jìn)入我領(lǐng)海的最近距離是CE，（認(rèn)真審題是解決本題的關(guān)鍵）兩式相減得：，9時(shí)50分51分10小時(shí)41分（將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型）答：走私艇C最早在10時(shí)41分進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)?！局锌济}點(diǎn)評(píng)】例1 證明邊長(zhǎng)為3(2m3),(m是正整數(shù))的三角形是直角三角形。證明：，3(2m3)，是最長(zhǎng)的一條邊。18（）81，所以根據(jù)勾股

7、定理的逆定理可知，以此三數(shù)為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形。例2 試判斷：三邊長(zhǎng)分別為，2n1,(n0)的三角形是否是直角三角形？點(diǎn)悟：先確定最大的邊。解：，為三角形中最大邊。又 。根據(jù)勾股定理的逆定理可知，此三角形為直角三角形例3 如果ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足，判斷ABC的形狀。點(diǎn)悟：要判斷ABC的形狀，需要找到a、b、c的關(guān)系，而題目中只有條件，故只有從該條件入手，解決問(wèn)題。解：由，得，。，。a3，b4，c5，。由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。點(diǎn)撥：勾股定理的逆定理是通過(guò)數(shù)量關(guān)系來(lái)研究圖形的位置關(guān)系的。例4 在正方形ABCD中（圖118）F為DC的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且E

8、CBC，求證：EFA90。證明：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4a，則ECa，BE3a，CFDF2a，RtABE中，由勾股定理得：。在RtADF中，由勾股定理得：。在RtECF中，由勾股定理得：。在AFE中，。又，。由勾股定理的逆定理可知：AEF為Rt，且AE為最大邊，AFE90。例5 如圖119，已知ABC中，ACB90，CDAB于D，設(shè)ACb，BCa，ABc，CDh，求證：（1）chab；（2）以ab，ch，h為三邊可構(gòu)成一個(gè)直角三角形。證明：（1）在RtABC中，CDAB，即 abch。.(ch)(ab)又在RtABC中，ABc為斜邊，ca，cb。即 (ch)(ab)0。chab。（2）由（1

9、）得 ，。，。以ab，h，ch 為邊的三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。點(diǎn)撥 要比較a 與b 的大小，可先求ab，再將結(jié)果與0比較。若ab0，則ab；若ab0，則ab，若ab0，則ab。直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半，也等于斜邊與斜邊上的高的乘積的一半。故兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上的高的乘積。常用此來(lái)求出斜邊上的高。例6 如圖120，ABC中，C90，M是BC的中點(diǎn)，MDAB于D，求證：點(diǎn)悟：欲證，只須將BD用AD、AC 表示出來(lái)即可，這樣有只要證明 即可。即證明就可以了。證明略。例7 已知在ABC中，三條邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且an，b ，c（n是大于2的偶數(shù)）。求證：AB

10、C是直角三角形。證明：，由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。例8 如圖121，在等腰RtABC中，CAB90，P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA1，PB3，PC。求：CPA的大小 。點(diǎn)悟：已知條件中的PA、PB、PC過(guò)于分散，可將其集中到一個(gè)或兩個(gè)三角形中，再應(yīng)用三角形的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題。解：在ABC外部作AQCAPB，連結(jié)PQ，則AQAP1，CQPB3，QACPAB。PABPAC90，QACPAC90，即 PAQ90。，QPAPQA45。在PQC中，。QPC90。CPACPQQPA9045135。點(diǎn)撥：本例通過(guò)在三角形外作APB的全等形，從而將已知的PA、PB、PC集中到一起，為進(jìn)一步解題創(chuàng)造了

11、條件?！就竭_(dá)綱練習(xí)】一、選擇題1已知ABC中，ABAC，ADBC于D，那么 （ ）（A）BCAB （B）BCAD90（C）ADBD （D）BBAD2三角形的三邊長(zhǎng)為a、b、c，且滿足等式，則此三角形是 （ ）（A）銳角三角形 （B）直角三角形（C）鈍角三角形 （D）等邊三角形3在ABC中，BC邊上的高，AC邊上的高，AB邊上的高，那么a、b、c三邊的比a：b：c為 （ ）（A）1：2：3 （B）2：3：4（C）6：4：3 （D）不確定4下列三角形中，不一定是直角三角形的是 （ ）（A）三角形中有一邊的中線等于這邊的一半（B）三角形的三內(nèi)角之比為1：2：3（C）三角形有一內(nèi)角是30，且有一邊是

12、另一邊的一半（D）三角形的三邊長(zhǎng)分別為、2mn和5直角三角形的面積為S，斜邊上的中線長(zhǎng)為d，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為 （ ）（A） （B）（C） （D）二、填空題6若一個(gè)直角三角形的三邊為三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)，則它的周長(zhǎng)為_(kāi)。7周長(zhǎng)為2a的等腰直角三角形的斜邊的長(zhǎng)為_(kāi)，它的面積為_(kāi).8.在ABC中，如果AB，AC2mn，BC，則ABC是_三角形，其中_90。9如圖122，ABDC90，AD12，ACBC，BAD30，則BC_。10如圖123，在等腰梯形ABCD中，ABCD，AB16cm，CD8cm，AD13cm，則_。11如圖124，在ABC中，CE平分ACB，CF平分ACD，EFBC交AC于M，若CM

13、5，則_。三、解答題12如圖125，在RtABC中，A90，M是BC的中點(diǎn)，Q為AC上任意一點(diǎn)，MPMQ，延長(zhǎng)QM至N，使MNQM，連QN、BN。求證：。13在RtABC中，ABc，BCa，CAb，且，求證：A：B：C1：2：3。14設(shè)P為等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)，如果。求證：BPC150。15如圖126，ABm，CDn，BCDADC90。求證的值。16若ABC的三邊a、b、c滿足條件，判斷ABC的形狀。17已知ABC中，AB17，BC30，BC上的中線AD8，求證：ABC為等腰三角形。18CD是ABC的高，D在邊AB上，且有。求證：ABC為直角三角形?！揪C合能力訓(xùn)練】1已知a、b、c是ABC的三邊，

14、（1）a0.3，b0.4，c0.5；（2）a4，b5，c6；（3）a7，b24，c25；（4）a15，b20，c25上述四個(gè)三角形中，直角三角形有( )個(gè)A1B2C3D42下列命題中的假命題是( )A在ABC中，若ACB，則ABC是直角三角形；B在ABC中，若，則ABC是直角三角形；C在ABC中，若A、B、C的度數(shù)比是5：2：3，則ABC是直角三角形；D在ABC中，若三邊長(zhǎng)a：b：c2：2：3，則ABC是直角三角形3已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3、4，則第三邊長(zhǎng)為_(kāi)4當(dāng)n為自然數(shù)時(shí)，求證：以，b2n1，為三邊的三角形是直角三角形5如圖115，ACB45，BC1，把ABC沿直線AC折疊過(guò)去，點(diǎn)B

15、落在B的位置上，在圖中標(biāo)出B的位置，并求BB的長(zhǎng)6已知：如圖116，折疊長(zhǎng)方形（四個(gè)角都是直角，對(duì)邊相等的四邊形）的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，若AB8cm，BC10cm，求EC的長(zhǎng)7如圖117，BEAD，AEBC60，AB4，DE3，求證：ADCD8如圖118，在ABC中，ACB90，CD是AB邊上的中線，E是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DECD，求證：BCBE9一段長(zhǎng)為10m的梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面6m，現(xiàn)將梯頂沿墻面下滑1m，則梯子底端與墻面距離是否也增長(zhǎng)1m？說(shuō)明理由，并與同學(xué)討論你的結(jié)論10如右圖119，壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上

16、方油罐上邊緣的B處有一只害蟲(chóng)，便決定捕捉這只害蟲(chóng)，為了不引起害蟲(chóng)的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對(duì)害蟲(chóng)進(jìn)行突然襲擊結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐請(qǐng)問(wèn)壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲(chóng)?（取3.14，結(jié)果保留1位小數(shù)，可以用計(jì)算器計(jì)算）參考答案【同步達(dá)綱練習(xí)】一、1B； 2B； 3B； 4C； 5C。二、624； 7，； 8直角，A； 9； 10。11100。三、12先證MQCMNB。BNCQ且PNPQ。又CMBN，PBNABCMBN90。即。13由得。又，。C90。又由得。A30。又由得，B60。故A：B：C1：2：3。14以BP為邊作等邊PBD，連結(jié)CD，則由BPBD，ABPCBD，BABC得ABPBCD。故PADC。在PCD中，由于，故DPC90。BPC6090150。15延長(zhǎng)CB、DA交于點(diǎn)E，由BCDADC90得E90。16a5，b12，c13，ABC為直角三角形。17在ABC中，AB17，AD8，BD15。 ABD為直角三角形在RtADC中，AC17。 ABC為等腰三角形。18在RtACD中， 同理ABC是直角三角形?！揪C合能力訓(xùn)練】1C；2D；35或；4略；