俞正強(qiáng)《植樹(shù)問(wèn)題》課堂實(shí)錄

1、植樹(shù)問(wèn)題發(fā)布者：俞正強(qiáng) 發(fā)布時(shí)間：2015-10-30 16:03:22 閱讀（115 ）評(píng)論（2）俞正強(qiáng)植樹(shù)問(wèn)題課堂實(shí)錄師：同學(xué)們，我們開(kāi)始上課?？春诎迳希?0米，平均每5米分一段，共分幾段？會(huì)做的請(qǐng)舉手。（生舉手示意。）師：放下。（目光注視其中一位）你不會(huì)做。你為什么不會(huì)做？生：我會(huì)做。師：那你做。生：20除以5。師：20除以5等于幾？（邊問(wèn)邊板書(shū)）請(qǐng)問(wèn)為什么要用除法來(lái)做？（繼續(xù)追問(wèn)回答的學(xué)生）生：因?yàn)槭恰捌骄?5米一段”。師：（引導(dǎo)）因?yàn)槭且患裁词虑榘?？師生共答：是一件平均分的事情。所以用除法。師：你既然?huì)做，為什么不舉手？生：來(lái)不及舉手。師：來(lái)不及舉手，因?yàn)榇蠹遗e得太快了。（隨機(jī)抽

2、問(wèn)一位學(xué)生）你什么時(shí)候會(huì)做這道題？生：三年級(jí)。師：（換一種說(shuō)法）去年。（繼續(xù)抽問(wèn)其他學(xué)生）你呢？生：二年級(jí)。師：（換一種說(shuō)法）前年。（回頭追問(wèn)去年會(huì)做的那位學(xué)生）你為 什么遲一年??？ （追問(wèn)前年會(huì)做的那位學(xué)生） 你為什么比他快一年 啊？生：我媽媽先教我的。 師：（繼續(xù)追問(wèn)去年會(huì)做的那位學(xué)生）你媽媽為什么不教你??？ 生：我媽媽不會(huì)。師：同學(xué)們，這一道題我們?nèi)昙?jí)就會(huì)了，用 20 除以 5 等于 4 。 為什么用除法呢？因?yàn)樗且粋€(gè)什么事情??？ 生：平均分。師：好。再看老師給大家準(zhǔn)備的第二道題目，我來(lái)給大家讀一讀： 20 米路，每 5 米栽一棵樹(shù)，共栽幾棵樹(shù)？會(huì)的請(qǐng)舉手。師：（巡視一陣，問(wèn)一位學(xué)生

3、）你是來(lái)不及還是不舉手？你確認(rèn)一 下。師：大家都舉手， 都會(huì)做了。要不大家把做法寫(xiě)腦子里好不好？我 請(qǐng)一個(gè)小姑娘回答，你們請(qǐng)看看她回答得對(duì)不對(duì)，好不好？ 生：這應(yīng)該是除的。 20 除以 5 等于 4.師：（板書(shū)）20 5=4 （棵）小朋友，有不同意見(jiàn)嗎？ 師抽一個(gè)小組逐個(gè)詢(xún)問(wèn)，大家都同意。師：就一個(gè)不同意。請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)，你為什么不同意啊？ 生：因?yàn)檫@個(gè)（指第一個(gè)問(wèn)題） 沒(méi)有必要栽一棵樹(shù)， 但我第一段 （指 第二個(gè)問(wèn)題） 必須要先栽一棵樹(shù)，然后再栽一棵樹(shù)，所以要加一棵師：一共要種幾棵樹(shù)??？生：5棵樹(shù)。師：（略做停頓，然后抽問(wèn)學(xué)生）你聽(tīng)得懂嗎？生：聽(tīng)得懂。師：懂在哪里？牛答不出。師：他說(shuō)一共5棵樹(shù)。我

4、們明明算出來(lái)是4棵，可他卻說(shuō)5棵。（抽問(wèn)其他學(xué)生）你懂嗎？生：就是從第0米開(kāi)始就要先種1棵。師：（畫(huà)出線(xiàn)段示意圖，在0米處畫(huà)1棵樹(shù)。抽問(wèn)其他學(xué)生）你現(xiàn)在支持4棵還是5棵？生：5棵。因?yàn)?米上面也要種一棵。師：0米也要種1棵。第2棵在哪里？第3棵呢？第4棵呢？第5 棵呢？師：到底幾棵？大家發(fā)現(xiàn)沒(méi)有，我們這么多的小朋友，只有一個(gè)小 朋友做對(duì)，（師邊說(shuō)邊走到說(shuō)5棵的學(xué)生處）為什么這么多人說(shuō)4 棵，你偏偏要說(shuō)5棵呢？生：因?yàn)槲乙郧翱催^(guò)一本書(shū)，那里面就說(shuō)是分成5棵的。師：你們都沒(méi)看過(guò)嗎？生：沒(méi)有。師：真的沒(méi)有還是假的沒(méi)有？生：真的沒(méi)有。師：你們這里有沒(méi)有小朋友上過(guò)課外的奧數(shù)班？ 生：因?yàn)檫€沒(méi)有學(xué)到那里。

5、 師：好，不問(wèn)大家了。同學(xué)們，幾棵樹(shù)？ 生： 5 棵。師：同學(xué)們，我們來(lái)看一下，這兩道題目，一樣不一樣？ 生：不一樣。師：不一樣在哪里？ 生：第一個(gè)要平均分，而第二個(gè)在前面那里也要種上一棵樹(shù)。 師：你們誰(shuí)自認(rèn)為能回答得比她好一點(diǎn)？ 生：一個(gè)是問(wèn)種幾棵樹(shù)，一個(gè)是問(wèn)分幾段的。 師：（邊說(shuō)邊板書(shū)）這是幾段的，這是幾棵的。同學(xué)們，幾段和幾 棵，有不一樣嗎？生：有?？檬且浴耙粋€(gè)”為單位的， 而段是“兩個(gè)”中間的為一段 師：同學(xué)們，我們平均分是一段一段分的，但是種樹(shù)的時(shí)候是種在 哪里的？是種在一個(gè)個(gè)哪里的？生：點(diǎn)。（師隨機(jī)板書(shū)） 師：種樹(shù)是種在哪里的？ 生：點(diǎn)上。師：“點(diǎn)”和“段”有什么不一樣??？種是種在

6、“點(diǎn)”上的，咱們 平均分是分出“段”來(lái)的。那么，一段有幾個(gè)點(diǎn)啊？ 生：兩個(gè)。師：兩段有幾個(gè)點(diǎn)啊？生：三個(gè) 師：三段有幾個(gè)點(diǎn)?。可核膫€(gè)。師：四段有幾個(gè)點(diǎn)啊？生：五個(gè)。 師：請(qǐng)問(wèn)，點(diǎn)和段之間有什么關(guān)系？生答不出。師：沒(méi)關(guān)系還是有關(guān)系？點(diǎn)多還是段多？生：點(diǎn)多。 師：怎么個(gè)多法？ 生：一段線(xiàn)兩個(gè)，兩段線(xiàn)三個(gè)，三段線(xiàn)四個(gè) 師：那么點(diǎn)比段多幾？生：多 1.師：在平均分的除法里面，點(diǎn)比線(xiàn)多 1 ，而植樹(shù)是正好植在什么地 方的？生：點(diǎn)上。師：對(duì)了，要植在點(diǎn)上的，這就是為什么我們要在段上加 1 。（補(bǔ) 充板書(shū)）師：（指著板書(shū)）同學(xué)們，一樣不一樣？生：不一樣。師：（走到看書(shū)學(xué)會(huì)的學(xué)生身邊詢(xún)問(wèn)）你那時(shí)候看書(shū)有沒(méi)有

7、看出這 些東西來(lái)??？ 生：說(shuō)到了講解的說(shuō)法，但是沒(méi)有這種。 師：同學(xué)們，植樹(shù)是植在什么上面的？ 生：點(diǎn)上。師：好，請(qǐng)你想想看，還有什么人做什么事也是做在點(diǎn)上的？ （繼續(xù)啟發(fā)） 除了植樹(shù)人， 把樹(shù)種在點(diǎn)上的， 你看看， 還有什么人， 做什么事，也是做在平均分的點(diǎn)上的？ 生舉手寥寥無(wú)幾。師：那么我們種樹(shù)再來(lái)種一下，好不好？師：現(xiàn)在這段路有多少米長(zhǎng)??？我如果改成 100 米呢？小朋友， 幾棵？ 生： 51 棵。師：怎么算出來(lái)的？生： 100 除以 5 再加 1.師：對(duì)不對(duì)？生：錯(cuò)。師：再問(wèn)大家一個(gè)問(wèn)題。如果這段路是 200 米呢？ 生： 200 除以 5 加 1.師：我短一點(diǎn)。 50 米呢？小朋友。

8、生： 11 棵。師：不管換成多少遠(yuǎn)，一樣嗎？ 師：我們?cè)倩氐絼偛拍莻€(gè)問(wèn)題上去：除了植樹(shù)人把樹(shù)種在點(diǎn)上的， 我們還有什么人做什么事也是做在點(diǎn)上的？生：比如我們現(xiàn)在下面的專(zhuān)家老師， 他們的桌子上每隔一分米就放 一個(gè)水杯。生：工人打地基。師：還有嗎？ 生：種花的那個(gè)。生：那邊的地磚，每隔 1 厘米放一塊磚。師：每個(gè) 1 厘米放一塊磚， 每個(gè)一點(diǎn)擺一盞大燈。 一眼看去都是植 樹(shù)問(wèn)題是不是？ 師：不錯(cuò)，他看到了磚，看到了燈，那些都在點(diǎn)上的，都相當(dāng)于植 樹(shù)。生：路燈。師：還有沒(méi)有？生：有。房子。生：縫衣服。師：縫扣子。生：花瓶。生：竹子。生：超市里放的貨架。 師：我來(lái)給大家舉個(gè)例子：她的爸爸設(shè)計(jì)高速公路，

9、每隔十幾千米 設(shè)一個(gè)服務(wù)區(qū)。 服務(wù)區(qū)是不是在點(diǎn)上啊？你有沒(méi)有比我好一點(diǎn)的例 子弄個(gè)出來(lái)？師：要不要討論一下？好， 你們討論一下， 我等你們， 開(kāi)始！ 快點(diǎn)！ 師：（等待兩分鐘后）這么多想出來(lái)啦！（抽生回答） 生：車(chē)站。生：網(wǎng)吧里的電腦。 生：公路上面的紅綠燈。生：柱子。 師：柱子。沒(méi)錯(cuò)。我再給你們來(lái)一個(gè)，你們肯定想不到的。美國(guó)選 總統(tǒng)， 100 年。每 5 年選一個(gè)奧巴馬， 我這個(gè)例子怎么樣？評(píng)價(jià)一 下。奧巴馬是樹(shù)嗎？生：不是樹(shù)，是人。師：那一個(gè)一個(gè)人站著，每 5 年一個(gè)總統(tǒng)，每 5 年一個(gè)總統(tǒng)，像 不像這些樹(shù)？生：像。 師：像不像這些杯啊？像不像這些樁啊？生：像。 師：動(dòng)腦子??！奧巴馬是樹(shù)啊

10、！有什么感想？ 生：沒(méi)有。師：你居然沒(méi)感想？你有感想嗎？舉個(gè)例子， 誰(shuí)能再舉個(gè)例子？讓 自己的腦子變得與眾不同。生：繩子每隔 5 厘米打一個(gè)結(jié)。 生：廁所的每個(gè)間隔有一個(gè)班。 師：（驚訝）一個(gè)班就搞一個(gè)廁所啦？你哪個(gè)學(xué)校的？ 生低聲說(shuō)了句話(huà)。師：（興奮）哦！同學(xué)們，她的意思我聽(tīng)懂了！太厲害了！她的意 思是說(shuō)每隔一節(jié)課就上一次廁所。她這個(gè)“上”是不是在點(diǎn)上的？ 生：是。師：那課是什么？上是什么？好，時(shí)間關(guān)系，我們不往下說(shuō)了。以 后你要說(shuō)要趁早好不好？師：還有一個(gè)最普通的。你們誰(shuí)是三好學(xué)生？一個(gè)學(xué)期一張獎(jiǎng)狀， 一個(gè)學(xué)期一張獎(jiǎng)狀，老師把獎(jiǎng)狀發(fā)在什么地方的？生：發(fā)在點(diǎn)上。 師：同學(xué)們，大家發(fā)現(xiàn)沒(méi)有？我

11、們書(shū)上學(xué)的是平均分， 到了生活中 去就變成了植樹(shù)問(wèn)題。植樹(shù)問(wèn)題是要研究平均分當(dāng)中的“點(diǎn)”的。 師：同學(xué)們，現(xiàn)在又來(lái)了。生活中的種樹(shù)很復(fù)雜的。大家知道了 2 0 米路要領(lǐng)幾棵樹(shù)去啊？生： 5 棵。師：好！唐將遠(yuǎn)這位小朋友領(lǐng)了 5 棵樹(shù)，跑啊跑啊跑啊，到了 20 米的路，一看，哎呀呀，發(fā)生什么問(wèn)題了？（師在線(xiàn)段示意圖的一 頭貼上房子示意圖）生：有房子擋住種樹(shù)了。 師：種樹(shù)的一個(gè)點(diǎn)被房子占去了。唐將遠(yuǎn)小朋友， 這時(shí)候你該怎么 辦？生：換一個(gè)地方。 生：不管那個(gè)房子，種在房子旁邊。師：同學(xué)們，每隔 5 米種一棵，他把樹(shù)背過(guò)去，看到那個(gè)地方有房 子，他怎么樣就可以了？生：拆房子。師：是拆房子容易還是什么

12、容易?。可翰鸱孔?。生：種房子。 師：一個(gè)嘛種房子，一個(gè)嘛拆房子，我被你們氣死了。每隔 5 米種 一棵，他把樹(shù)背過(guò)去，看到那個(gè)地方有房子，他怎么樣就可以了？ 只要這個(gè)地方要不要種了啦？只要在 5 米外一棵一棵種， （師在黑 板上貼出植樹(shù)的圖。）種了幾棵？帶回來(lái)幾棵？ 師：你是帶回來(lái)一棵還是拆房子？生：帶回來(lái) 1 棵。師：對(duì)啦 !因?yàn)檫@一頭被房子擋住了，只種了四棵，這一頭就不種 了。（師板書(shū)“只種一頭”）要減 1。 5 根減掉 1 根變成幾根？ 師：好！劉培煌小朋友也背了 5 棵樹(shù)去種樹(shù)，也是 20 米路，結(jié)果 一看，比小唐還要嚴(yán)重，兩端都有房子。你怎么辦？ 生：在中間種樹(shù)。師：在中間種樹(shù)，種幾

13、棵？生：種 3 棵。 師：小朋友，他這個(gè)方法聰明不聰明？?jī)深^不種，帶回幾棵？ 生：兩棵。師：帶回兩棵，就減幾棵？生：兩棵。師：減 1 等于幾棵？減 2 等于幾棵？ 生：4 棵。3 棵。（師補(bǔ)充板書(shū)） 師：同學(xué)們，簡(jiǎn)單不簡(jiǎn)單？那么除了種樹(shù)之外，還有什么情況會(huì)出 現(xiàn)也是一頭不種的？什么情況會(huì)出現(xiàn)兩頭不種的？你舉個(gè)例子。 生：當(dāng)全部種上房子之后。 師：全部種上房子之后，那就全部不要種了。 生：建休息站的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)一頭被山擋住了，所以就只建了四個(gè)休 息站。 師;他把種樹(shù)變成休息站了，房子變成山了，好的！很好！還有誰(shuí) 要說(shuō)的？ 生：造電線(xiàn)桿的時(shí)候，那邊沒(méi)有人，就可以不造電線(xiàn)桿。 生：路被拆了的時(shí)候。 師

14、：路被拆了？路都好拆的？（換一位回答） 生：放羊的時(shí)候，有個(gè)地方站了個(gè)人。 師：哦，放羊的時(shí)候。你那個(gè)樹(shù)變成羊了，房子變成人了。好的。 生：剛才我舉例杯子的事情，然后有一個(gè)專(zhuān)家缺席了， 杯子就可以 少放一個(gè)了。 師：好，同學(xué)們，例子很多，我給大家舉個(gè)例子。我們上午上四節(jié) 課，每節(jié)課下課都要放一首音樂(lè)。放幾首音樂(lè)夠了？ 生： 3 個(gè)。生： 4 個(gè)生： 5 個(gè) 師：3 個(gè)的、4 個(gè)的、 5個(gè)的都各有道理。 5 個(gè)的是想要都放一下， 是不是？ 4 個(gè)的，就是幾頭不種？ 3 個(gè)的，就是幾頭不種了？ 師：大家希望我們放音樂(lè)的專(zhuān)家，是兩頭種，還是一頭不種，還是 兩頭不種好？ 生：兩頭不種。生：只種一頭。 師：好，小朋友， 這一個(gè)模型跟剛才的那位一節(jié)課上一次廁所的模 型是怎樣的？對(duì)，一樣的。所以小朋友們，我們一定要記牢，在我 們眼里，樹(shù)、杯、樁、總統(tǒng)、音樂(lè)，一樣不一樣的？都在平均分的 什么上??？生：“點(diǎn)”上。 師：點(diǎn)比段怎樣？ 生：多 1 。師：平均分是分出什么來(lái)的？ 生：段。師：而我們?cè)谏钪惺墙?jīng)常把東西放哪里的？ 生：點(diǎn)。師：點(diǎn)和段之間有如此？生：關(guān)系。師：同學(xué)們，今天這節(jié)課我們學(xué)下來(lái)， 你有沒(méi)有什么話(huà)跟我們交流？ 生：有一些情況兩頭都