概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四版課后習題答案盛驟浙江大學

1、1.完全版概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題答案 第四版 盛驟 (浙江大學)浙大第四版（高等教育出版社）第一章 概率論的基本概念1.一 寫出下列隨機試驗的樣本空間（1）記錄一個小班一次數(shù)學考試的平均分數(shù)（充以百分制記分）（一 1），n表小班人數(shù)（3）生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。（一 2）s=10，11，12，n，（4）對某工廠出廠的產(chǎn)品進行檢查，合格的蓋上“正品”，不合格的蓋上“次品”，如連續(xù)查出二個次品就停止檢查，或檢查4個產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。查出合格品記為“1”，查出次品記為“0”，連續(xù)出現(xiàn)兩個“0”就停止檢查，或查滿4次才停止檢查。（一 (3)）s=00，100，01

2、00，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，2.二 設a，b，c為三事件，用a，b，c的運算關(guān)系表示下列事件。（1）a發(fā)生，b與c不發(fā)生。表示為：或a (ab+ac)或a (bc)（2）a，b都發(fā)生，而c不發(fā)生。表示為：或ababc或abc（3）a，b，c中至少有一個發(fā)生表示為：a+b+c（4）a，b，c都發(fā)生，表示為：abc（5）a，b，c都不發(fā)生，表示為：或s (a+b+c)或（6）a，b，c中不多于一個發(fā)生，即a，b，c中至少有兩個同時不發(fā)生相當于中至少有一個發(fā)生。故 表示為：。（7）a，b，c中不多于二個發(fā)生。相當于：中至少有一個發(fā)生

3、。故 表示為：（8）a，b，c中至少有二個發(fā)生。相當于：ab，bc，ac中至少有一個發(fā)生。故 表示為：ab+bc+ac6.三 設a，b是兩事件且p (a)=0.6，p (b)=0.7. 問(1)在什么條件下p (ab)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么條件下p (ab)取到最小值，最小值是多少？解：由p (a) = 0.6，p (b) = 0.7即知ab，（否則ab = 依互斥事件加法定理， p(ab)=p (a)+p (b)=0.6+0.7=1.31與p (ab)1矛盾）.從而由加法定理得p (ab)=p (a)+p (b)p (ab)(*)（1）從0p(ab)p(a)知，當ab=a，即

4、ab時p(ab)取到最大值，最大值為 p(ab)=p(a)=0.6，（2）從(*)式知，當ab=s時，p(ab)取最小值，最小值為 p(ab)=0.6+0.71=0.3 。7.四 設a，b，c是三事件，且，. 求a，b，c至少有一個發(fā)生的概率。解：p (a，b，c至少有一個發(fā)生)=p (a+b+c)= p(a)+ p(b)+ p(c)p(ab)p(bc)p(ac)+ p(abc)= 8.五 在一標準英語字典中具有55個由二個不相同的字母新組成的單詞，若從26個英語字母中任取兩個字母予以排列，問能排成上述單詞的概率是多少？記a表“能排成上述單詞” 從26個任選兩個來排列，排法有種。每種排法等可能

5、。字典中的二個不同字母組成的單詞：55個 9. 在電話號碼薄中任取一個電話號碼，求后面四個數(shù)全不相同的概率。（設后面4個數(shù)中的每一個數(shù)都是等可能性地取自0，1，29）記a表“后四個數(shù)全不同” 后四個數(shù)的排法有104種，每種排法等可能。后四個數(shù)全不同的排法有10.六 在房間里有10人。分別佩代著從1號到10號的紀念章，任意選3人記錄其紀念章的號碼。（1）求最小的號碼為5的概率。記“三人紀念章的最小號碼為5”為事件a 10人中任選3人為一組：選法有種，且每種選法等可能。又事件a相當于：有一人號碼為5，其余2人號碼大于5。這種組合的種數(shù)有（2）求最大的號碼為5的概率。記“三人中最大的號碼為5”為事件

6、b，同上10人中任選3人，選法有種，且每種選法等可能，又事件b相當于：有一人號碼為5，其余2人號碼小于5，選法有種11.七 某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，紅漆3桶。在搬運中所標箋脫落，交貨人隨意將這些標箋重新貼，問一個定貨4桶白漆，3桶黑漆和2桶紅漆顧客，按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少？記所求事件為a。在17桶中任取9桶的取法有種，且每種取法等可能。取得4白3黑2紅的取法有故12.八 在1500個產(chǎn)品中有400個次品，1100個正品，任意取200個。（1）求恰有90個次品的概率。記“恰有90個次品”為事件a 在1500個產(chǎn)品中任取200個，取法有種，每種取法等可能。

7、200個產(chǎn)品恰有90個次品，取法有種（2）至少有2個次品的概率。記：a表“至少有2個次品”b0表“不含有次品”，b1表“只含有一個次品”，同上，200個產(chǎn)品不含次品，取法有種，200個產(chǎn)品含一個次品，取法有種 且b0，b1互不相容。13.九 從5雙不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多少？記a表“4只全中至少有兩支配成一對”則表“4只人不配對” 從10只中任取4只，取法有種，每種取法等可能。要4只都不配對，可在5雙中任取4雙，再在4雙中的每一雙里任取一只。取法有15.十一 將三個球隨機地放入4個杯子中去，問杯子中球的最大個數(shù)分別是1，2，3，的概率各為多少？記ai表“杯中球

8、的最大個數(shù)為i個” i=1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有43種，每種放法等可能對a1：必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法432種。 (選排列：好比3個球在4個位置做排列)對a2：必須三球放入兩杯，一杯裝一球，一杯裝兩球。放法有種。(從3個球中選2個球，選法有，再將此兩個球放入一個杯中，選法有4種，最后將剩余的1球放入其余的一個杯中，選法有3種。對a3：必須三球都放入一杯中。放法有4種。(只需從4個杯中選1個杯子，放入此3個球，選法有4種)16.十二 50個鉚釘隨機地取來用在10個部件，其中有三個鉚釘強度太弱，每個部件用3只鉚釘，若將三只強度太弱的鉚釘都裝在一個部件上，則這個部件強度就

9、太弱，問發(fā)生一個部件強度太弱的概率是多少？記a表“10個部件中有一個部件強度太弱”。1. 法一：用古典概率作：把隨機試驗e看作是用三個釘一組，三個釘一組去鉚完10個部件（在三個釘?shù)囊唤M中不分先后次序。但10組釘鉚完10個部件要分先后次序）對e：鉚法有種，每種裝法等可能對a：三個次釘必須鉚在一個部件上。這種鉚法有10種法二：用古典概率作把試驗e看作是在50個釘中任選30個釘排成一列，順次釘下去，直到把部件鉚完。（鉚釘要計先后次序）對e：鉚法有種，每種鉚法等可能對a：三支次釘必須鉚在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，或“28，29，30”位置上。這種鉚法有種17.十三 已知。解一： 注意

10、. 故有p (ab)=p (a)p (a)=0.70.5=0.2。再由加法定理，p (a)= p (a)+ p ()p (a)=0.7+0.60.5=0.8于是18.十四 。解：由由乘法公式，得由加法公式，得19.十五 擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點數(shù)之和為7，求其中有一顆為1點的概率（用兩種方法）。解：（方法一）（在縮小的樣本空間sb中求p(a|b)，即將事件b作為樣本空間，求事件a發(fā)生的概率）。擲兩顆骰子的試驗結(jié)果為一有序數(shù)組（x, y）（x, y=1,2,3,4,5,6）并且滿足x,+y=7，則樣本空間為s=(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (

11、3, 4), (4, 3)每種結(jié)果（x, y）等可能。a=擲二骰子，點數(shù)和為7時，其中有一顆為1點。故方法二：（用公式s=(x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6每種結(jié)果均可能a=“擲兩顆骰子，x, y中有一個為“1”點”，b=“擲兩顆骰子，x,+y=7”。則，故20.十六 據(jù)以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：p(a)=p孩子得病=0.6，p (b|a)=p母親得病|孩子得病=0.5，p (c|ab)=p父親得病|母親及孩子得病=0.4。求母親及孩子得病但父親未得病的概率。解：所求概率為p (ab)（注意：由于“母病”，“孩病”，“

12、父病”都是隨機事件，這里不是求p (|ab)p (ab)= p(a)=p(b|a)=0.60.5=0.3, p (|ab)=1p (c |ab)=10.4=0.6.從而p (ab)= p (ab) p(|ab)=0.30.6=0.18.21.十七 已知10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機地取一只，作不放回抽樣，求下列事件的概率。（1）二只都是正品（記為事件a）法一：用組合做 在10只中任取兩只來組合，每一個組合看作一個基本結(jié)果，每種取法等可能。法二：用排列做 在10只中任取兩個來排列，每一個排列看作一個基本結(jié)果，每個排列等可能。法三：用事件的運算和概率計算法則來作。記a1，a2分別

13、表第一、二次取得正品。（2）二只都是次品（記為事件b）法一：法二：法三：（3）一只是正品，一只是次品（記為事件c）法一：法二：法三： （4）第二次取出的是次品（記為事件d）法一：因為要注意第一、第二次的順序。不能用組合作，法二：法三： 22.十八 某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而隨機的撥號，求他撥號不超過三次而接通所需的電話的概率是多少？如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？記h表撥號不超過三次而能接通。ai表第i次撥號能接通。注意：第一次撥號不通，第二撥號就不再撥這個號碼。 如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)（記為事件b）問題變?yōu)樵赽已發(fā)生的條件下，求h再發(fā)生的概率。 24.十九 設有

14、甲、乙二袋，甲袋中裝有n只白球m只紅球，乙袋中裝有n只白球m只紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再從乙袋中任取一球，問取到（即從乙袋中取到）白球的概率是多少？（此為第三版19題(1)）記a1，a2分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋”再記b表“再從乙袋中取得白球”。b=a1b+a2b且a1，a2互斥p (b)=p (a1)p(b| a1)+ p (a2)p (b| a2) =十九(2) 第一只盒子裝有5只紅球，4只白球；第二只盒子裝有4只紅球，5只白球。先從第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后從第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。記c1為“從第一盒子中取得2只紅球”。 c2為“從第

15、一盒子中取得2只白球”。 c3為“從第一盒子中取得1只紅球，1只白球”，d為“從第二盒子中取得白球”，顯然c1，c2，c3兩兩互斥，c1c2c3=s，由全概率公式，有p (d)=p (c1)p (d|c1)+p (c2)p (d|c2)+p (c3)p (d| c3) 26.二十一 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今從男女人數(shù)相等的人群中隨機地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？解：a1=男人，a2=女人，b=色盲，顯然a1a2=s，a1 a2=由已知條件知由貝葉斯公式，有二十二 一學生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為p，若第一次及格則第

16、二次及格的概率也為p；若第一次不及格則第二次及格的概率為（1）若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。（2）若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率。解：ai=他第i次及格，i=1,2 已知p (a1)=p (a2|a1)=p，（1）b=至少有一次及格所以 （2）（*）由乘法公式，有p (a1 a2)= p (a1) p (a2| a1) = p2由全概率公式，有 將以上兩個結(jié)果代入（*）得28.二十五 某人下午5:00下班，他所積累的資料表明：到家時間5:355:395:405:445:455:495:505:54遲于5:54乘地鐵到家的概率0.100.250.450.

17、150.05乘汽車到家的概率0.300.350.200.100.05某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車，結(jié)果他是5:47到家的，試求他是乘地鐵回家的概率。解：設a=“乘地鐵”，b=“乘汽車”，c=“5:455:49到家”，由題意,ab=,ab=s已知：p (a)=0.5, p (c|a)=0.45, p (c|b)=0.2, p (b)=0.5由貝葉斯公式有29.二十四 有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。試求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件

18、是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。解：設bi表示“第i次取到一等品” i=1，2aj表示“第j箱產(chǎn)品”j=1,2，顯然a1a2=sa1a2=（1）（b1= a1b +a2b由全概率公式解）。（2） （先用條件概率定義，再求p (b1b2)時，由全概率公式解）312lr32.二十六（2） 如圖1，2，3，4，5表示繼電器接點，假設每一繼電器接點閉合的概率為p，且設各繼電器閉合與否相互獨立，求l和r是通路的概率。54記ai表第i個接點接通記a表從l到r是構(gòu)成通路的。 a=a1a2+ a1a3a5+a4a5+a4a3a2四種情況不互斥 p (a)=p (a1a2)+p (a1a3a5)

19、 +p (a4a5)+p (a4a3a2)p (a1a2a3a5)+ p (a1a2 a4a5)+ p (a1a2 a3 a4) +p (a1a3 a4a5)+ p (a1a2 a3a4a5) p (a2 a3 a4a5)+ p (a1a2a3 a4a5)+ p (a1a2 a3 a4a5)+ (a1a2 a3 a4a5) + p (a1a2 a3 a4a5)p (a1a2 a3 a4a5)又由于a1，a2， a3， a4，a5互相獨立。故 p (a)=p2+ p3+ p2+ p3p4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4 + p5 + p5+ p5+ p5p5=2 p2+ 3p35p4 +

20、2 p5二十六（1）設有4個獨立工作的元件1，2，3，4。它們的可靠性分別為p1，p2，p3，p4，將它們按圖（1）的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可靠性。記ai表示第i個元件正常工作，i=1，2，3，4，2413a表示系統(tǒng)正常。 a=a1a2a3+ a1a4兩種情況不互斥 p (a)= p (a1a2a3)+p (a1a4)p (a1a2a3 a4) (加法公式)= p (a1) p (a2)p (a3)+ p (a1) p (a4)p (a1) p (a2)p (a3)p (a4)= p1p2p3+ p1p4p1p2p3p4(a1, a2, a3, a4獨立)34.三十一 袋中裝有m只正品硬幣，n只次

21、品硬幣，（次品硬幣的兩面均印有國徽）。在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國徽。問這只硬幣是正品的概率為多少？解：設“出現(xiàn)r次國徽面”=br “任取一只是正品”=a由全概率公式，有 （條件概率定義與乘法公式）35甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人擊中的概率分別為0.4，0.5，0.7。飛機被一人擊中而被擊落的概率為0.2，被兩人擊中而被擊落的概率為0.6，若三人都擊中，飛機必定被擊落。求飛機被擊落的概率。解：高hi表示飛機被i人擊中，i=1，2，3。b1，b2，b2分別表示甲、乙、丙擊中飛機，三種情況互斥。 三種情況互斥又 b1，b2，b2獨立。 + 0.40.50.7+0.60.

22、50.7=0.41p (h3)=p (b1)p (b2)p (b3)=0.40.50.7=0.14又因：a=h1a+h2a+h3a三種情況互斥故由全概率公式，有p (a)= p(h1)p (a|h1)+p (h2)p (a|h2)+p (h3)p (ah3) =0.360.2+0.410.6+0.141=0.45836.三十三設由以往記錄的數(shù)據(jù)分析。某船只運輸某種物品損壞2%（這一事件記為a1），10%（事件a2），90%（事件a3）的概率分別為p (a1)=0.8, p (a2)=0.15, p (a2)=0.05，現(xiàn)從中隨機地獨立地取三件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的（這一事件記為b），試分別求p

23、(a1|b) p (a2|b), p (a3|b)（這里設物品件數(shù)很多，取出第一件以后不影響取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相獨立地）b表取得三件好物品。b=a1b+a2b+a3b三種情況互斥由全概率公式，有p (b)= p(a1)p (b|a1)+p (a2)p (b|a2)+p (a3)p (b|a3) =0.8(0.98)3+0.15(0.9)3+0.05(0.1)3=0.862437.三十四 將a，b，c三個字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為，而輸出為其它一字母的概率都是(1)/2。今將字母串a(chǎn)aaa，bbbb，cccc之一輸入信道，輸入aaaa，bbbb，cccc的概

24、率分別為p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1)，已知輸出為abca，問輸入的是aaaa的概率是多少？（設信道傳輸每個字母的工作是相互獨立的。）解：設d表示輸出信號為abca，b1、b2、b3分別表示輸入信號為aaaa，bbbb，cccc，則b1、b2、b3為一完備事件組，且p(bi)=pi, i=1, 2, 3。再設a發(fā)、a收分別表示發(fā)出、接收字母a，其余類推，依題意有p (a收| a發(fā))= p (b收| b發(fā))= p (c收| c發(fā))=，p (a收| b發(fā))= p (a收| c發(fā))= p (b收| a發(fā))= p (b收| c發(fā))= p (c收| a發(fā))= p (c收| b發(fā))=又p

25、 (abca|aaaa)= p (d | b 1) = p (a收| a發(fā)) p (b收| a發(fā)) p (c收| a發(fā)) p (a收| a發(fā)) =，同樣可得p (d | b 2) = p (d | b 3) =于是由全概率公式，得由bayes公式，得p (aaaa|abca)= p (b 1 | d ) = =二十九 設第一只盒子裝有3只藍球，2只綠球，2只白球；第二只盒子裝有2只藍球，3只綠球，4只白球。獨立地分別從兩只盒子各取一只球。（1）求至少有一只藍球的概率，（2）求有一只藍球一只白球的概率，（3）已知至少有一只藍球，求有一只藍球一只白球的概率。解：記a1、a2、a3分別表示是從第一只

26、盒子中取到一只藍球、綠球、白球，b1、b2、b3分別表示是從第二只盒子中取到一只藍球、綠球、白球。（1）記c=至少有一只藍球c= a1b1+ a1b2+ a1b3+ a2b1+ a3b1，5種情況互斥由概率有限可加性，得（2）記d=有一只藍球，一只白球，而且知d= a1b3+a3b1兩種情況互斥（3）三十 a，b，c三人在同一辦公室工作，房間有三部電話，據(jù)統(tǒng)計知，打給a，b，c的電話的概率分別為。他們?nèi)顺Ｒ蚬ぷ魍獬?，a，b，c三人外出的概率分別為，設三人的行動相互獨立，求（1）無人接電話的概率；（2）被呼叫人在辦公室的概率；若某一時間斷打進了3個電話，求（3）這3個電話打給同一人的概率；（4

27、）這3個電話打給不同人的概率；（5）這3個電話都打給b，而b卻都不在的概率。解：記c1、c2、c3分別表示打給a，b，c的電話 d1、d2、d3分別表示a，b，c外出注意到c1、c2、c3獨立，且 （1）p（無人接電話）=p (d1d2d3)= p (d1)p (d2)p (d3) =（2）記g=“被呼叫人在辦公室”，三種情況互斥，由有限可加性與乘法公式（3）h為“這3個電話打給同一個人”（4）r為“這3個電話打給不同的人”r由六種互斥情況組成，每種情況為打給a，b，c的三個電話，每種情況的概率為于是（5）由于是知道每次打電話都給b，其概率是1，所以每一次打給b電話而b不在的概率為，且各次情況

28、相互獨立于是 p（3個電話都打給b，b都不在的概率）=第二章 隨機變量及其分布1.一 一袋中有5只乒乓球，編號為1、2、3、4、5，在其中同時取三只，以x表示取出的三只球中的最大號碼，寫出隨機變量x的分布律解：x可以取值3，4，5，分布律為 也可列為下表x： 3， 4，5p：3.三 設在15只同類型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣，以x表示取出次品的只數(shù)，（1）求x的分布律，（2）畫出分布律的圖形。解：任取三只，其中新含次品個數(shù)x可能為0，1，2個。px12o再列為下表x： 0， 1， 2p： 4.四 進行重復獨立實驗，設每次成功的概率為p，失敗的概率為q =1p(

29、0py)=p (x=1, y=0)+p (x=2, y=0)+p (x=2, y=1)+ p (x=3) p (y=0)+ p (x=3) p (y=1)+ p (x=3) p (y=2)=p (x=1) p (y=0) + p (x=2, y=0)+ p (x=2, y=1)+ p (x=3) p (y=0)+ p (x=3) p (y=1)+ p (x=3) p (y=2)= 9.十 有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來，算是試驗成功一次。（1）某人隨機地去猜，問他試驗成功一次的概率是多少？（2）某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗10次，

30、成功3次。試問他是猜對的，還是他確有區(qū)分的能力（設各次試驗是相互獨立的。）解：（1）p (一次成功)=（2）p (連續(xù)試驗10次，成功3次)= 。此概率太小，按實際推斷原理，就認為他確有區(qū)分能力。九 有一大批產(chǎn)品，其驗收方案如下，先做第一次檢驗：從中任取10件，經(jīng)驗收無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗，其做法是從中再任取5件，僅當5件中無次品時接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的次品率為10%，求（1）這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗就能接受的概率（2）需作第二次檢驗的概率（3）這批產(chǎn)品按第2次檢驗的標準被接受的概率（4）這批產(chǎn)品在第1次檢驗未能做決定且第二次檢驗時被通過的概率（5）這批產(chǎn)品被接受的

31、概率解：x表示10件中次品的個數(shù)，y表示5件中次品的個數(shù)， 由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故xb（10，0.1），yb（5，0.1）（近似服從）（1）p x=0=0.9100.349（2）p x2=p x=2+ p x=1=（3）p y=0=0.9 50.590（4）p 0x2，y=0(0x2與 y=2獨立) = p 0x2p y=0 =0.5810.5900.343（5）p x=0+ p 010)=p (x 11)=0.002840（查表計算）十二 (2)每分鐘呼喚次數(shù)大于3的概率。十六 以x表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一顧客到達的等待時間（以分計），x的分布函數(shù)是求下述概率：（1）p至多3分鐘；（

32、2）p 至少4分鐘；（3）p3分鐘至4分鐘之間；（4）p至多3分鐘或至少4分鐘；（5）p恰好2.5分鐘解：（1）p至多3分鐘= p x3 = （2）p 至少4分鐘 p (x 4) = （3）p3分鐘至4分鐘之間= p 3x4= （4）p至多3分鐘或至少4分鐘= p至多3分鐘+p至少4分鐘 = （5）p恰好2.5分鐘= p (x=2.5)=018.十七 設隨機變量x的分布函數(shù)為，求（1）p (x2), p 0x3, p (2x)；（2）求概率密度fx (x).解：（1）p (x2)=fx (2)= ln2， p (0x3)= fx (3)fx (0)=1，（2）20.十八（2）設隨機變量的概率密

33、度為（1）（2）求x的分布函數(shù)f (x)，并作出（2）中的f (x)與f (x)的圖形。解：當1x1時：當1x時：故分布函數(shù)為：解：（2）故分布函數(shù)為（2）中的f (x)與f (x)的圖形如下f (x)x0f (x)21x01222.二十 某種型號的電子的壽命x（以小時計）具有以下的概率密度： 現(xiàn)有一大批此種管子（設各電子管損壞與否相互獨立）。任取5只，問其中至少有2只壽命大于1500小時的概率是多少？解：一個電子管壽命大于1500小時的概率為令y表示“任取5只此種電子管中壽命大于1500小時的個數(shù)”。則，23.二十一 設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間x（以分計）服從指數(shù)分布，其概率密度為：

34、某顧客在窗口等待服務，若超過10分鐘他就離開。他一個月要到銀行5次。以y表示一個月內(nèi)他未等到服務而離開窗口的次數(shù)，寫出y的分布律。并求p（y1）。解：該顧客“一次等待服務未成而離去”的概率為因此 24.二十二 設k在（0，5）上服從均勻分布，求方程有實根的概率 k的分布密度為：要方程有根，就是要k滿足(4k)244 (k+2)0。解不等式，得k2時，方程有實根。25.二十三 設xn（3.22）（1）求p (2x5)，p (4)2，p (x3)若xn（，2），則p (x)=p (2x5) =(1)(0.5) =0.84130.3085=0.5328p (42)=1p (|x|2)= 1p (2

35、p3)=1p (x3)=1=10.5=0.5（2）決定c使得p (x c )=p (xc)p (x c )=1p (xc )= p (xc)得p (xc )=0.5又p (xc )= c =326.二十四 某地區(qū)18歲的女青年的血壓（收縮區(qū)，以mm-hg計）服從在該地區(qū)任選一18歲女青年，測量她的血壓x。求（1）p (x105)，p (100x) 0.05.解:27.二十五 由某機器生產(chǎn)的螺栓長度（cm）服從參數(shù)為=10.05，=0.06的正態(tài)分布。規(guī)定長度在范圍10.050.12內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格的概率是多少？設螺栓長度為xpx不屬于(10.050.12, 10.05+0.12)

36、=1p (10.050.12x10.05+0.12) =1 =1(2)(2) =10.97720.0228 =0.045628.二十六 一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命x（以小時計）服從參數(shù)為=160，(未知)的正態(tài)分布，若要求p (120x200=0.80，允許最大為多少？ p (120x200)=又對標準正態(tài)分布有(x)=1(x) 上式變?yōu)?解出 再查表，得30.二十七 設隨機變量x的分布律為： x：2， 1， 0，1，3p：， ， ， ，求y=x 2的分布律 y=x 2：(2)2 (1)2(0)2(1)2(3)2 p： 再把x 2的取值相同的合并，并按從小到大排列，就得函數(shù)y的分布律為： y：

37、0 1 4 9 p： 31.二十八 設隨機變量x在（0，1）上服從均勻分布（1）求y=ex的分布密度 x的分布密度為：y=g (x) =ex是單調(diào)增函數(shù)又x=h (y)=lny，反函數(shù)存在且 = ming (0), g (1)=min(1, e)=1 maxg (0), g (1)=max(1, e)= e y的分布密度為：（2）求y=2lnx的概率密度。 y= g (x)=2lnx是單調(diào)減函數(shù)又 反函數(shù)存在。且 = ming (0), g (1)=min(+, 0 )=0 =maxg (0), g (1)=max(+, 0 )= + y的分布密度為：32.二十九 設xn（0，1）（1）求y=

38、ex的概率密度 x的概率密度是 y= g (x)=ex是單調(diào)增函數(shù)又x= h (y ) = lny 反函數(shù)存在且 = ming (), g (+)=min(0, +)=0 = maxg (), g (+)= max(0, +)= + y的分布密度為：（2）求y=2x2+1的概率密度。在這里，y=2x2+1在(+，)不是單調(diào)函數(shù)，沒有一般的結(jié)論可用。設y的分布函數(shù)是fy（y），則fy ( y)=p (yy)=p (2x2+1y) =當y1時，( y)= fy ( y) = =（3）求y=| x |的概率密度。y的分布函數(shù)為 fy ( y)=p (yy )=p ( | x |y)當y0時：( y)

39、= fy ( y) =33.三十 （1）設隨機變量x的概率密度為f (x)，求y = x 3的概率密度。y=g (x )= x 3是x單調(diào)增函數(shù)，又x=h (y ) =，反函數(shù)存在，且 = ming (), g (+)=min(0, +)= = maxg (), g (+)= max(0, +)= + y的分布密度為： ( y)= f h ( h )| h ( y)| = （2）設隨機變量x服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求y=x 2的概率密度。xoy=x2y法一： x的分布密度為： y=x2是非單調(diào)函數(shù)當 x0時 y=x2 反函數(shù)是當 x0時 y=x2 & y fy (y) = =法二： y fy

40、(y) =34.三十一 設x的概率密度為求y=sin x的概率密度。fy ( y)=p (yy) = p (sinxy)當y0時：fy ( y)=0當0y1時：fy ( y) = p (sinxy) = p (0xarc sin y或arc sin yx) =當1y時：fy ( y)=1 y的概率密度( y )為：y0時，( y )= fy ( y) = (0 ) = 00y1時，( y )= fy ( y) = =1y時，( y )= fy ( y) = = 036.三十三 某物體的溫度t (of )是一個隨機變量，且有tn（98.6，2），試求()的概率密度。已知法一： t的概率密度為 又

41、 是單調(diào)增函數(shù)。 反函數(shù)存在。 且 = ming (), g (+)=min(, +)= = maxg (), g (+)= max(, +)= + 的概率密度()為 法二：根據(jù)定理：若xn（1， 1），則y=ax+bn (a1+b, a2 2 )由于tn（98.6, 2）故 故的概率密度為：第三章 多維隨機變量及其分布1.一 在一箱子里裝有12只開關(guān)，其中2只是次品，在其中隨機地取兩次，每次取一只。考慮兩種試驗：（1）放回抽樣，（2）不放回抽樣。我們定義隨機變量x，y如下：試分別就（1）（2）兩種情況，寫出x和y的聯(lián)合分布律。解：（1）放回抽樣情況由于每次取物是獨立的。由獨立性定義知。p (

42、x=i, y=j)=p (x=i)p (y=j)p (x=0, y=0 )=p (x=0, y=1 )=p (x=1, y=0 )=p (x=1, y=1 )=或?qū)懗蓌y0101（2）不放回抽樣的情況p x=0, y=0 =p x=0, y=1 =p x=1, y=0 =p x=1, y=1 =或?qū)懗蓌y01013.二 盒子里裝有3只黑球，2只紅球，2只白球，在其中任取4只球，以x表示取到黑球的只數(shù)，以y表示取到白球的只數(shù)，求x，y的聯(lián)合分布律。xy01230001020解：（x，y）的可能取值為(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j2，聯(lián)合分布律為p x=0, y=2

43、=p x=1, y=1 =p x=1, y=2 =p x=2, y=0 =p x=2, y=1 =p x=2, y=2 =p x=3, y=0 =p x=3, y=1 =p x=3, y=2 =05.三 設隨機變量（x，y）概率密度為（1）確定常數(shù)k。（2）求p x1, y3（3）求p (x1.5（4）求p (x+y4分析：利用p (x, y)g=再化為累次積分，其中解：（1），（2）（3）y（4）6（1）求第1題中的隨機變量（x、y ）的邊緣分布律。 （2）求第2題中的隨機變量（x、y ）的邊緣分布律。2解：（1） 放回抽樣（第1題）xy0x+y=4110xo1邊緣分布律為x01y01pipj 不放回抽樣（第1題）xy0101邊緣分布為x01y01pipj（2）（x，y ）的聯(lián)合分布律如下xy0123000300解： x的邊緣分布律 y的邊緣分布律x0123 y13pi pj7 設二維隨機變量（x，y ）的概率密度為解：8.六 設二維隨機變量（x，y）的概