例談數列與函數的關系

1、例談數列與函數的關系數列是一種特殊的函數，數列的通項公式和前n項和公式都可以看成是關于n的函數，特別是等差數列的通項公式可以看成是關于n的一次函數（公差d時），而其求和公式可以看成是關于n的二次函數.數列的單調性的判斷可以借助于函數單調性的判斷方法，數列中各項大小的比較，可以借助函數圖象的直觀性來比較.因此，許多數列問題可以用函數的知識進行分析，加以解決.1等差數列的通項公式可以看成自變量為n的一次函數（公差d時）例1已知等差數列，其前n項和為，是否存在常數k，使得成立.分析：將看成是n的一次函數，設出函數解析式并代入進行求解.解：設存在常數k，使得成立，令（p、q為常數），則.又,，代入式變

2、為，由，得 或.將p=0代入、不成立.將kp=代入，得，代入，得，即，從而得出存在常數k，使得成立.評注：存在型探索性問題，是指判斷在某些確定條件下的某一數學對象（數值、圖形、函數等）不確定的問題.這類問題常常出現“是否存在”、“是否有”等形式的疑問句，以示結論有待于確定.解答此類問題的思路是：通常假設題中的數學對象存在（或結論成立）或暫且認可其中一部分的結論，然后在這個前提下進行邏輯推理，若由此導出矛盾，則否定假設；否則，給出肯定結論的證明.2構造一次函數模型，利用一次函數圖象性質解題例等差數列的前n項和為30，前2n項和為100，則它的前3n項和為（）.（）30（B）170（C）210（D

3、）260分析：運用等差數列求和公式，先對進行變形，則可以看成是關于n的一次函數，再利用點共線的性質求解. 解：由，可得，由此可知數列成等差數列，三點共線.，.評注：可以看成是關于n的一次函數，其圖象是直線上的離散點，本題是利用點共線的條件建立方程求解的.運用該法還可以推得在等差數列中若，則等差數列的通項公式也可以看成是關于n的一次函數，利用該性質可推知等差數列中若，則.3等差數列的前n項和可看成是關于n的二次函數例3已知等差數列，首項，且，問此數列前幾項的和最大？最大值是多少？分析：等差數列前n項和為特殊的二次函數，所以可采用配方法求其最值.解：設等差數列公差為d，前n項和為，即，當n=6或n=7時，為最大.評注：關于等差數列前n項和最大（?。﹩栴}，可轉化為二次函數問題，再結合二次函數的最值問題加以分析，但應特別注意，當對稱軸不是正自然數時，應將與對稱軸最接近的兩個自然數代入函數關系式，再求值比較，以便確定n取何值時，最大（最小）.4利用函數單調性知識解（證）數列中的單調性問題例4已知函數，數列滿足（1）求數列的通項公式；（2）求證數列是遞減數列.分析：本題已知函數關系式，并給出了的關系式，將其看作關于的方程解出即可.數列是特殊的函數，借助函數的增減性的方法來證明數列的增減性.（1）解：，即.，（）解得 又，；（2）證明：由又.數列是遞減數列.評注：本