7-3-2-加乘原理之數(shù)字問題(一).教師版(共7頁)

1、7-3-2.加乘原理之數(shù)字問題（一）教學目標1.復習乘法原理和加法原理；2.培養(yǎng)學生綜合運用加法原理和乘法原理的能力3.讓學生懂得并運用加法、乘法原理來解決問題，掌握常見的計數(shù)方法，會使用這些方法解決問題在分類討論中結合分步分析，在分步分析中結合分類討論；教師應該明確并強調哪些是分類，哪些是分步并了解與加、乘原理相關的常見題型：數(shù)論類問題、染色問題、圖形組合知識要點一、加乘原理概念生活中常有這樣的情況：在做一件事時，有幾類不同的方法，在具體做的時候，只要采用其中某一類中的一種方法就可以完成，并且這幾類方法是互不影響的那么考慮完成這件事所有可能的做法，就要用到加法原理來解決還有這樣的一種情況：就

2、是在做一件事時，要分幾步才能完成，而在完成每一步時，又有幾種不同的方法要知道完成這件事情共有多少種方法，就要用到乘法原理來解決二、加乘原理應用應用加法原理和乘法原理時要注意下面幾點：加法原理是把完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務，所以完成任務的不同方法數(shù)等于各類方法數(shù)之和乘法原理是把一件事分幾步完成，這幾步缺一不可，所以完成任務的不同方法數(shù)等于各步方法數(shù)的乘積在很多題目中，加法原理和乘法原理都不是單獨出現(xiàn)的，這就需要我們能夠熟練的運用好這兩大原理，綜合分析，正確作出分類和分步加法原理運用的范圍：完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務，這樣的問題可

3、以使用加法原理解決我們可以簡記為：“加法分類，類類獨立”乘法原理運用的范圍：這件事要分幾個彼此互不影響的獨立步驟來完成，這幾步是完成這件任務缺一不可的，這樣的問題可以使用乘法原理解決我們可以簡記為：“乘法分步，步步相關”例題精講【例 1】 由數(shù)字1，2，3 可以組成多少個沒有重復數(shù)字的數(shù)？ 【考點】加乘原理之綜合運用 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 因為有1，2，3共3個數(shù)字，因此組成的數(shù)有3類：組成一位數(shù)；組成二位數(shù)；組成三位數(shù)它們的和就是問題所求組成一位數(shù)：有3個；組成二位數(shù)：由于數(shù)字可以重復使用，組成二位數(shù)分兩步完成；第一步排十位數(shù)，有3種方法；第二步排個位數(shù)也有3種方法，因此由乘

4、法原理，有個；組成三位數(shù)：與組成二位數(shù)道理相同，有個三位數(shù)；所以，根據(jù)加法原理，一共可組成個數(shù)【答案】【例 2】 用數(shù)字1，2，3可以組成6個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，這6個數(shù)的和是 ?！究键c】加乘原理之綜合運用 【難度】2星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯，4年級，1試【解析】 （1+2+3)2111=1332.【答案】【鞏固】 由數(shù)字0，3，6組成的所有三位數(shù)的和是_?！究键c】加乘原理之綜合運用 【難度】2星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯，四年級，二試，第6題【解析】 由數(shù)字，組成的所有三位數(shù)有，它們的和為：?！敬鸢浮俊纠?3】 由數(shù)字0，1，3，9可以組成多少個無重復數(shù)字的自然數(shù)？ 【考點】加

5、乘原理之綜合運用 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 滿足條件的數(shù)可以分為4類：一位、二位、三位、四位數(shù)第一類，組成0和一位數(shù)，有4個（0不是一位數(shù)，最小的一位數(shù)是1）；第二類，組成二位數(shù)，有個；第三類，組成三位數(shù)，有個;第四類，組成四位數(shù)，有個由加法原理，一共可以組成個數(shù)【答案】【例 4】 用數(shù)字0，1，2，3，4可以組成多少個小于1000的自然數(shù)？ 【考點】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 小于1000的自然數(shù)有三類第一類是0和一位數(shù)，有5個；第二類是兩位數(shù)，有個；第三類是三位數(shù)，有個，共有個【答案】【例 5】 用數(shù)碼0，1，2，3，4，可以組成多少個小于1000

6、的沒有重復數(shù)字的自然數(shù)？ 【考點】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 分為三類，一位數(shù)時，0和一位數(shù)共有5個；二位數(shù)時，為個，三位數(shù)時，為：個，由加法原理，一共可以組成個小于1000的沒有重復數(shù)字的自然數(shù)【答案】【例 6】 用09這十個數(shù)字可組成多少個無重復數(shù)字的四位數(shù) 【考點】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 無重復數(shù)字的四位數(shù)的千位、百位、十位、個位的限制條件：千位上不能排0，或說千位上只能排19這九個數(shù)字中的一個.而且其他位置上數(shù)碼都不相同，下面分別介紹三種解法.（方法一）分兩步完成： 第一步：從19這九個數(shù)中任選一個占據(jù)千位，有9種方法；

7、第二步：從余下的9個數(shù)（包括數(shù)字0）中任選3個占據(jù)百位、十位、個位，百位有9種.十位有8種，個位有7種方法； 由乘法原理，共有滿足條件的四位數(shù)9987=4536個 （方法二）組成的四位數(shù)分為兩類：第一類：不含0的四位數(shù)有9876=3024個；第二類：含0的四位數(shù)的組成分為兩步：第一步讓0占一個位有3種占法，（讓0占位只能在百、十、個位上，所以有3種）第二步讓其余9個數(shù)占位有987種占法.所以含0的四位數(shù)有3987=1512個由加法原理，共有滿足條件的四位數(shù)3024+1512=4536個【答案】4536【鞏固】 用0，1，2，3四個數(shù)碼可以組成多少個沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)？ 【考點】加乘原理之綜

8、合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 分為兩類：個位數(shù)字為0的有個，個位數(shù)字為 2的有個，由加法原理，一共有：個沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)【答案】【例 7】 在2000到2999這1000個自然數(shù)中，有多少個千位、百位、十位、個位數(shù)字中恰有兩個相同的數(shù)？【考點】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 若相同的數(shù)是2，則另一個2可以出現(xiàn)在個、十、百位中的任一個位置上，剩下的兩個位置分別有9個和8個數(shù)可選，有 398=216（個）；若相同的數(shù)是1，有3824（個）；同理，相同的數(shù)是0，3，4，5，6，7，8，9時，各有 24個，所以，符合題意的數(shù)共有216924=432（個）

9、【答案】432【例 8】 在1000至1999這些自然數(shù)中個位數(shù)大于百位數(shù)的有多少個? 【考點】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 (方法一)解決計數(shù)問題常用分類討論的方法 設在1000至1999這些自然數(shù)中滿足條件的數(shù)為 (其中)； (1)當時，可取19中的任一個數(shù)字，可取09中的任一個數(shù)字，于是一共有個 (2)當時，可取29中的任一個數(shù)字，仍可取09中的任一個數(shù)字，于是一共有個(3)類似地，當依次取2，3，4，5，6，7，8時分別有70，60，50，40，30，20，10個符合條件的自然數(shù)所以，符合條件的自然數(shù)有個(方法二)1000至1999這1000個自然數(shù)中，每1

10、0個中有一個個位數(shù)等于百位數(shù)，共有100個；剩余的數(shù)中，根據(jù)對稱性，個位數(shù)大于百位數(shù)的和百位數(shù)大于個位數(shù)的一樣多，所以總數(shù)為個.【答案】【例 9】 某人忘記了自己的密碼數(shù)字，只記得是由四個非0數(shù)碼組成，且四個數(shù)碼之和是9為確保打開保險柜至少要試多少次？ 【考點】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 四個非0數(shù)碼之和等于9的組合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六種第一種中，只要考慮6的位置即可，6可以隨意選擇四個位置，其余位置方1，共有4種選擇第二種中，先考慮放2，有4種選擇，再考慮5的位置，有3種選擇，剩下的位

11、置放1，共有43=12種選擇，同理，第三、第四、第五種都有12種選擇，最后一種與第一種相似，3的位置有四種選擇，其余位置放2，共有4種選擇.由加法原理，一共可以組成4+12+12+12+12+4=56個不同的四位數(shù)，即為確保打開保險柜至少要試56次【答案】【例 10】 將1到35這35個自然數(shù)連續(xù)地寫在一起，夠成了一個大數(shù)：1234567891011333435，則這個大數(shù)的位數(shù)是 ?！究键c】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯，4年級，1試【解析】 這個數(shù)的位數(shù)與數(shù)碼的總共個數(shù)有關系，從1到9都是一位數(shù)，則共有9個數(shù)碼，從10到35全市兩位數(shù)，則共有（個）數(shù)碼，那么

12、位數(shù)就共有（位）?！敬鸢浮俊纠?11】 如圖，希望杯數(shù)學能力培訓教程（四年級）一書有160頁，在它的頁碼中，數(shù)字“2”共出現(xiàn)了 次?！究键c】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯，4年級，1試【解析】 十位上是2的有20個（含有22和122），個位上是2的有14個（除了22和122），所以共有34個數(shù)?！敬鸢浮總€【例 12】 按照中國籃球職業(yè)聯(lián)賽組委會的規(guī)定，各隊隊員的號碼可以選擇的范圍是055號，但選擇兩位數(shù)的號碼時，每位數(shù)字均不能超過5. 那么，可供每支球隊選擇的號碼共（ ）個.（A） 34 (B) 35 (C) 40 (D) 56【考點】加乘原理之綜合運用 【難度

13、】3星 【題型】選擇【關鍵詞】華杯賽，初賽，第3題【解析】 根據(jù)題意，可供選擇的號碼可以分為一位數(shù)和兩位數(shù)兩大類，其中一位數(shù)可以為09，有10種選擇；兩位數(shù)的十位可以為15，個位可以為05，根據(jù)乘法原理，兩位數(shù)號碼有56=30種選擇。所以可供選擇的號碼共有10+30=40種?！敬鸢浮糠N【例 13】 從1到100的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字4的自然數(shù)有多少個? 【考點】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 從1到100的所有自然數(shù)可分為三大類，即一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù)一位數(shù)中，不含4的有8個，它們是1、2、3、5、6、7、8、9；兩位數(shù)中，不含4的可以這樣考慮：十位上，不含4的

14、有1、2、3、5、6、7、8、9這八種情況個位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情況，要確定一個兩位數(shù)，可以先取十位數(shù)，再取個位數(shù)，應用乘法原理，這時共有個數(shù)不含4三位數(shù)只有100 所以一共有個不含4的自然數(shù)【答案】【鞏固】 從1到500的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字4的自然數(shù)有多少個? 【考點】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 從1到500的所有自然數(shù)可分為三大類，即一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù)一位數(shù)中，不含4的有8個，它們是1、2、3、5、6、7、8、9；兩位數(shù)中，不含4的可以這樣考慮：十位上，不含4的有1、2、3、5、6、7、8、9這八種情況個位上，不含

15、4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情況，要確定一個兩位數(shù)，可以先取十位數(shù)，再取個位數(shù)，應用乘法原理，這時共有89=72個數(shù)不含4三位數(shù)中，小于500并且不含數(shù)字4的可以這樣考慮：百位上，不含4的有1、2、3、這三種情況十位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情況，個位上，不含4的也有九種情況要確定一個三位數(shù)，可以先取百位數(shù)，再取十位數(shù)，最后取個位數(shù)，應用乘法原理，這時共有個三位數(shù)由于500也是一個不含4的三位數(shù)所以，1500中，不含4的三位數(shù)共有個 所以一共有個不含4的自然數(shù)【答案】【鞏固】 從1到300的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字2的自然數(shù)有多少個? 【考點】加乘

16、原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 從1到300的所有自然數(shù)可分為三大類，即一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù)一位數(shù)中，不含2的有8個，它們是1、3、4、5、6、7、8、9；兩位數(shù)中，不含2的可以這樣考慮：十位上，不含2的有1、3、4、5、6、7、8、9這八種情況個位上，不含2的有0、1、3、4、5、6、7、8、9這九種情況，要確定一個兩位數(shù)，可以先取十位數(shù)，再取個位數(shù)，應用乘法原理，這時共有個數(shù)不含2；三位數(shù)中，除去300外，百位數(shù)只有1一種取法，十位與個位均有0，1，3，4，5，6，7，8，9九種取法，根據(jù)乘法原理，不含數(shù)字2的三位數(shù)有：個，還要加上300； 根據(jù)加法原理，從1到30

17、0的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字2的自然數(shù)一共有個【答案】【例 14】 將各位數(shù)字的和是10的不同的三位數(shù)按從大到小的順序排列，第10個數(shù)是 ?！究键c】加法原理之分類枚舉 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯，4年級，1試【解析】 百位是9的有2個，百位是8的有3個，百位是7的有4個，這一共是9個，接下來應該是百位是6的，其中最大的是640，所以第10個數(shù)是640?！敬鸢浮俊纠?15】 把所有不含重復數(shù)字的四位偶數(shù)從小到大排成一列，則從前往后數(shù)第364個數(shù)是多少？【考點】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】學而思杯，5年級，第9題【解析】 1打頭的數(shù)中，個位有5種取法，剩

18、下的兩位分別有8種取法和7種取法，總共有個數(shù)。364-280=84，所以第364個數(shù)是2打頭的第84個數(shù)。2打頭的數(shù)中，百位是奇數(shù)時，個位有4種取法，十位有7種取法，總共有28個數(shù)；百位是偶數(shù)時，個位有3種取法，十位有7種取法，總共有21個數(shù)。前兩位是20，21，23，24的分別有21，28，28，21個，84-21-28-28=7，所以2打頭的第84個數(shù)是24打頭的第7個數(shù)。列舉可得前7個數(shù)是2406，2408，2410，2416，2418，2430，2436，所以是2436?！敬鸢浮俊纠?16】 由數(shù)字1，2，3，4組成的所有四位數(shù)中（數(shù)字不重復使用），從小到大排列，第7個數(shù)是_【考點】加

19、乘原理之綜合運用 【難度】4星 【題型】填空【關鍵詞】學而思杯，3年級，第2題【解析】 1開頭的數(shù)有6個，所以第7個數(shù)應該是2開頭的最小的數(shù)，那么應該是2134【答案】【鞏固】 由1，2，3，4，5五個數(shù)字組成的不同的五位數(shù)有120個，將他們從大到小排列起來，第95個數(shù)是_?！究键c】加乘原理之綜合運用 【難度】4星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯,4年級,1試【解析】 1打頭的有24個，2打頭24個，3打頭24個，4打頭24個，正好96個，第96個數(shù)是45321，第95個是45312?！敬鸢浮俊纠?17】 由數(shù)字0、2、8（既可全用也可不全用）組成的非零自然數(shù)，按照從小到大排列，2008排在第

20、個 【考點】加乘原理之綜合運用 【難度】4星 【題型】解答 【關鍵詞】第二屆，華杯賽【解析】 比小的位數(shù)有和，比小的位數(shù)有（種），比小的位數(shù)有（種），比小的位數(shù)有（種），所以排在第（個）【答案】【例 18】 從分別寫有2、4、6、8的四張卡片中任取兩張，做兩個一位數(shù)乘法.如果其中的6可以看成9，那么共有多少種不同的乘積？ 【考點】加乘原理之綜合運用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 取2有8、12、16、18四種，取4增加24、32、36三種，取6增加48、72兩種，一共有9種【答案】種【鞏固】 有七張卡片：、，從中任取3張可排列成三位數(shù)。若其中卡片旋轉后可看作，則排成的偶數(shù)有_個?！究键c】加乘原