排列組合解題中的八大典型錯誤、24種解題技巧和三大重要模型(類型全、歸納細、絕對精品)

1、排列與組合的八大典型錯誤、24種解題技巧和三大模型總論：一、知識點歸納二、常見題型分析三、排列組合解題備忘錄1分類討論的思想2.等價轉(zhuǎn)化的思想3.容斥原理與計數(shù)4.模型構(gòu)造思想四、排列組合中的8大典型錯誤1沒有理解兩個基本原理出錯2.判斷不出是排列還是組合出錯3.重復(fù)計算出錯4.遺漏計算出錯5.忽視題設(shè)條件出錯6. 未考慮特殊情況出錯7題意的理解偏差出錯87.解題策略的選擇不當(dāng)出錯五、排列組合24種解題技巧1排序問題相鄰問題捆綁法相離問題插空排定序問題縮倍法（插空法）定位問題優(yōu)先法多排問題單排法圓排問題單排法可重復(fù)的排列求冪法全錯位排列問題公式法2分組分配問題平均分堆問題去除重復(fù)法（平均分配問

2、題）相同物品分配的隔板法全員分配問題分組法有序分配問題逐分法3排列組合中的解題技巧至多至少間接法染色問題合并單元格法交叉問題容斥原理法構(gòu)造遞推數(shù)列法六排列組合中的基本模型分組模型（分堆模型）錯排模型染色問題一知識點歸納 1排列的概念：從個不同元素中，任取（）個元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列2排列數(shù)的定義：從個不同元素中，任?。ǎ﹤€元素的所有排列的個數(shù)叫做從個元素中取出元素的排列數(shù)，用符號表示3排列數(shù)公式：（）4階乘：表示正整數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘規(guī)定5排列數(shù)的另一個計算公式：= 6組合的概念：一般地，從個不同元素中取出個元素并成

3、一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合7組合數(shù)的概念：從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從 個不同元素中取出個元素的組合數(shù)用符號表示8組合數(shù)公式：或9 組合數(shù)的性質(zhì)1：規(guī)定：；10組合數(shù)的性質(zhì)2：+ ;11.“16字方針”是解決排列組合問題的基本規(guī)律，即：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合，。12.“1個技巧”是迅速解決排列組合的捷徑二基本題型講解 例1 分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)（1）6名學(xué)生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；（2）6名學(xué)生排成一排，甲不在排頭也不在排尾；（3）從6名運動員中選出4人參加4100米接力賽，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；（4）6

4、人排成一排，甲、乙必須相鄰；（5）6人排成一排，甲、乙不相鄰；（6）6人排成一排，限定甲要排在乙的左邊，乙要排在丙的左邊（甲、乙、丙可以不相鄰）解：（1）分排坐法與直排坐法一一對應(yīng)，故排法種數(shù)為（2）甲不能排頭尾，讓受特殊限制的甲先選位置，有種選法，然后其他5人選，有種選法，故排法種數(shù)為（3）有兩棒受限制，以第一棒的人選來分類：乙跑第一棒，其余棒次則不受限制，排法數(shù)為；乙不跑第一棒，則跑第一棒的人有種選法，第四棒除了乙和第一棒選定的人外，也有種選法，其余兩棒次不受限制，故有種排法，由分類計數(shù)原理，共有種排法 （4）將甲乙“捆綁”成“一個元”與其他4人一起作全排列共有種排法 （5）甲乙不相鄰，第

5、一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙選擇已排好的4人的左、右及之間的空擋插位，共有（或用6人的排列數(shù)減去問題（2）后排列數(shù)為） （6）三人的順序定，實質(zhì)是從6個位置中選出三個位置，然后排按規(guī)定的順序放置這三人，其余3人在3個位置上全排列，故有排法種點評：排隊問題是一類典型的排列問題，常見的附加條件是定位與限位、相鄰與不相鄰例2 假設(shè)在100件產(chǎn)品中有3件是次品，從中任意抽取5件，求下列抽取方法各多少種？（1）沒有次品；（2）恰有兩件是次品；（3）至少有兩件是次品解：（1）沒有次品的抽法就是從97件正品中抽取5件的抽法，共有種（2）恰有2件是次品的抽法就是從97件正品中抽取3件，并從3件

6、次品中抽2件的抽法，共有種（3）至少有2件次品的抽法，按次品件數(shù)來分有二類：第一類，從97件正品中抽取3件，并從3件次品中抽取2件，有種第二類從97件正品中抽取2件，并將3件次品全部抽取，有種按分類計數(shù)原理有種點評：此題是只選“元”而不排“序”的典型的組合問題，附加的條件是從不同種類的元素中抽取，應(yīng)當(dāng)注意：如果第（3）題采用先從3件次品抽取2件（以保證至少有2件是次品），再從余下的98件產(chǎn)品中任意抽取3件的抽法，那么所得結(jié)果是種，其結(jié)論是錯誤的，錯在“重復(fù)”：假設(shè)3件次品是a、b、c，第一步先抽a、b第二步再抽c和其余2件正品，與第一步先抽a、c（或b、c），第二步再抽b（或a）和其余2件正品

7、是同一種抽法，但在算式中算作3種不同抽法例3 求證：；證明：利用排列數(shù)公式左 右另一種證法：（利用排列的定義理解）從n個元素中取m個元素排列可以分成兩類：第一類不含某特殊元素的排列有第二類含元素的排列則先從個元素中取出個元素排列有種，然后將插入，共有m個空檔，故有種，因此利用組合數(shù)公式左右另法：利用公式推得左右點評：證明排列、組合恒等式通常利用排列數(shù)、組合數(shù)公式及組合數(shù)基本性質(zhì)例4 已知是集合到集合的映射（1）不同的映射有多少個？（2）若要求則不同的映射有多少個？分析：（1）確定一個映射，需要確定的像（2）的象元之和為4，則加數(shù)可能出現(xiàn)多種情況，即4有多種分析方案，各方案獨立且并列需要分類計算

8、解：（1）a中每個元都可選0,1,2三者之一為像，由分步計數(shù)原理，共有個不同映射 （2）根據(jù)對應(yīng)的像為2的個數(shù)來分類，可分為三類：第一類：沒有元素的像為2，其和又為4，必然其像均為1，這樣的映射只有一個；第二類：一個元素的像是2，其余三個元素的像必為0,1,1，這樣的映射有個；第三類：二個元素的像是2，另兩個元素的像必為0，這樣的映射有個由分類計數(shù)原理共有1+12+6=19（個）點評：問題（1）可套用投信模型：n封不同的信投入m個不同的信箱，有種方法；問題（2）的關(guān)鍵結(jié)合映射概念恰當(dāng)確定分類標(biāo)準(zhǔn)，做到不重、不漏例5 四面體的頂點和各棱的中點共10個點（1）設(shè)一個頂點為a，從其他9點中取3個點，

9、使它們和點a在同一平面上，不同的取法有多少種？（2）在這10點中取4個不共面的點，不同的取法有多少種？解：（1）如圖，含頂點a的四面體的三個面上，除點a外都有5個點，從中取出3點必與點a共面，共有種取法含頂點a的棱有三條，每條棱上有3個點，它們與所對棱的中點共面，共有3種取法根據(jù)分類計數(shù)原理和點a共面三點取法共有種（2）取出的4點不共面比取出的4點共面的情形要復(fù)雜，故采用間接法：先不加限制任取4點（種取法）減去4點共面的取法取出的4點共面有三類：第一類：從四面體的同一個面上的6點取出4點共面，有種取法第二類：每條棱上的3個點與所對棱的中點共面，有6種取法第三類：從6條棱的中點取4個點共面，有3

10、種取法根據(jù)分類計數(shù)原理4點共面取法共有故取4個點不共面的不同取法有（種）點評：由點構(gòu)成直線、平面、幾何體等圖形是一類典型的組合問題，附加的條件是點共線與不共線，點共面與不共面，線共面與不共面等三、排列組合解題備忘錄 ：個不同的元素必須相鄰，有 種“捆綁”方法個不同元素互不相鄰，分別“插入”到個“間隙”中的個位置有 種不同的“插入”方法個相同的元素互不相鄰，分別“插入”到個“間隙”中的個位置，有 種不同的“插入”方法若干個不同的元素“等分”為 個組,要將選取出每一個組的組合數(shù)的乘積除以 四排列組合問題中的數(shù)學(xué)思想方法（一）分類討論的思想：許多“數(shù)數(shù)”問題往往情境復(fù)雜，層次多，視角廣，這就需要我們

11、在分析問題時，選擇恰當(dāng)?shù)那腥朦c，從不同的側(cè)面，把原問題變成幾個小問題，分而治之，各種擊破。例.已知集合a和集合b各含有12個元素，含有4個元素，求同時滿足下列條件的集合c的個數(shù)：1）且c中含有3個元素，2）84 8解：如圖，因為a，b各含有12個元素，含有4個元素，所以中的元素有12+12-4=20個，其中屬于a的有12個，屬于a而不屬于b的有8個，要使，則c中的元素至少含在a中，集合c的個數(shù)是：1）只含a中1個元素的有；2）含a中2個元素的有；3）含a中3個元素的有，故所求的集合c的個數(shù)共有+=1084個（二）等價轉(zhuǎn)化的思想：很多“數(shù)數(shù)”問題的解決，如果能跳出題沒有限定的“圈子”，根據(jù)題目的

12、特征構(gòu)思設(shè)計出一個等價轉(zhuǎn)化的途徑，可使問題的解決呈現(xiàn)出“要柳暗花明”的格局。1.具體與抽象的轉(zhuǎn)化例.某人射擊7槍，擊中5槍，問擊中和末擊中的不同順序情況有多少種？分析：沒擊中用“1”表示，擊中的用“0”表示，可將問題轉(zhuǎn)化不下列問題：數(shù)列有兩項為0，5項是1，不同的數(shù)列個數(shù)有多少個？解：1）兩個0不相鄰的情況有種，2）兩個0相鄰的情況有種，所以擊中和末擊中的不同順序情況有+=21種。2）不同的數(shù)學(xué)概念之間的轉(zhuǎn)化例.連結(jié)正方體8個頂點的直線中，為異面直線有多少對？分析：正面求解或反面求解（利用補集，雖可行，但容易遺漏或重復(fù)，注意這樣一個事實，每一個三棱錐對應(yīng)著三對異面直線，因而轉(zhuǎn)化為計算以正方體頂

13、點，可以構(gòu)成多少個三棱錐）解：從正文體珠8個頂點中任取4個，有種，其中4點共面的有12種，（6個表面和6個對角面）將不共面的4點可構(gòu)一個三棱錐，共有-12個三棱錐，因而共有3（-12）=174對異面直線。綜上所述，有以上幾種解排列組合的方法，此外，當(dāng)然也還有其他的方法要靠我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和積累，我們要掌握好這些方法，并且能夠靈活運用，這樣，在日常生活中，我們們能輕易解決很多問題。教師點評：對排列組合問題的處理方法總結(jié)得很細、很全面，而且挖掘出其中所蘊藏的數(shù)學(xué)思想方法，對學(xué)習(xí)排列組合有一定的指導(dǎo)性。（三）容斥原理與計數(shù)1、文氏圖： 在文氏圖中,以下圖形的含義如下： 矩形：其內(nèi)部的點表示全集的所有元素；

14、 矩形內(nèi)的圓（或其它閉曲線）：表示不同的集合； 圓（或閉曲線）內(nèi)部的點：表示相應(yīng)集合的元素。2、三交集公式：a+b+c=abc+ab+bc+ac-abc （abc指的是e，abc指的是d） （四）模型構(gòu)造例1. 4名同學(xué)各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿出一張別人寫的賀卡，則四張賀卡的不同分配方式共有 種.例2. 將編號為1，2，3，4的四個小球分別放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，要求每個盒子放一個小球，且小球的編號與盒子的編號不能相同，則共有 種不同的放法.這兩個問題的本質(zhì)都是每個元素都不在自己編號的位置上的排列問題，我們把這種限制條件的排列問題叫做全錯位排列問題.例3.五位同學(xué)

15、坐在一排，現(xiàn)讓五位同學(xué)重新坐，至多有兩位同學(xué)坐自己原來的位置，則不同的坐法有 種.解析：可以分類解決：第一類，所有同學(xué)都不坐自己原來的位置；第二類，恰有一位同學(xué)坐自己原來的位置；第三類，恰有兩位同學(xué)坐自己原來的位置.對于第一類，就是上面講的全錯位排列問題；對于第二、第三類有部分元素還占有原來的位置，其余元素可以歸結(jié)為全錯位排列問題，我們稱這種排列問題為部分錯位排列問題.設(shè)n個元素全錯位排列的排列數(shù)為tn，則對于例3，第一類排列數(shù)為t5，第二類先確定一個排原來位置的同學(xué)有5種可能，其余四個同學(xué)全錯位排列，所以第二類的排列數(shù)為5t4，第三類先確定兩個排原位的同學(xué)，有=10種，所以第三類的排列數(shù)為1

16、0t3，因此例3的答案為：t5+5t4+10t3.五排列組合中的易錯題1沒有理解兩個基本原理出錯排列組合問題基于兩個基本計數(shù)原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分類用加、分步用乘”是解決排列組合問題的前提.例1（1995年上海高考題）從6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任意選取5臺,其中至少有原裝與組裝計算機各兩臺,則不同的取法有 種.誤解：因為可以取2臺原裝與3臺組裝計算機或是3臺原裝與2臺組裝計算機，所以只有2種取法.錯因分析：誤解的原因在于沒有意識到“選取2臺原裝與3臺組裝計算機或是3臺原裝與2臺組裝計算機”是完成任務(wù)的兩“類”辦法，每類辦法中都還有不同的取法.正解：由分析，完成第一類辦法

17、還可以分成兩步：第一步在原裝計算機中任意選取2臺，有種方法；第二步是在組裝計算機任意選取3臺，有種方法，據(jù)乘法原理共有種方法.同理，完成第二類辦法中有種方法.據(jù)加法原理完成全部的選取過程共有種方法.例2 在一次運動會上有四項比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有（ ）種.（a） （b） （c） （d）誤解：把四個冠軍，排在甲、乙、丙三個位置上，選a.錯因分析：誤解是沒有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式. 正解：四項比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項冠軍都有3種選取方法，由乘法原理共有種.說明：本題還有同學(xué)這樣誤解，甲乙丙奪冠均有四種情況，由乘法原理得.這是由于沒有考

18、慮到某項冠軍一旦被一人奪得后，其他人就不再有4種奪冠可能.2判斷不出是排列還是組合出錯在判斷一個問題是排列還是組合問題時，主要看元素的組成有沒有順序性，有順序的是排列，無順序的是組合.例3 有大小形狀相同的3個紅色小球和5個白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？誤解：因為是8個小球的全排列，所以共有種方法.錯因分析：誤解中沒有考慮3個紅色小球是完全相同的，5個白色小球也是完全相同的，同色球之間互換位置是同一種排法.正解：8個小球排好后對應(yīng)著8個位置，題中的排法相當(dāng)于在8個位置中選出3個位置給紅球，剩下的位置給白球，由于這3個紅球完全相同，所以沒有順序，是組合問題.這樣共有：排法. 3重

19、復(fù)計算出錯在排列組合中常會遇到元素分配問題、平均分組問題等，這些問題要注意避免重復(fù)計數(shù)，產(chǎn)生錯誤。例4（2002年北京文科高考題）5本不同的書全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（ ）（a）480種 （b）240種 （c）120種 （d）96種誤解：先從5本書中取4本分給4個人，有種方法，剩下的1本書可以給任意一個人有4種分法，共有種不同的分法，選a.乙丙丁甲表1乙丙丁甲表2錯因分析：設(shè)5本書為、，四個人為甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表1和表2： 表1是甲首先分得、乙分得、丙分得、丁分得，最后一本書給甲的情況；表2是甲首先分得、乙分得、丙分得、丁分得，最后一本書給甲的

20、情況.這兩種情況是完全相同的，而在誤解中計算成了不同的情況。正好重復(fù)了一次.正解：首先把5本書轉(zhuǎn)化成4本書，然后分給4個人.第一步：從5本書中任意取出2本捆綁成一本書，有種方法；第二步：再把4本書分給4個學(xué)生，有種方法.由乘法原理，共有種方法，故選b.例5 某交通崗共有3人，從周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ ）種.（a）5040 （b）1260 （c）210 （d）630誤解：第一個人先挑選2天，第二個人再挑選2天，剩下的3天給第三個人，這三個人再進行全排列.共有：，選b.錯因分析：這里是均勻分組問題.比如：第一人挑選的是周一、周二，第二人挑選的是周三

21、、周四；也可能是第一個人挑選的是周三、周四，第二人挑選的是周一、周二，所以在全排列的過程中就重復(fù)計算了.正解：種.4遺漏計算出錯在排列組合問題中還可能由于考慮問題不夠全面，因為遺漏某些情況，而出錯。例6 用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的比1000大的奇數(shù)共有（ ）（a）36個 （b）48個 （c）66個 （d）72個01，3誤解：如右圖，最后一位只能是1或3有兩種取法，又因為第1位不能是0，在最后一位取定后只有3種取法，剩下3個數(shù)排中間兩個位置有種排法，共有個.錯因分析：誤解只考慮了四位數(shù)的情況，而比1000大的奇數(shù)還可能是五位數(shù).正解：任一個五位的奇數(shù)都符合要求，共有個，再由前面分

22、析四位數(shù)個數(shù)和五位數(shù)個數(shù)之和共有72個，選d.5忽視題設(shè)條件出錯13254在解決排列組合問題時一定要注意題目中的每一句話甚至每一個字和符號，不然就可能多解或者漏解.例7 (2003全國高考題)如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種.（以數(shù)字作答）誤解：先著色第一區(qū)域，有4種方法，剩下3種顏色涂四個區(qū)域，即有一種顏色涂相對的兩塊區(qū)域，有種，由乘法原理共有：種.錯因分析：據(jù)報導(dǎo)，在高考中有很多考生填了48種.這主要是沒有看清題設(shè)“有4種顏色可供選擇”，不一定需要4種顏色全部使用，用3種也可以完成任務(wù).正解：當(dāng)使用四

23、種顏色時，由前面的誤解知有48種著色方法；當(dāng)僅使用三種顏色時：從4種顏色中選取3種有種方法，先著色第一區(qū)域，有3種方法，剩下2種顏色涂四個區(qū)域，只能是一種顏色涂第2、4區(qū)域，另一種顏色涂第3、5區(qū)域，有2種著色方法，由乘法原理有種.綜上共有：種.例8 已知是關(guān)于的一元二次方程，其中、，求解集不同的一元二次方程的個數(shù).誤解：從集合中任意取兩個元素作為、，方程有個，當(dāng)、取同一個數(shù)時方程有1個，共有個.錯因分析：誤解中沒有注意到題設(shè)中：“求解集不同的”所以在上述解法中要去掉同解情況，由于同解、同解，故要減去2個。正解：由分析，共有個解集不同的一元二次方程.6未考慮特殊情況出錯在排列組合中要特別注意一

24、些特殊情況，一有疏漏就會出錯.例9 現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是（ ）(a)1024種(b)1023種(c)1536種(d)1535種誤解：因為共有人民幣11張，每張人民幣都有取和不取2種情況，減去全不取的1種情況，共有種.錯因分析：這里100元面值比較特殊有兩張，在誤解中被計算成 4 種情況，實際上只有不取、取一張和取二張3種情況.正解：除100元人民幣以外每張均有取和不取2種情況，100元人民幣的取法有3種情況，再減去全不取的1種情況，所以共有種.7題意的理解偏差出錯 例10 現(xiàn)有8

25、個人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有（ ）種.（a）（b）（c）（d）誤解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有種排法，5人排好后產(chǎn)生6個空檔，插入甲、乙、丙三人有種方法，這樣共有種排法，選a.錯因分析：誤解中沒有理解“甲、乙、丙三人不能相鄰”的含義，得到的結(jié)果是“甲、乙、丙三人互不相鄰”的情況.“甲、乙、丙三人不能相鄰”是指甲、乙、丙三人不能同時相鄰，但允許其中有兩人相鄰.正解：在8個人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù)，就得到甲、乙、丙三人不相鄰的方法數(shù)，即，故選b.8解題策略的選擇不當(dāng)出錯有些排列組合問題用直接法或分類討論比較困難，要采取適當(dāng)?shù)慕鉀Q策略，如間接

26、法、插入法、捆綁法、概率法等，有助于問題的解決.例10 高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（ ）.（a）16種 （b）18種 （c）37種 （d）48種誤解：甲工廠先派一個班去，有3種選派方法，剩下的2個班均有4種選擇，這樣共有種方案.錯因分析：顯然這里有重復(fù)計算.如：班先派去了甲工廠，班選擇時也去了甲工廠，這與班先派去了甲工廠，班選擇時也去了甲工廠是同一種情況，而在上述解法中當(dāng)作了不一樣的情況，并且這種重復(fù)很難排除.正解：用間接法.先計算3個班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無人去的情況，即：種方案.排

27、列組合問題雖然種類繁多，但只要能把握住最常見的原理和方法，即：“分步用乘、分類用加、有序排列、無序組合”，留心容易出錯的地方就能夠以不變應(yīng)萬變，把排列組合學(xué)好.六學(xué)生練習(xí) 1五個工程隊承建某項工程的五個不同的子項目，每個工程隊承建1項，其中甲工程隊不能承建1號子項目，則不同的承建方案共有(b)a種 b種 c種 d種2在由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的數(shù)共有 192 個3有12個座位，現(xiàn)安排2人就座并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是_110_4某校高三年級舉行一次演講賽共有10位同學(xué)參賽，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽簽的方式

28、確定他們的演講順序，則一班有3位同學(xué)恰好被排在一起（指演講序號相連，不管人的順序），而二班的2位同學(xué)沒有被排在一起的概率為： （ d ） a b c d5用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有 576 個 6把一同排6張座位編號為1，2，3，4，5，6的電影票全部分給4個人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號，那么不同的分法種數(shù)( d )a168b96c72d1447將標(biāo)號為1，2，10的10個球放入標(biāo)號為1，2，10的10個盒子里，每個盒內(nèi)放一個球，恰好3個球的標(biāo)號與其在盒子的標(biāo)號不

29、一致的放入方法種數(shù)為（ b ）a120b240c360d7208從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到3個班擔(dān)任班主任（每班1位班主任）， 要求這3位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方案共（ b ）種a210種b420種c630種d840 9從集合 p，q，r，s與0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中各任選2個元素排成一排(字母和數(shù)字均不能重復(fù))每排中字母q和數(shù)字0至多只能出現(xiàn)一個的不同排法種數(shù)是_5832_(用數(shù)字作答)10從6人中選出4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案

30、共有（ b ）a300種b240種c144種d96種題示：11四棱錐的8條棱代表8種不同的化工產(chǎn)品,有公共點的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是危險的,沒有公共頂點的兩條棱多代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是安全的,現(xiàn)打算用編號為、的4個倉庫存放這8種化工產(chǎn)品,那么安全存放的不同方法種數(shù)為 ( b)a96 b48 c24 d012 4棵柳樹和4棵楊樹栽成一行，柳樹、楊樹逐一相間的栽法有_種解析：2aa=1152種答案：115213某餐廳供應(yīng)客飯，每位顧客可以在餐廳提供的菜肴中任選2菜2素共4種不同的品種現(xiàn)在餐廳準(zhǔn)備了5種不同的葷菜，若要保證每位顧客有200種以上的不同選擇，則餐廳至少還需要不同的素菜

31、品種_種（結(jié)果用數(shù)值表示）解析：設(shè)素菜n種，則cc200n（n1）40，所以n的最小值為7答案：714設(shè)有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的五個盒子現(xiàn)將這五個球投放入這五個盒子內(nèi)，要求每個盒子內(nèi)投放一球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同，則這樣的投放方法有多少種?分析：五個球分別投放到五個盒子內(nèi)，恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同，則其他三個球必不能投放到與球的編號相同的盒子內(nèi)，此時，這三個球與對應(yīng)的三個盒子，就成了受限的特殊元素與特殊位置解：先在五個球中任選兩個球投放到與球編號相同的盒子內(nèi)，有c種；剩下的三個球，不失一般性，不妨設(shè)編號為3，4，5，投放3號球的

32、方法數(shù)為c，則投放4，5號球的方法只有一種，根據(jù)分步計數(shù)原理共有cc=20種點評：本題投放球有兩種方法，一種是投入到與編號相同的盒子內(nèi)，另一種是投入到與編號不同的盒子內(nèi)，故應(yīng)分步完成15 球臺上有4個黃球，6個紅球，擊黃球入袋記2分，擊紅球入袋記1分，欲將此十球中的4球擊入袋中，但總分不低于5分，擊球方法有幾種？解：設(shè)擊入黃球x個，紅球y個符合要求，則有 x+y=4，2x+y5（x、yn），得1x4相應(yīng)每組解（x，y），擊球方法數(shù)分別為cc，cc，cc，cc共有不同擊球方法數(shù)為cc+cc+cc+cc=195七排列組合問題經(jīng)典題型與通用方法（一）排序問題1.相鄰問題捆綁法:題目中規(guī)定相鄰的幾個元

33、素捆綁成一個組，當(dāng)作一個大元素參與排列.例1.五人并排站成一排，如果必須相鄰且在的右邊，則不同的排法有（ ）a、60種 b、48種 c、36種 d、24種解析：把視為一人，且固定在的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，種，答案：.2.相離問題插空排:元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是（ ）a、1440種 b、3600種 c、4820種 d、4800種解析：除甲乙外，其余5個排列數(shù)為種，再用甲乙去插6個空位有種，不同的排法種數(shù)是種，選.3.定序問題縮倍法

34、:在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法.例3.a,b,c,d,e五人并排站成一排，如果必須站在的右邊（可以不相鄰）那么不同的排法有（ ）a、24種 b、60種 c、90種 d、120種解析：在的右邊與在的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個元素全排列數(shù)的一半，即種，選.11.定位問題優(yōu)先法：某個或幾個元素要排在指定位置，可先排這個或幾個元素；再排其它的元素。例11.現(xiàn)有1名老師和4名獲獎同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？解析：老師在中間三個位置上選一個有種，4名同學(xué)在其余4個位置上有種方法；所以共有種。12.多排問題單排法:把元素排成幾排

35、的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。例12.（1）6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數(shù)是（ ）a、36種 b、120種 c、720種 d、1440種（2）8個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某1個元素排在后排，有多少種不同排法？解析：（1）前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排成一排，共種，選.（2）解析：看成一排，某2個元素在前半段四個位置中選排2個，有種，某1個元素排在后半段的四個位置中選一個有種，其余5個元素任排5個位置上有種，故共有種排法.16.圓排問題單排法:把個不同元素放在圓周個無編號位置上的排列，順序（例如

36、按順時鐘）不同的排法才算不同的排列，而順序相同（即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合）的排法認(rèn)為是相同的，它與普通排列的區(qū)別在于只計順序而無首位、末位之分，下列個普通排列：在圓排列中只算一種，因為旋轉(zhuǎn)后可以重合，故認(rèn)為相同，個元素的圓排列數(shù)有種.因此可將某個元素固定展成單排，其它的元素全排列.例16.有5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法？解析：首先可讓5位姐姐站成一圈，屬圓排列有種，然后在讓插入其間，每位均可插入其姐姐的左邊和右邊，有2種方式，故不同的安排方式種不同站法.說明：從個不同元素中取出個元素作圓形排列共有種不同排法.17.可重復(fù)的排列求冪法:允許重復(fù)排列問題的特點是以元素為研究對象

37、，元素不受位置的約束，可逐一安排元素的位置，一般地個不同元素排在個不同位置的排列數(shù)有種方法.例17.把6名實習(xí)生分配到7個車間實習(xí)共有多少種不同方法？解析：完成此事共分6步，第一步；將第一名實習(xí)生分配到車間有7種不同方案，第二步：將第二名實習(xí)生分配到車間也有7種不同方案，依次類推，由分步計數(shù)原理知共有種不同方案.14.選排問題先取后排:從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14.（1）四個不同球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有多少種？（2）9名乒乓球運動員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同的分組方法？解析：

38、先取四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有種，再排：在四個盒中每次排3個有種，故共有種.解析：先取男女運動員各2名，有種，這四名運動員混和雙打練習(xí)有種排法，故共有種.4.標(biāo)號排位問題分步法:把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.例4.將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格的標(biāo)號與所填數(shù)字均不相同的填法有（ ） a、6種 b、9種 c、11種 d、23種解析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填入其它三個方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個數(shù)字，只有一種

39、填法，共有331=9種填法，選.22.全錯位排列問題公式法:全錯位排列問題（賀卡問題，信封問題）記住公式即可瑞士數(shù)學(xué)家歐拉按一般情況給出了一個遞推公式： 用a、b、c表示寫著n位友人名字的信封，a、b、c表示n份相應(yīng)的寫好的信紙。把錯裝的總數(shù)為記作f(n)。假設(shè)把a錯裝進b里了，包含著這個錯誤的一切錯裝法分兩類： （1）b裝入a里，這時每種錯裝的其余部分都與a、b、a、b無關(guān)，應(yīng)有f(n-2)種錯裝法。 （2）b裝入a、b之外的一個信封，這時的裝信工作實際是把（除a之外的） 份信紙b、c裝入（除b以外的）n1個信封a、c，顯然這時裝錯的方法有f(n-1)種?？傊赼裝入b的錯誤之下，共有錯裝法

40、f(n-2)+f(n-1)種。a裝入c，裝入d的n2種錯誤之下，同樣都有f(n-2)+f(n-1)種錯裝法，因此:得到一個遞推公式： f(n)=(n-1) f(n-1)+f(n-2)，分別代入n=2、3、4等可推得結(jié)果。也可用迭代法推導(dǎo)出一般公式： 例.五位同學(xué)坐在一排，現(xiàn)讓五位同學(xué)重新坐，至多有兩位同學(xué)坐自己原來的位置，則不同的坐法有 種.解析：可以分類解決：第一類，所有同學(xué)都不坐自己原來的位置；第二類，恰有一位同學(xué)坐自己原來的位置；第三類，恰有兩位同學(xué)坐自己原來的位置.對于第一類，就是上面講的全錯位排列問題；對于第二、第三類有部分元素還占有原來的位置，其余元素可以歸結(jié)為全錯位排列問題，我們

41、稱這種排列問題為部分錯位排列問題.設(shè)n個元素全錯位排列的排列數(shù)為tn，則對于例3，第一類排列數(shù)為t5，第二類先確定一個排原來位置的同學(xué)有5種可能，其余四個同學(xué)全錯位排列，所以第二類的排列數(shù)為5t4，第三類先確定兩個排原位的同學(xué)，有=10種，所以第三類的排列數(shù)為10t3，因此例3的答案為：t5+5t4+10t3.（二）分組分配問題24平均分堆問題去除重復(fù)法 例2. 從7個參加義務(wù)勞動的人中，選出6個人，分成兩組，每組都是3人，有多少種不同的分法？分析：記7個人為a、b、c、d、e、f、g寫出一些組來考察。表1選3人再選3人分組方法種數(shù)a b cd e fd e fa b c這兩種只能算一種分法a

42、 b cd e gd e ga b c這兩種只能算一種分法由表1可見，把abc，def看作2個元素順序不同的排列有種，而這只能算一種分組方法。解：選3人為一組有種，再選3人為另一組有種，依分步計數(shù)原理，又每種分法只能算一種，所以不同的分法有（種）。也可以先選再分組為70（種） 例6 6本不同的書平均分成三堆，有多少種不同的方法？ 分析：分出三堆書（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由順序不同可以有=6種，而這6種分法只算一種分堆方式，故6本不同的書平均分成三堆方式有=15種練習(xí)：16本書分三份，2份1本，1份4本，則有不同分法？2某年級6個班的數(shù)學(xué)課，分配給甲乙丙三名數(shù)學(xué)教師任教，每

43、人教兩個班，則分派方法的種數(shù)。5.有序分配問題逐分法:有序分配問題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法.例5.（1）有甲乙丙三項任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項任務(wù)，不同的選法種數(shù)是（ ） a、1260種 b、2025種 c、2520種 d、5040種 （2）12名同學(xué)分別到三個不同的路口進行流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案有（ ）a、種 b、種 c、種 d、種解析：（1）先從10人中選出2人承擔(dān)甲項任務(wù)，再從剩下的8人中選1人承擔(dān)乙項任務(wù)，第三步從另外的7人中選1人承擔(dān)丙項任務(wù)，不同的選法共有種，選.（2）答案：.6.全員分配問題分組法:例6.

44、（1）4名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案有多少種？（2）5本不同的書，全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（ ）a、480種 b、240種 c、120種 d、96種答案：（1）36.(2).7.名額分配問題隔板法(無差別物品分配問題隔板法):例7：10個三好學(xué)生名額分到7個班級，每個班級至少一個名額，有多少種不同分配方案？解析：10個名額分到7個班級，就是把10個名額看成10個相同的小球分成7堆，每堆至少一個，可以在10個小球的9個空位中插入6塊木板，每一種插法對應(yīng)著一種分配方案，故共有不同的分配方案為種.8.限制條件的分配問題分類法:例8.

45、某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經(jīng)濟開發(fā)建設(shè)，其中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？解析：因為甲乙有限制條件，所以按照是否含有甲乙來分類，有以下四種情況：若甲乙都不參加，則有派遣方案種；若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，然后安排其余學(xué)生有方法，所以共有；若乙參加而甲不參加同理也有種；若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，然后再安排其余8人到另外兩個城市有種，共有方法.所以共有不同的派遣方法總數(shù)為種.（三）排列組合問題中的技巧10.交叉問題集合法（容斥原理）：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數(shù)公式例10.從6名運動員

46、中選出4人參加4100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方案？解析：設(shè)全集=6人中任取4人參賽的排列，a=甲跑第一棒的排列，b=乙跑第四棒的排列，根據(jù)求集合元素個數(shù)的公式得參賽方法共有：種.13.“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法:例13.從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺，其中至少要甲型和乙 型電視機各一臺，則不同的取法共有 （ ） a、140種 b、80種 c、70種 d、35種解析1：逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機，故不同的取法共有種,選.解析2：至少要甲型和乙 型電視機各一臺可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺；甲型

47、2臺乙型1臺；故不同的取法有臺,選.23構(gòu)造數(shù)列遞推法例 一樓梯共10級，如果規(guī)定每次只能跨上一級或兩級，要走上這10級樓梯，共有多少種不同的走法？分析：設(shè)上n級樓梯的走法為an種，易知a1=1,a2=2,當(dāng)n2時，上n級樓梯的走法可分兩類：第一類：是最后一步跨一級，有an-1種走法，第二類是最后一步跨兩級，有an-2種走法，由加法原理知：an=an-1+ an-2,據(jù)此，a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上10級樓梯共有89種不同的方法。15.部分合條件問題排除法:在選取的總數(shù)中，只有一部分合條

48、件，可以從總數(shù)中減去不符合條件數(shù)，即為所求.例15.（1）以正方體的頂點為頂點的四面體共有（ ）a、70種 b、64種 c、58種 d、52種（2）四面體的頂點和各棱中點共10點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有（ ）a、150種 b、147種 c、144種 d、141種解析：（1）正方體8個頂點從中每次取四點，理論上可構(gòu)成四面體，但6個表面和6個對角面的四個頂點共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實際共有個.（2）解析：10個點中任取4個點共有種，其中四點共面的有三種情況：在四面體的四個面上，每面內(nèi)四點共面的情況為，四個面共有個；過空間四邊形各邊中點的平行四邊形共3個；過棱上三點與對棱中點

49、的三角形共6個.所以四點不共面的情況的種數(shù)是種.18.復(fù)雜排列組合問題構(gòu)造模型法:例18.馬路上有編號為1，2，3，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？解析：把此問題當(dāng)作一個排隊模型，在6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮的燈種方法,所以滿足條件的關(guān)燈方案有10種.說明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊模型，裝盒模型可使問題容易解決.19.元素個數(shù)較少的排列組合問題可以考慮枚舉法:例19.設(shè)有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的盒子現(xiàn)將這5個球投入5個盒子要求每個盒子

50、放一個球，并且恰好有兩個球的號碼與盒子號碼相同，問有多少種不同的方法？解析：從5個球中取出2個與盒子對號有種，還剩下3個球與3個盒子序號不能對應(yīng)，利用枚舉法分析，如果剩下3，4，5號球與3，4，5號盒子時，3號球不能裝入3號盒子，當(dāng)3號球裝入4號盒子時，4，5號球只有1種裝法，3號球裝入5號盒子時，4，5號球也只有1種裝法，所以剩下三球只有2種裝法，因此總共裝法數(shù)為種.9.多元問題分類法：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類情況分別計數(shù)再相加。例9（1）由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（ ）a、210種 b、300種 c、4

51、64種 d、600種（2）從1，2，3，100這100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個數(shù)的取法（不計順序）共有多少種？（3）從1，2，3，100這100個數(shù)中任取兩個數(shù)，使其和能被4整除的取法（不計順序）有多少種？解析：(1)按題意，個位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有個，個，合并總計300個,選.另解，首位數(shù)字不能為0，故首位數(shù)字有5種選擇，其它五個數(shù)字全排列，由于個位數(shù)字比十位數(shù)字大與個位數(shù)字比十位數(shù)字小是對稱的。故所求六位數(shù)共有5/2=300。（2）解析：被取的兩個數(shù)中至少有一個能被7整除時，他們的乘積就能被7整除，將這100個數(shù)組成的集合視為全集i,能

52、被7整除的數(shù)的集合記做共有14個元素,不能被7整除的數(shù)組成的集合記做共有86個元素；由此可知，從中任取2個元素的取法有，從中任取一個，又從中任取一個共有，兩種情形共符合要求的取法有種.（3）解析：將分成四個不相交的子集，能被4整除的數(shù)集；能被4除余1的數(shù)集，能被4除余2的數(shù)集，能被4除余3的數(shù)集，易見這四個集合中每一個有25個元素；從中任取兩個數(shù)符合要；從中各取一個數(shù)也符合要求；從中任取兩個數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有種.20.復(fù)雜的排列組合問題也可用分解與合成法:例20.（1）30030能被多少個不同偶數(shù)整除？（2）正方體8個頂點可連成多少對異面直線？解析：

53、先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的形式：30030=23571113；依題意偶因數(shù)2必取，3，5，7，11，13這5個因數(shù)中任取若干個組成成積，所有的偶因數(shù)為個.（2）解析：因為四面體中僅有3對異面直線，可將問題分解成正方體的8個頂點可構(gòu)成多少個不同的四面體，從正方體8個頂點中任取四個頂點構(gòu)成的四面體有個，所以8個頂點可連成的異面直線有358=174對.21.利用對應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法:對應(yīng)思想是教材中滲透的一種重要的解題方法，它可以將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題處理.例21.（1）圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交于圓內(nèi)的交點有多少個？（2）某城市的街區(qū)有12個全等的矩形組成，其中實線表示馬路，從a到b的最短路徑有多少種？解析：因為圓的一個內(nèi)接四邊形的兩條對角線相交于圓內(nèi)一點，一個圓的內(nèi)接四邊形就對應(yīng)著兩條弦相交于圓內(nèi)的一個交點，于是問題就轉(zhuǎn)化為圓周上的10個點可以確定多少個不同的四邊形，顯然有個，所以圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交于圓內(nèi)的交點有個.（2）解析：可將圖中矩形的一邊叫一小段，從到最短路線必須走7小段，其中：向東4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要確定向東走過4段的走法，便能確定路徑，因此不同走法有種.例17 圓周上共有15個不同的點，過其中任意兩點連一弦，這些弦在圓內(nèi)的交點最多有多少各？分析