微分中值定理的證明及其應(yīng)用論文設(shè)計(jì)

1、1 微分中值定理基本內(nèi)容及其幾何意義1.1 羅爾(Rolle)中值定理若函數(shù)滿足如下條件：（i）在閉區(qū)間上連續(xù)；（ii）在開區(qū)間上可導(dǎo)；（iii）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即，則在上至少存在一點(diǎn)，使得.羅爾定理的幾何意義：在每一點(diǎn)都可導(dǎo)的一段連續(xù)曲線上，如果曲線的兩端點(diǎn)高度相等，則至少存在一條水平切線。注：定理中三個條件缺少任何一個，結(jié)論將不一定成立。1.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理若函數(shù)滿足如下條件：（i）在閉區(qū)間上連續(xù)；（ii）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在上至少存在一點(diǎn)，使得.拉格朗日中值定理的幾何意義：在滿足定理?xiàng)l件的曲線上至少存在一點(diǎn)，該曲線在該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩點(diǎn)的連線。拉格

2、朗日公式有下面幾種等價(jià)表示形式：值得注意的是，拉格朗日公式無論對于，還是都成立，而則是介于與之間的某一定數(shù)。1.3 柯西（Cauchy）中值定理設(shè)函數(shù)和滿足如下條件：（i）在閉區(qū)間上都連續(xù)；（ii）在開區(qū)間上都可導(dǎo)；（iii）和不同時(shí)為零；（iv），則存在，使得.柯西中值定理的幾何意義：把，這兩個函數(shù)寫作以為參量的參數(shù)方程滿足定理?xiàng)l件，由參數(shù)方程所確定的曲線上至少有一點(diǎn)，在這一點(diǎn)處的切線平行于連接兩個端點(diǎn)連線。1.4 三大中值定理的聯(lián)系三大中值定理是層層遞進(jìn)的關(guān)系，羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的特殊形式，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊形式：在拉格朗日中值定理中增加條件，即得到羅爾中值定

3、理；在柯西中值定理中令，即得到拉格朗日中值定理。三大中值定理的幾何意義具有一個共同點(diǎn)，即符合中值定理?xiàng)l件的函數(shù)曲線上至少存在一點(diǎn)，在這一點(diǎn)處的切線平行于曲線所處區(qū)間的兩個區(qū)間端點(diǎn)的連線。綜上所述，三大中值定理既是獨(dú)立存在的，又是相互聯(lián)系的。他們反映了導(dǎo)數(shù)的局部性與函數(shù)的整體性之間的關(guān)系，是研究函數(shù)的有力工具，應(yīng)用十分廣泛，其中羅爾中值定理是這一系列的基礎(chǔ)內(nèi)容，拉格朗日中值定理是這一系列的核心內(nèi)容，柯西中值定理是這一系列的推廣應(yīng)用。2 微分中值定理的證明對于微分中值定理的證明，通常來說都是運(yùn)用費(fèi)馬引理證明出羅爾中值定理，然后運(yùn)用構(gòu)造輔助函數(shù)的方法再去證明在證明拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并且

4、輔助函數(shù)的構(gòu)造有很多種方法。因此本文將闡述這一通常證明方法，并且還總結(jié)了一些微分中值定理的其他證明方法。首先引入費(fèi)馬（Fermat）引理：設(shè)是的一個極值點(diǎn)，且在處導(dǎo)數(shù)存在，則.證明羅爾中值定理：因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以有最大值和最小值，分別用和表示，現(xiàn)在分為兩種情況進(jìn)行討論：（1）若，則在上必為常數(shù)，從而結(jié)論顯然成立。（2）若，則因，使得最大值和最小值至少有一個在上的某點(diǎn)處取得，從而是的極值點(diǎn).由條件（ii），在點(diǎn)處可導(dǎo)。故由費(fèi)馬引理可知，.2.1 構(gòu)造輔助函數(shù)2.1.1 證明拉格朗日中值定理作輔助函數(shù)，顯然，且在上滿足羅爾定理的另外兩個條件.故存在，使得，移項(xiàng)后即得.2.1.2 證明柯西中值定理作

5、輔助函數(shù)，顯然，且在上滿足羅爾定理的另外兩個條件.故存在，使得.因?yàn)椋ǚ駝t上式也為零），所以可把上式改寫成.2.2 常數(shù)K值法我們規(guī)定：（i）等式一端是只與區(qū)間端點(diǎn)、及其函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值有關(guān)的常數(shù)，另一端只含導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)(中值點(diǎn))的值，就稱該式是分離的。（ii）如果把式中的換作時(shí)，原式呈形，就稱該式是對稱的。常數(shù)值法也屬于構(gòu)造輔助函數(shù)方法的一種，對于一般的相關(guān)證明題，它的主要思路是先將需證式化成分離形式，令等式一端的常數(shù)等于；再把原式化為對稱式，把含有中值的導(dǎo)數(shù)式換為, 把換成未知量，將右端移到左端，記所得式為，這就是作出的輔助函數(shù)。由的取法及的作法可知，必有，再使用羅爾中值定理即可

6、證出需證結(jié)論。若原式中含有二階導(dǎo)數(shù),可由解出后，再用一次中值定理就可得到欲證的結(jié)果；若含有在中值點(diǎn)處更高階的導(dǎo)數(shù)，可仿此繼續(xù)，直到所要的結(jié)果。而用常數(shù)值法對中值定理的證明，則是最簡單的情況，證明如下。2.2.1 證明拉格朗日中值定理由上述規(guī)定可知是分離的，是對稱的.令，于是有，即.令，易知在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且.由羅爾定理可知，至少存在一點(diǎn)，使得，即，于是，故有.2.2.2 證明柯西中值定理由上述規(guī)定可知是分離的，是對稱的.令，于是有.令，易知在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且.由羅爾定理可知，至少存在一點(diǎn)，使得，即，于是，故有.2.3 行列式法首先給出行列式的求導(dǎo)法則：設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，則=.2.3.1 證

7、明拉格朗日中值定理構(gòu)造行列式.顯然在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且.由羅爾中值定理可知，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，即，故.2.3.2 證明柯西中值定理構(gòu)造行列式.顯然在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且.由羅爾中值定理可知，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，即，故.2.4 積分法在我們的教材中，雖然微分中值定理和積分中值定理是相互獨(dú)立的兩個板塊，但是它們之間存在著必然的內(nèi)在聯(lián)系，因此我們可以嘗試用積分法來證明微分中值定理。2.4.1 證明拉格朗日中值定理由定理可知，即證方程在內(nèi)存在根.方程左邊對積分有.取，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且.由羅爾定理可知，至少存在一點(diǎn)，使得，即.2.4.2 證明柯西中值定理由定理可知

8、，即證方程在內(nèi)存在根.方程左邊對積分有取，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且.由羅爾定理可知，至少存在一點(diǎn)，使得，即.3 微分中值定理的應(yīng)用3.1 函數(shù)的重要性態(tài)3.1.1 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)變化的一種整體性態(tài)，我們通常會利用導(dǎo)數(shù)來對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷，若題目給的是抽象函數(shù)，沒有辦法求解導(dǎo)數(shù)的時(shí)候，我們就要想到結(jié)合已知條件和微分中值定理進(jìn)行判斷，例題如下。例1設(shè)函數(shù)，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且 .求證：如果嚴(yán)格單調(diào)增加，則對，和都嚴(yán)格單調(diào)增加.證：不妨設(shè)，由柯西中值定理可知，使得.又因?yàn)閲?yán)格單調(diào)增加，所以.從而有，因此，即可知嚴(yán)格單調(diào)增加.同理可證嚴(yán)格單調(diào)增加.3.1.2 函數(shù)的

9、極值與最值函數(shù)的極值是函數(shù)局部性態(tài)的一個重要特征，函數(shù)的最值是函數(shù)整體性態(tài)的一個重要特征，利用極值來確定最值在實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用，因此應(yīng)當(dāng)理解并掌握極值的三個充分條件和最值的求解方法，從而能更好地應(yīng)用于實(shí)際數(shù)學(xué)問題中。極值的第一充分條件：設(shè)在點(diǎn)處連續(xù)，在某鄰域.（i）若當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在點(diǎn)取得極小值.（ii）若當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在點(diǎn)取得極大值.極值的第二充分條件：設(shè)在的某鄰域上一階可導(dǎo)，在處二階可導(dǎo)，且.（i）若，則在點(diǎn)取得極大值.（ii）若，則在點(diǎn)取得極小值.極值的第三充分條件：設(shè)在的某鄰域內(nèi)存在直到階導(dǎo)函數(shù)，在處階可導(dǎo)，且，則（i）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，在點(diǎn)取得極值，且當(dāng)時(shí)取極大值，時(shí)取極小值.（i

10、i）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在點(diǎn)不取極值.例2求函數(shù)的極值.解：一階導(dǎo)數(shù)：，則是的三個穩(wěn)定點(diǎn).二階導(dǎo)數(shù)：，則，因此在時(shí)取得極小值.三階導(dǎo)數(shù)：，則，此時(shí)，在處不取極值.四階導(dǎo)數(shù)：，則，此時(shí)，因此在時(shí)取得極大值.綜上所述，為極大值，為極小值.例3求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.解：一階導(dǎo)數(shù)，因此是的穩(wěn)定點(diǎn)，時(shí)不存在.且可以判斷出與時(shí)，；與時(shí).因此為極大值，為極小值.而區(qū)間端點(diǎn)值.綜上比較可得最大值為4，最小值為0.3.1.3 函數(shù)的凸性設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對上的任意兩點(diǎn)和任意實(shí)數(shù)，總有，則稱為上的凸函數(shù).反之，如果總有，則稱為上的凹函數(shù).若不等號嚴(yán)格成立，即“”號成立，則相應(yīng)的函數(shù)稱為嚴(yán)格凸函數(shù)和嚴(yán)格凹

11、函數(shù).例4應(yīng)用凸函數(shù)概念證明不等式，其中均為正數(shù).證明：設(shè).由的一階和二階導(dǎo)數(shù)可知，在時(shí)為嚴(yán)格凸函數(shù).由詹森不等式可得，因此，即.又因?yàn)椋?3.2 求函數(shù)極限對于求極限的一些問題，通常會使用洛必達(dá)法則對其進(jìn)行形式變換來求解，但也會出現(xiàn)一些特殊復(fù)雜的情況難以求解，此時(shí)可以考慮通過微分中值定理來分析或構(gòu)造輔助函數(shù)進(jìn)行求解，例題如下。洛必達(dá)法則適用于兩個無窮小量之比（）或兩個無窮大量之比的極限（不定式極限），其建立的理論依據(jù)是柯西中值定理，而不定式極限還有等類型，他們經(jīng)過簡單的變換都可以化成型和型的極限。例5求極限.解：令，則.令，則.利用洛必達(dá)法則可得，因此.例6求極限.解：顯然，函數(shù)在其定義

12、域內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，滿足拉格朗日中值定理的條件，因此使得.由迫斂性定理可知.3.3 近似計(jì)算泰勒公式是一類多項(xiàng)式函數(shù)，多項(xiàng)式函數(shù)是各類函數(shù)張最簡單的一種，用多項(xiàng)式逼近函數(shù)是近似計(jì)算和理論分析的一個重要內(nèi)容。我們一般根據(jù)泰勒公式求近似值時(shí)，會選擇拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式進(jìn)行展開，因?yàn)樗挠囗?xiàng)能準(zhǔn)確的計(jì)算出其相應(yīng)誤差，例題如下。例7計(jì)算的值，并使其誤差不大于.解：令，則的泰勒展開式為.當(dāng)時(shí)，有，所以，因此除去從而求得的近似值為.3.4 證明等式與不等式不等式的證明是高等數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)部分，一些具有特殊形式的不等式可以利用微分中值定理來求解，例題如下。例8求證：當(dāng)時(shí)，.證明：令，則在上滿足拉格朗日中值定理的條

13、件，因此有.即.因?yàn)?，所以，因?例9求證：當(dāng)時(shí)，.證明：令，顯然在上均滿足柯西中值定理的條件，因此有.而，則，因此.整理即得.本題還可以利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明，但計(jì)算會相對復(fù)雜一些。例10設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：對任意的有。證明：假設(shè)，若，則由拉格朗日中值定理，顯然有，.若，則由拉格朗日中值定理，顯然有 ，其中.對于一些特定的等式，可以利用微分中值定理來求解，例題如下。例11設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且。試證：對任意給定的正數(shù)在內(nèi)有不同的使。證明：由于，所以.又由于在上連續(xù)且，由介值性定理可知，存在使得，在上分別用拉格朗日中值定理有，.即，.于是由上述兩式可知，將兩式相加得，即

14、.3.5 證明根的存在性對于方程根的存在性問題，我們可以通過構(gòu)造合適的輔助函數(shù)并利用羅爾中值定理來進(jìn)行分析判斷，但要注意函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性、可導(dǎo)性問題，例題如下。例12若在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，證明：在內(nèi)至少存在一個根。證明：構(gòu)造輔助函數(shù)，則有，滿足羅爾中值定理的條件，則至少存在一點(diǎn)使得，即在內(nèi)至少存在一個根.例13已知在上可導(dǎo)，且.證明：方程在內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)根.證明：首先證明根的存在性.顯然在上滿足拉格朗日中值定理的條件，且，則，即，因此，故使得，而已知，由零點(diǎn)定理可知，使得.然后證明根的唯一性.由可知，是上的單調(diào)增函數(shù)，因此若存在根，則根一定唯一.3.6 證明函數(shù)的一致連續(xù)性對于函

15、數(shù)一致連續(xù)性我們通常根據(jù)定義來進(jìn)行證明，定義在上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，尋找滿足條件的，即證明函數(shù)一致連續(xù)，例題如下。例14證明：若函數(shù)于有窮或無窮的區(qū)間內(nèi)存在有節(jié)的導(dǎo)函數(shù)，則于中一致連續(xù)。證明：已知導(dǎo)函數(shù)在上有界，設(shè)有，對于，由拉格朗日中值定理可知使得，故對，取，當(dāng)，且時(shí)，有.由一致連續(xù)性定義可知，在內(nèi)一致連續(xù).3.7 證明級數(shù)的收斂與發(fā)散級數(shù)收斂問題主要通過級數(shù)收斂的判定條件來進(jìn)行證明，在利用判定條件的過程中，我們可以通過構(gòu)造函數(shù)并利用拉格朗日中值定理進(jìn)行判斷，也可以借用泰勒公式進(jìn)行判斷，例題如下。例15判斷級數(shù)的斂散性.證明：由于在上滿足拉格朗日中值定理的條件，所以存在，有，從而有，因?yàn)榧墧?shù)是

16、發(fā)散的，由比較判別法可知也是發(fā)散的.例16判斷級數(shù)的斂散性.證明： 由于在處的泰勒公式為，.令，移項(xiàng)得，而級數(shù)是收斂的，由比較判別法可知也是收斂的.由上可知，當(dāng)級數(shù)通項(xiàng)中含有自然對數(shù)，可以考慮用微分中值定理對其斂散性進(jìn)行判斷。若級數(shù)是單調(diào)的，我們可以通過構(gòu)造輔助函數(shù)，并利用微分中值定理找到有關(guān)級數(shù)通項(xiàng)的一組不等式，根據(jù)比較判別法對級數(shù)的斂散性進(jìn)行判斷。掌握一些常見級數(shù)的斂散性對構(gòu)造輔助函數(shù)和不等式會有一定的幫助。4總結(jié)微分中值定理的研究從1637年著名法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在求最大值和最小值的方法中給出費(fèi)馬定理時(shí)就開始了，經(jīng)過了法國數(shù)學(xué)家羅爾在方程的解法一文中給出多項(xiàng)式形式的羅爾定理和法國數(shù)學(xué)家拉格朗日在解析函數(shù)論一書中給出拉格朗日定理，并給出最初的證明這兩個發(fā)展階段，最終對微分中值定理進(jìn)行系統(tǒng)研究是法國數(shù)學(xué)家柯西他首先賦予中值定理以重要作用，使其成為微分學(xué)的核心定理。在無窮小計(jì)算教程概論中，柯西首先嚴(yán)格地證明了拉格朗日定理，又在微分計(jì)算教程中將其推廣為廣義中值定理柯西定理。學(xué)習(xí)了解了微分中值定理的發(fā)展歷程，更能深刻體會到微分中值定理在微積分中的重要地位。微分中值定理是研究函數(shù)特性的一個有力工具，它不僅是微分學(xué)中最重要的結(jié)論之一，而且在數(shù)學(xué)分析中的積分學(xué)