MM定理證明過程-MM定理證明過程

1、1 1 無稅收條件下的 MMMM定理1.11.1假設(shè)條件假設(shè)1 1 :無摩擦市場假設(shè)不考慮稅收；公司發(fā)行證券無交易成本和交易費用，投資者不必為買賣證券支付任何費用； 無關(guān)聯(lián)交易存在；不管舉債多少，公司和個人均無破產(chǎn)風(fēng)險；產(chǎn)品市場是有效的：市場參與者是絕對理性和自私的；市場機制是完全且完備的；不存在自然壟斷、外部性、信息不對稱、公共物品等市場失靈狀況；不存在帕累托 改善；等等；資本市場強有效：即任何人利用企業(yè)內(nèi)部信息都無法套利，沒有無風(fēng)險套利機會； 投資者可以以企業(yè)借貸資金利率相同的利率借入或貸出任意數(shù)量的資金。假設(shè)2 2: 一致預(yù)期假設(shè)所有的投資者都是絕對理性的，均能得到有關(guān)宏觀、行業(yè)、企業(yè)的

2、所有信息， 并且 對其進行完全理性的前瞻性分析， 因此大家對證券價格預(yù)期都是相同的， 且投資者 對組合的預(yù)期收益率和風(fēng)險都按照馬克維茲的投資組合理論衡量。1.21.2 MMMM定理第一命題及其推論MMMM定理第一命題：有財務(wù)杠桿企業(yè)的市場價值和無財務(wù)杠桿企業(yè)的市場價值相等。第一命題的含義：即公司的市場價值（即債權(quán)的市場價值+ +股權(quán)的市場價值，不含政府的稅收價值）與公司的資本結(jié)構(gòu)無關(guān)，而只與其盈利水平有關(guān)。這說明未來具有完全相同的盈利能力 的公司市場價值相同，但由于其負債程度不同等因素， 故它們的凈資產(chǎn)可能有很大差異。MMMM定理第一命題證明過程：證明方法是無套利均衡分析法?；A(chǔ)假定：我們假定

3、有兩家公司一公司 A A和公司B B，它們的資產(chǎn)性質(zhì)完全相同但資 本結(jié)構(gòu)完全不同。A A公司沒有負債（這是一種極端假設(shè)，但作為比較基準更能說明問題） B B公司的負債額度是 D D,假設(shè)該負債具有永久性質(zhì)，因為可持續(xù)盈利的公司總可以用新 發(fā)行的債券來償還老債券 （這與宏觀經(jīng)濟學(xué)中的龐茲計劃完全不同，那是沒有收入來源且信息不對稱下導(dǎo)致的終生借債消費計劃無效）。細節(jié)假設(shè)：B B公司當(dāng)前債務(wù)利率為r （固定值）；A A、B B兩公司當(dāng)前的股本分別是 SA和SB （固定值）；A A、B B兩公司當(dāng)前權(quán)益資本預(yù)期收益率（即市場的資本化率，也就是其股票的預(yù)期由推得:PVA PVB，命題證畢。收益率）分別是

4、 J和B （固定數(shù)值，因為僅指當(dāng)前的預(yù)期收益率）；A A、B B兩公司任何年份的息稅前利潤（EBITEBIT）相同，數(shù)額都為 EBITEBIT（隨機變量，每年的數(shù)值都是它的一個數(shù)據(jù)點）；A A、B B兩公司當(dāng)前的市場價值分別記為PVA和PVB （固定值）；A A、B B兩公司當(dāng)前股票的市場價格與其真實價值完全一致，分別為MPA和MPB （固定值）；A A、B B兩公司當(dāng)前的股東權(quán)益分別記作SEA和SEB （固定值）。注：假定中固定值較多是因為靜態(tài)考察公司當(dāng)前價值?？紤]一個套利策略：賣出 A A公司1%1%的股票；同時買入 B B公司1%1%的股票和1%1%的債 券（上述比例可任意假定，但必須均

5、為同一值）。這種套利策略產(chǎn)生的即時現(xiàn)金流和未來每年的現(xiàn)金流見表 1 1。表1 1上述套利策略的現(xiàn)金流頭寸即時現(xiàn)金流未來每年現(xiàn)金流賣出1%A1%A股票* * PVA*EBIT*EBIT買入 1%B1%B 股票* * SB* * MPB* * （ EBIT-D*EBIT-D*r）買入1%B1%B債券*D*D* * D*D* r凈現(xiàn)金流NCNC0 0首先，任何公司的資產(chǎn)都等于賬面的負債加權(quán)益，A A公司無負債，因此有PVA SEA； PVB D SEB其次，任何公司的股票價格都等于其股東權(quán)益與股本的比值：MPA PVA/SA;MPB （PVB D）/SB 再次，市場不應(yīng)該存在無風(fēng)險套利機會，故NC=

6、O,NC=O,也就是0.01* PVA 0.01* SB* MPB 0.01* D 0MPB （PVA D）/SB MM定理第一命題推論一：債轉(zhuǎn)股后如果盈利未變，那么企業(yè)的股票價格也不變。EBIT r* D EBIT r* D EBIT rBSEBPVB DPVBEBITPVAEBITSA* MPArA，證畢。EBIT L；EBSA(EBIT R* D)SB證明：假設(shè)B B公司的債務(wù)權(quán)益比為 k，則:k D/SEB1 k (SEB D)/SEB PVB/SEB PVA/SEB SA/SB 將代入得：MPAPVA/SAPVB/(SB(1k) (DSEB)/(SB(1k)SEB(1k)/(SB(1

7、k)MPB證畢。MM定理第一命題推論二：股東期望收益率會隨財務(wù)杠桿的上升而上升。含義：正常情況下B B公司在債轉(zhuǎn)股之后會降低其股票的預(yù)期收益率，或者說A A公司的股票預(yù)期收益率小于 B B公司的股票的預(yù)期收益率。證明：B B公司的資產(chǎn)負債率(RDARDA)和股東權(quán)益比率(REAREA分別為：RDAB D/PVB D/(D SEB)k/(1 k)REAB SEB/ PVB SEB /(D SE) 1/(1 k)由于公司所有稅前收益均優(yōu)先用于分派股息，而且市場有效性保證了股票的價格反映股票價值。則由股票收益現(xiàn)值模型可得 A A、B B兩公司的股票預(yù)期收益率 rA和rB分別 滿足： EBIT /SA

8、EBITMPA合j 1 (1 rA)SA * rAn, (EBIT R* D)/SB EBIT R* D MPBj Bj 1(1rB)SB* rB同時EBITEBITr * PVB，因為這表示即使公司全部舉債經(jīng)營，公司產(chǎn)生的稅息前收益也足夠支付利息，也就是說股票的收益率大于債券的收益率，由于系統(tǒng)風(fēng)險和預(yù)期收益相匹配的結(jié)果導(dǎo)致這個不等式必然成立。故可推導(dǎo)出：MM定理第一命題推論二：股東每股盈利也會隨著財務(wù)杠桿的上升而上升。含義：正常情況下，債券轉(zhuǎn)為股票之后，公司股東的每股盈利也會下降。 證明：A A、B B兩公司每股盈利分別為：將代入的第二式得:WACCB rB SEBPVBD EBITr -

9、-PVB PVBEBITrA，證畢。PVA%ASEBr* DSEB考慮稅收，其他假設(shè)與前面相同。 推論。有稅收條件下的MMMM定理僅一個定理，有四個匚(EBITEBR* D) (1k)(EBIT R* D)匚EAk* EBIT(1 k)*R*D SBSASA由于EBITLEBITLPVB，再將前面RDAB定義式代入，可以推得：k* EBIT (1k)* R* D (1kk)(EBIT R* D)(1 k)*D(EBIT r) 0 1 kPVB由得：EBEA，證畢。注：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)非常少的人有可能會覺得上述三個推論感性理解上有相互矛盾的地方，故須深入思考現(xiàn) 實過程。1.31.3 MMMM定理第二命題

10、及其推論MMMM定理第二命題：公司加權(quán)平均資本成本（ WACQWACQ與公司的資本結(jié)構(gòu)無關(guān)。證明：由于公司A A僅有股權(quán)融資，故 WACCAMMMM定理第二命題推論：有負債的公司的權(quán)益資本成本等于同一風(fēng)險等級的無負債公司的權(quán)益資本成本加 上風(fēng)險補償，風(fēng)險補償?shù)谋壤蜃邮秦搨鶛?quán)益比k。（是不是和CAPM、多因子模型、套利定價和單證券定價模型有點像啊，呵呵）證明：由（重新編號）得：SE(A r) rA k(A r)，證畢。SEB2 2 有稅收條件下的 MMMM定理2.12.1假設(shè)條件2222 MMMM定理第一命題及其推論MMMM定理第一命題：在考慮稅收的情況下，有財務(wù)杠桿的企業(yè)的市場價值等于無財務(wù)

11、杠桿的企業(yè)的市場 價值加上稅盾”的市場價值。EATB (1 T)*( EBIT r* D) r* D(1 T)* EBIT T* r* DEATA，證畢。一/ (EBIT(EBIT rD)(1rD)(1 T)T) rDrDrB/SB* MPB(EBIT(EBIT rD)(1rD)(1 T)T) rDrDPVPVB D D(EBIT(EBIT rD)(1rD)(1 T)T) rDrDpV V (1(1 T)*D*PVBEBITEBIT rDrDrDrD1 1 T TPVA(1rDrDEBITEBIT)證明：假定A A、B B兩公司的所得稅稅率都是 T T (固定稅率制，累進稅率制等也一樣的) 那

12、么兩公司的稅后收益(EATEAT分別為：EATA (1 T)* EBIT其中T*r* D即稅盾效應(yīng)，與 A A公司稅后盈利相比，這是 B B公司多出來的部分， 這是由于B B公司的財務(wù)杠桿起作用了：公司價值是股權(quán)市價加債權(quán)市價，A A公司每年產(chǎn)生的現(xiàn)金流EBITEBIT都要交所得稅，而 B B公司中EBITEBIT僅有一部分交所得稅，故省出一部分 價值計入到公司的債權(quán)價值中?；蛘咭部梢岳斫鉃闆]有負債的公司舉債時，政府需要把原來征的稅的一部分退給公司的債主，或者說舉債成本里T*r是政府買單的(機會成本的角度講)，而公司舉債的成本僅是 (1 T)* r，這是從金融的角度或者說機會成本 的角度講的，

13、就如經(jīng)濟利潤和會計利潤的差別一樣，而證券定價的基準正是從金融的角度給出才能準確。顯然A A、B B兩公司的稅前價值仍然一樣，相當(dāng)于不考慮稅收。我們用帶撇號的字母 表示考慮稅收的變量，則有稅收情況下A A、B B兩公司的市場價值分別為：PVA PVA(1 T)PVB/ PVB(1 T)(1 匚衛(wèi))D PVA D(1 (1 T)r*PVB) PVA (1 T) r * PV其中D(1旦)叫做稅盾的市場價值。MMMM定理第一命題推論一：在考慮稅收情況下，股東的期望收益率仍然會隨著財務(wù)杠桿的上升而上升。即在考 慮稅收的情況下，不考慮稅收時MMMM定理的命題一的推論二仍然成立。證明：考慮稅收，A A公司

14、股票預(yù)期收益率為:/ EBIT(1 T) EBIT(1 T) A SA* MPA PVA由不考慮稅收推論二證明的最后一個公式和(重新編號)得B B公司股票的預(yù)期收益率為:再由得：rDrB rA，由于EBITrDEBITrD (盈利足夠付利息，保證B ArDPVA(1 T) (1 -EBIT不破產(chǎn))，故rB rA，證畢。(1 T)EBITSAEB(1 T)(EBIT rD) rD SB(1 k) (1 T)(EBIT rD) rDSATrD k (1 T)(EBIT rD) rDSAMMMM定理第一命題推論二：考慮稅收情況下，股東的每股收益也仍然會隨著財務(wù)杠桿的上升而上升，即在考 慮稅收情況下，

15、不考慮稅收 MMMM定理命題一推論三仍然成立。證明：A A、B B兩公司每股盈利分別為:將第一部分第一命題推論一下面的代入得:因EBITrD,EBITrD,故上不等式成立，證畢。MMMM定理第一命題推論三：在考慮稅收情況下，WACCWACC與公司資本結(jié)構(gòu)有關(guān)。(證略)根據(jù)CAPMCAPM模型，有稅收后的貝塔系數(shù)/和無稅收情況下的貝塔系數(shù)的關(guān)系為/(1 (1 T)(證明從略)，由此得出股權(quán)預(yù)期收益，然后再根據(jù)公司計算出SEWACC,WACC,顯然 WACCWACC是受資本結(jié)構(gòu)影響的。MMMM定理第一命題推論四：在考慮稅收情況下，有負債的公司的權(quán)益資本成本仍然大于同一風(fēng)險等級的無負債 公司的權(quán)益資本成本，風(fēng)險補償?shù)男问揭哺鼜?fù)雜(證明如)。注：一個延伸， PV/ PV (1 (1 Tc)(1 Ts)D，Tc表示企業(yè)所