第2章 隨機過程習題及答案

1、第二章 隨機過程分析1.1 學習指導1.1.1 要點隨機過程分析的要點主要包括隨機過程的概念、分布函數(shù)、概率密度函數(shù)、數(shù)字特征、通信系統(tǒng)中常見的幾種重要隨機過程的統(tǒng)計特性。1. 隨機過程的概念隨機過程是一類隨時間作隨機變化的過程，它不能用確切的時間函數(shù)描述?？蓮膬煞N不同角度理解：對應不同隨機試驗結(jié)果的時間過程的集合，隨機過程是隨機變量概念的延伸。2. 隨機過程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)如果(t)是一個隨機過程，則其在時刻t1取值(t1)是一個隨機變量。(t1)小于或等于某一數(shù)值x1的概率為p (t1) x1 ，隨機過程(t)的一維分布函數(shù)為f1(x1, t1) = p(t1) x1 (2-1)如

2、果f1(x1, t1)的偏導數(shù)存在，則(t)的一維概率密度函數(shù)為對于任意時刻t1和t2，把(t1) x1和(t2) x2同時成立的概率 稱為隨機過程x (t)的二維分布函數(shù)。如果存在，則稱f2(x1, x2; t1, t2)為隨機過程x (t)的二維概率密度函數(shù)。對于任意時刻t1，t2，tn，把稱為隨機過程x (t)的n維分布函數(shù)。如果存在，則稱fn(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)為隨機過程x (t)的n維概率密度函數(shù)。3. 隨機過程的數(shù)字特征隨機過程的數(shù)字特征主要包括均值、方差、自相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)。隨機過程x (t)在任意給定時刻t的取值x (t)是一

3、個隨機變量，其均值為其中，f 1(x, t)為x (t)的概率密度函數(shù)。隨機過程x (t)的均值是時間的確定函數(shù)，記作a(t)，它表示隨機過程x (t)的n個樣本函數(shù)曲線的擺動中心。隨機過程x (t)的方差的定義如下：隨機過程x (t)的方差常記作2(t)。隨機過程x (t)的方差的另一個常用的公式為也就是說，方差等于均方值與均值平方之差，它表示隨機過程在時刻t，對于均值a(t)的偏離程度。隨機過程x (t)的相關(guān)函數(shù)的定義如下：式中， x (t1)和x (t2)分別是在t1和t2時刻觀測得到的隨機變量。r(t1, t2)是兩個變量t1和t2的確定函數(shù)。隨機過程x (t)的相關(guān)函數(shù)表示在任意兩

4、個時刻上獲得的隨機變量之間的關(guān)聯(lián)程度。隨機過程x (t)的協(xié)方差函數(shù)的定義如下：式中，a(t1)、a(t2)分別是在t1和t2時刻得到的x (t)的均值；f2 (x1, x2; t1, t2)是x (t)的二維概率密度函數(shù)。b(t1, t2) 與r(t1, t2)之間有如下關(guān)系式：若a(t1) = a(t2)=0，則b(t1, t2) = r(t1, t2)。隨機過程x (t)和(t)的互相關(guān)函數(shù)的定義如下：4. 平穩(wěn)過程及其性質(zhì)平穩(wěn)過程包括嚴平穩(wěn)過程（強平穩(wěn)過程或狹義平穩(wěn)過程）和廣義平穩(wěn)過程。如果隨機過程x(t)的任意有限維分布函數(shù)與時間起點無關(guān)，也就是說，對于任意的正整數(shù)n和所有實數(shù)d，有

5、則稱該隨機過程是嚴格意義下的平穩(wěn)隨機過程，簡稱嚴平穩(wěn)隨機過程。嚴平穩(wěn)隨機過程的一維分布函數(shù)和均值都與時間無關(guān)，二維分布函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)都只與時間間隔有關(guān)。把對嚴平穩(wěn)隨機過程的要求降低到僅僅均值與時間無關(guān)和自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)的隨機過程定義為廣義平穩(wěn)隨機過程。嚴平穩(wěn)隨機過程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。平穩(wěn)隨機過程具有各態(tài)歷經(jīng)性(遍歷性)。因此，在求解各種統(tǒng)計平均時，無需無限多次的樣本，只要獲得一次考察，用一次實現(xiàn)的“時間平均”值代替平穩(wěn)隨機過程的“統(tǒng)計平均”值即可，從而使測量和計算大為簡化。平穩(wěn)過程x(t)的功率譜密度與其自相關(guān)函數(shù)是一付立葉變換對。據(jù)此，可以得到兩條結(jié)論：平穩(wěn)過程x

6、(t)的功率等于其自相關(guān)函數(shù)在零點的取值r(0)；各態(tài)歷經(jīng)過程任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于平穩(wěn)過程的功率譜密度。5. 高斯過程高斯過程又被稱為正態(tài)隨機過程。如果隨機過程x(t)的任意n維（n =1, 2, .）分布均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程，其n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為其中，數(shù)學期望ak = e(tk)；方差2k = e(tk) - ak2；歸一化協(xié)方差矩陣行列式如果高斯過程在不同時刻不相關(guān)，則它們也是統(tǒng)計獨立的。高斯過程經(jīng)過線性系統(tǒng)后，其系統(tǒng)輸出也是高斯過程。6. 窄帶隨機過程如果隨機過程x(t)的譜密度集中在中心頻率fc附近相對窄的頻帶范圍df 內(nèi)，即滿足df fc的條件

7、，且 fc 遠離零頻率，則稱其為窄帶隨機過程。隨機過程x(t)可以表示為其中，ax(t)為隨機包絡；jx(t)為隨機相位；wc為中心角頻率。顯然，ax(t)和jx(t)的變化相對于載波產(chǎn)生的相移(wct)的變化要緩慢得多。將窄帶隨機過程表示式展開為其中，c(t) = a(t)cos(t)；s(t) = a(t)sin(t)。xc(t)和xs(t)分別被稱為同相分量和正交分量。窄帶隨機過程x(t)的統(tǒng)計特性可以由ax(t)和jx(t)或xc(t)和xs(t)的統(tǒng)計特性確定。若x(t)的統(tǒng)計特性已知，則ax (t)和jx (t)或xc(t)和xs(t)的統(tǒng)計特性也隨之確定。由于x(t)平穩(wěn)且均值為

8、零，故對于任意的時間t，都有ex(t) = 0 ，所以若窄帶過程x(t)是平穩(wěn)的，則xc(t)和xs(t)也是平穩(wěn)的。平穩(wěn)窄帶隨機過程x(t)的自相關(guān)函數(shù)可以表示為一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程x(t)，它的同相分量xc(t)和正交分量xs(t)同樣是平穩(wěn)高斯過程，而且均值為零，方差也相同。此外，在同一時刻上得到的xc(t)與xs(t)是統(tǒng)計獨立的。ax服從瑞利(rayleigh)分布，jx服從均勻分布。7. 高斯白噪聲和帶限白噪聲電子系統(tǒng)中常見的熱噪聲近似為白噪聲，白噪聲的幅值服從高斯分布。因此，在通信系統(tǒng)中，常用高斯白噪聲作為信道中的噪聲模型。白噪聲通過一個有限帶寬的信道或濾波器后，輸出噪

9、聲的帶寬就是有限的，如果其頻譜在信道或濾波器的通帶內(nèi)仍具有白色特性，則稱其為帶限白噪聲。白噪聲n(t)的功率譜密度在所有頻率上均為常數(shù)，即或者其中，n0為正常數(shù)。式(2 20)是白噪聲n(t)的雙邊功率譜密度，式(2 21)是其單邊功率譜密度。白噪聲n(t)的自相關(guān)函數(shù)為上式表明，白噪聲僅在 = 0時才相關(guān)，而在任何兩個不同時刻的隨機變量都是不相關(guān)的。如果白噪聲幅值的概率分布服從高斯分布，則稱之為高斯白噪聲。高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的隨機變量之間，不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計獨立的。帶限白噪聲一般包括低通白噪聲和帶通白噪聲。如果白噪聲通過理想低通濾波器或理想低通信道時，則其輸出的噪聲被

10、稱為低通白噪聲；如果白噪聲通過理想帶通濾波器或理想帶通信道時，則其輸出的噪聲被稱為帶通白噪聲。1.1.2 難點隨機過程分析的難點主要包括平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)后的分布函數(shù)、概率密度函數(shù)和數(shù)字特征。設平穩(wěn)隨機過程xi(t)的均值、自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度分別為ai、ri(t)和pi(f)，系統(tǒng)單位沖激響應和傳輸函數(shù)分別為h(t)和h(f)。輸出隨機過程o(t) 的均值為式中，h(0)是線性系統(tǒng)h(f)在 f = 0處的頻率響應。由此可見，輸出過程的均值是一個常數(shù)。輸出隨機過程o(t)的自相關(guān)函數(shù)為上式表明，隨機過程o(t)的自相關(guān)函數(shù)僅是時間間隔t的函數(shù)。綜合上面兩點，若線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)的，

11、則輸出也是平穩(wěn)的。輸出隨機過程o(t)的功率譜密度為由上是式可見，輸出隨機過程o(t)的功率譜密度等于輸入隨機過程xi(t)的功率譜密度乘以系統(tǒng)傳輸函數(shù)模值的平方。隨機過程o(t)可以表示為當xi(t)是高斯分布的時，i(t - tk)h(tk)tk是一個高斯隨機變量，而無限個高斯隨機變量的疊加也是一個高斯分布的。因此，隨機過程o(t)呈高斯分布。1.2習題詳解2-1 設隨機過程 x(t) = acos(t) + bcos(t), - t ， 為常數(shù)，a、b為互相獨立的隨機變量，且e(a) = e(b) = 0, d(a) = d(b) =2。試判斷x(t)是否為平穩(wěn)過程。解 ，因此，x(t)

12、的均值與時間無關(guān)，自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，它是平穩(wěn)過程。2-2 離散白噪聲 x(n), n = 0, 1, 2, ，其中，是x(n)是兩兩不相關(guān)的隨機變量，且ex(n) = 0, dx(n) =2。試求x(n)的功率譜密度。解 x(n)的自相關(guān)函數(shù)為x(n)的功率譜密度為2-3 已知零均值平穩(wěn)隨機過程 x(t), - t 的功率譜密度為試求其自相關(guān)函數(shù)、方差和平均功率。解 由于，因此，自相關(guān)函數(shù)為方差為 dx(t) = r(0) e2x(t) = r(0)=7/24。平均功率為2-4 電路圖如圖題2-4所示。如果輸入平穩(wěn)過程 x(t), - t 的均值mx為零，自相關(guān)函數(shù)為。試求輸出過程

13、y(t), - t 的均值my，自相關(guān)函數(shù)ry()、功率譜密度sy()。解 由電路分析的知識可得兩邊取付立葉變換，得到此系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為此系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)為輸出過程的均值為輸出過程的功率譜密度為輸出過程的自相關(guān)函數(shù)為2-5 高斯隨機變量x的均值為0，方差為1，試求隨機變量y = 6x + 5的概率密度f(y)。解 高斯隨機變量通過線性變換后仍然是高斯隨機變量，y也是高斯隨機變量。隨機變量y的均值為隨機變量y的方差為隨機變量y的概率密度為2-6 隨機過程x(t) = 5sin(t + )，其中，是隨機變量，概率p( = 0) = 0.2，p( = 0.5) = 0.8，試求隨機變量x(2)的均

14、值，隨機過程x(t)的自相關(guān)函數(shù)rx(0, 1)。 解 隨機變量x(2)的均值為隨機過程x(t)的自相關(guān)函數(shù)rx(0, 1)為2-7隨機過程x(t) = x1 sin(t) x2 cos(t)，其中，x1和x2都是均值為0，方差為2的彼此獨立的高斯隨機變量，試求：隨機過程x(t)的均值、方差、一維概率密度函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。解 隨機過程x(t)的均值為隨機過程x(t)的方差為隨機過程x(t)的自相關(guān)函數(shù)為其中， = t2 t1。隨機過程x(t)的一維概率密度函數(shù)為2-8 平穩(wěn)隨機過程x(t)和y(t)的均值分別為ax和ay，自相關(guān)函數(shù)分別為rx()和ry()，且它們彼此獨立。隨機過程z1(t)

15、= x(t) + y(t)和z2(t) = x(t) y(t)的。解 隨機過程z1(t)的自相關(guān)函數(shù)為隨機過程z2(t)的自相關(guān)函數(shù)為2-9 已知隨機過程x(t) = a(t) cos(0t + )，其中，隨機變量在(0，2)上服從均勻分布，是a(t)廣義平穩(wěn)過程，且其自相關(guān)函數(shù)為a(t)與統(tǒng)計獨立。試求隨機過程x(t)的自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度和平均功率，并判斷其是否為廣義平穩(wěn)過程。解 隨機過程x(t)的均值為隨機過程x(t)的自相關(guān)函數(shù)為其中， = t2 t1。由此可見，隨機過程x(t)的自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，均值函數(shù)與時間無關(guān)，是廣義平穩(wěn)過程。隨機過程x(t)的功率譜密度為隨機過程x(t)的平均功率為2-10隨機過程x(t)的均值為0，自相關(guān)函數(shù)為rx()，它通過一個如圖題2-10所示的系統(tǒng)后的輸出為隨機過程y(t)。試求隨機過程y(t)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。解 由題意可得因此，系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為隨機過程y(t)的功率譜密度為隨機過程y(t)的自相關(guān)函數(shù)為2-11 理想帶通濾波器的中心頻率為fc，帶寬為b，幅度為1，如圖題2-11所示。輸入此濾波器的高斯白噪聲的均值為0，單邊功率譜密度為n0。試求濾波器輸出噪聲的自相關(guān)函數(shù)、平均功率和一維概率密度函數(shù)。解 輸出噪聲的雙邊功率譜密度為輸出噪聲的自相關(guān)函數(shù)為輸出噪聲的平均功率為輸出噪聲仍然是高斯過程，其均值和方差分別為輸出