微課一元二次方程的根與系數的關系課件

1、八年級八年級(下下) 18.4 禮縣永興中學禮縣永興中學 劉燕劉燕 微課教學微課教學2021-10-122 根據你的觀察，猜想：方程根據你的觀察，猜想：方程ax2+bx+c=0(a0) 的根若是的根若是 x1、x2 ，那么，那么 x1+x2= ，x1x2=. 你能證明上面的猜想嗎？你能證明上面的猜想嗎？方 程x1x2x1+x2x1 x2x2+2x15=03x24x+1=02x25x+1=0352151344175417531252131 填寫下表，然后觀察根與系數的關系：填寫下表，然后觀察根與系數的關系：2021-10-123,2421aacbbx21xxaacbbaacbb242422aac

2、bbacbb24422ab22ab推導推導 一元二次方程的根與系數的關系：一元二次方程的根與系數的關系：設設x x1 1,x ,x2 2是方程是方程 axax2 2+bx+c=0(a +bx+c=0(a 0) 0)的兩個的兩個根根( (b24ac0) )，則，則aacbbx24222021-10-12421xxaacbbaacbb24242222224)4()(aacbb22244aacbbac2021-10-125一元二次方程的根與系數之間存在下列關系：一元二次方程的根與系數之間存在下列關系：1. 1. 如果方程如果方程 axax2 2+bx+c=0(a 0)+bx+c=0(a 0)的兩個根

3、的兩個根為為x x1 1、x x2 2 ，acxxabxx2121,那么那么這個關系通常稱為這個關系通常稱為韋達定理韋達定理（vietas theorem）.2021-10-126我們把方程我們把方程axax2 2+bx+c=0 (a0)+bx+c=0 (a0)變形為：變形為：02acxabx我們可以把方程寫成我們可以把方程寫成 ： 的形式，的形式， 02qpxxacqabp,則2021-10-1272. 2. 如果方程如果方程x x2 2+px+q=0+px+q=0的兩根為的兩根為x x1 1、x x2 2 , , 那那么么“對于簡化的二次方程，兩根之和等于一次項系數的相對于簡化的二次方程，

4、兩根之和等于一次項系數的相反數，兩根之積等于常數項反數，兩根之積等于常數項”. ( 這個定理又叫做韋達這個定理又叫做韋達定理定理)“對于簡化的二次方程，一次項的系數等于兩根之和的對于簡化的二次方程，一次項的系數等于兩根之和的相反數，常數項等于兩根之積相反數，常數項等于兩根之積”.(這是韋達定理的逆定這是韋達定理的逆定理理)x x1 1 + x+ x2 2= = p , xp , x1 1x x2 2 = q .= q .2021-10-1283.:1,21）是系數為二次項為根的一元二次方程（以兩個數xx 1.應用一元二次方程的根與系數關系時，首先要應用一元二次方程的根與系數關系時，首先要把已知

5、方程化成一般形式；把已知方程化成一般形式；021212xxxxxx）（2.應用一元二次方程的根與系數關系時，要特別應用一元二次方程的根與系數關系時，要特別注意，方程有實根的條件，即在初中代數里，當且僅注意，方程有實根的條件，即在初中代數里，當且僅當當b2-4ac0時，才能應用根與系數的關系；時，才能應用根與系數的關系； 3.已知方程的兩根，求作一元二次方程時，要注已知方程的兩根，求作一元二次方程時，要注意根與系數的正、負號意根與系數的正、負號.【注意】【注意】 2021-10-1291.下列各方程中，兩根之和與兩根之積各是多少？下列各方程中，兩根之和與兩根之積各是多少？(1)(1)x x2 2

6、-3x+1=0 ; (2) 3x-3x+1=0 ; (2) 3x2 2-2-2x=2=2；(3) 2x2-9x+5=0； (4) 4x(4) 4x2 2-7x -7x +1=0；(5) 2x(5) 2x2 2+3+3x=0=0； (6) 3x2=1 . . (1) (1) 兩根之和為：兩根之和為：3 3兩根之積為：兩根之積為：1 1 (2) (2) 兩根之和為：兩根之和為：32兩根之積為：兩根之積為：32(4) (4) 兩根之和為：兩根之和為：47兩根之積為：兩根之積為：41(5) (5) 兩根之和為：兩根之和為：23兩根之積為：兩根之積為：0 0 (6) (6) 兩根之和為：兩根之和為：0

7、0兩根之積為：兩根之積為：31兩根之積為：兩根之積為：25 (3) (3) 兩根之和為：兩根之和為：292021-10-1210提示提示 : 應用韋達定理可得應用韋達定理可得 .2.判定下列各方程后面括號內的兩個數是不是判定下列各方程后面括號內的兩個數是不是 它的兩個根它的兩個根.（1）x2+5x+4=0 , (1 , 4)不是不是（2）x26x7=0 , ( 1 , 7)是是（3）2x23x1=0 , ( , 1)21是是（4）3x25x2=0 , ( , 2)31不是不是（5）x28x11=0 , )54 ,54(是是2021-10-1211解解：法法1 1：設方程的另一個根為設方程的另一

8、個根為 x x2 2, , 則則(4)x2=24解得解得x2=21k=7答：方程的另一根為答：方程的另一根為 ，k的值為的值為7.214+x2=2k例例1 1：已知關于已知關于x x的方程的方程 2x2+kx4=0 的的一個根是一個根是-4-4，求它的另一根及，求它的另一根及k k的值的值. .2021-10-1212 方程方程 2x2+kx4 = 0 = 0的一個根為的一個根為-4-4，則則 2 2 (-4)(-4)2 2+ + (-4)(-4)k-4 = 0-4 = 0 2 2 164k4k4 = 04 = 0 k=7 k=7 2x 2x2 2+7x+7x4=04=0 方程方程2x2+kx

9、4 = 0 = 0的一個根為的一個根為-4-4 2 (4)2+ (4) k4 = 0 2 164k4 = 0 k=7 k=7 即即 2x2x2 2+7x4=0=0 法法2:2:法法3:3:解此方程解此方程:x:x1 1=4,4, 212x又又244x21x例例1 1：已知關于已知關于x x的方程的方程 2x2+kx4=0 的的一個根是一個根是-4-4，求它的另一根及，求它的另一根及k k的值的值. .2021-10-1213例例2 已知兩數的和為已知兩數的和為3，積為，積為4，求：，求：這兩個數這兩個數.解法解法1：設兩個數中的一個數為設兩個數中的一個數為x,因為兩數之和為因為兩數之和為3，

10、所以另一個數為（所以另一個數為（3x）.再根據再根據“兩數之積為兩數之積為4”, 可列出方程可列出方程 x(3x)=4. 即：即： x23x4=0, 即（即（x4)（x+1）=0， 即即 x=4或或x=1 這兩個數為這兩個數為4或或1. 分析：我們可以用多種方法來解決這個問題分析：我們可以用多種方法來解決這個問題.解法解法2：設兩個數是設兩個數是x,y,可列出方程組的解法可列出方程組的解法.解法解法3：因為兩根和與兩根積都已知，我們可以直接構造出因為兩根和與兩根積都已知，我們可以直接構造出一個簡化的一元二次方程一個簡化的一元二次方程,即即: x23x4=0, 這就是方法這就是方法1得到得到的方

11、程的方程.下同解法下同解法1.2021-10-1214( (它的另一根為它的另一根為:-3 :-3 ，m m的值為的值為:5):5)2. 2. 已知關于已知關于x的的方程方程x x2 2mx mx 2m2mn = 0 = 0的根為的根為 2, 2, 且根的判別式為且根的判別式為0 0，求，求m m、n n的值的值. .(m(m的值為的值為-4-4，n n的值為的值為-12 .)-12 .)1 1.已知關于已知關于x的方程的方程2x2mx3=0的一個根的一個根是是 ,求它的另一根及求它的另一根及m的值？的值？21課堂練習課堂練習2021-10-12152.2.如果方程如果方程x x2 2+px+

12、q=0+px+q=0的兩根為的兩根為x x1 1、x x2 2 , , 這時韋達定理應是：這時韋達定理應是： x x1 1 + x+ x2 2= -p ,= -p , x x1 1 x x2 2 = q .= q .3 3.一元二次方程的根與系數的關系的一元二次方程的根與系數的關系的 靈活運用。靈活運用。這就是我們這就是我們今天主要學今天主要學習的內容習的內容. .你學會了嗎你學會了嗎? ?1. 1. 如果一元二次方程如果一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的兩個根的兩個根為為:x:x1 1、x x2 2, ,那么那么x x1 1+x+x2 2 = , x = , x1 1 x x2 2 = . = . 這個關系通常稱為這個關系通常稱為韋達定理韋達定理. .abac2021-10-12161. 教材教材 p36 習題習題18.4 第第1、2、3、4、5題題.2.推導一元二次方程根與系數的關系推導一元二次方程根與系數的關系.作業(yè)作業(yè)2021-10-12173.已知方程已知方程 3x219xm=0 的一個根是的一個根是1,求它求它的另一個根及的另一個根及 m的值的值.答案：另一個根是答案：另一個根是 ， m的值為的值為16316動動腦動動腦, ,還有其還有其他解法他解法嗎嗎2021-10-121