淺談解析幾何中的對稱問題

1、淺談解析幾何中的對稱問題解析幾何中的對稱問題在現(xiàn)行中學教材中沒有按章節(jié)進行系統(tǒng)編排，只是分散地穿插在 直線、曲線部分的題型之中。對稱問題主要涉及四種類型：點關于點成中心對稱：線(直線 或曲線)關于點成中心對稱：點關于線成軸對稱：線(直線或曲線)關于線成軸對稱。無論 是解析幾何的新授課還是復習課，幾乎所有的老師都會對對稱問題進行教學或復習，近幾年 對稱問題也是高考的熱點之一。這就要求教師對對稱問題進行適當?shù)臍w納、總結，使學生對 這部分知識有一個較完整、系統(tǒng)的認識，從而解決起對稱問題才能得心應手。本人就此談一 下中學解析幾何中常見的對稱問題類型及解決方法。一、中心對稱：即關于點的對稱問題定義：把一

2、個圖形繞某個點旋轉180。后能與另一個圖形重合，稱這兩個圖形關于這個點對稱。這個點叫做對稱中心。性質：關于某個點成中心對稱的兩個圖形，對稱點的連線都經(jīng)過對稱中心，且被對稱中 心平分。1 .點關于點對稱例1. 求P (3, 2)關于M (2, 1)的對稱點P的坐標。分析：由中心對稱的性質得M點是PP，的中點，可求P (1, 0) .小結：P (xo)大相用點 P，(2a-xo,2b-y0)(依據(jù)中點坐標公式)。特例 P (xo,yo)一皿P (fo, 一 y。)。2 .直線關于點對稱例2. 求直線L：x+y -1=0關于X (3. 0)的對稱直線k的方程。分析：思路一：在直線1二上任取一點P (

3、x, y),則它關于M的對稱點Q (6-x, 一y),因 為Q點在h上，把Q點坐標代入直線h中，便得到b的方程：x+y5=0。思路二：在L上取一點P(L 0),求出P關于M點的對稱點Q的坐標(5, 0)。再由 kn=ki=,可求出直線L的方程x+y5=0。思路三：由k尸心,可設L： Ax+By+C=0關于點出x,yo)的對稱直線為Ax+By+C =0 |Axo + Byo + C I lAxo + Byo + C,且一,/一,求出C及對稱直線1)的方程x+y-UO,小結：直線關于點對稱的情形：(1)直線L：+4v + C = O關于原點的對稱直線設所求直線上一點為P(x,y),則它關于原點的對

4、稱點為。(一x,y),因為。點在直線L上，故有A(x) + 8(y) + C = O,即 At + 8y C = O：(2)直線人關于某一點的對稱直線乙。它的求法分兩種情況：晨當加(%,九)在4上時，它的對稱直線為過M點的任一條直線。2、當M點不在右上時，對稱直線的求法為：解法(一)：在直線上任取一點尸(x,y), 則它關于M的對稱點為。(2%-%2汽一)，)，因為。點在上，把。點坐標代入直線在乙 中，便得到的方程。解法(二)：在乙上取一點尸(王,凹)，求出P關于點的對稱點。的 坐標。再由K“=K/2，可求出直線的方程。解法(三)：由K=K/2，可設 ll:Ax + By + C = O關于點

5、 M(x),兒)的對稱直線為Ax + By + C = O且 |隼+ 3)，o：C| =如。：的。:I求設c，從而可求的及對稱直線方程。yA2 +B2 y/A2 +B23 .曲線關于點對稱例3. 求直線C y二X?關于M (2, 1)的對稱曲線C2的方程。分析：設P (x,y)是曲線C?的任一點，則P點關于X(1, 1)的對稱點為Q(4x,2y), 因為Q在。上，把Q點坐標代入曲線C1上，便得到C?的方程：x=-8x+y+14=0o 小結：曲線C： f(x,y)=O矢卜點對 曲線C2： f(2a-x, 2b-y)=0.曲線C2推導過程：設所求曲線上任意一點M(x,y),其關于點P(a,b)對稱

6、的點鏟(x，,y) 在曲線f(x,y)=O上.用點關于點對稱的方法求出點V的坐標后代入曲線f(x,y)=O中即得 所求曲線方程.特例：f(x,y)R 關-點對稱,曲線 C2： f(-x, - y)=0。二、軸對稱問題：即關于直線的對稱問題定義:把一個圖形沿著某條直線對折以后能與另一個圖形重合，稱這兩個圖形關于這條直 線對稱。這條直線叫做對稱軸。性質：關于某條直線對稱的兩個圖形，對稱線段平行且相等：對稱線段或其延長線相交, 交點一定在對稱軸上：對稱點的連線都被對稱軸垂直平分。1 .點關于直線對稱例4.試求P (-3, 5)關于直線1: 3x-4y+4R的對稱點P的坐標。分析：直線1是線段PP的垂

7、直平分線。解：設P3, 5)關于直線1的對稱點為P (x,y),則PP中點為N( = , 二), 22則有r 3x -4x+4=0 (因為N在直線1上)J 221v-5 3I -x- = -l (因為PP 11)x + 3 4、聯(lián)立，解得工二3,行-3,所求對稱點P (3,-3)。小結：(1)點關于常見直線的對稱點的坐標：A (a, b)關于x軸的對稱點為A (a,-b)B (a,b)關于y軸的對稱點為B (-a, b)C (a,b)關于直線行x的對稱點為C (b, a)D (a, b)關于直線y=-x的對稱點為D (-b, -a)P (a,b)關于直線x=m的對稱點為P (2ma,b)Q (

8、a, b)關于直線y=n的對稱點為Q (a, 2n-b)(2)點P(a,b)關于某直線L :Ax + By + C = O的對稱點P的坐標。解法(一)：由尸尸LL知，除夕=0=直線尸產的方程一 y = g(x )由 AAAx + By + C = 0, B 可求得交點坐標，再由中點坐標公式求得對稱點P的坐標，yb = (x-a)、 A解法(二)：設對稱點P(x,y)由中點坐標公式求得中點坐標為(二，住2：)把中點坐 22標代入L中得到A二+8竺:+。= 0；再由K“ =芻得匕=芻，聯(lián)立、 22A a- x A可得到產點坐標。解法(三)：設對稱點為PUy)，由點到直線的距離公式有 如產+q=43

9、1,再由K3g得0=o由、可得到p，點 坐標。2 .直線關于直線對稱例5.求直線L：x-2y+l=0關于直線1: x+y 1=0的對稱直線L的方程。分析：思路一：先解L與1組成的方程組，求出交點A的坐標。則交點必在對稱直線L上, 由A、B兩點可求出直線k的方程。思路二：在k上任取一點P(x, y),則P點關于直線1的對稱點Q (x“ yj在直線L 上，再由PQ_L 1得kpQki=-lo又PQ的中點在1上,由此解得xi=f(x,y),yi=g(x,y),把Q(xi, yi)代人h的方程中可求出b的方程。小結：直線乙關于直線/的對稱直線/一(I)當4與/不相交時，則/2。在4上取一點PC%，汽)

10、求出它關于/的對稱點。的坐 標。再利用外 =月，可求出/，的方程。 當人與/相交時，/、三線交于一點。解法(一)：先解與/組成的方程組，求出 交點A的坐標。則交點必在對稱直線，2上。再在人上找一點8,點8的對稱點9也在乙上, 由A、8兩點可求出直線A的方程。解法(二)：在上任取一點尸(為,%)，則P點關于 直線/的對稱點。在直線上，再由PQU，kpQki=-lo又PQ的中點在/上，由此解得 應用一：思維發(fā)散1與物理中的光線問題相結合。例7.光線通過點A (2, 3)在直線1： x+y+l=O上反射，反射光線過點B (1, 1),求入 射光線和反射光線所在直線的方程。分析：本題表而上為一道物理中

11、的光線問題，但本質上是數(shù)學中點關于線的對稱問題。根據(jù) 幾何光學知識，A關于直線1： x+y+l=O的對稱點A在反射光線所在直線上，B關于直線 1： x+y+l=O的對稱點B在入射光線所在直線上，所以入射光線即直線AB,反射光線即 直線BA ,應用二：思維發(fā)散2與最值問題相結合。例8.已知兩點A(2,3),B (4, 1),直線1： x + 2y-2 = 0,在直線1上求一點P.(1)使|尸川+ |回最?。?2)使|241Tp邳最大。解：(1)可判斷A,B在直線1的同側，設A點關于1的對稱點上的坐標為(x1,w),則有r X. + 2 - y. + 3 八 八F 2 x 2 = 0,222iz2

12、x(_1)= _ijI 玉 - 222 解得：c玉=一二，I 9 =-o7 由兩點式求得直線A：B的方程為,，=打*-4) + 1 ,直線A：B與1的交點可求得為P(,由平而幾何知識可知|尸耳+|尸耳最小。(2)由兩點式求得直線AB的方程為)，1 = “一4),即x+)， 5 = 00直線AB與1的交點可求得為P(8, -3),它使|尸4-盧訓最大。【變題引申】求函數(shù)y =正+ 9 + 8+ 41的最小值解:因為y = J(x- 0)2+(0 - 3尸+ J-4尸+(0 5)2，所以函數(shù)丫是x軸上的點p區(qū)0) 與兩定點A(0,3)、B(4,5)距離之和，y的最小值就是|PA| + |P囿的最小值。由平面幾何知識可知，若A關于x軸的對稱點為A (0, -3),則|PA| 十 |P目的最小值等于 |A卦即，(4-0)2+。+ 3)2 =475,即)，=4不。思悟小結1 .對稱問題分為點對稱和軸對稱，點對