空間點(diǎn)線面位置關(guān)系復(fù)習(xí)版

1、志 氣 太 大 ， 理 想 過 多 ， 事 實(shí) 迎 不 上 頭 來 ， 結(jié) 果 自 然 是 失 望 煩 悶 ； 志 氣 太 小 ， 因 循 茍 且 ， 麻 木 消 沉 ， 結(jié) 果 就 必 至 于 墮 落 。 課題：空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系復(fù)習(xí) 2020/5/16 一、平面的基本性質(zhì)（平面三公理） 公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。 公理2 ：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面. 公理3 ：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的 公共直線. ABa AB a? ? ? ? ? ? ? 、 、 “線面關(guān)系” “確定平面” ? ? A B

2、 ? ?C?B A l p ? 點(diǎn)A、B、C不共線A、B、C可 以確定一個(gè)平面 ? P = ,P P lll ? ? ? ? ? ? ? ? ? I 唯一的直線 ，使得 “面面相交” 2020/5/16 公理2有三個(gè)推論 推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，可以確定一個(gè)平面。 推論2：經(jīng)過兩條相交直線，可以確定一個(gè)平面。 推論3：經(jīng)過兩條平行直線，可以確定一個(gè)平面。 ? A ? BC ? ? ? A BC ? ? A BC 公理2及其推論主要用于確定平面；證明點(diǎn)線共面 2020/5/16 二、直線與直線的位置關(guān)系 1、位置關(guān)系： 平行 相交 異面 a b a b ?P 共面直線 異面直線：不

3、同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公 共點(diǎn) b ? P a “ 兩者必居其一，或三者 必居其一” 2020/5/16 2、平行直線的性質(zhì)（平面空間） （1）公理4：（平行線的傳遞性） （2）等角定理 a b b c a c ? ? ? ? P P P 注意區(qū)別：平面幾何是在同一個(gè) 平面內(nèi)，空幾是在不同平面內(nèi) 相等或互補(bǔ) 2020/5/16 3、異面直線 （1）定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；既不相交也不平行 （2）圖形：（平面襯托） （3）判斷或論證異面直線（用圖形法判斷，用反證法論證） （4）異面直線所成的角 ?定義： ?求法：按定義平移相交歸面（解三角形求角） a b b ? a b a P

4、 a b ?P 異面直線所成角的范圍：0, 2 ? ? ? ? 異面直線所成角不可能為零， 否則就不異面了 2020/5/16 三、直線與平面的位置關(guān)系 直線a在平面內(nèi) 直線a與平面相交 直線a與平面平行 a a a ?A a? Aa ?I a?P 無數(shù)個(gè)公共點(diǎn) 一個(gè)公共點(diǎn) 沒有公共點(diǎn) 注意：直線與平面平行不包含直線在平面內(nèi)，直線與 平面平行和直線在平面內(nèi)是兩種不同的位置關(guān)系 2020/5/16 四、平面與平面的位置關(guān)系 兩平面平行 兩平面相交 l ?P l?I 0個(gè)公共點(diǎn) 無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（均在交線 l上） 2020/5/16 疑 難 辨 析 1平面的基本性質(zhì) (1)空間中不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面

5、() (2)空間中兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面() (3)一條直線和一個(gè)點(diǎn)能確定一個(gè)平面 () (4)梯形一定是平面圖形 () 2020/5/16 答案 (1)(2)(3)(4) 解析(1)空間中不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面 (2)空間中兩兩相交不交于一點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面 (3)經(jīng)過直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面 (4)梯形一定是平面圖形顯然成立，故正確 2020/5/16 2空間直線關(guān)系 (1)已知a，b是異面直線，直線 c平行于直線 a，那么c與b不可能是平行直線 () (2)若ab，bc，則ac.() (3)若a與b相交，b與c相交，則a與c相交() (4)若a，b與c成等角，則ab.

6、 () 2020/5/16 答案 (1)(2)(3)(4) 解析 (1)由已知直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，因?yàn)?若bc，則ab，與已知 a，b為異面直線相矛盾 . (2)由平行公理知正確 (3)當(dāng)a與b相交，b與c相交時(shí)，a與c可以相交、平行，也可以異面，故 (3)不正確 (4)當(dāng)a，b與c成等角時(shí)， a與b可以相交、平行，也可以異面，故 (4)不正確 2020/5/16 例1(1)2012蘭州一模 正方體中，P，Q，R分別是AB，AD，的中 點(diǎn)，那么，正方體的過 P，Q，R的截面圖形是 () A三角形B四邊形C五邊形D六邊形 1111 ABCD-ABC D

7、1 1 BC (2)如圖1，l，A，B，C，且C ? ?l，直線ABlM，過A， B，C三點(diǎn)的平面記作，則與的交線必通過 () 圖圖1 A點(diǎn)AB點(diǎn)B C點(diǎn)C但不過點(diǎn)MD點(diǎn)C和點(diǎn)M 2020/5/16 答案： 截面為六邊形PQFGRE. 2020/5/16 變式題(1)不重合的三條直線，若相交于一點(diǎn)，最多能確定_個(gè)平面；若相交于兩點(diǎn)， 最多能確定 _個(gè)平面；若相交于三點(diǎn)，最多能確定 _個(gè)平面 (2)如圖2所示是正方體和正四面體， P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，則四個(gè)點(diǎn) 共面的圖形是 _ 圖2 2020/5/16 解析解析(1)三條直線相交于一點(diǎn)，最多可確定3個(gè)平面，如圖；三條直線相交于 兩點(diǎn)

8、，最多可確定2 個(gè)平面，如圖；三條直線相交于三點(diǎn)，最多可確定1 個(gè) 平面，如圖. 例2 (1)平移A 1D到 B 1C，找出 AC與A 1D 所成的角，再計(jì)算 (2)可證A 1C1 與 EF 垂直 思維啟迪解析探究提高 異面直線所成的角 【 1】 正方體 ABCD A1B1C1D 1中， (1)求AC 與 A1D 所成角的大?。?(2)若E、F 分別為 AB、AD 的 中點(diǎn)，求 A1C 1與 EF 所成角的 大小 題型分類深度剖析 例2 思維啟迪解析探究提高 解 (1)如圖所示， 連 接 B 1C，由 ABCD A1B 1C1D1是正方體， 易知 A1DB 1C，從而 B 1C 與 AC 所

9、成的角就是 AC 與 A1D 所成的角 異面直線所成的角 【例 1】 正方體 ABCD A 1B1C1D1中， (1)求AC 與 A1D 所成角的大小； (2)若E、F 分別為 AB 、 AD 的 中點(diǎn)，求 A1C 1與 EF 所成角的 大小 AB 1 ACB 1C， B 1CA 60. 即 A1D 與 AC 所成的角為60. 例2 思維啟迪解析探究提高 (2)如 圖 所 示 ， 連 接 AC 、 BD ，在正方體 ABCD A1B 1C1D1 中， ACBD ， ACA 1C1， E、F 分別為 AB、AD 的中點(diǎn)， 異面直線所成的角 【例 1】 正方體 ABCD A 1B1C1D1中， (

10、1)求AC 與 A1D 所成角的大??； (2)若E、F 分別為 AB 、 AD 的 中點(diǎn)，求 A1C 1與 EF 所成角的 大小 EF BD， ， EF AC. EF A1C 1. 即 A1C 1 與 EF 所成的角為90. 題型三 求異面直線所成的角常采用“平移 線段法”，平移的方法一般有三種類 型：利用圖中已有的平行線平移； 利用特殊點(diǎn) (線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作 平行線平移；補(bǔ)形平移計(jì)算異面 直線所成的角通常放在三角形中 進(jìn)行 . 思維啟迪解析探究提高 異面直線所成的角 【例 1】 正方體 ABCD A 1B1C1D1中， (1)求AC 與 A1D 所成角的大?。?(2)若E、F 分別為 A

11、B 、 AD 的 中點(diǎn)，求 A1C 1與 EF 所成角的 大小 變式訓(xùn)練1 直三棱柱 ABC A1B1C1中，若BAC 90 ，ABAC AA1， 則異面直線 BA 1與 AC 1所成的角等于 () A30B45C60D90 解析 如圖，可補(bǔ)成一個(gè)正方體， AC 1 BD 1. BA 1 與 AC 1 所成角的大小為 A1BD 1. 又易知又易知 A1BD 1 為正三角形， A1BD 1 60. 即 BA 1 與 AC 1 成 60的角 C 易錯(cuò)警示.點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系考慮不全面致誤 【例 2】l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是() Al1l2，l2l3 ? l 1

12、l3Bl1l2，l2l3 ? l 1 l3 Cl1l2l3 ? l 1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共點(diǎn) ?l1，l2，l3共面 易 錯(cuò) 分 析解 析答 案溫 馨 提 醒 【例 2】l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是() Al1l2，l2l3 ? l 1l3 Bl1l2，l2l3 ? l 1l3 Cl1l2l3 ? l 1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共點(diǎn) ?l1，l2，l3共面 易錯(cuò)警示.點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系考慮不全面致誤 由于空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系是在空間考慮，這與在平面上考慮點(diǎn)、 線的位置關(guān)系相比復(fù)雜了很多，特別是當(dāng)直線和平面的個(gè)數(shù)較多時(shí)，各種 位置

13、關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜、相互交織，如果考慮不全面就會導(dǎo)致一些錯(cuò)誤的判斷 易 錯(cuò) 分 析解 析答 案溫 馨 提 醒 易錯(cuò)警示.點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系考慮不全面致誤 【例 2】l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是() Al1l2，l2l3 ? l 1l3 Bl1l2，l2l3 ? l 1l3 Cl1l2l3 ? l 1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共點(diǎn) ?l1，l2，l3共面 當(dāng) l1l2，l2l3時(shí)，l1與l3也可能相交或異面， 故 A 不正確； 當(dāng) l1l2l3 時(shí)， l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C 不正確； l1，l2， l3共點(diǎn)時(shí)，l1，l2，l3未必共面

14、，如正方體中從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱， 故 D 不正確 易 錯(cuò) 分 析解 析答 案溫 馨 提 醒 易錯(cuò)警示.點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系考慮不全面致誤 【例 2】l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是() Al1l2，l2l3 ? l 1l3 Bl1l2，l2l3 ? l 1l3 Cl1l2l3 ? l 1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共點(diǎn) ?l1，l2，l3共面 B 易 錯(cuò) 分 析解 析答 案溫 馨 提 醒 易錯(cuò)警示.點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系考慮不全面致誤 【例 2】l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是() Al1l2，l2l3 ? l 1l3 Bl1l2，l2l3 ? l 1l3 Cl1l2l3 ? l 1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共點(diǎn) ?l1，l2，l3共面 (1)