8.1 曲線積分

1、1 曲線積分曲線積分 格林公式及其應用格林公式及其應用 曲面積分曲面積分 高斯公式、通量與散度高斯公式、通量與散度 斯托克斯公式、斯托克斯公式、 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度第第 章章8 8 線積分與曲面積分線積分與曲面積分28.1 曲線積分曲線積分8.1.1 對弧長的曲線積分（第一類曲線積分）對弧長的曲線積分（第一類曲線積分）8.1.3 兩類曲線積分之間的聯(lián)系兩類曲線積分之間的聯(lián)系8.1.2 對坐標的曲線積分（第二類曲線積分）對坐標的曲線積分（第二類曲線積分）31 引例引例實例實例: :曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L. sM 勻質(zhì)之質(zhì)量勻質(zhì)之

2、質(zhì)量分割分割,121insMMM ,),(iiis 取取.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 取極限取極限.),(lim10 niiiisM 近似值近似值精確值精確值8.1.1 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分41211,( , ),(,),(,),(,),niiiiiiniiiiLxoyf x yLLMMMLnisifsfs 設設 為為面面內(nèi)內(nèi)一一條條光光滑滑曲曲線線弧弧 函函數(shù)數(shù)在在 上上有有界界，用用 上上的的點點把把 分分成成個個小小段段，設設第第 個個小小段段的的長長度度為為又又為為第第個個小小段段上上任任意意取取定定的的一一點點作作乘乘積積并并作作和和 2 對弧

3、長的曲線積分的定義對弧長的曲線積分的定義oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L5.),(lim),(,),(,),(,010 niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf 即即記記作作線線積積分分第第一一類類曲曲上上對對弧弧長長的的曲曲線線積積分分或或在在曲曲線線弧弧則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù)這這和和的的極極限限存存在在時時長長度度的的最最大大值值如如果果當當各各小小弧弧段段的的被積函數(shù)被積函數(shù)積分弧段積分弧段積分和式積分和式曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量.),( LdsyxM 6存在條件存在條件( ,),( , )Lf x yLf x y ds 當當在在光光滑滑曲曲線

4、線弧弧 上上連連續(xù)續(xù)時時對對弧弧長長的的曲曲線線積積分分存存在在。推廣推廣曲曲線線積積分分為為上上對對弧弧長長的的在在空空間間曲曲線線弧弧函函數(shù)數(shù) ),(zyxf01 ( , , )lim(,)niiiiif x y z dsfs 。7注意：注意：121)(),()LLLL 若若或或是是分分段段光光滑滑的的1212 ( , )( , )( , )LLLLf x y dsf x y dsf x y ds 。2 )( ,)( ,)Lf x yLf x y ds 函函數(shù)數(shù)在在閉閉曲曲線線上上對對弧弧長長的的曲曲線線積積分分記記為為。8性質(zhì)性質(zhì) 1 ( ) ( , )( , )( , )( , )LL

5、Lf x yg x y dsf x y dsg x y ds 2( )( , )( , )()LLkf x y dskf x y dsk 為為常常數(shù)數(shù)123( )( , )( , )( , )LLLf x y dsf x y dsf x y ds 12()LLL93.對弧長曲線積分的計算對弧長曲線積分的計算定理定理)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且且上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)在在其其中中的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為上上有有定定義義且且連連續(xù)續(xù)在在曲曲線線弧弧設設10注意注意1;）定定積積分分的的下下限

6、限一一定定要要小小于于上上限限2( , ),f x yx y）中中不不彼彼此此獨獨立立 而而是是相相互互有有關(guān)關(guān)的的。特殊情形特殊情形1 ( ):( )L yxaxb21( , ) , ( )( )bLaf x y dsf xxx dx )(ba 112( ):( )L xycyd 21( , ) ( ), ( )dLcf x y dsfyyy dy )(dc dfdsyxfLL )()()sin,cos(),()(:)3(2212計算方法計算方法 化為對參數(shù)的定積分，化為對參數(shù)的定積分，“一代二換三定限一代二換三定限” ” “一代一代”：將：將 ， 代入被積函代入被積函數(shù)數(shù) ) )； )(t

7、x )t (y “三定限三定限”：對應于：對應于L L的起點和終點，下限小的起點和終點，下限小上限大。上限大。 “二換二換”：將換成：將換成 dt)t ()t (22 ),(yxfds ,13推廣推廣)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf3 舉例舉例 例例1 1 計算計算 所圍所圍區(qū)域的邊界。區(qū)域的邊界。 Ldsy.O OxyxyL ,:2yx)1 , 1(A14 102210)2(111dxxxdyy 1022121023)41()41(81322xdxy10232)41(3281232x 12151213)155

8、(121232 解解 OAAOLdsyI15例例2 計算計算 ，其中，其中 Ldsyx)(22axyxL2:22 202)cos1(2adaI32034| )sin(2aa 問題問題（i i）積分變量有無別的選擇？哪種方法好？）積分變量有無別的選擇？哪種方法好？ （iiii）如）如 ，結(jié)果如何？，結(jié)果如何？ yyxyxfsin),(22 解解 LaxdsI2 ,sin),cos1(: ayaxL 20 0 0yxa adds 16例例3 3 計算曲線積分計算曲線積分 ，其中，其中為螺旋線上相對于為螺旋線上相對于從從0 0到到22的一段弧。的一段弧。 dszyx)(222解解dszyx )(22

9、2ktztaytax ,sin,cost 20222)()sin()cos(kttata 2022222)(dtkatka 20322223 tktakadtktata222)cos()sin( 17)43(3222222kaka 例例4 4計算計算 ，其中，其中（1 1）（2 2） Ldszyx)(222解解 （1 1）3222 adsadsaILL radsadsaILL 2222 3ad adar3222 3362aI （2 2）, , ,0,:2222 zyxazyxLazyxazyxL ,:222218問題：問題：如上例中被積函數(shù)是，應如上例中被積函數(shù)是，應如何做？如何做？ 例例5

10、計算計算 其中為連結(jié)其中為連結(jié) ,)23( ABdszyx解解 設是設是 上任意上任意一點，則一點，則AB1 22 , , ABAMAB21211 zyx , , )(222zyx或或或或)1, 3 , 1(),1 , 1 , 0( BAAB的直線段。的直線段。),(zyxM直線的方程直線的方程AB19的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為ABdttttI441)21()21(2310 10)13(3dtt215233102 tt)10(21,21, ttztytx20備選備選1 1.)2, 1()2 , 1(,4:,2一一段段到到從從其其中中求求 xyLydsIL解解dyyyI222)2(1 . 0 )2

11、0(.,sin,cos:, 的的一一段段其其中中求求kzayaxxyzdsI解解.21222kaka xy42 dkaka222sincos 20I備選備選2 2214.4.幾何與物理意義幾何與物理意義,),()1(的線密度時的線密度時表示表示當當Lyx ;),( LdsyxM ;,1),()2( LdsLyxf弧弧長長時時當當,),(),()3(處的高時處的高時柱面在點柱面在點上的上的表示立于表示立于當當yxLyxf.),( LdsyxfS柱面面積柱面面積sL),(yxfz 22,)4(軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量軸軸及及曲曲線線弧弧對對yx.,22 LyLxdsyIdsxI 曲線弧的重心坐標曲

12、線弧的重心坐標)5(., LLLLdsdsyydsdsxx 235.5.小結(jié)小結(jié)1 1、對弧長曲線積分的概念、對弧長曲線積分的概念2 2、對弧長曲線積分的計算、對弧長曲線積分的計算3 3、對弧長曲線積分的應用、對弧長曲線積分的應用24思考題思考題對弧長的曲線積分的定義中對弧長的曲線積分的定義中 的符的符號可能為負嗎？號可能為負嗎？iS 25思考題解答思考題解答iS 的符號永遠為正，它表示弧段的長度的符號永遠為正，它表示弧段的長度. .26oxyABL8.1.2 對坐標的曲線積分對坐標的曲線積分1 nMiM1 iM2M1Mix iy 1.1.引例引例實例實例: : 變力沿曲線所作的功變力沿曲線所

13、作的功,:BALjyxQiyxPyxF),(),(),( 常力所作的功常力所作的功分割分割0111111,( ,),(,),nnnnA M M x yMxyMB 1()()iiiiMMx iyj WFAB 27求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyQxP 取極限取極限. ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值近似值精確值精確值,),(),(),(jQiPFiiiiii 取取,),(1iiiiiMMFW .),(),(iiiiiiiyQxPW 即即 niiWW1oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 28,0.),(,).,;, 2 , 1(

14、),(,),(),(.),(),(,11101111222111時時長度的最大值長度的最大值如果當各小弧段如果當各小弧段上任意取定的點上任意取定的點為為點點設設個有向小弧段個有向小弧段分成分成把把上的點上的點用用上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)向光滑曲線弧向光滑曲線弧的一條有的一條有到點到點面內(nèi)從點面內(nèi)從點為為設設 iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL定義定義29.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP 記作記作或稱第二類曲線積分）或稱第二類曲線積分）積分積分的曲線的曲線

15、上對坐標上對坐標在有向曲線弧在有向曲線弧數(shù)數(shù)則稱此極限為函則稱此極限為函的極限存在的極限存在類似地定義類似地定義.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ ,),(),(叫做被積函數(shù)叫做被積函數(shù)其中其中yxQyxP.叫積分弧段叫積分弧段L302.2.存在條件存在條件：.,),(),(第二類曲線積分存在第二類曲線積分存在上連續(xù)時上連續(xù)時在光滑曲線弧在光滑曲線弧當當LyxQyxP組合形式組合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF 其中其中. LdsF31推廣推廣 空空間間有有向向曲曲線線弧弧.),(lim),(10iiin

16、iixPdxzyxP . RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 325.5.性質(zhì)性質(zhì).,)1(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL則則和和分分成成如如果果把把則則有向曲線弧有向曲線弧方向相反的方向相反的是與是與是有向曲線弧是有向曲線弧設設,)2(LLL 即對坐標的曲線積分與曲線的方向有關(guān)即對坐標的曲線積分與曲線的方向有關(guān). . LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(332.2.對坐標的曲線積分的計算對坐標的曲線積分的計算,),(),(, 0)()(,)()

17、,(,),(,),(),(,),(),(22存在存在則曲線積分則曲線積分且且續(xù)導數(shù)續(xù)導數(shù)一階連一階連為端點的閉區(qū)間上具有為端點的閉區(qū)間上具有及及在以在以運動到終點運動到終點沿沿的起點的起點從從點點時時到到變變單調(diào)地由單調(diào)地由當參數(shù)當參數(shù)的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為續(xù)續(xù)上有定義且連上有定義且連在曲線弧在曲線弧設設 LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理34 1)()(),()()(),(),(),(dttttQtttPdyyxQdxyxPL 且且特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，終點為，終點為起點為起點為 .)()(,)(,dxxyxyxQxyx

18、PQdyPdxbaL 則則.)(:)2(dcyyxxL，終終點點為為起起點點為為 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 則則35.,)()()(:)3( 終終點點起起點點推推廣廣ttztytx dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 計算方法：化為對參數(shù)的定積分，計算方法：化為對參數(shù)的定積分，“一代二定限一代二定限”“一代一代”：將：將 代入被積式。代入被積式?！岸ㄏ薅ㄏ蕖保簩冢簩贚 L的起點、終點，不一定的起點、終點，不一定有。有。 ),(tx )(ty , 36(4) (4) 兩類

19、曲線積分之間的聯(lián)系：兩類曲線積分之間的聯(lián)系：,)()( tytxL ：設有向平面曲線弧為設有向平面曲線弧為,),( 為為處處的的切切線線向向量量的的方方向向角角上上點點yxL LLdsQPQdyPdx)coscos( 則則函數(shù)函數(shù) 在以為端點的閉區(qū)間上具有一階在以為端點的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導數(shù)，且。連續(xù)導數(shù)，且。又函數(shù)在又函數(shù)在L L上連續(xù)。于是，由對坐標上連續(xù)。于是，由對坐標的曲線積分計算公式（的曲線積分計算公式（1 1）有）有)()(tt 、0)()(22 tt ,),(),(yxQyxP37dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),( 有向曲線弧有

20、向曲線弧L L的切向量的切向量t t的方向規(guī)定與的方向規(guī)定與L L的方向一的方向一致。如致。如L L的方向?qū)趨?shù)的方向?qū)趨?shù)t t增加的方向（即上式中增加的方向（即上式中），則），則 反之則反之則 它的方向余弦為它的方向余弦為)(),(tt t t)(),(tt t t,)()()(cos22ttt 38)()()(cos22ttt ( (當時取正號，當時取正號， 時取負號時取負號) ) 當當 時時， LdsyxQyxPcos),(cos),( dttttttQtttttP)()()()()(, )()()()(),(222222 39 dttttQtttP , LdyyxQdxyxP

21、),(),(當當 時，時， LdsyxQyxPcos),(cos),( dttttttQtttttP)()()()()(, )()()()(),(222222 40 dttttQtttP , LdyyxQdxyxP),(),(一般地，平面曲線一般地，平面曲線L L上的兩類積分之間有如下上的兩類積分之間有如下聯(lián)系：聯(lián)系：dsQPQdyPdxLL )coscos( （可以推廣到空間曲線上（可以推廣到空間曲線上 ） 41,),( 為為處的切線向量的方向角處的切線向量的方向角上點上點zyx dsRQPRdzQdyPdx)coscoscos( 則則 dstA rdA, dsAt可用向量表示可用向量表示，

22、其其中中,RQPA ,cos,cos,cos t,dzdydxdstrd 有向曲線元；有向曲線元；.上上的的投投影影在在向向量量為為向向量量tAAt處的單位切向量處的單位切向量上點上點),(zyx 42例例1 1.)1 , 1()1, 1(,2的的一一段段弧弧到到上上從從為為拋拋物物線線其其中中計計算算BAxyLxydxL 解解的定積分，的定積分，化為對化為對x)1(.xy OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B43的定積分，的定積分，化為對化為對y)2(,2yx ABLxydxxydx 1122)(d

23、yyyy. 11到到從從 y 1142dyy.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B44.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的的直直線線段段軸軸到到點點沿沿從從點點的的上上半半圓圓周周針針方方向向繞繞行行、圓圓心心為為原原點點、按按逆逆時時半半徑徑為為為為其其中中計計算算aBxaAaLdxyL 例例2 2解解,sincos:)1( ayaxL，變到變到從從 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0原式原式 daa)sin(sin22 45)0 ,(aA)0 ,( aB .343a , 0:)2( yL，變變到到從從aax aadx0原式原式. 0 問題：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，

24、但問題：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同路徑不同積分結(jié)果不同. . 03a)(cos)cos1(2 d 46例例3 3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依次是點依次是點，這里，這里有向折線有向折線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線為為其中其中計算計算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解.)1(的的積積分分化化為為對對 x, 10,:2變到變到從從xxyL 1022)22(

25、dxxxxx原式原式 1034dxx. 1 47) 0 , 1 (A)1 ,1(B2yx .)2(的積分的積分化為對化為對 y,10,:2變變到到從從yyxL 1042)22(dyyyyy原式原式 1045dxy. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B)3( ABOAdyxxydxdyxxydx2222原式原式48,上上在在 OA,10, 0變到變到從從xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1變到變到從從yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原原式式. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B問題：被積函數(shù)相同，起點和終點也

26、相同，但問題：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不同而積分結(jié)果相同路徑不同而積分結(jié)果相同. .49ozyx例例4. 4. 求求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI 其中其中,2122zyxyx從從 z z 軸正向看為順時針方向軸正向看為順時針方向. .解解: : 取取 的參數(shù)方程的參數(shù)方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)(cossin(cos)sin)(cos2(tt 250例例5 5 設一個質(zhì)點在處受到力的作用，設一個質(zhì)點在處受到力的作用，的大小與到原點的距離成正比，的方向恒指的大小與到原點的距離成正比，的方向恒指向原點。此質(zhì)點由點沿橢圓向原點。此質(zhì)點由點沿橢圓 按逆時按逆時針方向移動到點，求力所作的功。針方向移動到點，求力所作的功。 12222 byax解：解： j ji iyxOM 22|yxOM