5(角動量 功與能)

1、1 :運運動動學學dtd,dtd),t ( 2 rararvnt :動力學動力學 JM 力力, ,力矩的分析力矩的分析FrM J的三要素的三要素( (總質量總質量, ,質量分布質量分布, ,轉軸位置轉軸位置) )剛體力學剛體力學(1)(1). .主要內(nèi)容復習主要內(nèi)容復習同理同理) t ( ) t ( ) t ( 求導求導求導求導積分積分積分積分 平行軸定理平行軸定理2MdJJCZ 21m2mrR練習練習 如圖所示，兩個同心圓盤組合在一如圖所示，兩個同心圓盤組合在一起可繞中心軸轉動，大圓盤質量為起可繞中心軸轉動，大圓盤質量為 m1、半徑為半徑為 R，小圓盤質量為，小圓盤質量為 m2、半徑為、半徑

2、為 r，兩圓盤都用力兩圓盤都用力 F F 作用，作用，F(xiàn) FF F解解: : m1、m2 有共同的有共同的 )JJ(FrFR21 求角加速度求角加速度 。由轉動定律由轉動定律 JM 21211RmJ 22212rmJ 21JJFrFR 2221rmRm) rR(F2 .練4-143例例( (教材例題）教材例題） 有一大型水壩高有一大型水壩高110 m、長、長1 000 m , ,水深水深100m，水面與大壩表面垂直，如圖水面與大壩表面垂直，如圖所示所示. . 求作用在大壩上的力，以及這個力求作用在大壩上的力，以及這個力對通過大壩基點對通過大壩基點 Q 且與且與 x x 軸平行的力矩軸平行的力矩

3、 . .QyOxyOhxL4解解 設水深設水深h，壩長，壩長L，在壩面上取面積，在壩面上取面積元元 ，作用在此面積元上的力，作用在此面積元上的力yLAdd ypLApFdddyOhxyAdydQyOxL)(0yhgpp hyLyhgpdFF00d)( P0為大氣壓強為大氣壓強2210gLhLhp 代入數(shù)據(jù)代入數(shù)據(jù)N1091. 510F5QyOyydFdhFyMdd 對通過點對通過點Q的軸的力矩的軸的力矩FdyLyhgpFd)(d0hyLyhgpyM00d)(3206121LhgLhp代入數(shù)據(jù)，得：代入數(shù)據(jù)，得：mN1014212 .M6一、質點的角動量一、質點的角動量L 質點質點m, m, 動

4、量動量m m 對對o o點位矢點位矢 vr 則質點則質點m對對o點點的角動量的角動量 定義為定義為: :vmrL 質點角動質點角動量量大小大?。?rmv sin方向：右手螺旋法方向：右手螺旋法 1.1.Lomvr單位：單位：kgmkgm2 2/s, /s, 量綱為量綱為MLML2 2T T-1-1描述質點描述質點相對于某定點相對于某定點的運動的運動4 43 3 剛體的角動量剛體的角動量 角動量守恒定律角動量守恒定律角動量的數(shù)值與參考點的選取有關角動量的數(shù)值與參考點的選取有關72.2.角動量定理角動量定理力矩是物體角動量變化的原因力矩是物體角動量變化的原因)vmr (dtddtLd dt)vm(

5、drvmdtrd dt)vm(dr MFr dtLdM 0LLttLLLddtM00 角動量定理角動量定理質點角動量的增量等于作用在質點的沖量矩質點角動量的增量等于作用在質點的沖量矩沖量矩沖量矩角動量增量角動量增量8三、質點的角動量守恒定律三、質點的角動量守恒定律討論：討論：有心力有心力對力心的力矩對力心的力矩0,0,角動量守恒角動量守恒0LL , 0M 當當質點的角動量守恒質點的角動量守恒意義：意義：若對若對某參考點某參考點而言，而言，質點所受合力矩質點所受合力矩為零為零，則質點的，則質點的角動量保持不變角動量保持不變。有心力有心力力的方向始終通過某一固定點力的方向始終通過某一固定點如：萬有

6、引力，靜電力是有心力。如：萬有引力，靜電力是有心力。(對力心對力心)9例例1 14-281970年我國發(fā)射的第一枚人造地球衛(wèi)星年我國發(fā)射的第一枚人造地球衛(wèi)星的的數(shù)據(jù)如下數(shù)據(jù)如下: m=173kg, 114min, 近地點距地心近地點距地心r1=6817km,橢圓橢圓 遠地點距地心遠地點距地心r2=8762km,軌道軌道 半長軸半長軸a7790km,半短軸半短軸b7720km試計算衛(wèi)星近地速度試計算衛(wèi)星近地速度v1和遠地速度和遠地速度v2的大小的大小解：有心力作用解：有心力作用2211vmrvmr 2211mvrmvr 只有只有W W保保 機械能守恒機械能守恒222121rMmGmv21rMmG

7、mv21 對地心對地心角動量守恒角動量守恒v2 =6.33km/s, v1=8.14km/s解之解之10二、定軸轉動剛體的角動量二、定軸轉動剛體的角動量irivimoz 剛體以角速度剛體以角速度繞定軸繞定軸oz轉動轉動 剛體上每一點都以剛體上每一點都以繞繞oz作半作半徑不同的圓周運動。徑不同的圓周運動。 質點質點mi對對oz軸的角動量為軸的角動量為iiiivmrL iiirm 2 剛體上所有質點對剛體上所有質點對oz軸的角動量軸的角動量iLL 2iim r JL 剛體對剛體對oz軸軸2iirmJ 1定義：剛體對定義：剛體對oz軸的角動量軸的角動量轉動慣量轉動慣量L112 2、角動量定理、角動量

8、定理( (定軸定軸) ) JL JdtdJ)J(dtddtdL M dtPdF 類似類似dtdLM 0LLttJJdLMdt00 dLMdt 定軸剛體角動量定軸剛體角動量12意義意義: :合外力矩的沖量等于剛體角動量的增量合外力矩的沖量等于剛體角動量的增量注意注意 式中式中M, J,0均相對于同一轉軸均相對于同一轉軸 0LLttJJdLMdt00 沖量矩沖量矩角動量的增量角動量的增量角動量定理角動量定理 ,0均相對于同一慣性系均相對于同一慣性系討論：討論：若若M為恒力矩為恒力矩，則則0JJtM 1.1.平均力矩平均力矩tJJM0 2.2.角動量定理的非剛體形式角動量定理的非剛體形式1122tt

9、JJMdt21 (m分布變分布變)13三、角動量守恒三、角動量守恒討論：討論：1.1.M外外0若若M外外0 ，定軸轉動的剛體定軸轉動的剛體 L=J常量常量角動量守恒角動量守恒J常量常量單體單體多體多體: :剛體剛體: :J不變不變, ,也不變也不變非剛體非剛體:J變變,變變J不變不變2021012211JJJJ 2.式中式中J、均應相對于同一轉軸均應相對于同一轉軸3.3.內(nèi)力矩不能改變剛體系的總角動量內(nèi)力矩不能改變剛體系的總角動量. .相對于同一慣性系。相對于同一慣性系。4.4.角動量守恒定律是普適的角動量守恒定律是普適的( (宏觀宏觀, ,微觀等）微觀等）14例例2 2 圓盤圓盤M, M,

10、R R , , 0 0. .若人若人m m由盤邊走由盤邊走到盤心到盤心, ,求求: :角速度改變角速度改變. . 00JJ 解解:22210mRMRJ 221MRJ JJ00 MmR 0分析：人分析：人, ,盤系統(tǒng)盤系統(tǒng),M,M外外0 0，系統(tǒng)角動量守恒，系統(tǒng)角動量守恒000)1( JJ例例3.3.細棒細棒m m1 1,L,L自然下垂自然下垂, ,子彈子彈m m2 2以初速度以初速度v v0 0射射入入棒中棒中, ,問問棒轉動的角速度棒轉動的角速度解解: :碰撞碰撞.m1m2O, ,角動量守恒角動量守恒Lm2v0碰后碰后: :222131LmLmJ 總總碰前碰前: := J總總 cos 222

11、13102LmLmcosLvm v0注意：軸力存在，注意：軸力存在， 動量不守恒動量不守恒16小結：角動量小結：角動量 vmrL 質點角動量質點角動量oim ivir剛體角動量剛體角動量 sinvrmL 2mr Z JL 角動量定理角動量定理0LLttJJdLMdt00 定軸剛體定軸剛體 L=J常量常量0LL , 0M 當當角動量守恒角動量守恒174 44 4 力矩作功力矩作功 定軸轉動的動能定理定軸轉動的動能定理一、力矩作功一、力矩作功OFiZ dirdirim 元元功功：對對力力iimF iiirdFdW i2i)ds-cos(F drsinFii dMi 00dMdWWiiiFi的總功的

12、總功各個外力功的和各個外力功的和 00MddMWWii iMM式中式中 為剛體所受到的為剛體所受到的合外力矩合外力矩18若若M為恒力矩為恒力矩,則則 W=M(-0) MdtdMdtdWP M,方向一致，力矩作正功；方向一致，力矩作正功； 反之作負功。反之作負功。二二. .力矩的功率力矩的功率力矩作功力矩作功 0MdWM M 合外力矩合外力矩19三三. .剛體定軸轉動動能剛體定軸轉動動能剛體內(nèi)任一質點的動能剛體內(nèi)任一質點的動能E Ekikioim ivirZ2iikivm21E 22iirm21 剛體內(nèi)所有質點的動能剛體內(nèi)所有質點的動能剛體的動能剛體的動能E Ek k22iikikrm21EE

13、2J21 剛體轉動動能剛體轉動動能2kJ21E 表明：剛體的轉動動能等于剛體的表明：剛體的轉動動能等于剛體的轉動慣量和角速率平方乘積之半轉動慣量和角速率平方乘積之半20由由 M = JdtdJ 得得 M d = J d dJdM00202J21J21 轉動轉動動能定理動能定理dtdddJ ddJ W物理意義物理意義: :合外力矩的功合外力矩的功 等于剛體轉動動能的增量等于剛體轉動動能的增量四、轉動動能定理四、轉動動能定理 WEk ?21五、剛體的重力勢能五、剛體的重力勢能六、定軸轉動的功能原理六、定軸轉動的功能原理 機械能守恒定律機械能守恒定律cPmghE m-總質量總質量, hc質心高度質心

14、高度重力矩的功重力矩的功 00)mghmgh(dMccP功能原理功能原理 00)Jmgh()Jmgh(Md2021c221c機械能守恒機械能守恒( (只有重力矩只有重力矩MP做功做功) )恒恒量量 c221mghJE(式中式中M是不含是不含MP的合外力矩的合外力矩) )22例例1. 1. 如圖示：如圖示：細棒細棒m m1 1, ,長長L L自自水平位置靜止釋水平位置靜止釋放后與放后與m m2 2相碰相碰, ,設碰后設碰后m m1 1靜止靜止 ,m,m2 2滑行滑行, ,m m2 2與地與地面的摩擦系數(shù)為面的摩擦系數(shù)為 . .求求m m2 2滑行的最大距離滑行的最大距離. .分析分析: : m1

15、轉轉,MP作功作功.m1m2 m1, m2碰碰,M外外0機械能守恒機械能守恒O.L/2211vm212Lgm 21Lm31J 角動量守恒角動量守恒22JJ 22vLm 動能定理動能定理222212vm0gSm EE0 m2滑滑, ,摩擦力做功摩擦力做功解解：221J 23例例2. 2. 如圖所示如圖所示, ,一根長為一根長為L,L,質量質量m m的均勻細棒的均勻細棒一端與光滑的水平軸相連一端與光滑的水平軸相連, ,可在豎直平面內(nèi)轉可在豎直平面內(nèi)轉動動, ,另一端固定一質量也是另一端固定一質量也是m m的小球的小球(RL)(RL)。設桿由水平位置自由釋放設桿由水平位置自由釋放, ,求桿下擺至任意

16、角求桿下擺至任意角度時的角加速度和角速度度時的角加速度和角速度 L, mm解解: :方法方法1 1 M=JJ = 1/3 mL2 + mL2 cosmgLcosLmgM21L8cosg9JM 24 dddtddddtd 00ddL8cosg9JM L4sing9 L, mm 討論：討論： 0,89, 0 LgLg23, 0, 2/ 變加速運動變加速運動25法二法二. .動能定理動能定理J = 4/3 mL2 cosLmgM23已求出已求出dMW0202J21J21 sinLmg23223421)mL( sinL4g92cos89LgdddtddddtddMW026法三、機械能守恒法三、機械能守

17、恒L, mm 水平位置水平位置0E, 0E, 0E0kp00 位置位置棒棒 sinLmg21221J 球球球球 sinmgL221J 棒棒0)mL(sinLmg22432123 0)JJ(sinLmg2212123 dtd則，由式得 kE PE27 一質量為一質量為M,長為長為L的均勻細桿的均勻細桿OA,可繞可繞轉軸在豎直平面內(nèi)轉動。當桿自由落至豎直轉軸在豎直平面內(nèi)轉動。當桿自由落至豎直位置時位置時,恰好擊中帶有彈簧的小球恰好擊中帶有彈簧的小球,并停止轉并停止轉動動 (小球的質量為小球的質量為m,彈簧的勁度系數(shù)為彈簧的勁度系數(shù)為k)。求求:1) 桿落至豎直位置與小球碰之前桿落至豎直位置與小球碰

18、之前A點線點線速度；速度；2) 小球被擊中后小球被擊中后,對彈簧的最大壓縮對彈簧的最大壓縮量？量？解：解：kmLMoA落落碰碰縮縮22121JLMg LvALmvJ球球 221221kxmv 球球 x28例例3.3.長為長為L L質量為質量為M M的細棒的細棒, ,可繞垂直于一端的可繞垂直于一端的水平軸自由轉動水平軸自由轉動, ,棒原來處于平衡狀態(tài)棒原來處于平衡狀態(tài). .現(xiàn)現(xiàn)有一質量為有一質量為M M的小球沿水平方向飛來，正好的小球沿水平方向飛來，正好與棒下端相碰，使棒向上最大偏角為與棒下端相碰，使棒向上最大偏角為，試求試求:1):1)球棒完全彈性碰撞時小球的初速；球棒完全彈性碰撞時小球的初速

19、；2)2)球棒作完全非彈性碰撞時小球的初速球棒作完全非彈性碰撞時小球的初速 0v分析：碰撞（角動量守恒）分析：碰撞（角動量守恒）上擺上擺 ( (機械能守恒機械能守恒) )29)1(JmvLLmv0 )2(Jmvmv2212212021 )3(cosLMgJLMg2122121 231MLJ 解解2 2：非非彈性彈性由由1),2),3)1),2),3)可求出可求出v v0 0)1(0 總總或或JLmv 2312MLmLJ 總總)2()cos-mg(1)cos-(1LMgJ21221 總總(2) 0v 0v解解1 1：彈性碰撞彈性碰撞)1(0 JmvLLmv Lv 30作作 業(yè)業(yè)& p144 習題

20、習題4 19，21， 27, 31, 33(3-30) 下次課主要內(nèi)容下次課主要內(nèi)容 第五章第五章 5-1,2,3,45-1,2,3,431功能關系功能關系 0MdW若若M為恒力矩為恒力矩 轉動動能定理轉動動能定理 202J21J21 0MdW力矩的功力矩的功202J21J21M MdtdWP 功率功率 剛體的重力勢能剛體的重力勢能cPmghE 剛體機械能守恒剛體機械能守恒 ( (只有重力矩只有重力矩MP做功做功) )恒恒量量 c221mghJEh hc c 質心高度質心高度32mgrfFfrNNO1O12分析受力及力矩分析受力及力矩 ，見圖示，見圖示對桿對桿o1 對輪對輪o JRFMrNFr

21、 0N)(FM121 t, NN0 N314F 4-14-1. .飛輪直徑飛輪直徑0.5m,質量質量60kg(全部分布全部分布在輪的外周上在輪的外周上), 轉速轉速1000r/min,現(xiàn)要求在現(xiàn)要求在5s內(nèi)使其制動，求制動力內(nèi)使其制動，求制動力F。（假定閘瓦與。（假定閘瓦與飛輪間的摩擦系數(shù)飛輪間的摩擦系數(shù)0.4, 尺寸如圖）尺寸如圖）閘瓦閘瓦33 勻質薄圓盤勻質薄圓盤R,mR,m與水平桌面間的摩擦系與水平桌面間的摩擦系數(shù)為數(shù)為 . . 圓盤以初角速度圓盤以初角速度 0 0繞中心軸旋轉繞中心軸旋轉, ,問圓盤轉過多少角度停轉問圓盤轉過多少角度停轉? ? 經(jīng)過多少時間停轉經(jīng)過多少時間停轉? ? d

22、mrdfrdMf gdmr dSgr dr分析：求分析：求M Mf f要積分要積分解解: :分割園盤為質元分割園盤為質元dm,dm,drrRmg2MR022f 3mgR2 22Rdrmgr2 rdr2ds 例例1 1(4-17)(4-17)34求轉過多少角度停轉求轉過多少角度停轉? ? 3mgR2M :f 已求得已求得 JMf 由由221mRJ 常數(shù)常數(shù)R3g4JMf 2202 :勻變速勻變速g8R3 :20 得得求經(jīng)過多少時間停轉求經(jīng)過多少時間停轉? ? t0 :勻變速勻變速g4R3t0 :得得35課堂練習：圖示系統(tǒng)運動課堂練習：圖示系統(tǒng)運動, ,滑輪與輕繩之間滑輪與輕繩之間m1m2M,R無

23、相對滑動無相對滑動, ,滑輪的軸無摩擦力矩滑輪的軸無摩擦力矩. .求繩張力及其加速度求繩張力及其加速度( (列方程列方程) ) m1: T1 - m1g = m1am2: m2gsin - T2 = m2a輪：輪：T2R - T1R = Ja = RJ=1/2(MR2)解：隔離法分析受力解：隔離法分析受力( (矩矩), ), 列出方程列出方程amF M=J輔助方程輔助方程36解：解：s/km30 SJ 391027已知：已知：r地太陽地太陽=1.51011 m m地地 = 6 1024 kg例例1：求地球繞太陽公轉的角動量：求地球繞太陽公轉的角動量練習：求月亮繞地球公轉的角動量練習：求月亮繞地

24、球公轉的角動量已知：已知：r地月地月=3.84108 m m月月 = 7.35 1022 kg解：解：s/rad.T610422 2mrLTrv 2mrvL 341062 .(kgm(kgm2 2/s)/s)37 220)4(mm1214mv0712v 解解 小蟲與細桿的碰撞為完全非彈性碰撞，小蟲與細桿的碰撞為完全非彈性碰撞， 碰撞前后系統(tǒng)角動量守恒碰撞前后系統(tǒng)角動量守恒例例6(6(教材教材p122p122例例2)2)問問: :欲使細桿以恒定角速欲使細桿以恒定角速度轉動度轉動, ,小蟲應以多大速率向細桿端點爬行小蟲應以多大速率向細桿端點爬行? ?380712v tdJdtd)J(dtdLdM

25、trmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22即即t )712cos(247cos2dd00tltgtrvvlg由角動量定理由角動量定理例例7. m7. m1 1,L,L細棒自然下垂細棒自然下垂, ,子彈子彈m m2 2射入射入棒中棒中, ,使使棒轉動最大角為棒轉動最大角為 . . 求子彈初速度求子彈初速度v v0 0. .解解: :碰撞碰撞.m1m2轉動轉動O., ,角動量守恒角動量守恒, ,機械能守恒機械能守恒Lm2v0碰后碰后: :2J21 總總11ghm h1)3(ghm22 h2)cos1(2Lh1 )cos1(Lh2 )2(LmLmJ222131 總總碰前碰前: := J總總 (1) cos 4