第七章隨機(jī)過(guò)程習(xí)題課

1、第七章第七章 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程習(xí)題課習(xí)題課(1)(1)對(duì)于給定的對(duì)于給定的w w,x(,x(w w0 0,t),t)是一個(gè)關(guān)于是一個(gè)關(guān)于t t 的函數(shù)的函數(shù), , 稱為稱為樣本函數(shù)。樣本函數(shù)。( (2)2)當(dāng)當(dāng)t t固定固定時(shí)時(shí), ,x(x(t t0 0) )是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量, , 稱它為稱它為x(tx(t0 0) )在在t t0 0 時(shí)刻的時(shí)刻的狀態(tài)狀態(tài)。1.隨機(jī)過(guò)程定義隨機(jī)過(guò)程定義2.隨機(jī)過(guò)程的概率分布隨機(jī)過(guò)程的概率分布稱為隨機(jī)過(guò)程的稱為隨機(jī)過(guò)程的一維分布函數(shù)。一維分布函數(shù)。( ; )( ),f t xp x tx( ; )( ; )xf t xf t s ds12121122

2、( , ;,)( ),( ),f t tx xp x tx x tx稱函數(shù)稱函數(shù)f(t;xf(t;x) )為隨機(jī)過(guò)程為隨機(jī)過(guò)程x(t)x(t)的的一維密度函數(shù)一維密度函數(shù). .121212121212( , ;,)( , ;,),xxf t tx xf t ts s ds ds 稱為隨機(jī)過(guò)程的稱為隨機(jī)過(guò)程的二維分布函數(shù)二維分布函數(shù).稱稱f(t1,t2; x1,x2)為隨機(jī)過(guò)程的為隨機(jī)過(guò)程的二維密度函數(shù)二維密度函數(shù).3.3.隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征: :2( )( )( )xxxdttmt )()(),(),(212121tmtmttrttcxxxx均值函數(shù)、方差函數(shù)、均方值函數(shù)、相

3、關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)均值函數(shù)、方差函數(shù)、均方值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)2( )( )( )xxdte x tmt)()(2ttxex)()()()(),(221121tmtxtmtxettcxxx1212( )( )( )( )xxe x t x tmt mt)()(),(2121txtxettrx1122()|(),(),()()|()( ),0,1,2,mmmmmmp x nkj x ni x nix nip x nkj x nix n n馬則稱為爾可夫鏈.定義1：2()|( ),1( ,).ijkp x mkj x mkmmpmki定義 ：稱為馬爾可夫鏈 在 時(shí)刻的 記為步轉(zhuǎn)移概率討論齊

4、次（時(shí)齊）馬爾可夫鏈。( ,)( ).ijijpm mkpk記為1(1).ijijkpp一當(dāng)時(shí)，稱為，簡(jiǎn)率記為步轉(zhuǎn)移概c-k( )()( )( ), ,1,2,ijijirrjr ipnpklpk pli j方程 ( ) (1)kkk 一般地，有 ppp1,(0)0,ijijpij通常規(guī)定 (0)(0),1,2,ipp xii 馬爾可夫鏈在初始時(shí)刻（即零時(shí)刻）取各狀態(tài)初的概率始（概分布稱為它的率）分布。()(0)( ),1,2,mim mpp x miim 馬爾可夫鏈在第時(shí)刻取各狀態(tài)的概率分布稱時(shí)刻的為它的概率分布。()(0)( )mjiijipppm即11 211122(0)1211(),(

5、),() ()()()rrrriiii iiirrip x ni x nix nippn pnnpnn馬爾可夫鏈的有限維分布表明有限維分布完全由初始概率分布和轉(zhuǎn)移概率所確定。下面給出有限狀態(tài)的馬爾可夫鏈?zhǔn)欠窬哂斜闅v性的一個(gè)判定定理。001( ),0,1,2,=1,2,( ), =12),()0,lim( ).,1,2,1,2,0(1,2,ijijjijjjknjiijjix n ninkpkiji kkpkijipkjnpjnj定理 馬爾可夫鏈具有有限狀態(tài)，步轉(zhuǎn)移概率，( 、， ，如果存在正數(shù) ，有、，則此鏈?zhǔn)潜闅v性的，即存在使得且極限分布是 方程組=滿足條件1),1njjn 的唯一解。 ,

6、; ( ,),xxxx tttt tte x trt trtx ttt定義2：給定二階矩過(guò)程，如果對(duì)任意的常數(shù)寬與 無(wú)關(guān) 平穩(wěn)過(guò)程、廣義 則稱為平穩(wěn)過(guò)程t1t1 利用拋一枚硬幣的試驗(yàn)定義一隨機(jī)過(guò)程2( ),tehx tttt 出現(xiàn)正面出現(xiàn)反面假設(shè)p(h)=p(t)=1/2,試確定x(t)的一維分布函數(shù)1 f(x;1), f(x,2)以及12(,;1,2)f x x解解:(1),1ehxt2(2),4ehxt于是于是, x(1/2)、x(1)的概率分布分別為的概率分布分別為(1)xkp1 e2121(2)xkp4 21212e0111( , )1221xfxxexe22041(1, )421xf

7、xxexex(1)與與 x(2) 的聯(lián)合概率分布為：的聯(lián)合概率分布為：(1)x(2)x1e2100211212122212120141,411( ,1;,)224,1,xorxxe xfx xorxexexexe求二維分布。 21214xxee隨機(jī)矢量，的可能取值為（ ， ），（， ）2( ),tehx tttt 出現(xiàn)正面出現(xiàn)反面4 2ep239t2p239t5p239t1612345(2)(2),(2),(2),(2),(2)pppppp解：( ),0,1,2,= 12 3 4 50.80.200000.50.40.10000.40.50.10000.20.800001x n nit18 設(shè)

8、馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間， ， ， ， ，已知一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，已知初始時(shí)刻該鏈的狀態(tài)是1，求2時(shí)刻該鏈處于各個(gè)狀態(tài)的概率。0.8 0.20000.8 0.200000.5 0.40.1000.5 0.40.10=000.4 0.50.1000.4 0.50.10000.2 0.80000.2 0.800001000010.64 0.26 0.08 0.02 0=2二步轉(zhuǎn)移概率矩陣，p(0.64,0.26,0.08,0.02,0)0.640.260.080.020(1,0,0,0,0)1 2 3 在直線上帶有完全反射壁的隨機(jī)游動(dòng)質(zhì)點(diǎn)只能處在實(shí)數(shù)軸上、三個(gè)點(diǎn)，判別是否有遍歷性，若有求極限分布。010

9、0010qp一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為 p=20(2)0100qpqp二步轉(zhuǎn)移概率矩陣 pp010(3)(2)0010qp三步轉(zhuǎn)移概率矩陣為 pppp(21)n一般地，pp0(2 )0100qpnnqp 其中 是自然數(shù)。plim( )ijkpk 顯然轉(zhuǎn)移概率的極限是不存在的，因而不具有遍歷性。p242t20= 12 312033522.99921033it22 設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間， ， ，它的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為，證明此鏈具有遍歷性，并求極限分布。p=lim( ),1,2,3ijjnpnj所以此鏈具有遍歷性，因而有解：一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為1203352299921033p=計(jì)算二步轉(zhuǎn)移概率矩陣2121

10、2003333552222(2)99999921210033337164272727164916=8181811674272727pp121123223312 39522+39321 93方程組：123311555，311jj1203352299921033p=13pqr直線上帶完全反射壁允許停留的隨機(jī)游動(dòng)設(shè),判別是否有遍歷性，若有求極限分布。0100011100333111003331110033300010此時(shí)一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為 p=(2)(3),510811272727927103321141818181812782382121(4)81818181813310114212781818181810511279272727逐個(gè)計(jì)算，ppplim( ),1,2,3,4,5.ijjnpnpi j 它的所以元素都大于零。所以此鏈具有遍歷性。，p239t23,1,2,3,4,5jpj 下面求。21123223433454451 311 33111 33311331 3pppppppppppppppp方程組： 123451ppppp加上條件1523431,1111ppppp解得 0,s tttx ts t t26 設(shè)是一周期為 的函數(shù)， 是在