函數(shù)與基本初等函數(shù)復習資料

1、第1講函數(shù)及其表示【高考會這樣考】1主要考查函數(shù)的定義域、值域、解析式的求法2考查分段函數(shù)的簡單應用3由于函數(shù)的基礎(chǔ)性強，滲透面廣，所以會與其他知識結(jié)合考查【復習指導】正確理解函數(shù)的概念是學好函數(shù)的關(guān)鍵，函數(shù)的概念比較抽象，應通過適量練習彌補理解的缺陷，糾正理解上的錯誤本講復習還應掌握：(1)求函數(shù)的定義域的方法；(2)求函數(shù)解析式的基本方法；(3)分段函數(shù)及其應用基礎(chǔ)梳理1函數(shù)的基本概念(1)函數(shù)的定義：設(shè)A、B是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作：yf(x)，xA

2、.(2)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)yf(x)，xA中，x叫自變量，x的取值范圍A叫做定義域，與x的值對應的y值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫值域值域是集合B的子集(3)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應關(guān)系(4)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等；這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)2函數(shù)的三種表示方法表示函數(shù)的常用方法有：解析法、列表法、圖象法3映射的概念一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射 一個方法求復合函數(shù)yf(t)，

3、tq(x)的定義域的方法：若yf(t)的定義域為(a，b)，則解不等式得aq(x)b即可求出yf(q(x)的定義域；若yf(g(x)的定義域為(a，b)，則求出g(x)的值域即為f(t)的定義域兩個防范(1)解決函數(shù)問題，必須優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域(2)用換元法解題時，應注意換元前后的等價性 三個要素函數(shù)的三要素是：定義域、值域和對應關(guān)系值域是由函數(shù)的定義域和對應關(guān)系所確定的兩個函數(shù)的定義域和對應關(guān)系完全一致時，則認為兩個函數(shù)相等函數(shù)是特殊的映射，映射f：AB的三要素是兩個集合A、B和對應關(guān)系f.雙基自測1(人教A版教材習題改編)函數(shù)f(x)log2(3x1)的值域為()A(0，) B0，)C(

4、1，) D1，)解析3x11，f(x)log2(3x1)log210.答案A2(2011江西)若f(x)，則f(x)的定義域為()A. B.C. D(0，)解析由log(2x1)0，即02x11，解得x0.答案A3下列各對函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()Af(x)lg x2，g(x)2lg xBf(x)lg，g(x)lg(x1)lg(x1)Cf(u) ，g(v) Df(x)()2，g(x)答案C4(2010陜西)某學校要召開學生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)yx(x表示不大于x的最

5、大整數(shù))可以表示為()Ay ByCy Dy解析根據(jù)規(guī)定各班每10人推選一名代表，當各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表，即余數(shù)分別為7、8、9時可增選一名代表因此利用取整函數(shù)可表示為y.故選B.答案B5函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示那么，f(x)的定義域是_；值域是_；其中只與x的一個值對應的y值的范圍是_解析任作直線xa，當a不在函數(shù)yf(x)定義域內(nèi)時，直線xa與函數(shù)yf(x)圖象沒有交點；當a在函數(shù)yf(x)定義域內(nèi)時，直線xa與函數(shù)yf(x)的圖象有且只有一個交點任作直線yb，當直線yb與函數(shù)yf(x)的圖象有交點，則b在函數(shù)yf(x)的值域內(nèi)；當直線yb與函數(shù)yf(x)的圖象沒

6、有交點，則b不在函數(shù)yf(x)的值域內(nèi)答案3,02,31,51,2)(4,5考向一求函數(shù)的定義域【例1】求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)；(2)f(x).審題視點 理解各代數(shù)式有意義的前提，列不等式解得解(1)要使函數(shù)f(x)有意義，必須且只須解不等式組得x3，因此函數(shù)f(x)的定義域為3，)(2)要使函數(shù)有意義，必須且只須即解得：1x1.因此f(x)的定義域為(1,1) 求函數(shù)定義域的主要依據(jù)是(1)分式的分母不能為零；(2)偶次方根的被開方式其值非負；(3)對數(shù)式中真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1.【訓練1】 (2012天津耀華中學月考)(1)已知f(x)的定義域為，求函數(shù)yf的定義域；

7、(2)已知函數(shù)f(32x)的定義域為1,2，求f(x)的定義域解(1)令x2xt，知f(t)的定義域為，x2x，整理得所求函數(shù)的定義域為.(2)用換元思想，令32xt，f(t)的定義域即為f(x)的定義域，t32x(x1,2)，1t5，故f(x)的定義域為1,5考向二求函數(shù)的解析式【例2】(1)已知flg x，求f(x)；(2)定義在(1,1)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足2f(x)f(x)lg(x1)，求函數(shù)f(x)的解析式審題視點 (1)用代換法求解；(2)構(gòu)造方程組求解解(1)令t1，則x，f(t)lg ，即f(x)lg .(2)x(1,1)時，有2f(x)f(x)lg(x1)以x代x得，2f(x

8、)f(x)lg(x1)由消去f(x)得f(x)lg(x1)lg(1x)，x(1,1) 求函數(shù)解析式的方法主要有：(1)代入法；(2)換元法；(3)待定系數(shù)法；(4)解函數(shù)方程等【訓練2】 (1)已知f(x)是二次函數(shù)，若f(0)0，且f(x1)f(x)x1，試求f(x)的表達式(2)已知f(x)2f()2x1，求f(x)解(1)由題意可設(shè)f(x)ax2bx(a0)，則a(x1)2b(x1)ax2bxx1ax2(2ab)xabax2(b1)x1解得a，b.因此f(x)x2x.(2)由已知得消去f，得f(x).考向三分段函數(shù)【例3】(2011遼寧)設(shè)函數(shù)f(x)則滿足f(x)2的x的取值范圍是()

9、A1,2 B0,2 C1，) D0，)審題視點 對于分段函數(shù)應分段求解，最后再求其并集解析f(x)2或0x1或x1，故選D.答案D 分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型解決分段函數(shù)問題，關(guān)鍵抓住在不同的段內(nèi)研究問題，如本例中，需分x1和x1時分別解得x的范圍，再求其并集【訓練3】 (2011江蘇)已知實數(shù)a0，函數(shù)f(x)若f(1a)f(1a)，則a的值為_解析分類討論：(1)當a0時，1a1,1a1.這時f(1a)2(1a)a2a；f(1a)(1a)2a13a.由f(1a)f(1a)，得2a13a，解得a，不符合題意，舍去(2)當a0時，1a1,1a1，這時f(1a)(1a)2a1a；f(1a)2(

10、1a)a23a，由f(1a)f(1a)，得1a23a，解得a.綜合(1)，(2)知a的值為.答案閱卷報告1忽視函數(shù)的定義域【問題診斷】 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，所以求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求出函數(shù)的定義域如果是復合函數(shù)，應該根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，首先判斷兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)同增異減的法則求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間由于思維定勢的原因，考生容易忽視定義域，導致錯誤【防范措施】 研究函數(shù)的任何問題時，把求函數(shù)的定義域放在首位，即遵循“定義域優(yōu)先”的原則【示例】 求函數(shù)ylog(x23x)的單調(diào)區(qū)間錯因忽視函數(shù)的定義域，把函數(shù)ylogt的定義域誤認為R導致出錯實錄設(shè)tx23x.函數(shù)

11、t的對稱軸為直線x，故t在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增函數(shù)ylog(x23x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.正解設(shè)tx23x，由t0，得x0或x3，即函數(shù)的定義域為(，0)(3，)函數(shù)t的對稱軸為直線x，故t在(，0)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增而函數(shù)ylogt為單調(diào)遞減函數(shù)，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)ylog(x23x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(3，)【試一試】 求函數(shù)f(x)log2(x22x3)的單調(diào)區(qū)間嘗試解答由x22x30，得x1或x3，即函數(shù)的定義域為(，1)(3，)令tx22x3，則其對稱軸為x1，故t在(，1)上是減函數(shù)，在(3，)上是增函數(shù)又ylog2t為單調(diào)增

12、函數(shù)故函數(shù)ylog2(x22x3)的單調(diào)增區(qū)間為(3，)，單調(diào)減區(qū)間為(，1)第2講函數(shù)的單調(diào)性與最值【高考會這樣考】1考查求函數(shù)單調(diào)性和最值的基本方法2利用函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間3利用函數(shù)的單調(diào)性求最值和參數(shù)的取值范圍【復習指導】本講復習首先回扣課本，從“數(shù)”與“形”兩個角度來把握函數(shù)的單調(diào)性和最值的概念，復習中重點掌握：(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷及其應用；(2)求函數(shù)最值的各種基本方法；對常見題型的解法要熟練掌握基礎(chǔ)梳理1函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I.如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2當x1x2時，都有f(x1)f

13、(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說函數(shù)f (x )在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右圖象是上升的自左向右圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間2函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件.對于任意xI，都有f(x)M；對于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M存在x0I，使得f(x0)M.結(jié)論M為最大值M為最小值一個防范函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制例如函數(shù)y

14、分別在(，0)，(0，)內(nèi)都是單調(diào)遞減的，但不能說它在整個定義域即(，0)(0，)內(nèi)單調(diào)遞減，只能分開寫，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(，0)和(0，)，不能用“”連接兩種形式設(shè)任意x1，x2a，b且x1x2，那么0f(x)在a，b上是增函數(shù)；0f(x)在a，b上是減函數(shù)(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是增函數(shù)；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是減函數(shù)兩條結(jié)論(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值當函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時最值一定在端點取到(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大(小)值四種方法函數(shù)單調(diào)性的判斷(1)定義法：取值、作差、變形、定號、下結(jié)論(2

15、)復合法：同增異減，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時，為增函數(shù)，不同時為減函數(shù)(3)導數(shù)法：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(4)圖象法：利用圖象研究函數(shù)的單調(diào)性雙基自測1設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且在(，0)內(nèi)是減函數(shù)，f(2)0，則xf(x)0的解集為()A(2,0)(2，) B(，2)(0,2)C(，2)(2，) D(2,0)(0,2)答案C2(2011湖南)已知函數(shù)f(x)ex1，g(x)x24x3.若有f(a)g(b)，則b的取值范圍為()A2，2 B(2，2)C1,3 D(1,3)解析函數(shù)f(x)的值域是(1，)，要使得f(a)g(b)，必須使得x24x31.即x24x20，解得2x2.答案B3(201

16、2保定一中質(zhì)檢)已知f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足f1，不等式等價于解得1x1，且x0.答案C4(2011江蘇)函數(shù)f(x)log5(2x1)的單調(diào)增區(qū)間是_解析要使ylog5(2x1)有意義，則2x10，即x，而ylog5u為(0，)上的增函數(shù)，當x時，u2x1也為增函數(shù)，故原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.答案5若x0，則x的最小值為_解析x0，則x2 2 當且僅當x，即x 時，等號成立，因此x的最小值為2 .答案2 考向一函數(shù)的單調(diào)性的判斷【例1】試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性審題視點 可采用定義法或?qū)?shù)法判斷解法一f(x)的定義域為R，在定義域內(nèi)任取x1x2，都有f(x1)f(x2)，其中x1x20，

17、x10，x10.當x1，x2(1,1)時，即|x1|1，|x2|1，|x1x2|1，則x1x21,1x1x20，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，f(x)為增函數(shù)當x1，x2(，1或1，)時，1x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)為減函數(shù)綜上所述，f(x)在1,1上是增函數(shù)，在(，1和1，)上是減函數(shù)法二f(x)，由f(x)0解得1x1.由f(x)0解得x1或x1，f(x)在1,1上是增函數(shù)，在(，1和1，)上是減函數(shù) 判斷(或證明)函數(shù)單調(diào)性的主要方法有：(1)函數(shù)單調(diào)性的定義；(2)觀察函數(shù)的圖象；(3)利用函數(shù)和、差、積、商和復合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則；(4)利用函數(shù)的導

18、數(shù)等【訓練1】 討論函數(shù)f(x)(a0)在(1,1)上的單調(diào)性解設(shè)1x1x20時，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函數(shù)f(x)在(1,1)上遞減；當a0時，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0)在(2，)上遞增，求實數(shù)a的取值范圍審題視點 求參數(shù)的范圍轉(zhuǎn)化為不等式恒成時要注意轉(zhuǎn)化的等價性解法一設(shè)2x1x2，由已知條件f(x1)f(x2)(x1x2)a(x1x2)0恒成立即當2x1a恒成立又x1x24，則0a4.法二f(x)x，f(x)10得f(x)的遞增區(qū)間是(，)，(，)，根據(jù)已知條件2，解得0a4. 已知函數(shù)的解析式，能夠判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，反之已知函數(shù)

19、的單調(diào)區(qū)間可確定函數(shù)解析式中參數(shù)的值或范圍，可通過列不等式或解決不等式恒成立問題進行求解【訓練2】 函數(shù)y在(1，)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()Aa3 Ba3 Ca3 Da3解析y1，需即a3.答案C考向三利用函數(shù)的單調(diào)性求最值【例3】已知函數(shù)f(x)對于任意x，yR，總有f(x)f(y)f(xy)，且當x0時，f(x)0，f(1).(1)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值審題視點 抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷，仍須緊扣定義，結(jié)合題目作適當變形(1)證明法一函數(shù)f(x)對于任意x，yR總有f(x)f(y)f(xy)，令xy0，得f(0)0.再令yx，得f(x)

20、f(x)在R上任取x1x2，則x1x20，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又x0時，f(x)0，而x1x20，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)因此f(x)在R上是減函數(shù)法二設(shè)x1x2，則f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x0時，f(x)0，而x1x20，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在R上為減函數(shù)(2)解f(x)在R上是減函數(shù)，f(x)在3,3上也是減函數(shù)，f(x)在3,3上的最大值和最小值分別為f(3)與f(3)而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.f(x)在3,3上的最大

21、值為2，最小值為2. 對于抽象函數(shù)的單調(diào)性的判斷仍然要緊扣單調(diào)性的定義，結(jié)合題目所給性質(zhì)和相應的條件，對任意x1，x2在所給區(qū)間內(nèi)比較f(x1)f(x2)與0的大小，或與1的大小有時根據(jù)需要，需作適當?shù)淖冃危喝鐇1x2或x1x2x1x2等【訓練3】 已知定義在區(qū)間(0，)上的函數(shù)f(x)滿足ff(x1)f(x2)，且當x1時，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調(diào)性；(3)若f(3)1，求f(x)在2,9上的最小值解(1)令x1x20，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)任取x1，x2(0，)，且x1x2，則1，由于當x1時，f(x)0，所以f0，即f

22、(x1)f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上是單調(diào)遞減函數(shù)(3)f(x)在0，)上是單調(diào)遞減函數(shù)f(x)在2,9上的最小值為f(9)由ff(x1)f(x2)得，ff(9)f(3)，而f(3)1，所以f(9)2.f(x)在2,9上的最小值為2.規(guī)范解答2如何解不等式恒成立問題【問題研究】 在恒成立的條件下，如何確定參數(shù)的范圍是歷年來高考考查的重點內(nèi)容，近年來在新課標地區(qū)的高考命題中，由于三角函數(shù)、數(shù)列、導數(shù)知識的滲透，使原來的分離參數(shù)法、根的分布法增添了思維難度，因而含參數(shù)不等式的恒成立問題常出現(xiàn)在綜合題的位置.【解決方案】 解決這類問題的關(guān)鍵是將恒成立問題進

23、行等價轉(zhuǎn)化，使之轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，或者區(qū)間根的分布問題，進而運用最值原理或者區(qū)間根原理使問題獲解，常用方法還有函數(shù)性質(zhì)法，分離參數(shù)法等.【示例】(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)x22ax2，當x1，)時，f(x)a恒成立，求a的取值范圍 利用函數(shù)性質(zhì)求f(x)的最值，從而解不等式f(x)mina，得a的取值范圍解題過程中要注意a的范圍的討論解答示范 f(x)(xa)22a2，此二次函數(shù)圖象的對稱軸為xa(1分)(1)當a(，1)時，f(x)在1，)上單調(diào)遞增，f(x)minf(1)2a3.(3分)要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得a3，即3a1.(6分)(2)當

24、a1，)時，f(x)minf(a)2a2.(8分)要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a2a(10分)解得2a1，即1a1.(11分)綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為3,1(12分) 本題是利用函數(shù)的性質(zhì)求解恒成立問題，主要的解題步驟是研究函數(shù)的性質(zhì)，由于導數(shù)知識的運用，拓展了這類問題深度和思維的廣度，因此，解答問題時，一般的解題思路是先通過對函數(shù)求導，判斷導函數(shù)的符號，從而確定函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性，得到區(qū)間上對應的函數(shù)最值【試一試】 當x(1,2)時，不等式x2mx40恒成立，則m的取值范圍是_解析法一當x(1,2)時，不等式x2mx40可化為：m5，則m5.法二設(shè)g(x)x2m

25、x4當，即m3時，g(x)g(2)82m，當，即m3時，g(x)g(1)5m由已知條件可得：或解得m5答案(，5第3講函數(shù)的奇偶性與周期性【高考會這樣考】1判斷函數(shù)的奇偶性2利用函數(shù)奇偶性、周期性求函數(shù)值及求參數(shù)值3考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應用【復習指導】本講復習時應結(jié)合具體實例和函數(shù)的圖象，理解函數(shù)的奇偶性、周期性的概念，明確它們在研究函數(shù)中的作用和功能重點解決綜合利用函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題基礎(chǔ)梳理1奇、偶函數(shù)的概念一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(x)f(x)，

26、那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱2奇、偶函數(shù)的性質(zhì)(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反(2)在公共定義域內(nèi)兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù)，兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的和、積都是偶函數(shù)；一個奇函數(shù)，一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù)3周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)yf(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小

27、正周期一條規(guī)律奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件兩個性質(zhì)(1)若奇函數(shù)f(x)在x0處有定義，則f(0)0.(2)設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇三種方法判斷函數(shù)的奇偶性，一般有三種方法：(1)定義法；(2)圖象法；(3)性質(zhì)法三條結(jié)論(1)若對于R上的任意的x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，則yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對稱(2)若對于R上的任意x都有f(2ax)f(x)，且f(2bx)f(x)(其中ab)，則：yf(x)是以2(ba)為周期的周期

28、函數(shù)(3)若f(xa)f(x)或f(xa)或f(xa)，那么函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期為T2a；(3)若f(xa)f(xb)(ab)，那么函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期為T2|ab|.雙基自測1(2011全國)設(shè)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當0x1時，f(x)2x(1x)，則f()A. B. C. D.解析因為f(x)是周期為2的奇函數(shù)，所以fff.故選A.答案A2(2012福州一中月考)f(x)x的圖象關(guān)于()Ay軸對稱 B直線yx對稱C坐標原點對稱 D直線yx對稱解析f(x)的定義域為(，0)(0，)，又f(x)(x)f(x)，則f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱答案C3(

29、2011廣東)設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是()Af(x)|g(x)|是偶函數(shù) Bf(x)|g(x)|是奇函數(shù)C|f(x)|g(x)是偶函數(shù) D|f(x)|g(x)是奇函數(shù)解析由題意知f(x)與|g(x)|均為偶函數(shù)，A項：偶偶偶；B項：偶偶偶，B錯；C項與D項：分別為偶奇偶，偶奇奇均不恒成立，故選A.答案A4(2011福建)對于函數(shù)f(x)asin xbxc(其中，a，bR，cZ)，選取a，b，c的一組值計算f(1)和f(1)，所得出的正確結(jié)果一定不可能是()A4和6 B3和1C2和4 D1和2解析f(1)asin 1bc，f(1)asin 1bc且

30、cZ，f(1)f(1)2c是偶數(shù)，只有D項中兩數(shù)和為奇數(shù)，故不可能是D.答案D5(2011浙江)若函數(shù)f(x)x2|xa|為偶函數(shù)，則實數(shù)a_.解析法一f(x)f(x)對于xR恒成立，|xa|xa|對于xR恒成立，兩邊平方整理得ax0對于xR恒成立，故a0.法二由f(1)f(1)，得|a1|a1|，得a0.答案0考向一判斷函數(shù)的奇偶性【例1】下列函數(shù)：f(x) ；f(x)x3x；f(x)ln(x)；f(x)；f(x)lg.其中奇函數(shù)的個數(shù)是()A2 B3 C4 D5審題視點 利用函數(shù)奇偶性的定義判斷解析f(x)的定義域為1,1，又f(x)f(x)0，則f(x)是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)；f(x)x3

31、x的定義域為R，又f(x)(x)3(x)(x3x)f(x)，則f(x)x3x是奇函數(shù)；由xx|x|0知f(x)ln(x)的定義域為R，又f(x)ln(x)lnln(x)f(x)，則f(x)為奇函數(shù)；f(x)的定義域為R，又f(x)f(x)，則f(x)為奇函數(shù)；由0得1x1，f(x)ln的定義域為(1,1)，又f(x)lnln1lnf(x)，則f(x)為奇函數(shù)答案D 判斷函數(shù)的奇偶性的一般方法是：(1)求函數(shù)的定義域；(2)證明f(x)f(x)或f(x)f(x)成立；或者通過舉反例證明以上兩式不成立如果二者皆未做到是不能下任何結(jié)論的，切忌主觀臆斷【訓練1】 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)；

32、(2)f(x)x2|xa|2.解(1)解不等式組得2x0，或0x2，因此函數(shù)f(x)的定義域是2,0)(0,2，則f(x).f(x)f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)(2)f(x)的定義域是(，)當a0時，f(x)x2|x|2，f(x)x2|x|2x2|x|2f(x)因此f(x)是偶函數(shù)；當a0時，f(a)a22，f(a)a2|2a|2，f(a)f(a)，且f(a)f(a)因此f(x)既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)考向二函數(shù)奇偶性的應用【例2】已知f(x)x(x0)(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)證明：f(x)0.審題視點 (1)用定義判斷或用特值法否定；(2)由奇偶性知只須求對稱區(qū)間上的函數(shù)值大于0

33、.(1)解法一f(x)的定義域是(，0)(0，)f(x)x.f(x)f(x)故f(x)是偶函數(shù)法二f(x)的定義域是(，0)(0，)，f(1)，f(1)，f(x)不是奇函數(shù)f(x)f(x)xxxxx(11)0，f(x)f(x)，f(x)是偶函數(shù)(2)證明當x0時，2x1,2x10，所以f(x)x0.當x0時，x0，所以f(x)0，又f(x)是偶函數(shù)，f(x)f(x)，所以f(x)0.綜上，均有f(x)0. 根據(jù)函數(shù)的奇偶性，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是常用的方法奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反所以對具有奇偶性的函數(shù)的單調(diào)性的研究，只需研究對稱區(qū)間上的單調(diào)性即可【訓練2】

34、已知奇函數(shù)f(x)的定義域為2,2，且在區(qū)間2,0內(nèi)遞減，求滿足：f(1m)f(1m2)0的實數(shù)m的取值范圍解f(x)的定義域為2,2，有解得1m.又f(x)為奇函數(shù)，且在2,0上遞減，在2,2上遞減，f(1m)f(1m2)f(m21)1mm21，即2m1.綜合可知，1m1.考向三函數(shù)的奇偶性與周期性【例3】已知函數(shù)f(x)是(，)上的奇函數(shù)，且f(x)的圖象關(guān)于x1對稱，當x0,1時，f(x)2x1，(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當x1,2時，求f(x)的解析式；(3)計算f(0)f(1)f(2)f(2013)的值審題視點 (1)只需證明f(xT)f(x)，即可說明f(x)為周期函數(shù)

35、；(2)由f(x)在0,1上的解析式及f(x)圖象關(guān)于x1對稱求得f(x)在1,2上的解析式；(3)由周期性求和的值(1)證明函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(x)f(x)，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x1對稱，則f(2x)f(x)f(x)，所以f(4x)f(2x)2f(2x)f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)(2)解當x1,2時，2x0,1，又f(x)的圖象關(guān)于x1對稱，則f(x)f(2x)22x1，x1,2(3)解f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)f(1)f(1)1又f(x)是以4為周期的周期函數(shù)f(0)f(1)f(2)f(2013)f(2 012)f(2 013)f(0)f(1)

36、1. 判斷函數(shù)的周期只需證明f(xT)f(x)(T0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題，是高考考查的重點問題【訓練3】 已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且g(x)f(x1)，則f(2 013)f(2 015)的值為()A1 B1 C0 D無法計算解析由題意，得g(x)f(x1)，又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，f(x)f(x4)，f(x)的周期為4，f(2 013)f(1)，f(2 015)f(3)f(1)，又f(

37、1)f(1)g(0)0，f(2 013)f(2 015)0.答案C規(guī)范解答3如何解決奇偶性、單調(diào)性、周期性的交匯問題【問題研究】 函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性是函數(shù)的三大性質(zhì)，它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，高考作為考查學生綜合能力的選拔性考試，在命題時，常常將它們綜合在一起命制試題.【解決方案】 根據(jù)奇偶性的定義知，函數(shù)的奇偶性主要體現(xiàn)為f(x)與f(x)的相等或相反關(guān)系，而根據(jù)周期函數(shù)的定義知，函數(shù)的周期性主要體現(xiàn)為f(xT)與f(x)的關(guān)系，它們都與f(x)有關(guān)，因此，在一些題目中，函數(shù)的周期性常常通過函數(shù)的奇偶性得到.函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對稱關(guān)系，而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化

38、而變化的規(guī)律，因此，在解題時，往往需借助函數(shù)的奇偶性或周期性來確定函數(shù)在另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性來解決相關(guān)問題.【示例】(本題滿分12分)(2011沈陽模擬)設(shè)f(x)是(，)上的奇函數(shù)，f(x2)f(x)，當0x1時，f(x)x.(1)求f()的值；(2)當4x4時，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積；(3)寫出(，)內(nèi)函數(shù)f(x)的單調(diào)增(或減)區(qū)間 第(1)問先求函數(shù)f(x)的周期，再求f()；第(2)問，推斷函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，再結(jié)合周期畫出圖象，由圖象易求面積；第(3)問，由圖象觀察寫出解答示范 (1)由f(x2)f(x)得，f(x4)

39、f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，(2分)f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(4分)(2)由f(x)是奇函數(shù)與f(x2)f(x)，得：f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)故知函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱(6分)又0x1時，f(x)x，且f(x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱，則f(x)的圖象如圖所示(8分)當4x4時，f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S4SOAB44.(10分)(3)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為4k1,4k1(kZ)，單調(diào)遞減區(qū)間4k1,4k3(kZ)(12分) 關(guān)于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問題，關(guān)

40、鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問題【試一試】 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，則()Af(25)f(11)f(80) Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25) Df(25)f(80)f(11)嘗試解答由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且f(x)在0,2上是增函數(shù)可以推知，f(x)在2,2上遞增，又f(x4)f(x)f(x8)f(x4)f(x)，故函數(shù)f(x)以8為周期，f(25)f(1)，f(11)f(3)f(34)f(1)，f(80)f(0)，故f(25)f(80)f(11)故選D.答案D第4講指數(shù)與指數(shù)

41、函數(shù)【高考會這樣考】1考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)及其應用2以指數(shù)與指數(shù)函數(shù)為知識載體，考查指數(shù)的運算和函數(shù)圖象的應用3以指數(shù)或指數(shù)型函數(shù)為命題背景，重點考查參數(shù)的計算或比較大小【復習指導】1熟練掌握指數(shù)的運算是學好該部分知識的基礎(chǔ)，較高的運算能力是高考得分的保障，所以熟練掌握這一基本技能是重中之重2本講復習，還應結(jié)合具體實例了解指數(shù)函數(shù)的模型，利用圖象掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)重點解決：(1)指數(shù)冪的運算；(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì). 基礎(chǔ)梳理1根式(1)根式的概念如果一個數(shù)的n次方等于a(n1且，nN*)，那么這個數(shù)叫做a的n次方根也就是，若xna，則x叫做a的n次方根，其中n1且nN*.式子叫做根式

42、，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)(2)根式的性質(zhì)當n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)，這時，a的n次方根用符號表示當n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，它們互為相反數(shù)，這時，正數(shù)的正的n次方根用符號表示，負的n次方根用符號表示正負兩個n次方根可以合寫為(a0)na.當n為奇數(shù)時，a；當n為偶數(shù)時， |a|.負數(shù)沒有偶次方根2有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關(guān)概念正整數(shù)指數(shù)冪：anaa (nN*)；零指數(shù)冪：a01(a0)；負整數(shù)指數(shù)冪：ap(a0，pN*)；正分數(shù)指數(shù)冪：a(a0，m、n N*，且n1)；負分數(shù)指數(shù)冪：a(a0，m、nN*且n1)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的

43、負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義(2)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)arasars(a0，r、sQ)(ar)sars(a0，r、sQ)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)yaxa10a1圖象定義域R值域(0，)性質(zhì)過定點(0,1)x0時，0y1x0時，y1.在(，)上是減函數(shù)當x0時，0y1；當x0時，y1；在(，)上是增函數(shù)一個關(guān)系分數(shù)指數(shù)冪與根式的關(guān)系根式與分數(shù)指數(shù)冪的實質(zhì)是相同的，分數(shù)指數(shù)冪與根式可以相互轉(zhuǎn)化，通常利用分數(shù)指數(shù)冪進行根式的化簡運算兩個防范(1)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是由底數(shù)a的大小決定的，因此解題時通常對底數(shù)a按：0a1和a1進行分類討論(2)換元時注意換元后“新元”的范圍三個

44、關(guān)鍵點畫指數(shù)函數(shù)yax(a0，且a1)的圖象，應抓住三個關(guān)鍵點：(1，a)，(0,1)，.雙基自測1(2011山東)若點(a,9)在函數(shù)y3x的圖象上，則tan的值為() A0 B. C1 D.解析由題意有3a9，則a2，tan tan .答案D2(2012郴州五校聯(lián)考)函數(shù)f(x)2|x1|的圖象是()解析f(x)故選B.答案B3若函數(shù)f(x)，則該函數(shù)在(，)上是()A單調(diào)遞減無最小值 B單調(diào)遞減有最小值C單調(diào)遞增無最大值 D單調(diào)遞增有最大值解析設(shè)yf(x)，t2x1，則y，t2x1，x(，)t2x1在(，)上遞增，值域為(1，)因此y在(1，)上遞減，值域為(0,1)答案A4(2011天

45、津)已知a5log23.4，b5log43.6，clog30.3，則()Aabc BbacCacb Dcab解析clog30.35log30.35log3，log23.4log221，log43.6log441，log3log331，又log23.4log2log3 ，log2 3.4log3 log4 3.6又y5x是增函數(shù)，acb.答案C5(2012天津一中月考)已知aa3，則aa1_；a2a2_.解析由已知條件(aa)29.整理得：aa17又(aa1)249，因此a2a247.答案747考向一指數(shù)冪的化簡與求值【例1】化簡下列各式(其中各字母均為正數(shù))(1)；(2)ab2(3ab1)(4

46、ab3).審題視點 熟記有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)是化簡的關(guān)鍵解(1)原式 ab.(2)原式ab3(4ab3) ab3 ab . 化簡結(jié)果要求(1)若題目以根式形式給出，則結(jié)果用根式表示；(2)若題目以分數(shù)指數(shù)冪的形式給出，則結(jié)果用分數(shù)指數(shù)冪表示；(3)結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又有負指數(shù)冪【訓練1】 計算：(1)0.02720；(2).解(1)原式(1)221 49145.(2)原式aabba0b0.考向二指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【例2】已知函數(shù)f(x)x3(a0且a1)(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)討論函數(shù)f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范圍，使f(x)0在定義域上恒成立審題視點 對解析式較復雜的函數(shù)判斷其奇偶性要適當變形；恒成立問題可通過求最值解決解(1)由于ax10，且ax1，所以x0.函數(shù)f(x)的定義域為x|xR，且x0(2)對于定義域內(nèi)任意x，有f(x)(x)3 (x)3(x)3 x3f(x)，f(x)是偶函數(shù)(3)當a1時，對x0，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知ax1，ax10，0.又x0時，x30，x30，即當x0時，f(x)0.