三角學(xué)的起源與發(fā)展

1、20“IP壹、三角學(xué)的起源與發(fā)展三角學(xué)之英文名稱Trigo no metry ，約定名於西元1600年，實(shí)際導(dǎo)源於希臘文trigo no （三角）和metrein （測(cè)量），其原義為三角形測(cè)量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的 邊和角 的關(guān)係為基礎(chǔ)，達(dá)到測(cè)量上的應(yīng)用為目的的一門學(xué)科。早期的三角 學(xué)是天文學(xué)的一部份，後來(lái)研 究範(fàn)圍逐漸擴(kuò)大，變成以三角函數(shù)為主要對(duì)象的學(xué)科?，F(xiàn)在，三角學(xué)的研究範(fàn)圍已不僅限於三角 形，且為數(shù)理分析之基礎(chǔ)，研究實(shí)用科學(xué)所必需之工具。（一）西方的發(fā)展三角學(xué)Trigonometry創(chuàng)始於西元前約150年，早在公元前300年，古代埃及人已有了一定 的三角學(xué)知識(shí)，主要用於

2、測(cè)量。例如建築金字塔、整理尼羅河泛濫後的耕地、通商航海和觀測(cè)天 象等。公元前600年左右古希臘學(xué)者 泰勒斯（P13）利用相似三角形的原理測(cè)出金字塔的高，成為 西方三角測(cè)量的肇始。公元前 2世紀(jì)後希臘天文學(xué)家 希帕霍斯（HiPParchus of Nicaea ）為了天 文觀測(cè)的需要，作了一個(gè)和現(xiàn)在三角函數(shù)表相仿的弦表，即在固定的圓內(nèi)，不同圓心角所對(duì)弦長(zhǎng)的表，他成為西方三角學(xué)的最早奠基者，這個(gè)成就使他贏得了三角學(xué)之父的稱謂。公元2世紀(jì)，希臘天文學(xué)家數(shù)學(xué)家 托勒密（Ptolemy）（85-165）繼承希帕霍斯的成就，加以整理發(fā)揮，著成 天文學(xué)大成13卷，包括從0。至0每隔半度的弦表及若干等價(jià)於三角

3、函數(shù)性質(zhì)的關(guān)係式，被認(rèn)為是西方第一本系統(tǒng)論述三角學(xué)理論的著作。約同時(shí)代的梅內(nèi)勞斯（Menelaus ）寫了一本專門論述球三角學(xué)的著作球面學(xué)，內(nèi)容 包球面三角形的基本概念和許多平面三角形定理在球面上的推廣，以及球面三角形許多獨(dú)特性 質(zhì)。他的工作使希臘三角學(xué)達(dá)到全盛時(shí)期。（二）中國(guó)的發(fā)展我國(guó)古代沒有出現(xiàn)角的函數(shù)概念，只用勾股定理解決了一些三角學(xué)範(fàn)圍內(nèi)的實(shí)際問題。據(jù)周髀算經(jīng)記載，約與 泰勒斯同時(shí)代的陳子已利用勾股定理測(cè)量太陽(yáng)的高度，其方法後來(lái)稱 為重差術(shù)。1631西方三角學(xué)首次輸入，以德國(guó)傳教士鄧玉函、湯若望和我國(guó)學(xué)者徐光啟（P20） 合編的大測(cè)為代表。同年 徐光啟等人還編寫了測(cè)量全義，其中有平面三

4、角和球面三角 的論述。1653年薛風(fēng)祚與波蘭傳教士穆尼閣合編三角算法，以三角取代大測(cè)，確 立了三角名稱。1877年華蘅煦等人對(duì)三角級(jí)數(shù)展開式等問題有過獨(dú)立的探討 ?，F(xiàn)代的三角學(xué)主要研究角的特殊函數(shù)及其在科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用，如幾何計(jì)算等，多發(fā)展於20世紀(jì)中。貳、三角函數(shù)的演進(jìn)正弦函數(shù)、餘弦函數(shù)、正切函數(shù)、餘切函數(shù)、正割函數(shù)、餘割函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)(Trigonometric function )。儘管三角知識(shí)起源於遠(yuǎn)古，但是用線段的比來(lái)定義三角函數(shù)，是歐拉（P16）（1707-1783 ）在無(wú)窮小分析引論一書中首次給出的。在 歐拉之前，研究三角函數(shù)大都在 一個(gè)確定半徑的圓內(nèi)進(jìn)行的。如古希臘的 托勒

5、密定半徑為60 ;印度 人阿耶波多（約476-550） 定半徑為3438 :德國(guó)數(shù)學(xué)家里基奧蒙特納斯（1436-1476 ）為了精密地計(jì)算三角函數(shù)值曾定半徑600,000 ;後來(lái)為製訂更精密的正弦表又定半徑為107。因此，當(dāng)時(shí)的三角函數(shù)實(shí)際上是定圓內(nèi)的一些線段的長(zhǎng)。意大利數(shù)學(xué)家利提克斯(1514-1574 )改變了前人的做法，即過去一般稱 AB為AD的正弦，把正弦與圓牢牢地連結(jié)在一起(如下頁(yè)圖)，而利提克斯卻把它稱為/AOB的正弦，從而使正弦值直接與角掛勾，而使圓 0成為從屬地位了。三角函數(shù)定義為相應(yīng)的線在ABC中，a、b、c為角A、B、C的對(duì)邊，R為AABC的外接圓半徑，則有sm4 sinB

6、 sinC=2Rr稱此定理為正弦定理。正弦定理是由伊朗著名的天文學(xué)家 阿布爾威發(fā)(940-998)首先發(fā)現(xiàn)與証明的。中亞細(xì)亞人阿爾比魯尼973-1048 (p15)給三角形的正弦定理作出了一個(gè)証明。也有說(shuō)正弦定理的証明是13世紀(jì)的那希爾丁在論完全四邊形中第一次把三角學(xué)作為獨(dú)立的學(xué)科進(jìn)行論述，首次清楚地論証了正弦定理。他還指出，由球面三角形的三個(gè)角，可以求得它的三個(gè)邊，或由三邊去求 三個(gè)角。這是區(qū)別球面三角與平面三角的重要標(biāo)誌。至此三角學(xué)開始脫離天文學(xué)，走上獨(dú)立發(fā) 展的道路。托勒密（Claudius Ptolemy ）的天文學(xué)大成第除了一些初級(jí)的天文學(xué)資料之外，還包括了上面講的弦表:1它給出一個(gè)

7、圓從（2 ）到180。每隔半度的所有圓心角所對(duì)的弦的長(zhǎng)度。圓的半徑被分為 60等分，弦長(zhǎng)以每一等分為單位，以六十進(jìn)位制表達(dá)。這樣，以符號(hào)crd a表示圓心角a所對(duì)的弦長(zhǎng)，例如crd 36 =37P455，意思是：36 圓心角的弦等於半徑的553760 （或37個(gè)小部分），加上一個(gè)小部分的60，再加上一個(gè)小部分的3600，從下圖看出,弦表等價(jià)於正弦函數(shù)表,因?yàn)锳B AB crd2 sim =OA圓0的直徑120aOs限內(nèi)間隔公元6世紀(jì)初，印度數(shù)學(xué)家阿耶波多製作了一個(gè)第倫人和希臘人的習(xí)慣，將圓周分為 360度，每度為60分，整AB21600份，然後據(jù)2 n3 45的正弦表，依照巴比r=216000

8、，得出r=3438近似值，然後用勾股定理先算出30 、45 、90。的正弦之後，再用半角公式算出較小角的正弦值，從而獲得每隔3。45的正弦長(zhǎng)表；其中用同一單位度量半徑和圓周，孕育著最早的弧度制概念。他在計(jì)算正弦值的時(shí)候，取圓心角所對(duì)弧的半弦長(zhǎng)，比起希臘 人取全弦長(zhǎng)更近於現(xiàn)代正弦概念。印度人還用到正矢和餘弦，並給出一些三角函數(shù)的近似分?jǐn)?shù)式。2. 正切、餘切著名的敘利亞天文學(xué)、數(shù)學(xué)家 阿爾一巴坦尼850-929胸20年左右，製成了自0 到90 相隔1 的餘切cotangent表。公元727年，僧一行受唐玄宗之命撰成大行曆。為了求得全國(guó)任何一地方一年中各節(jié)氣的日影長(zhǎng)度，一行編出了太陽(yáng)天頂距和八尺之竿

9、的日影長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)表，而太陽(yáng)天頂距和日影長(zhǎng)度的關(guān)係即為正切tangent函數(shù)。而巴坦尼編製的是餘切函數(shù)表,而太陽(yáng)高度角和太陽(yáng)天 頂距角互為餘角，這樣兩人的發(fā)現(xiàn)實(shí)際上是一回事，但巴坦尼比一行要晚近200年。14世紀(jì)中葉，中亞細(xì)亞的 阿魯伯1393-1449，原是成吉思汗的後裔，他組織了大規(guī)模的天文觀測(cè)和數(shù)學(xué)用表的計(jì)算。他的正弦表精確到小數(shù)9位。他還製造了 30。至45 之間相隔為1，45。到90 的相隔為5的正切表。在歐洲，英國(guó)數(shù)學(xué)家、坎特伯雷大主教 布拉瓦丁 1290 ? -1349首先把正切、餘切引入他的三角計(jì)算之中。3. 正割、餘割正割Secant及餘割COsecant這兩個(gè)概念由可布爾威發(fā)首

10、先引入。sec這個(gè)略號(hào)是1626年荷蘭數(shù)基拉德1595-1630在他的三角學(xué)中首先使用，後經(jīng)歐拉採(cǎi)用才得以通行。正割、餘割函數(shù)的現(xiàn)代定義亦是由歐拉給出的 。歐洲的文藝復(fù)興時(shí)期，14世紀(jì)-16世紀(jì)偉大的天文學(xué)家哥白尼1473-1543提倡地動(dòng)學(xué)說(shuō)，他的學(xué)生 利提克斯見到當(dāng)時(shí)天文觀測(cè)日益精密，認(rèn)為推算更精確的三角函數(shù)值表 刻不容緩。於是他 定圓的半徑為1015，以製作每隔10的正弦、正切及正割值表。當(dāng)時(shí)還沒有對(duì)數(shù)，更沒有計(jì)算機(jī)。全靠筆算，任務(wù)十分繁重。利提克斯和他的助手們以堅(jiān)毅不拔的意志,勤奮工作達(dá)12年之久，遺憾的是，他生前沒能完成這項(xiàng)工作，直到1596年，才由他的學(xué)生鄂圖1550-1605完成

11、並公佈於世，1613年海得堡的彼提克斯1561-1613又修訂T利提克斯的三 角函數(shù)表，重新再版。後來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家 納皮爾發(fā)現(xiàn)了對(duì)數(shù)，這就大大地簡(jiǎn)化了三角計(jì)算，為進(jìn)步造出更精確的三角函數(shù)表創(chuàng)造了條件。4. 三角函數(shù)符號(hào)毛羅利科早於1558年已採(cǎi)用三角函數(shù)符號(hào)，但當(dāng)時(shí)並無(wú)函數(shù)概念，於是只稱作三角線（trigo no metric lines ）。他以sinus 1 m arcus表示正弦，以sinus 2m arcus表示餘弦。而首個(gè)真正使用簡(jiǎn)化符號(hào) 表示三角線的人是T.芬克。他於1583年創(chuàng)立以“angent ” （正切）及Secant ”（正害ij）表示相應(yīng)之概念，其後他分別以符號(hào)sin.”,

12、tan.”sec., ”, tZ ” “sec. com ”表示正弦，正切，正割，餘弦，餘切，餘割，首三個(gè)符號(hào)與現(xiàn)代之符號(hào)相同。後來(lái)的符號(hào)多有變化，下列的表便顯示了它們之發(fā)展變化。註：i-現(xiàn)代（歐洲）大陸派三角函數(shù)符n-現(xiàn)代英美派三角函數(shù)符號(hào)我國(guó)現(xiàn)正採(cǎi)用I類三角函數(shù)符號(hào)。1729年，丹尼爾.伯努利 是先以符號(hào)表示反三角函數(shù)，如以AS表示反正弦。1736年歐的弧。拉以At表示反正切，一年後又以Asin 表示於單位圓上正弦值相等於 -cb.11772年，C .申費(fèi)爾以arc. tang.表示反正切；同年，拉格朗日採(cǎi)以arc-sin 表示反1 a正弦函數(shù)。1776年，蘭伯特則

13、以arc. sin表示同樣意思。1794年，鮑利以Arc.sin表示反正弦函數(shù)。其後這些記法逐漸得到普及，去掉符號(hào)中之小點(diǎn)，便成現(xiàn)今通用之符號(hào)，如arc sin x， arc cos x等。於三角函數(shù)前加arc表示反三角函數(shù)，而有時(shí)則改以於三角函數(shù)前加大寫字母開頭Arc,以表示反三角函數(shù)之主值。另一較常用之反三角函數(shù)符號(hào)如sin-1x，tan-1x等，是赫謝爾於1813年開始採(cǎi)用的，把反 三角函數(shù)符號(hào)與反函數(shù)符號(hào)統(tǒng)一起來(lái)，至今亦有應(yīng)用。參、三角函數(shù)的和差化積公式 下列公式J n f 4 + B 4 3 cosN-cosfi =-2sm-an- 2 2sin4-siD = 2cos刁2 2cos

14、4 + cos5-2coscos,2 2A + B A- B血恥或= 2銅丁 cos 丁,稱為三角函數(shù)的和差化積 公式。中收法國(guó)著名數(shù)學(xué)家韋達(dá)1540-1603 （p18）在他的著名的三角學(xué)著作 標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)集並整理了有關(guān)三角公式並給予補(bǔ)充，其中就有他給出的恒等式sin/I - an S = 2cos 綽3 sin 4目2 2【後記】三角函數(shù)名稱的由來(lái)和補(bǔ)充想知道為何三角函數(shù)要叫做sin，cos這些名字嗎？經(jīng)過了多方的查取資料，找到了下圖:S正弦（皿）sine = MP餘弦(cosine)cose=麗 lEW(taTigent)tanG = at餘切(cotangETit)COt9 = BS(5)

15、正割(secanit)secd=麗(6)餘割(cosecant)csc0= os(7)正 (versine)vers0 = MA餘矢We朋d cosine)covers0=NB外割(exsecant)exsecO=ptXsin上面這個(gè)圖稱為三角圓（半徑=1）,是用圖形的方式表達(dá)各函數(shù)。其中我們可以看到,0為PM線段，也就是圓中一條弦（對(duì)2 0圓周角）的一半，所以稱為正弦。而cos 0 是OM 線段，但0M = NP,故我們也可以將cos 0視為 NOP （90 0）的正弦值，也就是0的餘角的正弦值，故稱之為餘弦。其餘類推。另外，除了課本中教的六種三角函數(shù)外，我們還查到了其他的三角函數(shù)，如上圖中

16、的vers0 covers 0和exsec 0。事實(shí)上，在歷史上曾出現(xiàn)過的三角函數(shù)種類超過十種呢！但最後只剩下這六種常用的。其他的還有如半正矢（hav 0）古德曼函數(shù)和反古德曼函數(shù)等?！狙a(bǔ)充：小歷史】 大部分的三角函數(shù)一開始都是由於天文上的需要而造出來(lái)的。在三角函數(shù)傳入中國(guó)時(shí)，正、餘 矢函數(shù)還未廢棄，故徐光啟將八種三角函數(shù)稱為八線。後來(lái)因?yàn)槭割惡瘮?shù)廢棄不用，故八線 之名漸被三角取代，但統(tǒng)一的名稱還是到了民國(guó)以後才確立的。參考資料:1. 梁宗巨（1995），數(shù)學(xué)歷史典故（九章出版社）2. 王懷權(quán) 幾何發(fā)展史（凡異出版社）參考網(wǎng)站:1. httP：/www.edp.ust.hk/math/hist

17、ory /2. .tw/sanchiang/3. /topics/history.html4. 約公元前625-前547,古希臘泰勒斯 Tales of Miletus古希臘哲學(xué)家、自然科學(xué)家。生於小亞細(xì)亞西南海岸米利都,早年是商人，曾遊歷巴比倫、埃及等地。泰勒斯是希臘最早的哲學(xué)學(xué)派一一伊奧尼亞學(xué)派的創(chuàng)始人，他幾乎涉獵了當(dāng)時(shí)人類的全部思想和活動(dòng)領(lǐng)域，被尊為希臘七賢之 首。而他更是以數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)而出名的第一人。他認(rèn)為處處有生命和運(yùn)動(dòng)，並以水為萬(wàn)物的本 源。泰勒斯在數(shù)學(xué)方面的劃時(shí)代貢獻(xiàn)是開始引入了

18、命題證明的思想，它標(biāo)誌著人們對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)從經(jīng)驗(yàn)上升到理論。這在數(shù)學(xué)史上是一次不尋常的飛躍，其重要意義在於:1. 保證命題的正確性，使理論立於不敗之地;2. 揭露各定理之間的內(nèi)在聯(lián)繫，使數(shù)學(xué)構(gòu)成一個(gè)嚴(yán)密的體系，為進(jìn)一步發(fā)展打下基礎(chǔ);3. 使數(shù)學(xué)命題具有充份的說(shuō)服力，令人深信不疑。數(shù)學(xué)自此從具體的、實(shí)驗(yàn)的階段過渡到抽象的、理論的階段，逐漸形成一門獨(dú)立的、演譯的 科學(xué)。證明命題是希臘幾何學(xué)的基本精神，而泰勒斯是希臘幾何學(xué)的先驅(qū)。在幾何學(xué)中，下列的基本成果歸功於他：1. 圓被任一直徑所平分；2. 等腰三角形的兩底角相等；3. 兩條直線相交，對(duì)頂角相等；4. 已知三角形兩角和夾邊，三角形即已確定；5

19、. 對(duì)半圓的圓周角是直角；6. 相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等等。泰勒斯在埃及時(shí)還曾利用日影及比例關(guān)係算出金字塔的高 ，說(shuō)明相似形已有初步認(rèn)識(shí)。在天文學(xué)中他曾精確地預(yù)測(cè)了公元前 585 年 5 月 28日發(fā)生的日食，還可能寫過航海天文學(xué)一書，並已知按春分、夏至、秋分、冬至劃分四季 是不等長(zhǎng)的。阿爾-比魯尼 al-Biruni 973-1050比魯尼生於今烏茲別克的一個(gè)城市，畢生從事科學(xué)研究和寫作，共寫了大約146部著作，但留傳至今的只有22部。按已知其頁(yè)數(shù)的著作估算，比魯尼寫出的手稿當(dāng)有13000頁(yè)之多，當(dāng)中幾乎涉及到當(dāng)時(shí)所有科學(xué)領(lǐng)域，如天文學(xué)、歷史學(xué)、地理學(xué)、數(shù)學(xué)、力學(xué)、醫(yī)學(xué)、 葯物學(xué)、氣象學(xué)等。

20、比魯尼特別偏重於那些易受數(shù)學(xué)影響的學(xué)科，其大部份之著作均是天文學(xué)和占星術(shù)有關(guān)。他在數(shù)學(xué)的應(yīng)用，尤其在數(shù)學(xué)的傳播、東西方數(shù)學(xué)的交流方面，做出了突出 的貢獻(xiàn)。歐拉(Euler Leonhard，1707 1783 )歐拉，瑞士數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家。在 1707年4月15日出生於瑞士的巴塞爾，1783年913歲時(shí)入讀巴月18日於俄國(guó)的彼得堡去逝。歐拉出生於牧師家庭，自幼已受到父親的教育。塞爾大學(xué)，15歲大學(xué)畢業(yè)，16歲獲得碩士學(xué)位。歐拉的父親希望他學(xué)習(xí)神學(xué)，但他最感興趣的是數(shù)學(xué)。在上大學(xué)時(shí)，他已受到約翰第一伯努利的特別指導(dǎo)，專心 研究數(shù)學(xué)，直至 18 歲，他徹底的放棄當(dāng)牧師的想法而專攻數(shù)學(xué)，於19 歲

21、時(shí)( 1726 年)開始創(chuàng)作文章，並獲得巴黎科學(xué)院獎(jiǎng)金。1727 年，在丹尼爾伯努利的推薦下，到俄國(guó)的彼得堡科學(xué)院從事研究工作。並在 1731年接替丹尼爾第一伯努利 ，成為物理學(xué)教授。1735 年，他因工作過度以致右眼失明。在 1741 年，他受到普魯士 腓特烈大帝的邀請(qǐng)到 德國(guó)科學(xué)院擔(dān)任物理數(shù)學(xué)所所長(zhǎng)一職。他在柏林期間，大大的擴(kuò)展了研究的內(nèi)容，如行星運(yùn)動(dòng)、 剛 體運(yùn)動(dòng)、熱力學(xué)、彈道學(xué)、人口學(xué)等，這些工作與他的數(shù)學(xué)研究互相推動(dòng)著。與此同時(shí)，他 在微分方程、曲面微分幾何 及其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域均有開創(chuàng)性的發(fā)現(xiàn)。1771 年，一場(chǎng)重病使他的左眼亦1766 年，他應(yīng)俄國(guó)沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡。在 完全

22、失明。但他以其驚人的 記憶力和心算技巧繼續(xù)從事科學(xué)創(chuàng)作。他通過與助手們的討論以及 直接口授等方式完成了大量的科學(xué)著作，直至生命的 最後一刻。歐拉是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，我們現(xiàn)在習(xí)以為常的 數(shù)學(xué)符號(hào)很多都是歐拉所發(fā)明介紹 的，例如：函數(shù)符號(hào)f(x)、圓週率n、自然對(duì)數(shù)的底e、求和符號(hào) 2、log x、sin x、cos x以及虛數(shù)單位 i 等。喬治西蒙曾稱他為 數(shù)學(xué)界的莎士比亞 。韋達(dá) Francois Vi e te (1540-1603 ).7J -F *r - - canTaSLt / *3 扌-, I法國(guó)數(shù)學(xué)家。亦譯維埃特。因其著作均用拉丁文發(fā)表，故名字當(dāng)用拉丁文拼法，譯為韋達(dá)1603年12月13日卒於巴黎。早年在（ViWa）。1540年生於普瓦圖地區(qū)豐特奈勒孔特,普瓦捷大學(xué)學(xué)習(xí)法律，1560年畢業(yè)後成為律師，後任過巴黎行政法院