詳解數(shù)列求和的方法+典型例題

1、詳解數(shù)列求和的方法+典型例題詳解數(shù)列求和的常用方法數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分數(shù)列的求 和都需要一定的技巧。第一類：公式法利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的 最基本最重要的方法。1、等差數(shù)列的前n項和公式n(a1 a.)n(n 1)dSnna2 22、Sn3、等比數(shù)列的前n項和公式na1(q 1)a1(1 qn) a1 a.q “ 八T(q1)常用幾個數(shù)列的求和公式(1)、n(n 1)2、221-n(n 1)(2n1)6(3)、23332n(n 1)22第二類：乘公比錯項相減(等差等比)這種方法是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主

2、要用于求數(shù)列 an bn的前n項和，其中an， bn分別是等差數(shù)列 和等比數(shù)列。例1：求數(shù)列nqn1（q為常數(shù)）的前n項和。解：1、若 q=0 ,則 Sn=0、若 q = 1，則 Sn 1 2 3 n 卯（n 1）1!1若 q 工 0 且 q 工 1 ,貝 9 Sn 1 2q 3q2qSn q 2q2 3q3n 1nqnnq式一式：(1 q)Sn123q q qn 1nqnqSn.1 (12q q q3n 1n、qnq )1 q1 inqnSn彳（.nq)1 q 1qSnAn1 q2nnq(1 q)1 q0(q0)綜上所述:Sn1嚴弘1）1nnq 2 ：q (q0且 q1)(1q) 1 q解析

3、：數(shù)列nqn1是由數(shù)列n與qn 1對應(yīng)項的積 構(gòu)成的，此類型的才適應(yīng)錯位相減，（課本中的的等比數(shù)列前n項和公式就是用這種方法推導 出來的），但要注意應(yīng)按以上三種情況進行分類 討論，最后再綜合成三種情況。第三類：裂項相消法這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體 應(yīng)用。裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項 （通項）分 解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達 到求和的目的通項分解1、乘積形式，如：（裂項）如:1 1n(n 1) n(2n )2(2n 1)(2 n 1)、(3)、n(n 1)( n1 2)(n 1)(n 2)(n 21a“ n(n 1) 2n1) n 1 n(n 1)2n2(n1(n 1)2

4、n，則S1(n 1)2n（1）、2、根式形式，如:1n I n 1 弋 n例2：求數(shù)列九，九，1n(n 1) ?的前n項和Sn解：.丄J丄n(n 1) n n 11111Sn 1 2 2 3Sn 1丄 n 1例3:求數(shù)列丄1 31n(n 2) ?的前n項和Sn解：由于:1 =-( n(n 2)2 n貝V：Sn 1 (12c 1-1 Sn(1 2 21 1 13)(2 2)n 1 n 211(-n1n 2)4 2n 2 2n 4在裂項求和時候，解析：要先觀察通項類型，尤其要注意：究竟是像例2 一樣剩下首尾兩項, 還是像例3一樣剩下四項。第四類：倒序相加法這是推導等差數(shù)列的前n項和公式時所用的 方

5、法，就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序)，再 把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(a, an)。(1) K f(0)疋)f例4：若函數(shù)f(x)對任意x R都有f(x) f(1 x) 2。(-)f(g) f(1)，數(shù)列an是nn7等差數(shù)列嗎？是證明你的結(jié)論；（2）求數(shù)列的的前n項和Tnan an 1解：（1 ）、anf（o）f（n）f（2）心)nf(1)(倒序相加）則，2aanana1 0 - nf(1)n 1n由條件:2 2 21 an 1an 1心)n2 n 2n n心)n1對任意x22( n1)從而：數(shù)列an是a12,dfd)nf(0)R都有 f(x) f(1 x) 2。1的等差數(shù)列。Tn =-

6、1111233 44 5(n 1、(n2)Tn =.11111 1112334n 1 n 22n 21 12） n 1 n 2、Lan an 1 （n 1）（nn2n 4故:Tn =n2n 4解析：此類型關(guān)鍵是抓住數(shù)列中與首末兩端 等距離的兩項之和相等這一特點來進行倒序相加的此例題不僅利用了倒序相加法，還利用了裂項相消法。在數(shù)列問題中，要學會靈活應(yīng)用不同 的方法加以求解。第五類：分組求和法有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比 數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、 等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并 即可。例5：求數(shù)列宀+nn(n 1)2n1的前n項和1n(n 1)bn2nb3

7、)(an bn)Sn(a1a2asan) (b11111 1Sn(12233n nSn(11丿(12 2 3 22n1令T122322n 2n2Tn2222323n 2nn(a1bj (a2 b2) 式一式：(1 2)Tn 1Tn (1 2 22 232n1 n)2 bsbn)(1 2 2 3 22 n 2n1) 1n 2n 1)2 22 232n1 n 2nn 2n)Tn (n 1) 2n 1故：Sn (1 仁)(n 丫 1 2 & (n 1) 2n例6:求數(shù)列（4）2的前n項和XSn分析：將an （xn 4）2用完全平方和公式展開，X再將其分為幾個數(shù)列的和進行求解。，公比X2等比數(shù)列）（首

8、項（丄）2，公比（丄）2等比數(shù)列）（首項X2（常數(shù)列）I、 X XX令T:1時,:1時,X2X4X2nX2n = 1 14X2X2nX2n 22n 22X XX22_XX 12 2n川、C)4(SXX/ n1 2/ n 2 Cn1an (Xn) =(X )2 Xn(1n)2 =X-X2n21X22nX= X2nXX2 1 2Sn X22(-)2XX42(丄JXX2n2)2nXSn(X2 X4X2n)(2 21 22) (-)2X(丄)4X2 (-)2nx(3X X 1 時，Gn(-)2 (-)XXd)2n 1 11 nXX 1時，Gn（丄）2（丄）XX(I)2 ()2n (丄)2XXX1 (丄

9、)2X1 12n 2X XX212X2n 22XX2 22X XX2 12X2X2n/ 2n(X 1)2 2X (X 1)綜上所述： X 1時，S X 1時，SnGn n 2n2n 2G XGn2X4n2n這個題，除了注意分組求和外, 類討論思想的應(yīng)用。2nX 12n 2X (X 1)還要注意分2n 22XX22n 2X X2nX 1X (X 1)第六類：拆項求和法在這類方法中，我們先研究通項，通項可以 分解成幾個等差或等比數(shù)列的和或差的形式，再 代入公式求和。例7:求數(shù)列9, 99, 999,的前n項和sn 分析：此數(shù)列也既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列啟發(fā)學生先歸納出通項公式an 10n 1可轉(zhuǎn)化 為一個等比數(shù)列與一個常數(shù)列。加。解：由于：貝S分別求和后再相an 10nSn 9 99 99(101 1) (1021 2(10 10 1010 10n 101 10n 110 1091）(103 1)(10n 1)10n) (1 11)例8:1Sn = 1221311n2解：由于:1n2n12n貝H： Sn = (1 2n)右）（等差+等比,利