最短路徑(將軍飲馬+造橋選址)

1、鄖西縣河夾中學(xué) 段廉潔最短路徑問(wèn)題將軍飲馬問(wèn)題造橋選址問(wèn)題最短路徑問(wèn)題垂線段最短。兩點(diǎn)之間，線段最短。LABABLC問(wèn)題1 如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地.牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？ ABCL兩種情形 點(diǎn)A，B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn) 點(diǎn)A,B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)ABllABCBC解決問(wèn)題 1 作圖lABBC 證明lABBCClABBCC證明證明: :問(wèn)題 2 （造橋選址問(wèn)題）如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直。）ABMNab解決問(wèn)題 2

2、 作圖 證明ABMNabAABMNabAMN證明證明: :ABMNabAMN練習(xí) 1、如圖1，臺(tái)球桌上有一個(gè)黑球，一個(gè)白球，如何用球桿去擊白球使其撞到AB邊反彈后再撞到黑球?2、如圖2，四邊形ABCD中，BAD=120，B=D=90,在BC，CD上分別找一點(diǎn)M、N，當(dāng)AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，AMN+ANM的度數(shù)為多少？DBAC圖 1ABDC圖 2AANM鄖西縣河夾鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)鄖西縣河夾鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)段廉潔段廉潔造橋選址問(wèn)題造橋選址問(wèn)題如圖，如圖，A和和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋河上造一座橋MN.喬早在何處才能使從喬早在何處才能使從A到到B的路徑的路徑AMNB最短？（

3、假定河的兩岸是平最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）行的直線，橋要與河垂直）BA思維分析思維分析BA 1、如圖假定任選位置造、如圖假定任選位置造橋，連接和，從橋，連接和，從A到到B的路徑是的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短那么怎樣確定什么情況下最短呢？呢？ 2、利用線段公理解決問(wèn)題我們遇到了什、利用線段公理解決問(wèn)題我們遇到了什么障礙呢？么障礙呢？ 我們能否在不改變我們能否在不改變AM+MN+BN的前提的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？我們呢？思維火花思維火花各抒己見(jiàn)各抒己見(jiàn)1、把、把A平移到岸邊平移到岸邊.2

4、、把、把B平移到岸邊平移到岸邊.3、把橋平移到和、把橋平移到和A相連相連.4、把橋平移到和、把橋平移到和B相連相連.上述方法都能做到使上述方法都能做到使AM+MN+BN不變呢？請(qǐng)不變呢？請(qǐng)檢驗(yàn)檢驗(yàn).合作與交流合作與交流1、2兩種方法改變了兩種方法改變了.怎樣調(diào)整呢？怎樣調(diào)整呢？把把A或或B分別向下或上平移一個(gè)橋長(zhǎng)分別向下或上平移一個(gè)橋長(zhǎng)那么怎樣確定橋的位置呢那么怎樣確定橋的位置呢?問(wèn)題解決問(wèn)題解決BAA1MN如圖，平移如圖，平移A到到A1，使，使A1等于河寬，連接等于河寬，連接A1交河岸于作橋，此交河岸于作橋，此時(shí)路徑時(shí)路徑最短最短.理由；另任作橋理由；另任作橋，連接，連接，.由平移性質(zhì)可知，

5、由平移性質(zhì)可知，.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為，而，而轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為化為.在在中，由線段公理知中，由線段公理知A1N1+BN1A1B因此因此 AM+MN+BN問(wèn)題延伸一問(wèn)題延伸一如圖，如圖，A和和B兩地之間兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋條河上各造一座橋MN和和PQ.橋分別建在何處橋分別建在何處才能使從才能使從A到到B的路徑的路徑最短？（假定河的兩最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）要與河岸垂直）思維分析思維分析如圖，問(wèn)題中所走總路徑是如圖，問(wèn)題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+橋橋MN和和PQ在中間，且方向不在中間，且方向不能改變，仍

6、無(wú)法直接利用能改變，仍無(wú)法直接利用“兩兩點(diǎn)之間，線段最短點(diǎn)之間，線段最短”解決問(wèn)題，解決問(wèn)題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè)先走橋長(zhǎng)或同一側(cè)先走橋長(zhǎng).平移的方法有三種：兩個(gè)橋長(zhǎng)都平移平移的方法有三種：兩個(gè)橋長(zhǎng)都平移到到A點(diǎn)處、都平移到點(diǎn)處、都平移到B點(diǎn)處、點(diǎn)處、MN平移平移到到A點(diǎn)處，點(diǎn)處，PQ平移到平移到B點(diǎn)處點(diǎn)處思維方法一思維方法一 1、沿垂直于第一條河岸的方向平移、沿垂直于第一條河岸的方向平移A點(diǎn)至點(diǎn)至AA1使使AA1=MN，此時(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為問(wèn)題基本題，此時(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為問(wèn)題基本題型兩點(diǎn)（型兩點(diǎn)（A1、B點(diǎn)）和一條河建橋（點(diǎn)）和一條河建橋（PQ）2、利用基本問(wèn)題的

7、解決方法確定橋、利用基本問(wèn)題的解決方法確定橋PQ：（1）在沿垂直于第二條河岸的方向平移）在沿垂直于第二條河岸的方向平移A1至至A2， 使使A1A2=PQ.（2）連接）連接A2B交交A2的對(duì)岸的對(duì)岸Q點(diǎn)，在點(diǎn)處建橋點(diǎn)，在點(diǎn)處建橋PQ.3、確定、確定PQ的位置，也確定了的位置，也確定了BQ和和PQ，此時(shí)問(wèn)題，此時(shí)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為由可轉(zhuǎn)化為由A點(diǎn)、點(diǎn)、P點(diǎn)和第一條河確定橋點(diǎn)和第一條河確定橋MN的位置的位置.連接連接A1P交的對(duì)岸于點(diǎn)，在點(diǎn)處建橋交的對(duì)岸于點(diǎn)，在點(diǎn)處建橋問(wèn)題解決問(wèn)題解決沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把點(diǎn)、，使點(diǎn)、，使，；連接交于點(diǎn)相鄰連接交于點(diǎn)相鄰河岸于點(diǎn)，建橋；河岸于點(diǎn)，建橋

8、；連接交的對(duì)岸連接交的對(duì)岸于點(diǎn)，建橋；于點(diǎn)，建橋；從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑為為MMN思維方法二思維方法二 沿垂直于第一條河岸方沿垂直于第一條河岸方向平移點(diǎn)至點(diǎn)，沿向平移點(diǎn)至點(diǎn)，沿垂直于第二條河岸方向平移垂直于第二條河岸方向平移點(diǎn)至點(diǎn)，連接點(diǎn)至點(diǎn)，連接A1B1 分別交分別交A、B的對(duì)岸于的對(duì)岸于N、P兩點(diǎn)，建橋兩點(diǎn)，建橋MN和和PQ.最短路徑最短路徑AM+MN+NP+PQ+QB轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為AA1+A1B1+BB1.思維方法三思維方法三沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把B點(diǎn)平移至點(diǎn)平移至B、B，使，使BBPQ，BBMN；連接連接BA交于交于A點(diǎn)相鄰河點(diǎn)相鄰河岸于岸于M點(diǎn)，建橋

9、點(diǎn)，建橋MN；連接連接BN交交B的對(duì)岸于的對(duì)岸于P點(diǎn)，建橋點(diǎn)，建橋PQ；從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑為為MMNNP轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為為AB2+B2B1+B1B問(wèn)題延伸二問(wèn)題延伸二如圖，如圖，A和和B兩地之間兩地之間有三條河，現(xiàn)要在兩有三條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋條河上各造一座橋MN、PQ和和GH.橋分別建在橋分別建在何處才能使從何處才能使從A到到B的的路徑最短？（假定河路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）橋要與河岸垂直）思維分析思維分析如圖，問(wèn)題中所走總路徑是如圖，問(wèn)題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+G+GH+HB橋橋MN、PQ和和GH在中間，且

10、方在中間，且方向不能改變，仍無(wú)法直接利用向不能改變，仍無(wú)法直接利用“兩點(diǎn)之間，線段最短兩點(diǎn)之間，線段最短”解決解決問(wèn)題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移問(wèn)題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè)先走橋長(zhǎng)到兩側(cè)或同一側(cè)先走橋長(zhǎng).平移的方法有四種：三個(gè)橋長(zhǎng)都平移平移的方法有四種：三個(gè)橋長(zhǎng)都平移到到A點(diǎn)處；都平移到點(diǎn)處；都平移到B點(diǎn)處；點(diǎn)處；MN、PQ平移到平移到A點(diǎn)處；點(diǎn)處；PQ、GH平移到平移到B點(diǎn)處點(diǎn)處問(wèn)題解決問(wèn)題解決沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把A點(diǎn)平點(diǎn)平移至移至A、A、A3，使，使AAMN，AAPQ，A2A3 =GH ；連接連接A3B交于交于B點(diǎn)相鄰河岸于點(diǎn)相鄰河岸于H點(diǎn)，建橋點(diǎn)，建橋GH

11、；連接連接A2G交第二河與交第二河與G對(duì)岸的對(duì)岸的P點(diǎn)，建橋點(diǎn)，建橋PQ；連接連接A1P交第一條河與交第一條河與A的對(duì)岸的對(duì)岸于于N點(diǎn)，建橋點(diǎn)，建橋MN.此時(shí)從此時(shí)從A到到B點(diǎn)路徑最短點(diǎn)路徑最短.沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把A點(diǎn)平點(diǎn)平移至移至A、A、A3，使，使AAMN，AAPQ，A2A3 =GH ；連接連接A3B交于交于B點(diǎn)相鄰河岸于點(diǎn)相鄰河岸于H點(diǎn)，建橋點(diǎn)，建橋GH；連接連接A2G交第二河與交第二河與G對(duì)岸的對(duì)岸的P點(diǎn)，建橋點(diǎn)，建橋PQ；連接連接A1P交第一條河與交第一條河與A的對(duì)岸的對(duì)岸于于N點(diǎn)，建橋點(diǎn)，建橋MN.此時(shí)從此時(shí)從A到到B點(diǎn)路徑最短點(diǎn)路徑最短.問(wèn)題解決問(wèn)題解決

12、沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把A點(diǎn)平移點(diǎn)平移至至A，使，使AAMN，平移，平移B點(diǎn)至點(diǎn)至B1、B2 ,使使BB1GH，B1B2 =PQ ；連接連接A1B2交第一條河與交第一條河與A點(diǎn)相對(duì)河點(diǎn)相對(duì)河岸于岸于N點(diǎn)，交第二條河與點(diǎn)，交第二條河與N相鄰河岸相鄰河岸于于P點(diǎn)，建橋點(diǎn)，建橋MN、PQ；連接連接B1Q交第三條河與交第三條河與Q相鄰河岸相鄰河岸的的G點(diǎn)，建橋點(diǎn)，建橋GH；此時(shí)從此時(shí)從A到到B點(diǎn)路徑最短點(diǎn)路徑最短.問(wèn)題解決問(wèn)題解決沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把A點(diǎn)平移點(diǎn)平移至至A、A2，使，使AAMN，平移，平移B點(diǎn)至點(diǎn)至B1 ,使使BB1GH ；連接連接AB交第三條河與點(diǎn)相對(duì)交第三條河與點(diǎn)相對(duì)河岸于點(diǎn)，交第二條河與相鄰河岸于點(diǎn)，交第二條河與相鄰河岸于點(diǎn)，建橋、河岸于點(diǎn)，建橋、PQ；連接連接1交第一條河與相鄰河岸交第一條河與相鄰河岸的點(diǎn)，建橋；的點(diǎn)，建橋；此時(shí)從此時(shí)從A到到B點(diǎn)路徑最短點(diǎn)路徑最短.問(wèn)題解決問(wèn)題解決沿垂直于河岸