自動(dòng)控制理論第四章線性系統(tǒng)的根軌跡分析

1、 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由其閉環(huán)極點(diǎn)唯一確定控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由其閉環(huán)極點(diǎn)唯一確定 ，系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的基本特性與系統(tǒng)系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的基本特性與系統(tǒng)的閉環(huán)零、極點(diǎn)在平面上分布的位置有關(guān)。的閉環(huán)零、極點(diǎn)在平面上分布的位置有關(guān)。因此因此,在分析系統(tǒng)性能時(shí)在分析系統(tǒng)性能時(shí),需要定量研究系統(tǒng)的需要定量研究系統(tǒng)的一個(gè)或者多個(gè)參量在一定范圍內(nèi)變化時(shí)一個(gè)或者多個(gè)參量在一定范圍內(nèi)變化時(shí),系統(tǒng)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的位置變化以及對(duì)系統(tǒng)性能的影響。閉環(huán)極點(diǎn)的位置變化以及對(duì)系統(tǒng)性能的影響。 第四章第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡分析線性系統(tǒng)的根軌跡分析1948年年,伊萬斯（伊萬斯（W.R.Evans）根據(jù)反饋系統(tǒng)開、閉）根

2、據(jù)反饋系統(tǒng)開、閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系環(huán)傳遞函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系,提出了直接由開環(huán)傳遞提出了直接由開環(huán)傳遞函數(shù)尋求閉環(huán)特征根（即閉環(huán)極點(diǎn)）移動(dòng)軌跡的方法函數(shù)尋求閉環(huán)特征根（即閉環(huán)極點(diǎn)）移動(dòng)軌跡的方法,建立了一套繪制根軌跡的規(guī)則建立了一套繪制根軌跡的規(guī)則,這就是被廣泛應(yīng)用的這就是被廣泛應(yīng)用的根軌跡法。該方法可以簡(jiǎn)便、直觀地分析系統(tǒng)特征根根軌跡法。該方法可以簡(jiǎn)便、直觀地分析系統(tǒng)特征根與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系。適用于單閉環(huán)系統(tǒng)與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系。適用于單閉環(huán)系統(tǒng),也可用也可用于多閉環(huán)系統(tǒng)。于多閉環(huán)系統(tǒng)。根軌跡法作為經(jīng)典控制理論的基本方法根軌跡法作為經(jīng)典控制理論的基本方法,與頻率特性法與頻率特性法互為補(bǔ)

3、充互為補(bǔ)充,是分析和研究自動(dòng)控制系統(tǒng)的有效工具。是分析和研究自動(dòng)控制系統(tǒng)的有效工具。實(shí)際上，我們可以利用實(shí)際上，我們可以利用matlab方便地繪制系統(tǒng)的根軌方便地繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。跡圖。第一節(jié)第一節(jié) 根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念第二節(jié)第二節(jié) 繪制根軌跡的方法繪制根軌跡的方法第三節(jié)第三節(jié) 參量根軌跡和多回路系統(tǒng)根軌跡參量根軌跡和多回路系統(tǒng)根軌跡第四節(jié)第四節(jié) 正反饋系統(tǒng)和零度根軌跡正反饋系統(tǒng)和零度根軌跡第五節(jié)第五節(jié) 利用根軌跡分析系統(tǒng)的暫態(tài)性能利用根軌跡分析系統(tǒng)的暫態(tài)性能第六節(jié)第六節(jié) 延遲系統(tǒng)的根軌跡延遲系統(tǒng)的根軌跡本章小結(jié)、重點(diǎn)和習(xí)題本章小結(jié)、重點(diǎn)和習(xí)題本章內(nèi)容例如圖所示的閉環(huán)傳函為：例如

4、圖所示的閉環(huán)傳函為：特征方程特征方程 的根為的根為KSSKSRSC2)()(02KSSKS4121211KS4121212圖圖4-1 二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)第一節(jié)第一節(jié) 根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念如果系統(tǒng)的開環(huán)增益如果系統(tǒng)的開環(huán)增益K（根軌跡（根軌跡增益增益K1）從）從0向向 變化時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)變化時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)特征根在復(fù)平面上的變化情況繪制為特征根在復(fù)平面上的變化情況繪制為曲線，如圖所示。曲線，如圖所示。 這樣獲得的曲線稱為這樣獲得的曲線稱為K1從從0向向 變變化時(shí)系統(tǒng)的根軌跡。化時(shí)系統(tǒng)的根軌跡。K=0.25K=0.25K=0K=0K=0K=0K KK K-1-1jj 定義定義：當(dāng)系統(tǒng)中某一參數(shù)

5、當(dāng)系統(tǒng)中某一參數(shù)( (一般以增益為變化一般以增益為變化參數(shù)參數(shù)) )發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)特征根在發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)特征根在s平面上描平面上描繪的曲線稱系統(tǒng)的根軌跡。繪的曲線稱系統(tǒng)的根軌跡。 一般地，繪制系統(tǒng)根軌跡時(shí)選擇的可變一般地，繪制系統(tǒng)根軌跡時(shí)選擇的可變參量可以是系統(tǒng)的任意參量。以系統(tǒng)根軌跡參量可以是系統(tǒng)的任意參量。以系統(tǒng)根軌跡增益增益K1為可變參量繪制的根軌跡稱為為可變參量繪制的根軌跡稱為常規(guī)根常規(guī)根軌跡軌跡。以其它參數(shù)為變量繪制的根軌跡稱為。以其它參數(shù)為變量繪制的根軌跡稱為參量根軌跡參量根軌跡。 暫態(tài)性能暫態(tài)性能 （）當(dāng)（）當(dāng) .25時(shí)，閉環(huán)特征根為實(shí)時(shí)，閉環(huán)特征根為實(shí)根，系統(tǒng)是過阻

6、尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為非周期過程。根，系統(tǒng)是過阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為非周期過程。 （）當(dāng)（）當(dāng).25時(shí)，兩特征根會(huì)重合，均時(shí)，兩特征根會(huì)重合，均為為0.5，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。 （）當(dāng)（）當(dāng).25時(shí)，兩特征根變?yōu)楣曹棌?fù)時(shí)，兩特征根變?yōu)楣曹棌?fù)根，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為衰減震蕩過根，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為衰減震蕩過程。程。 K=0.25K=0K=0KK-1j從系統(tǒng)的根軌跡圖，可以獲得下述信息從系統(tǒng)的根軌跡圖，可以獲得下述信息: . .穩(wěn)定性：穩(wěn)定性：因?yàn)楦壽E全部位于左半因?yàn)楦壽E全部位于左半平面，故閉環(huán)系平面，故閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)所有的值都是穩(wěn)定的。統(tǒng)對(duì)所有的值都是穩(wěn)

7、定的。圖圖4-2 二階系統(tǒng)的根軌跡二階系統(tǒng)的根軌跡 . .穩(wěn)態(tài)性能：穩(wěn)態(tài)性能：因?yàn)殚_環(huán)傳函有一個(gè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的極點(diǎn)，因?yàn)殚_環(huán)傳函有一個(gè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的極點(diǎn)，所以為所以為I I型系統(tǒng)，階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為型系統(tǒng)，階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為0。由以上分析得知：由以上分析得知： 根軌跡表明了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)閉環(huán)極點(diǎn)分布的影響，通過它可以分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)性能與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系。 利用根軌跡，可對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行下述分析：利用根軌跡，可對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行下述分析：（1 1）判斷該系統(tǒng)在）判斷該系統(tǒng)在K1從從0到到 變化時(shí)變化時(shí)的穩(wěn)定性；的穩(wěn)定性；（2 2）判斷系統(tǒng)在）判斷系統(tǒng)在K1從從0到到 變化時(shí)

8、變化時(shí)根軌跡的條數(shù)；根軌跡的條數(shù)；（3 3）判斷該系統(tǒng)）判斷該系統(tǒng)K1取值在取值在何范圍時(shí)處于過阻尼、何范圍時(shí)處于過阻尼、 臨界阻尼和臨界阻尼和欠阻尼狀態(tài)；欠阻尼狀態(tài)； （4 4）判斷系統(tǒng)的）判斷系統(tǒng)的“型型”，從而計(jì)算系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)特性；，從而計(jì)算系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)特性； （5 5）當(dāng)）當(dāng)K1值確定后，在根軌跡上找到閉環(huán)極點(diǎn)，從而計(jì)算系值確定后，在根軌跡上找到閉環(huán)極點(diǎn)，從而計(jì)算系統(tǒng)閉環(huán)性能指標(biāo)；或反之；統(tǒng)閉環(huán)性能指標(biāo)；或反之；一、繪制根軌跡的基本條件一、繪制根軌跡的基本條件 討論圖討論圖4-34-3所示系統(tǒng)所示系統(tǒng) ，特征方程為特征方程為 1G(s)H(s)=0 或或 G(s)H(s)=-1 根據(jù)復(fù)數(shù)等式兩

9、邊的幅值和相角根據(jù)復(fù)數(shù)等式兩邊的幅值和相角 應(yīng)分別相等的原則，可得繪制系統(tǒng)應(yīng)分別相等的原則，可得繪制系統(tǒng) 根軌跡的基本條件根軌跡的基本條件，即即：幅值條件和相角條件幅值條件和相角條件： 以上條件是判斷復(fù)平面上某點(diǎn)是否在系統(tǒng)根以上條件是判斷復(fù)平面上某點(diǎn)是否在系統(tǒng)根軌跡上的充要條件。軌跡上的充要條件。 圖圖4-3 系統(tǒng)方框圖系統(tǒng)方框圖第二節(jié)第二節(jié) 繪制根軌跡的基本方法繪制根軌跡的基本方法， 210q),12(180)()(qSHSG1)()(SHSG 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)通?？梢詫懗蓛煞N因子形式，即系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)通常可以寫成兩種因子形式，即時(shí)間常數(shù)表達(dá)式時(shí)間常數(shù)表達(dá)式和和零極點(diǎn)表達(dá)式。零極點(diǎn)表達(dá)式。

10、（1）時(shí)間常數(shù)表達(dá)式：）時(shí)間常數(shù)表達(dá)式：（2）零極點(diǎn)表達(dá)式：）零極點(diǎn)表達(dá)式：此時(shí)幅值條件和相角條件分別為：此時(shí)幅值條件和相角條件分別為：1111niimjjpszsK180) 12()()(11mjniijqpszs,2, 1 ,0q（）（）一、繪制一、繪制根軌跡的根軌跡的條件條件njjmiissTKsHsG11) 1() 1()()(njjmiipszsKsHsG111)()()()(miinjjzspsK111 在實(shí)際繪制根軌跡時(shí)，只要依據(jù)相角條件就可以繪制根在實(shí)際繪制根軌跡時(shí)，只要依據(jù)相角條件就可以繪制根軌跡，而幅值條件主要用于確定根軌跡上各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的根軌跡軌跡，而幅值條件主要用于確定根軌

11、跡上各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的根軌跡增益增益K K1 1值。值。【例例4- -1】單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán) 傳遞函數(shù)為傳遞函數(shù)為: : 試檢驗(yàn)試檢驗(yàn)S1 1=-1.5+j2.5=-1.5+j2.5是否為該系統(tǒng)根軌跡上的點(diǎn)；如果是否為該系統(tǒng)根軌跡上的點(diǎn)；如果是，則確定與它相對(duì)應(yīng)的是，則確定與它相對(duì)應(yīng)的K1 1值是多少。值是多少。滿足相角條件滿足相角條件, ,s1 1=-1.5+j2.5=-1.5+j2.5是該系統(tǒng)根軌跡上的點(diǎn)。是該系統(tǒng)根軌跡上的點(diǎn)。) 6 . 6)(2() 4()(1ssssKsG解解: :（1 1）確定開環(huán)零、極點(diǎn)）確定開環(huán)零、極點(diǎn), ,并標(biāo)注到復(fù)平面上并標(biāo)注到復(fù)平面上p1 1=0

12、,=0,p2 2=-2, =-2, p3 3=-6.6, =-6.6, z1 1=-4=-4，76.18011.2669.7896.12045)5 . 21 . 5()5 . 25 . 0()5 . 25 . 1()5 . 25 . 2()6 . 6()2()4(1111jjjjssss （2 2）將）將s1 1坐標(biāo)帶入相角條件坐標(biāo)帶入相角條件：根據(jù)相角條件確定根軌跡上的點(diǎn)根據(jù)相角條件確定根軌跡上的點(diǎn)S1 1 ：以以S1 1到各零極點(diǎn)連直線到各零極點(diǎn)連直線； 用量角器量用量角器量 s1p1,等各個(gè)角將量好的值代入等各個(gè)角將量好的值代入相角條件相角條件，若等式成立，則，若等式成立，則s1 1就是

13、根軌跡上的點(diǎn)就是根軌跡上的點(diǎn)本例說明的是一種試探法繪制系統(tǒng)根軌跡的例子本例說明的是一種試探法繪制系統(tǒng)根軌跡的例子, ,十分煩瑣。十分煩瑣。圖4-4 例4-1圖（3 3）利用幅值條件求得與）利用幅值條件求得與s1 1相對(duì)應(yīng)的相對(duì)應(yīng)的K1 1值。值。11111(2) (6.6)(4)sssKs1.52.5 0.52.5 5.12.52.52.5jjjj11.94 在繪制根軌跡時(shí)，在感興趣的區(qū)段，要比較細(xì)致在繪制根軌跡時(shí)，在感興趣的區(qū)段，要比較細(xì)致地繪制，可用試探法，根據(jù)相角條件確定幾個(gè)根軌跡地繪制，可用試探法，根據(jù)相角條件確定幾個(gè)根軌跡上的點(diǎn)。允許有一定的誤差，比如上的點(diǎn)。允許有一定的誤差，比如。

14、而其它區(qū)。而其它區(qū)段的根軌跡則可根據(jù)一些規(guī)則迅速的勾畫出來。段的根軌跡則可根據(jù)一些規(guī)則迅速的勾畫出來。 繪制根軌跡圖時(shí)，繪制根軌跡圖時(shí)，平面虛軸和實(shí)軸的坐標(biāo)比平面虛軸和實(shí)軸的坐標(biāo)比例應(yīng)取得一致。例應(yīng)取得一致。 繪制根軌跡的基本規(guī)則實(shí)際上是系統(tǒng)根軌跡的一些基本繪制根軌跡的基本規(guī)則實(shí)際上是系統(tǒng)根軌跡的一些基本性質(zhì)，掌握了這些基本規(guī)則，將能幫助我們更準(zhǔn)確、更迅速性質(zhì)，掌握了這些基本規(guī)則，將能幫助我們更準(zhǔn)確、更迅速的繪制根軌跡。的繪制根軌跡。二、繪制根軌跡的基本規(guī)則二、繪制根軌跡的基本規(guī)則規(guī)則規(guī)則2 2：根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)。根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)。 起始點(diǎn)起始點(diǎn)： K1=0時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)，即系統(tǒng)的開環(huán)極時(shí)的

15、閉環(huán)極點(diǎn)，即系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)。起始點(diǎn)與終止點(diǎn)個(gè)數(shù)相等，均為點(diǎn)。起始點(diǎn)與終止點(diǎn)個(gè)數(shù)相等，均為n； 終止點(diǎn)終止點(diǎn)：（：（1 1）有限值終止點(diǎn)：當(dāng)）有限值終止點(diǎn)：當(dāng)K1時(shí)，有時(shí)，有m條分支趨向開環(huán)零點(diǎn)；（條分支趨向開環(huán)零點(diǎn)；（2 2）無限遠(yuǎn)終止點(diǎn)：）無限遠(yuǎn)終止點(diǎn)：n-m條條分支趨向無窮遠(yuǎn)處分支趨向無窮遠(yuǎn)處, ,需要確定其方位和走向。需要確定其方位和走向。 規(guī)則規(guī)則1 1：根軌跡的分支數(shù)和對(duì)稱性。根軌跡的分支數(shù)和對(duì)稱性。 根軌跡的分支數(shù)等于特征方程的階數(shù)根軌跡的分支數(shù)等于特征方程的階數(shù)n；根軌；根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸。跡對(duì)稱于實(shí)軸。 1111)()(Kpszsniimjj幅值條件改寫幅值條件改寫當(dāng)，必有，即起

16、點(diǎn)是開環(huán)極點(diǎn)。當(dāng)，必有，即起點(diǎn)是開環(huán)極點(diǎn)。當(dāng)，必有，即終點(diǎn)是開環(huán)零點(diǎn)。當(dāng)，必有，即終點(diǎn)是開環(huán)零點(diǎn)。01K1Kipjz但在控制系統(tǒng)中，總有但在控制系統(tǒng)中，總有nm，所以根軌跡從，所以根軌跡從n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)處個(gè)開環(huán)極點(diǎn)處起始，到起始，到m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)處終止，剩下的個(gè)開環(huán)零點(diǎn)處終止，剩下的nm條根軌跡將趨條根軌跡將趨于無窮遠(yuǎn)處。于無窮遠(yuǎn)處。舉例如題，起點(diǎn)：，無零點(diǎn)，舉例如題，起點(diǎn)：，無零點(diǎn)，n=，m=0，nm=2，有兩條根軌跡，有兩條根軌跡) 1()(SSKSGK=0.25K=0.25K=0K=0K=0K=0K KK K-1-1jj 規(guī)則規(guī)則3 3: 實(shí)軸上的根軌跡。實(shí)軸上的根軌跡。 實(shí)軸上某線段右邊的

17、實(shí)零點(diǎn)和實(shí)極點(diǎn)總數(shù)為奇數(shù)時(shí)，實(shí)軸上某線段右邊的實(shí)零點(diǎn)和實(shí)極點(diǎn)總數(shù)為奇數(shù)時(shí)，這些線段就是根軌跡的一部分。如圖這些線段就是根軌跡的一部分。如圖4-54-5所示。所示。 圖4-5 實(shí)軸上的根軌跡證明證明：s1左邊每個(gè)開環(huán)極點(diǎn)或零點(diǎn)左邊每個(gè)開環(huán)極點(diǎn)或零點(diǎn)提供的相角為提供的相角為0， s1右邊每個(gè)開環(huán)極右邊每個(gè)開環(huán)極點(diǎn)或零點(diǎn)提供的相角為點(diǎn)或零點(diǎn)提供的相角為180， 每對(duì)共軛極點(diǎn)和零點(diǎn)提供的相每對(duì)共軛極點(diǎn)和零點(diǎn)提供的相角之和為角之和為0或或360，互相抵消。因此，互相抵消。因此開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)、零點(diǎn)對(duì)實(shí)軸上開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)、零點(diǎn)對(duì)實(shí)軸上根軌跡的位置沒有影響，僅取決于根軌跡的位置沒有影響，僅取決于實(shí)軸上的開

18、環(huán)零、極點(diǎn)。實(shí)軸上的開環(huán)零、極點(diǎn)。 故，只有其右邊開環(huán)零點(diǎn)、極故，只有其右邊開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)的總數(shù)為奇數(shù)的實(shí)軸線段才滿足點(diǎn)的總數(shù)為奇數(shù)的實(shí)軸線段才滿足相角條件。相角條件。-2-4joo-3-1例例2：（單位反饋）（單位反饋）有三個(gè)極點(diǎn)，根軌跡有三個(gè)極點(diǎn)，根軌跡有三條分支有三條分支n=3,m=2有條根有條根軌跡軌跡，條終止于開，條終止于開環(huán)零點(diǎn)。環(huán)零點(diǎn)。在實(shí)軸上的根軌跡如圖在實(shí)軸上的根軌跡如圖 規(guī)則規(guī)則4 4:根軌跡的漸近線。根軌跡的漸近線。 當(dāng)系統(tǒng)的根軌跡增益當(dāng)系統(tǒng)的根軌跡增益K1 1時(shí)，趨向無窮遠(yuǎn)處的時(shí)，趨向無窮遠(yuǎn)處的根軌跡共有根軌跡共有n- -m條，它們趨向無窮遠(yuǎn)處的方位可由條，它們趨向無窮

19、遠(yuǎn)處的方位可由漸近線決定。漸近線決定。（1 1）漸近線與實(shí)軸的傾角為：）漸近線與實(shí)軸的傾角為：（2 2）漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：）漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為： 當(dāng)當(dāng)q=0時(shí)，求得的漸進(jìn)線傾角最小，時(shí)，求得的漸進(jìn)線傾角最小，q增大，傾角值將重增大，傾角值將重復(fù)出現(xiàn)，而獨(dú)立的漸進(jìn)線只有（復(fù)出現(xiàn)，而獨(dú)立的漸進(jìn)線只有（nm）條）條mnqa180) 12(mnzpnimjjia11 在計(jì)算時(shí)，考在計(jì)算時(shí)，考慮到共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)、慮到共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)、零點(diǎn)的虛部總是相零點(diǎn)的虛部總是相互抵消，只須把開互抵消，只須把開環(huán)零、極點(diǎn)的實(shí)部環(huán)零、極點(diǎn)的實(shí)部代入即可代入即可【例例4- -3】設(shè)系統(tǒng)的設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳

20、遞函數(shù)為為： 當(dāng)當(dāng)K K1 1由由0 0變化到變化到 時(shí)，試按一般步驟與規(guī)則繪制時(shí)，試按一般步驟與規(guī)則繪制其根軌跡圖。其根軌跡圖。 解解: （1 1）本系統(tǒng)為）本系統(tǒng)為3 3階系統(tǒng)，有階系統(tǒng)，有3 3條根軌跡；條根軌跡； （2 2）起始點(diǎn)：系統(tǒng)沒有開環(huán)零點(diǎn)，只有三個(gè)開環(huán)）起始點(diǎn)：系統(tǒng)沒有開環(huán)零點(diǎn)，只有三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，分別為極點(diǎn)，分別為p p1 1=0=0，p p2 2=-1=-1，p p3 3=-2=-2。 （3）漸近線：）漸近線：K1時(shí)，時(shí)， 有有3 3條根軌跡趨向無窮遠(yuǎn)處，條根軌跡趨向無窮遠(yuǎn)處，其漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)其漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)和和傾角傾角分別分別為為： ) 2)(1()()(1SSS

21、KSHSG180, 160, 03180) 12(180) 12(103210321aaaaqqqmnqmnppp（4）實(shí)軸上的根軌跡：）實(shí)軸上的根軌跡：在在S平面實(shí)軸上平面實(shí)軸上 0，-1和和 - ，-2線段上存在根軌跡線段上存在根軌跡。根軌跡草圖如圖根軌跡草圖如圖4-64-6所示所示 其中一條從其中一條從p3=-2出發(fā)出發(fā),隨著隨著K1的增加的增加,沿著負(fù)實(shí)軸趨向無窮遠(yuǎn)處。沿著負(fù)實(shí)軸趨向無窮遠(yuǎn)處。另兩條分支分別從另兩條分支分別從p1=0和和p2=-1出出發(fā)發(fā),沿著負(fù)實(shí)軸向沿著負(fù)實(shí)軸向a點(diǎn)移動(dòng)。當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)。當(dāng)K1值達(dá)到某一數(shù)值時(shí)值達(dá)到某一數(shù)值時(shí),這兩條分支相這兩條分支相交于實(shí)軸上的交于實(shí)軸上的

22、a點(diǎn)點(diǎn),這時(shí)系統(tǒng)處于這時(shí)系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。當(dāng)臨界阻尼狀態(tài)。當(dāng)K1繼續(xù)增大時(shí)繼續(xù)增大時(shí),這兩條分支離開負(fù)實(shí)軸分別趨近這兩條分支離開負(fù)實(shí)軸分別趨近60o和和-60o的漸近線的漸近線，向無窮遠(yuǎn)處向無窮遠(yuǎn)處延伸。在延伸。在KaK1Kc時(shí)時(shí),系統(tǒng)處于系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)欠阻尼狀態(tài),出現(xiàn)衰減振蕩。而當(dāng)出現(xiàn)衰減振蕩。而當(dāng)K1Kc時(shí)時(shí),，系統(tǒng)成為不穩(wěn)定狀態(tài)。，系統(tǒng)成為不穩(wěn)定狀態(tài)。 圖圖4-6 例例4-3的根軌跡圖的根軌跡圖Kc規(guī)則規(guī)則5 5：根軌跡的分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)和分離角。根軌跡的分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)和分離角。 幾條根軌跡在幾條根軌跡在s s平面上相遇后又分開的點(diǎn)稱為根軌跡的分平面上相遇后又分開的點(diǎn)稱為根軌跡的分

23、離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）。離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）。分離點(diǎn)在兩極點(diǎn)之間，會(huì)合點(diǎn)在兩零點(diǎn)之分離點(diǎn)在兩極點(diǎn)之間，會(huì)合點(diǎn)在兩零點(diǎn)之間。分離點(diǎn)間。分離點(diǎn)(會(huì)合點(diǎn)會(huì)合點(diǎn))是閉環(huán)特征方程的重根點(diǎn)，在是閉環(huán)特征方程的重根點(diǎn)，在K1的變化過的變化過程中，分離點(diǎn)程中，分離點(diǎn)(會(huì)合點(diǎn)會(huì)合點(diǎn))是是K1取得極大值或極小值的點(diǎn)，在特征取得極大值或極小值的點(diǎn)，在特征方程中，將方程中，將K1用用s及其各次冪的形式表達(dá)出來，再根據(jù)求極值及其各次冪的形式表達(dá)出來，再根據(jù)求極值的方法尋找分離點(diǎn)的方法尋找分離點(diǎn)(會(huì)合點(diǎn)會(huì)合點(diǎn))處的處的s值，即值，即分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)必須滿分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)必須滿足方程足方程: : 上述方程是求取分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)的必要條件，

24、是否確實(shí)為上述方程是求取分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)的必要條件，是否確實(shí)為分離點(diǎn)或分離點(diǎn)或會(huì)會(huì)合點(diǎn)，需要用相角條件進(jìn)行判斷。分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)合點(diǎn)，需要用相角條件進(jìn)行判斷。分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)可能在可能在s s平面上任何一點(diǎn)平面上任何一點(diǎn)01dsdK繪制根軌跡的基本規(guī)則繪制根軌跡的基本規(guī)則例例4，求分離點(diǎn)上的坐標(biāo)。，求分離點(diǎn)上的坐標(biāo)。系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為或或0) 2)(1(1)(11sssKsG)2)(1(1sssK0)263(21ssdsdK上式的根上式的根577. 1,423. 06243662, 1s因?yàn)榉蛛x點(diǎn)在至之間，故因?yàn)榉蛛x點(diǎn)在至之間，故為分離點(diǎn)的坐標(biāo)，而舍棄為分離點(diǎn)的坐標(biāo)，而舍棄423. 0

25、1s577. 12s用幅值條件確定分離點(diǎn)的增益：用幅值條件確定分離點(diǎn)的增益：385.0577.1577.0423.02101sssk分離角分離角：根軌跡離開重根點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向的夾角被根軌跡離開重根點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向的夾角被稱為分離角稱為分離角, ,其計(jì)算公式為：其計(jì)算公式為：r為分離點(diǎn)處根軌跡的分支數(shù)為分離點(diǎn)處根軌跡的分支數(shù)r180用Matlab繪制根軌跡： n=1; d=conv(1,1,1,2),0; rlocus(n,d)圖圖4-7 例例4-4的根軌圖的根軌圖Matlab繪制繪制規(guī)則規(guī)則6 6：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)當(dāng)增加到一定數(shù)值時(shí)，根軌跡可能穿過虛軸，當(dāng)增

26、加到一定數(shù)值時(shí)，根軌跡可能穿過虛軸，進(jìn)入右半平面，這表示將出現(xiàn)實(shí)部為正的特征根，進(jìn)入右半平面，這表示將出現(xiàn)實(shí)部為正的特征根，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。必須確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，并系統(tǒng)將不穩(wěn)定。必須確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，并計(jì)算對(duì)應(yīng)的使系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)的開環(huán)增益。計(jì)算對(duì)應(yīng)的使系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)的開環(huán)增益。1K1K 在根軌跡與虛軸的交點(diǎn)處，在系統(tǒng)中出現(xiàn)虛根。在根軌跡與虛軸的交點(diǎn)處，在系統(tǒng)中出現(xiàn)虛根。因此可以根據(jù)這一特點(diǎn)確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。因此可以根據(jù)這一特點(diǎn)確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。通常用以下兩種根軌跡與虛軸交點(diǎn)。通常用以下兩種根軌跡與虛軸交點(diǎn)。（1）勞斯判據(jù)法勞斯判據(jù)法；（；（2）復(fù)數(shù)相等方法復(fù)數(shù)

27、相等方法 將將 代入特征方程。代入特征方程。js0230)23(0)2)(1(123121KjjKjjKjjj當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)共軛當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)共軛虛根，此時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)虛根，此時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。定狀態(tài)。2j61K實(shí)部實(shí)部虛部虛部63,2020321321KK續(xù)例續(xù)例3，用復(fù)數(shù)相等方法求：，用復(fù)數(shù)相等方法求：也可用也可用勞斯判據(jù)法勞斯判據(jù)法求系統(tǒng)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。求系統(tǒng)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。 若陣列中的若陣列中的S1 1行等于零，行等于零，則系統(tǒng)就處于穩(wěn)定邊界上，則系統(tǒng)就處于穩(wěn)定邊界上，特征方程具有純虛根，由此特征方程具有純虛根，由此可得：可得：K1 1=6=6時(shí)，時(shí)，s= = j1.4

28、14;j1.414;K1 1=0=0時(shí)，時(shí)，s=j0=j0。 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：求出系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為求出系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：列出勞斯表列出勞斯表： 在確定根軌跡與虛軸在確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，求出分離點(diǎn)，并的交點(diǎn)，求出分離點(diǎn)，并做出漸近線以后，根軌跡做出漸近線以后，根軌跡的大概趨勢(shì)就知道了，為的大概趨勢(shì)就知道了，為了能較精確的畫出根軌跡，了能較精確的畫出根軌跡，需在分離點(diǎn)附近取幾個(gè)試需在分離點(diǎn)附近取幾個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，使其滿足相角條件。驗(yàn)點(diǎn)，使其滿足相角條件。然后連成光滑曲線，最后然后連成光滑曲線，最后逐漸靠近漸近線。逐漸靠近漸近線。規(guī)則規(guī)則7 7：根軌跡的出射角和入射

29、角。根軌跡的出射角和入射角。 當(dāng)系統(tǒng)存在共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)（或零點(diǎn)）時(shí)，為了準(zhǔn)當(dāng)系統(tǒng)存在共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)（或零點(diǎn)）時(shí)，為了準(zhǔn)確地做出根軌跡的起始段（或終止段），必須確定根確地做出根軌跡的起始段（或終止段），必須確定根軌跡的出射角（或入射角）軌跡的出射角（或入射角） 根軌跡從開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)出發(fā)的角度根軌跡從開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)出發(fā)的角度（出射點(diǎn)的切線出射點(diǎn)的切線與實(shí)軸正方向的夾角與實(shí)軸正方向的夾角）稱為出射角；進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零稱為出射角；進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)的角度點(diǎn)的角度（入射點(diǎn)的切線與實(shí)軸正方向的夾角入射點(diǎn)的切線與實(shí)軸正方向的夾角）稱為稱為入射角。入射角。 (出射角對(duì)復(fù)極點(diǎn)、入射角對(duì)復(fù)零點(diǎn)出射角對(duì)復(fù)極點(diǎn)、入射角對(duì)復(fù)零點(diǎn)

30、)。出射角：出射角： 入射角：入射角：其中：其中： 為其它開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)對(duì)出射點(diǎn)或入射點(diǎn)提供為其它開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)對(duì)出射點(diǎn)或入射點(diǎn)提供的相角，即：的相角，即：11()()mnzpkjkijii kpzpp 180p 180z求從出發(fā)根軌跡的出射角。求從出發(fā)根軌跡的出射角。5p35)904070130(105180)(18043215ppppzp用量角器量后，得，用量角器量后，得，在圖上標(biāo)出。在圖上標(biāo)出。的出射角和對(duì)稱。的出射角和對(duì)稱。5p5p4p5p規(guī)則規(guī)則8 8：閉環(huán)極點(diǎn)的和與積。閉環(huán)極點(diǎn)的和與積。 根據(jù)代數(shù)方程的根與系數(shù)關(guān)系根據(jù)代數(shù)方程的根與系數(shù)關(guān)系系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：閉環(huán)

31、極點(diǎn)之和：閉環(huán)極點(diǎn)之和：閉環(huán)極點(diǎn)之積：閉環(huán)極點(diǎn)之積：特別地特別地，當(dāng)當(dāng)n- -m 2 2時(shí)，有時(shí)，有: :即閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開環(huán)極點(diǎn)之和。即閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開環(huán)極點(diǎn)之和。 這這些些表明在開環(huán)極點(diǎn)確定的情況下，隨著表明在開環(huán)極點(diǎn)確定的情況下，隨著K K1 1的變化，的變化，若有一些閉環(huán)特征根增大，則另一些特征根必然減小。若有一些閉環(huán)特征根增大，則另一些特征根必然減小。即一些根軌跡右行時(shí)，另一些根軌跡必左行。即一些根軌跡右行時(shí)，另一些根軌跡必左行。niias11nniias )(1111apsniinii【例例4- -4】已知已知一一開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)為 其根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為其根軌跡與虛

32、軸的交點(diǎn)為s1,21,2= = j1.414,1.414,試求交點(diǎn)試求交點(diǎn)處的臨界處的臨界K1 1值及第三個(gè)特征根值及第三個(gè)特征根。解：系統(tǒng)的特征方程為：解：系統(tǒng)的特征方程為： 由閉環(huán)極點(diǎn)之和公式易得由閉環(huán)極點(diǎn)之和公式易得 s3 3=-3=-3 由閉環(huán)極點(diǎn)之積公式易得由閉環(huán)極點(diǎn)之積公式易得 K1 1=6=6【例例4- -5】已知反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試?yán)L制試?yán)L制K1 1變化時(shí)的根軌跡。變化時(shí)的根軌跡。解解：按以下步驟繪制系統(tǒng)的根軌跡：按以下步驟繪制系統(tǒng)的根軌跡：（1 1）開環(huán)極點(diǎn)為）開環(huán)極點(diǎn)為p1 1=0=0，p2 2=-3=-3， p3,43,4=-

33、1=-1 j, ,無開環(huán)零點(diǎn)；無開環(huán)零點(diǎn)；（2 2）根軌跡分支數(shù)）根軌跡分支數(shù)n=4=4條；條；（3 3）在實(shí)軸上）在實(shí)軸上-3-3，00之間為根軌跡段；之間為根軌跡段；（4 4）漸近線）漸近線, ,n- -m=4=4條：條：（5 5）由特征方程求分離點(diǎn)）由特征方程求分離點(diǎn) k1 1=-s(s+3)(s2+2s+2)=-(s4+5s3+8s2+6s) dk1 1/ds=-4(s3+3.75s2+4s+1.5)=0解得解得s1 1=-2.3=-2.3，s2,32,3=0.725=0.725 j0.3650.365。s1 1為分離點(diǎn)。分離角為為分離點(diǎn)。分離角為 9090o o。 )22)(3()(

34、)(21SSSSKSHSG25. 14113315,225,135,454180) 12(aaq 利用根軌跡的幅值條件可求得對(duì)應(yīng)于分離點(diǎn)利用根軌跡的幅值條件可求得對(duì)應(yīng)于分離點(diǎn)s1 1=-2.3=-2.3的的K1 1值為值為4.334.33。（6）求出射角）求出射角根據(jù)對(duì)稱性可知：根據(jù)對(duì)稱性可知： p4 =71.6 （7）求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。）求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。 由特征方程由特征方程列出勞斯表：列出勞斯表：令令 得得K1=8.16。根據(jù)表中根據(jù)表中s2行的系數(shù)寫出輔助方程行的系數(shù)寫出輔助方程: 令令s=j ，K1=8.16代入上式，求得代入上式，求得 = 1.1。根軌跡的兩條分支與。根軌跡

35、的兩條分支與虛軸交于虛軸交于 = 1.1j處對(duì)應(yīng)的處對(duì)應(yīng)的K1=8.16。06851234Kssss0534552041K0)534(12 KS6 .71906 .26135180)()()(1804323133ppppppp圖圖4-8 4-8 例例4-54-5的根軌跡圖的根軌跡圖最后，得到系最后，得到系統(tǒng)的根軌跡如統(tǒng)的根軌跡如圖圖4-84-8所示所示p1 1=0=0，p2 2=-3=-3， p3,43,4=-1=-1 j p3 =-71.6 用Matlab繪制根軌跡： n=1; d=conv(1,3,1,2,2),0; g=tf(n,d); rlocus(g)圖圖4-9 4-9 例例4-54

36、-5的根軌跡圖的根軌跡圖MatlabMatlab繪制繪制 根據(jù)上述規(guī)則，可以簡(jiǎn)便地繪制系統(tǒng)根軌跡的根據(jù)上述規(guī)則，可以簡(jiǎn)便地繪制系統(tǒng)根軌跡的大致圖形。當(dāng)需要比較準(zhǔn)確地確定某些局部圖形時(shí)，大致圖形。當(dāng)需要比較準(zhǔn)確地確定某些局部圖形時(shí)，可用相角條件逐點(diǎn)繪出?？捎孟嘟菞l件逐點(diǎn)繪出。當(dāng)當(dāng)K1值滿足幅值條件時(shí)，值滿足幅值條件時(shí)，對(duì)應(yīng)的根軌跡上的點(diǎn)，就是閉環(huán)極點(diǎn)。有兩個(gè)方面對(duì)應(yīng)的根軌跡上的點(diǎn)，就是閉環(huán)極點(diǎn)。有兩個(gè)方面的工作要做：的工作要做：（1 1）利用幅值條件，可以確定根軌跡上任一點(diǎn)所對(duì)）利用幅值條件，可以確定根軌跡上任一點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)的K1值，也可在根軌跡上標(biāo)出一些點(diǎn)的值，也可在根軌跡上標(biāo)出一些點(diǎn)的K1值

37、。值。（2 2）在在一一些情況下，給出一對(duì)主導(dǎo)共軛極點(diǎn)的阻尼些情況下，給出一對(duì)主導(dǎo)共軛極點(diǎn)的阻尼比，要求確定閉環(huán)極點(diǎn)及相應(yīng)的根軌跡增益。為此比，要求確定閉環(huán)極點(diǎn)及相應(yīng)的根軌跡增益。為此可先畫一條給定的可先畫一條給定的 線，根據(jù)它與復(fù)平面上根軌跡線，根據(jù)它與復(fù)平面上根軌跡的交點(diǎn)確定一對(duì)共軛閉環(huán)極點(diǎn)，然后再求相應(yīng)的根的交點(diǎn)確定一對(duì)共軛閉環(huán)極點(diǎn)，然后再求相應(yīng)的根軌跡增益和實(shí)數(shù)極點(diǎn)。軌跡增益和實(shí)數(shù)極點(diǎn)。 三、閉環(huán)極點(diǎn)的確定三、閉環(huán)極點(diǎn)的確定在例在例4-5中，若給定一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)的阻尼比中，若給定一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)的阻尼比 =0.5, ,確定閉環(huán)極點(diǎn)確定閉環(huán)極點(diǎn)。1.畫出畫出 線線2 2. .根據(jù)根據(jù) =0.5

38、線與根軌跡的交點(diǎn)，可以確定一對(duì)共軛極點(diǎn)為線與根軌跡的交點(diǎn)，可以確定一對(duì)共軛極點(diǎn)為 -0.4 j0.7。主導(dǎo)極點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的主導(dǎo)極點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的K1值用幅值條件求值用幅值條件求 K1 =0.841.86 2.74 0.68=2.91或或= =cos-1-1 用試探法可找到另兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)用試探法可找到另兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)S1 =-1.4和和 S2 =-2.85當(dāng)當(dāng)K1=2.91時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為【例【例4-6】已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制閉環(huán)】已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。系統(tǒng)的根軌跡。 解：從開環(huán)傳遞函數(shù)公式中求出開環(huán)極點(diǎn)：解：從開環(huán)傳遞函數(shù)公式中求出開環(huán)極點(diǎn)

39、： p1=0，p2=-4，p3,4=-2 j4 （1 1）根軌跡分支數(shù)）根軌跡分支數(shù)n=4=4條。條。（2 2）實(shí)軸上）實(shí)軸上-4-4，0 0區(qū)間為根軌跡段。區(qū)間為根軌跡段。（3）漸近線）漸近線 n-m=4條條：（4 4）出射角為）出射角為： 由對(duì)稱性知由對(duì)稱性知 p4p4=90=90o o。909064116180)()()(1804323133ppppppp242240225,45aa（5 5）求分離點(diǎn)。由特征方程）求分離點(diǎn)。由特征方程s4+8+8s3+36+36s2+80+80s+k+k1=0=0 令：令：d dk k1 /ds= -(4/ds= -(4s3+24+24s2+72+72s

40、+80)=0+80)=0 解得分離點(diǎn)為：解得分離點(diǎn)為： s1=-2,s2,3=-2 j2.449 因?yàn)橐驗(yàn)閟1=-2時(shí)，時(shí)，k k1 =640 s2,3=-2 j2.449時(shí)，時(shí)， k k1 =1000 所以，所以， s1 、 s2,3皆為閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的分離點(diǎn)。皆為閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的分離點(diǎn)。 （6）求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。）求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。由特征方程列出勞斯表并計(jì)算：由特征方程列出勞斯表并計(jì)算：令表中令表中S1行的首項(xiàng)為零，求得行的首項(xiàng)為零，求得K1=260，根據(jù)表中，根據(jù)表中S2行的系數(shù)行的系數(shù)得到輔助方程得到輔助方程 ： 2626s2 + k+ k1 = 26= 26s2 + 260

41、= 0+ 260 = 0 求解得到根軌跡與虛軸的交求解得到根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：點(diǎn)： 10js 根據(jù)幅值根據(jù)幅值條件可得到根條件可得到根軌跡圖上的幾軌跡圖上的幾個(gè)特殊點(diǎn)對(duì)應(yīng)個(gè)特殊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的的K1值值。系統(tǒng)。系統(tǒng)根軌跡如圖根軌跡如圖4-10所示所示:圖圖4-10 4-10 例例4-64-6的根軌跡圖的根軌跡圖p1=0， p2=-4，p3,4=-2 j4圖圖4-11 4-11 例例4-64-6的根軌跡圖的根軌跡圖MatlabMatlab繪制繪制用Matlab繪制根軌跡： d= conv(1,4,1,4,20),0; g=tf(1,d); rlocus(g)根軌跡法分析系統(tǒng)的一般步驟：繪制系統(tǒng)的根軌跡圖

42、繪制系統(tǒng)的根軌跡圖分析根軌跡圖，估計(jì)系統(tǒng)增益分析根軌跡圖，估計(jì)系統(tǒng)增益K1對(duì)閉環(huán)對(duì)閉環(huán) 零、極點(diǎn)分布的影響零、極點(diǎn)分布的影響根據(jù)閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布估算系統(tǒng)暫態(tài)根據(jù)閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布估算系統(tǒng)暫態(tài) 響應(yīng)指標(biāo)響應(yīng)指標(biāo)對(duì)高階系統(tǒng)要盡可能準(zhǔn)確地找出它的閉對(duì)高階系統(tǒng)要盡可能準(zhǔn)確地找出它的閉 環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)表表4-1列出了繪制根軌跡的基本規(guī)則：列出了繪制根軌跡的基本規(guī)則：表表4-2中列出了一些系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)分布及其相應(yīng)中列出了一些系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)分布及其相應(yīng)的根的根軌跡圖軌跡圖表表4-2 4-2 一些系統(tǒng)的根軌跡一些系統(tǒng)的根軌跡一、參量根軌跡一、參量根軌跡 前述以根軌跡增益前述以根軌跡增益K K

43、1 1為可變參量的根軌跡稱為常規(guī)根軌為可變參量的根軌跡稱為常規(guī)根軌跡。實(shí)際上任何參數(shù)均可選擇為系統(tǒng)的可變參量，如開環(huán)零、跡。實(shí)際上任何參數(shù)均可選擇為系統(tǒng)的可變參量，如開環(huán)零、極點(diǎn)、時(shí)間常數(shù)和反饋系數(shù)等。這種以非極點(diǎn)、時(shí)間常數(shù)和反饋系數(shù)等。這種以非K K1 1為參變量的根軌為參變量的根軌跡稱為參量根軌跡，又稱廣義根軌跡。跡稱為參量根軌跡，又稱廣義根軌跡。 第二節(jié)所講根軌跡的繪制方法和規(guī)則依然適用于繪制參第二節(jié)所講根軌跡的繪制方法和規(guī)則依然適用于繪制參量根軌跡，但需要預(yù)先將可變參量演化到相當(dāng)于常規(guī)根軌跡量根軌跡，但需要預(yù)先將可變參量演化到相當(dāng)于常規(guī)根軌跡增益增益K K1 1的位置上。下面舉例說明參

44、數(shù)演化和參量根軌跡的繪的位置上。下面舉例說明參數(shù)演化和參量根軌跡的繪制方法。制方法。第三節(jié)第三節(jié) 參量根軌跡和多回路系統(tǒng)根軌跡參量根軌跡和多回路系統(tǒng)根軌跡【例【例4-74-7】設(shè)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為】設(shè)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)以試?yán)L制系統(tǒng)以a為參變量的根軌跡。為參變量的根軌跡。 解：對(duì)給定系統(tǒng)特征方程進(jìn)行以下變換：解：對(duì)給定系統(tǒng)特征方程進(jìn)行以下變換：)(4)()(assSHSG 右式的特點(diǎn)：左邊寫成兩部分之和，參變量右式的特點(diǎn)：左邊寫成兩部分之和，參變量a只只包含在第二部分中，且是第二部分的一個(gè)單獨(dú)因子。包含在第二部分中，且是第二部分的一個(gè)單獨(dú)因子?，F(xiàn)用第一部分除以方程兩邊，則得

45、現(xiàn)用第一部分除以方程兩邊，則得：0412sas 這是原系統(tǒng)特征方程的等效特征方程，由此可這是原系統(tǒng)特征方程的等效特征方程，由此可得到一個(gè)等效的開環(huán)傳遞函數(shù)，用得到一個(gè)等效的開環(huán)傳遞函數(shù)，用G*(s)H*(s)表示：表示：)2)(2(4)()(2jsjsassassHsG 根據(jù)前述根軌跡繪制規(guī)則，由上式的極點(diǎn)和根據(jù)前述根軌跡繪制規(guī)則，由上式的極點(diǎn)和零點(diǎn)分布情況繪制零點(diǎn)分布情況繪制a從零變化到無窮大時(shí)的根軌跡，從零變化到無窮大時(shí)的根軌跡，如圖如圖4-12所示。所示。 這種這種獲得等效特征方獲得等效特征方程程及及等效開環(huán)傳遞函數(shù)等效開環(huán)傳遞函數(shù)G*(s)H*(s)的方法，稱為的方法，稱為黃金法則（黃

46、金法則（Golden Golden rulerule）。有時(shí)在同一個(gè)問）。有時(shí)在同一個(gè)問題中，這個(gè)法則可適用多題中，這個(gè)法則可適用多次。次。 對(duì)于具有兩個(gè)可變參對(duì)于具有兩個(gè)可變參數(shù)的情況，這一法則同樣數(shù)的情況，這一法則同樣適用，此時(shí)所得到的是適用，此時(shí)所得到的是根根軌跡族。軌跡族。 例例4-84-8說明了跟軌跡說明了跟軌跡族的繪制方法。族的繪制方法。圖圖4-12 4-12 例例4-74-7的參量根軌跡的參量根軌跡例例4-74-7用Matlab繪制根軌跡：g=tf(1,0,1,0,4) rlocus(g)圖圖4-13 4-13 例例4-74-7的參量根軌跡，的參量根軌跡，matlabmatlab

47、繪制繪制【例【例4-8】已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，要求以開環(huán)極點(diǎn)已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，要求以開環(huán)極點(diǎn)a為連為連續(xù)可變參數(shù)，以續(xù)可變參數(shù)，以K1為參變量繪制該系統(tǒng)的根軌跡族。為參變量繪制該系統(tǒng)的根軌跡族。解解：系統(tǒng)特征方程為：系統(tǒng)特征方程為： 或：或：應(yīng)用黃金法則，得應(yīng)用黃金法則，得：其等效開環(huán)傳遞函數(shù)為其等效開環(huán)傳遞函數(shù)為：求出求出G*（s）H*（s）的極點(diǎn)，即方程的極點(diǎn)，即方程 的根，的根，例例4-8)(1()()(1asssKsHsG0)(1(11asssK0) 1() 1(12Ksasss0)1()1(112Ksssas12) 1() 1()()(KsssassHsG0) 1(12K

48、ss（確切地說是根軌跡，因?yàn)椋ù_切地說是根軌跡，因?yàn)镵1為變量）為變量）。為了作出為了作出 s s2 2(s+1)+k(s+1)+k1 1=0=0的根軌跡，再一次應(yīng)用黃金法則，的根軌跡，再一次應(yīng)用黃金法則， 即有即有：從而得到另一個(gè)等效開環(huán)傳遞函數(shù)從而得到另一個(gè)等效開環(huán)傳遞函數(shù)： 根據(jù)根據(jù)G1 1* *( (s) )H1 1* *( (s),),繪出不同繪出不同K K1 1值時(shí)的根軌跡，如圖值時(shí)的根軌跡，如圖4-144-14。在圖在圖4-154-15中用虛線表示這個(gè)根軌跡圖。注意，這些虛線上的中用虛線表示這個(gè)根軌跡圖。注意，這些虛線上的點(diǎn)就是點(diǎn)就是G* *( (s) )H* *( (s) )對(duì)

49、應(yīng)于不同對(duì)應(yīng)于不同K K1 1值的極點(diǎn)，也就是按值的極點(diǎn)，也就是按G* *( (s) ) H* *( (s) )作出的根軌跡（當(dāng)作出的根軌跡（當(dāng)a=0=0 ）的起點(diǎn)。）的起點(diǎn)。 這樣這樣，給定一個(gè)給定一個(gè)K K1 1值，即可按值，即可按G* *( (s) )H* *( (s) )描繪出描繪出a=0=0 時(shí)的一組根軌跡；給定另一個(gè)時(shí)的一組根軌跡；給定另一個(gè)K1 1值，就得到另一組這樣的根值，就得到另一組這樣的根軌跡軌跡，這就是要求繪制的根軌跡族，如圖，這就是要求繪制的根軌跡族，如圖4-154-15中實(shí)線所中實(shí)線所示。由圖可見，示。由圖可見，a=0=0時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)a增大至一定數(shù)

50、值時(shí)，增大至一定數(shù)值時(shí)，系統(tǒng)變?yōu)榉€(wěn)定。系統(tǒng)變?yōu)榉€(wěn)定。) 1()()(2111ssKsHsG0) 1(121ssKa的臨界值可用勞斯判據(jù)確定。的臨界值可用勞斯判據(jù)確定。系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界條件為系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界條件為K1 1= =a( (a1)1)。 圖圖4-14 4-14 的根軌跡的根軌跡圖圖4-15 4-15 根軌跡族根軌跡族2110ssK2110s sK 根軌跡分析方法不僅適用于單回路系統(tǒng)，也適根軌跡分析方法不僅適用于單回路系統(tǒng)，也適用于多回路系統(tǒng)。用于多回路系統(tǒng)。 繪制多回路系統(tǒng)根軌跡的步驟：繪制多回路系統(tǒng)根軌跡的步驟：（1 1）首先根據(jù)內(nèi)反饋回路的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制內(nèi)）首先根據(jù)內(nèi)反饋回路的開環(huán)

51、傳遞函數(shù)，繪制內(nèi)反饋回路的根軌跡，確定內(nèi)反饋回路的極點(diǎn)分布。反饋回路的根軌跡，確定內(nèi)反饋回路的極點(diǎn)分布。（2 2）由內(nèi)反饋回路的零、極點(diǎn)和內(nèi)回路外的零、極）由內(nèi)反饋回路的零、極點(diǎn)和內(nèi)回路外的零、極點(diǎn)構(gòu)成整個(gè)多回路系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)。再按照單點(diǎn)構(gòu)成整個(gè)多回路系統(tǒng)的開環(huán)零、極點(diǎn)。再按照單回路根軌跡的基本法則，繪制整個(gè)系統(tǒng)的根軌回路根軌跡的基本法則，繪制整個(gè)系統(tǒng)的根軌跡。跡。二、多回路系統(tǒng)的根軌跡二、多回路系統(tǒng)的根軌跡【例【例4-94-9】設(shè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖】設(shè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖4-164-16所示，試?yán)L所示，試?yán)L制多回路系統(tǒng)的跟軌跡。制多回路系統(tǒng)的跟軌跡。 解：解：（1 1）首先確定內(nèi)回路的根軌

52、跡）首先確定內(nèi)回路的根軌跡內(nèi)回路閉環(huán)傳遞函數(shù)為內(nèi)回路閉環(huán)傳遞函數(shù)為：內(nèi)回路特征方程為內(nèi)回路特征方程為： D1 1(s)=s(s+1)(s+2)+2 a s=0 繪制繪制a變化時(shí)內(nèi)環(huán)系統(tǒng)特變化時(shí)內(nèi)環(huán)系統(tǒng)特 征方程的根軌跡征方程的根軌跡, ,需要根據(jù)需要根據(jù)D1 1( (s) )構(gòu)造一個(gè)等效系統(tǒng)構(gòu)造一個(gè)等效系統(tǒng), ,新系統(tǒng)新系統(tǒng)的特征方程與的特征方程與D1（s）一樣，而參數(shù)）一樣，而參數(shù)a相當(dāng)于開環(huán)增益，故等相當(dāng)于開環(huán)增益，故等效系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)應(yīng)為效系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)應(yīng)為：注意：注意：在繪制根軌跡時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)的分子分母中若有相同在繪制根軌跡時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)的分子分母中若有相同因子時(shí)，不能相

53、消，相消后將會(huì)丟掉閉環(huán)極點(diǎn)。因子時(shí)，不能相消，相消后將會(huì)丟掉閉環(huán)極點(diǎn)。 圖圖4-16 4-16 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖例例4-9assSssRsC2)2)(1(2)()(1)2)(1()2)(1(2)()(111sSssasSsassHsG 當(dāng)當(dāng)a變化時(shí)內(nèi)回路的根軌跡如圖變化時(shí)內(nèi)回路的根軌跡如圖4-174-17所示。當(dāng)所示。當(dāng)a1 1=2.5=2.5，a1.25時(shí)，對(duì)應(yīng)的內(nèi)回路閉環(huán)極點(diǎn)分別為時(shí)，對(duì)應(yīng)的內(nèi)回路閉環(huán)極點(diǎn)分別為 p1 1=0=0； p2,32,3=-l.5=-l.5 j1.51.5，此時(shí)內(nèi)環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)，此時(shí)內(nèi)環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：為： （2 2）繪制）繪制K變化時(shí)的多回路系統(tǒng)根軌跡變化時(shí)

54、的多回路系統(tǒng)根軌跡多回路系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為多回路系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：按照前述繪制常規(guī)根軌跡按照前述繪制常規(guī)根軌跡的方法求出出射角、根軌的方法求出出射角、根軌跡與虛軸交點(diǎn)等，繪制根跡與虛軸交點(diǎn)等，繪制根軌跡如圖軌跡如圖4-184-18所示所示)5 . 15 . 1)(5 . 15 . 1(2)()(1jsjSssRsC) 5 . 15 . 1)(5 . 15 . 1() 5 . 15 . 1)(5 . 15 . 1(2)()(122jsjSsKjsjSsKsHsG圖圖4-17 4-17 內(nèi)環(huán)根軌跡圖內(nèi)環(huán)根軌跡圖當(dāng)當(dāng)a1 1為約為約2.52.5時(shí)，時(shí)，內(nèi)環(huán)閉環(huán)極點(diǎn)為內(nèi)環(huán)閉環(huán)極點(diǎn)為p1 1=0=

55、0； p2,32,3=-l.5=-l.5 j1.51.5 當(dāng)當(dāng)a取取l.25l.25，K6.256.25時(shí)，此多回路系統(tǒng)將有兩時(shí)，此多回路系統(tǒng)將有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)分布在右半個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)分布在右半S平面，系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。平面，系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。 繪制多回路反饋控制繪制多回路反饋控制系統(tǒng)根軌跡的方法：從內(nèi)系統(tǒng)根軌跡的方法：從內(nèi)環(huán)開始，分層繪制，逐步環(huán)開始，分層繪制，逐步擴(kuò)展到整個(gè)系統(tǒng)。擴(kuò)展到整個(gè)系統(tǒng)。圖圖4-184-18多回路系統(tǒng)根軌跡多回路系統(tǒng)根軌跡 復(fù)雜的控制系統(tǒng)中可能出現(xiàn)局部正反饋的結(jié)構(gòu)，如圖復(fù)雜的控制系統(tǒng)中可能出現(xiàn)局部正反饋的結(jié)構(gòu)，如圖4-19所所示。這種局部正反饋的結(jié)構(gòu)可能是控制對(duì)象本身的特性，

56、也示。這種局部正反饋的結(jié)構(gòu)可能是控制對(duì)象本身的特性，也可能是為滿足系統(tǒng)的某種性能要求在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)加進(jìn)的。可能是為滿足系統(tǒng)的某種性能要求在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)加進(jìn)的。 具有局部正反饋的系統(tǒng)可以由主回路的負(fù)反饋使之穩(wěn)定，但具有局部正反饋的系統(tǒng)可以由主回路的負(fù)反饋使之穩(wěn)定，但在利用根軌跡法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)必須求出正反饋回路的零、在利用根軌跡法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)必須求出正反饋回路的零、極點(diǎn)。下面討論正反饋系統(tǒng)根軌跡的繪制方法。極點(diǎn)。下面討論正反饋系統(tǒng)根軌跡的繪制方法。 圖圖4-29所示的局部正反饋回所示的局部正反饋回路的閉環(huán)傳遞函數(shù)，即路的閉環(huán)傳遞函數(shù)，即：相應(yīng)的特征方程為相應(yīng)的特征方程為： 1-G(s)H(s)

57、1-G(s)H(s)=0=0圖圖4-19 4-19 具有局部正反饋的系統(tǒng)具有局部正反饋的系統(tǒng)第四節(jié)第四節(jié) 正反饋系統(tǒng)和零度根軌跡正反饋系統(tǒng)和零度根軌跡)()(1)()()(1sHsGsGsRSC其幅值條件和相角條件分別為其幅值條件和相角條件分別為： 與負(fù)反饋系統(tǒng)的幅值條件和相角條件相比與負(fù)反饋系統(tǒng)的幅值條件和相角條件相比, ,可見可見繪制正反饋系統(tǒng)根軌跡的幅值條件沒有變，相角條繪制正反饋系統(tǒng)根軌跡的幅值條件沒有變，相角條件發(fā)生了改變。件發(fā)生了改變。 負(fù)反饋系統(tǒng)的相角條件是負(fù)反饋系統(tǒng)的相角條件是180o等相角條件，正等相角條件，正反饋系統(tǒng)則是反饋系統(tǒng)則是0o等相角條件。等相角條件。 所以通常稱負(fù)

58、反饋系統(tǒng)的根軌跡為所以通常稱負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡為180o根軌跡根軌跡，稱正反饋系統(tǒng)的根軌跡為稱正反饋系統(tǒng)的根軌跡為零度根軌跡零度根軌跡。 niimjjniimjjqqpszssHsGpszsKsHsG111112 , 1 , 0)2()()()()(1)()( 根據(jù)根據(jù)正反饋的正反饋的相角條件，在繪制正反饋回路的相角條件，在繪制正反饋回路的根軌跡時(shí)需對(duì)表根軌跡時(shí)需對(duì)表4-14-1中的與相角條件有關(guān)的規(guī)則作中的與相角條件有關(guān)的規(guī)則作如下修改，其余規(guī)則不變。如下修改，其余規(guī)則不變。 規(guī)則規(guī)則3 3：實(shí)軸上的線段存在根軌跡的條件是其右邊：實(shí)軸上的線段存在根軌跡的條件是其右邊的開環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目之和為偶

59、數(shù)。的開環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目之和為偶數(shù)。 規(guī)則規(guī)則4 4：（：（n- -m）條漸近線的傾角為）條漸近線的傾角為： 規(guī)則規(guī)則6：根軌跡的出射角和入射角為：根軌跡的出射角和入射角為：【例【例4-10】圖圖 4-24所示正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為所示正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試?yán)L制其零度根軌跡。試?yán)L制其零度根軌跡。 例例4-10)2)(1()()(1sSsKsHsG2 , 1 , 02qmnqa解解：（1 1）開環(huán)極點(diǎn)）開環(huán)極點(diǎn)p1 1=0=0，p2 2=-1=-1，p3 3=-2=-2，有三條根軌，有三條根軌跡起于開環(huán)極點(diǎn)，終點(diǎn)均在無窮遠(yuǎn)處。跡起于開環(huán)極點(diǎn)，終點(diǎn)均在無窮遠(yuǎn)處。 （2 2）實(shí)軸上區(qū)間）

60、實(shí)軸上區(qū)間-2-2，-1-1和和0 0， 為根軌跡段。為根軌跡段。 （3 3）漸近線與實(shí)軸相交于）漸近線與實(shí)軸相交于-1-1點(diǎn)，點(diǎn)，傾斜角由傾斜角由傾角公式傾角公式計(jì)算計(jì)算, ,取取q=0=0、1 1、2 2，得，得 a=0=0o o、120 120 o o、240 240 o o。 （4 4）分離點(diǎn)的求法與負(fù)反饋情況完全一樣。在例）分離點(diǎn)的求法與負(fù)反饋情況完全一樣。在例4-4-4 4中已解出兩個(gè)分離點(diǎn)：中已解出兩個(gè)分離點(diǎn)：s1 1=0.423=0.423，s2 2=-1.577=-1.577，并，并且已確定且已確定-0.423-0.423是負(fù)反饋情況下的分離點(diǎn)，這里可是負(fù)反饋情況下的分離點(diǎn)，