粘性流體力學(xué)—平面駐點(diǎn)流動(dòng)(西門茨流動(dòng))

1、平面駐點(diǎn)流動(dòng)（西門茨流動(dòng)）平面駐點(diǎn)流動(dòng)（西門茨流動(dòng)）指導(dǎo)教師：指導(dǎo)教師：報(bào)報(bào) 告告 人人 ： 0 01 1問(wèn)題概述問(wèn)題概述0202方程推導(dǎo)與求解方程推導(dǎo)與求解目錄目錄0404工程實(shí)際應(yīng)用工程實(shí)際應(yīng)用0303利用利用Matlab求數(shù)值解求數(shù)值解ayVaxU平面駐點(diǎn)流動(dòng)，在平面有勢(shì)流動(dòng)中平面駐點(diǎn)流動(dòng)，在平面有勢(shì)流動(dòng)中x、y兩個(gè)方向的流速分別為：兩個(gè)方向的流速分別為：第一節(jié)第一節(jié) 問(wèn)題概述問(wèn)題概述（1-1）（1-2）于是由伯努利方程，可得壓強(qiáng)分布為于是由伯努利方程，可得壓強(qiáng)分布為式中，式中，p0為駐點(diǎn)為駐點(diǎn)O的壓強(qiáng)，的壓強(qiáng)， . 以上以上3個(gè)式子的流速與壓強(qiáng)均滿足勢(shì)流方程，并且是不可壓縮粘個(gè)式子的流

2、速與壓強(qiáng)均滿足勢(shì)流方程，并且是不可壓縮粘性流動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程的精確解。但是不可壓縮粘性流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程中多一性流動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程的精確解。但是不可壓縮粘性流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程中多一粘性項(xiàng)粘性項(xiàng) 。對(duì)于勢(shì)流。對(duì)于勢(shì)流 ， 為流速的勢(shì)函數(shù)。則為流速的勢(shì)函數(shù)。則u2u0)()(222u 則則N-S方程中的粘性項(xiàng)對(duì)于勢(shì)流而言恒等于零。但方程中的粘性項(xiàng)對(duì)于勢(shì)流而言恒等于零。但勢(shì)流解卻不能勢(shì)流解卻不能滿足滿足“無(wú)滑移無(wú)滑移”這個(gè)粘性流動(dòng)的邊界條件這個(gè)粘性流動(dòng)的邊界條件.（1-3）)(21220yFxapp2)(yyF 對(duì)于平面駐點(diǎn)流動(dòng)，為了滿足粘性流動(dòng)的無(wú)滑移的條件，西門茨對(duì)于平面駐點(diǎn)流動(dòng)，為了滿足粘性流動(dòng)的無(wú)滑移的條件，西

3、門茨給出其精確解給出其精確解. 現(xiàn)假定：現(xiàn)假定： 式中式中p0表示駐點(diǎn)表示駐點(diǎn)O（x=0，y=0）處的壓強(qiáng)；）處的壓強(qiáng)；p為任意點(diǎn)（為任意點(diǎn)（x，y）處的壓強(qiáng)；處的壓強(qiáng)；a為常數(shù)。為常數(shù)。 可證明，該假定將自動(dòng)滿足連續(xù)性方程?？勺C明，該假定將自動(dòng)滿足連續(xù)性方程。第二節(jié)第二節(jié) 方程推導(dǎo)和求解方程推導(dǎo)和求解 由平面運(yùn)動(dòng)的由平面運(yùn)動(dòng)的N-S方程可以確定方程可以確定f與與F兩個(gè)函數(shù)，將上式帶入恒定兩個(gè)函數(shù)，將上式帶入恒定的的N-S方程方程)1)122222222yvxvypyvvxvuyuxuxpyuvxuu可得：可得：fFaf ffaf ff 22221（2-1）（2-2） 邊界條件邊界條件: 由以

4、上三個(gè)邊界條件可得由以上三個(gè)邊界條件可得: 首先解首先解 ，作變量置換，令，作變量置換，令 3233222)()(AyAyffAyAyffAyAyff)()(,Ayfy可得：可得：帶入式可得：帶入式可得： 32222)(AaAfaf ff 22（2-3）（2-4）（2-5） 如果式如果式2-5中中aAaaA/3222AaA式中，式中，a為由勢(shì)流解得到的常數(shù)，為由勢(shì)流解得到的常數(shù)，為流體的運(yùn)動(dòng)粘度，為已知量。為流體的運(yùn)動(dòng)粘度，為已知量。012 ，方程將大大簡(jiǎn)化，則需要滿足，方程將大大簡(jiǎn)化，則需要滿足由此方程可改寫為由此方程可改寫為)()(,ayfya則方程可簡(jiǎn)化為則方程可簡(jiǎn)化為邊界條件為邊界條件

5、為0000（2-6）（2-7）（2-8）)()(,Ayfy方程方程012 仍然是非線性的，難以求得解析解。仍然是非線性的，難以求得解析解?？刹捎脭?shù)值解法，得下表：可采用數(shù)值解法，得下表：0 00.40.40.80.81.21.21.61.62 22.42.42.82.83.23.23.63.60 00.08810.08810.31240.31240.6220.6220.97980.97981.3621.3621.75531.75532.1532.1532.55232.55232.9542.9540 00.41450.41450.68590.68590.84670.84670.93230.932

6、30.97320.97320.99050.99050.9970.9970.99920.99920.9990.9991.23261.23260.84630.84630.52510.52510.29380.29380.14740.14740.06580.06580.02650.02650.0090.0090.00280.00280 0yaUudd22dd 則則)(UaaUyAaUu)(Uu 在在=2.4左右，左右，? = 0.99，即此時(shí)，即此時(shí)粘性流動(dòng)的流速已接近勢(shì)流流速，只差粘性流動(dòng)的流速已接近勢(shì)流流速，只差百分之一?？梢源它c(diǎn)距固體壁面的距離百分之一?？梢源它c(diǎn)距固體壁面的距離作為邊界層的厚度作

7、為邊界層的厚度，則，則aa4 . 2弗勒塞林求解的平面駐點(diǎn)流動(dòng)和軸對(duì)稱駐點(diǎn)流動(dòng)解：弗勒塞林求解的平面駐點(diǎn)流動(dòng)和軸對(duì)稱駐點(diǎn)流動(dòng)解：（2-9）（2-10）解式解式 ，可得壓強(qiáng)，可得壓強(qiáng) ，對(duì)其積分可得，對(duì)其積分可得fFaf f 221p)2(1)(22ffayF聯(lián)立式聯(lián)立式2-2、2-7可得：可得：aaaayp )( ,在邊界層內(nèi)在邊界層內(nèi) 都只是都只是1的數(shù)量級(jí)，的數(shù)量級(jí)，因而沿壁面法線的壓強(qiáng)梯度因而沿壁面法線的壓強(qiáng)梯度aayp當(dāng)當(dāng) 很小時(shí)，壓強(qiáng)梯度也很小。很小時(shí)，壓強(qiáng)梯度也很小。yaapp0此外此外表明流動(dòng)過(guò)程中壓力逐漸增大至表明流動(dòng)過(guò)程中壓力逐漸增大至0p（2-11）（2-12）012 ,1

8、0000，ya平面駐點(diǎn)流動(dòng)方程：平面駐點(diǎn)流動(dòng)方程：邊界條件：邊界條件： 其中其中:在在0,4的范圍內(nèi)的范圍內(nèi)的數(shù)值解。的數(shù)值解。 求解求解Uudd第三節(jié)第三節(jié) 利用利用MATLAB求數(shù)值解求數(shù)值解1 1、問(wèn)題描述：、問(wèn)題描述：第一步：將方程化為一階常微分方程組。第一步：將方程化為一階常微分方程組。1)2()3() 1 ()3()3()2()2() 1 () 1 (2fffdffdffdff邊界條件：邊界條件： 1)2(0)2(00) 1 (0fff，2 2、求解過(guò)程、求解過(guò)程第二步：建立第二步：建立ode.m和和lbc.m兩個(gè)兩個(gè)M文件。文件。 程序說(shuō)明：程序說(shuō)明： ode.m文件描述一階常微

9、分方程組，由于方程是三階微分方程，所以需要三個(gè)一階微分方程來(lái)描述。 lbc.m文件描述邊界條件，f0表示初始值，finf表示末端值，本問(wèn)題告訴我們的是f(1)和f(2)的初始值與f(2)的末端值，其中finf(2)-1表示finf(2)-1=0，其它以此類推。ode.m文件程序如下： function dfdx=ode(x, f) dfdx=f(2);f(3);-f(1)*f(3)+f(2)2-1; lbc.m 文件程序如下： function res=lbc(f0,finf) res=f0(1);f0(2);finf(2)-1; 第三步：求解方程。第三步：求解方程。 程序說(shuō)明：程序說(shuō)明： (

10、1)solinit是被指定為x和f域的范圍。x是初始網(wǎng)格點(diǎn)，f表示在節(jié)點(diǎn)solinit.x(i)處f(x(i)的初始值猜測(cè)解solinit.f(:,1)，一般用bvpinit實(shí)現(xiàn)。 (2)bvp4c是MATLAB 7.0軟件求解一階常微分方程組的庫(kù)函數(shù)，調(diào)用格式如程序所述(bvp4c的調(diào)用格式有三種，程序中的只是其中一種)。但由于sol不能直接輸出數(shù)值解，所以要用bvp4c的配置函數(shù)deval。在MATLAB 7.0工作窗口輸入程序：infinity=4;solinit=bvpinit(0:0.4:infinity,0 0 0);sol=bvp4c(ode,lbc,solinit);x=0:0

11、.4:infinityf=deval(sol,x)plot(x,f(1,:),ob,x,f(2,:),rp,x,f(3,:),b*) /*繪圖命令*/xlabel(軸it eta);ylabel(軸it phi) legend(平面駐點(diǎn)流動(dòng)phi曲線,平面駐點(diǎn)流動(dòng)dphi/deta曲線,平面駐點(diǎn)流動(dòng)d2phi/deta2曲線)title(平面駐點(diǎn)流動(dòng)的數(shù)值解)3、平面駐點(diǎn)的數(shù)值解和相應(yīng)的曲線、平面駐點(diǎn)的數(shù)值解和相應(yīng)的曲線 從結(jié)果中可以看出從結(jié)果中可以看出 在在 之后就趨近于之后就趨近于1，在，在 時(shí)時(shí) =0.99，說(shuō)明流動(dòng)的流，說(shuō)明流動(dòng)的流速已經(jīng)達(dá)到來(lái)流速度的速已經(jīng)達(dá)到來(lái)流速度的99%。8 . 24 . 2第四節(jié)第四節(jié) 工程實(shí)際應(yīng)用工程實(shí)際應(yīng)用 盆地尺度的地下水流動(dòng)過(guò)程中，多個(gè)水流系統(tǒng)交匯可以形成滯流盆地尺度的地下水流動(dòng)過(guò)程中，多個(gè)水流系統(tǒng)交匯可以形成滯流區(qū)，是油氣聚集、沉積礦產(chǎn)形成的重要部位區(qū)，是油氣聚集、沉積礦產(chǎn)形成的重要部位 。 駐點(diǎn)可以分為盆地內(nèi)部駐點(diǎn)和盆地底界駐點(diǎn)兩大類，盆地內(nèi)部駐駐點(diǎn)可以分為盆地內(nèi)部駐點(diǎn)和盆地底界駐點(diǎn)兩大類，盆地內(nèi)部駐點(diǎn)（點(diǎn)（SP 1、SP 2）位于逆向局部水流系統(tǒng)的下方，是四個(gè)水流系統(tǒng)同）位于逆向局部水流系統(tǒng)的下方，是四個(gè)水流系統(tǒng)同時(shí)發(fā)生匯聚和發(fā)散