大學(xué)物理-剛體運(yùn)動學(xué)

1、11. 剛體運(yùn)動學(xué)剛體運(yùn)動學(xué)1.1 1.1 剛體的平動和轉(zhuǎn)動剛體的平動和轉(zhuǎn)動(1)(1) 剛體、剛體的平動剛體、剛體的平動剛體：無論在多大的外力作用下，總是保持其形狀、大小剛體：無論在多大的外力作用下，總是保持其形狀、大小不變，理想化的模型。不變，理想化的模型。(2)(2) 剛體的平動剛體的平動剛體內(nèi)任何一條給定的直線剛體內(nèi)任何一條給定的直線, ,在運(yùn)在運(yùn)動中始終保持它的方向不變。動中始終保持它的方向不變。 各質(zhì)點具有相同的速度和各質(zhì)點具有相同的速度和加速度，所以剛體平動時任何加速度，所以剛體平動時任何一點的運(yùn)動都可代表整個剛體一點的運(yùn)動都可代表整個剛體的運(yùn)動。的運(yùn)動。剛體的平動時可看成質(zhì)點。

2、剛體的平動時可看成質(zhì)點。2(3)(3)剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動剛體中各點都繞同一直線剛體中各點都繞同一直線( (轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸) )作圓周運(yùn)動作圓周運(yùn)動. .轉(zhuǎn)軸固定不動轉(zhuǎn)軸固定不動, ,稱為定軸轉(zhuǎn)動稱為定軸轉(zhuǎn)動. .P為剛體上一質(zhì)點，在轉(zhuǎn)動平面為剛體上一質(zhì)點，在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)繞內(nèi)繞0點作圓周運(yùn)動。點作圓周運(yùn)動。轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸參考方向參考方向0 d PdtKd 轉(zhuǎn)動平面：轉(zhuǎn)動平面：任取一垂直于轉(zhuǎn)軸的平面任取一垂直于轉(zhuǎn)軸的平面(4)(4)轉(zhuǎn)動運(yùn)動學(xué)的物理量轉(zhuǎn)動運(yùn)動學(xué)的物理量 .,d角加速度角速度具有角位移再任取一點再任取一點K，在同一個，在同一個dt內(nèi)，內(nèi)，也轉(zhuǎn)過同樣的也轉(zhuǎn)過同樣的d 角。角。，因為：ttdddd所

3、以：剛體中任何其它質(zhì)點都具有相同的所以：剛體中任何其它質(zhì)點都具有相同的 ， ， 3即即( ， ， ) )三量具有普遍性。知一點三量具有普遍性。知一點的的( ， ， )，可知整個剛體的運(yùn)動。，可知整個剛體的運(yùn)動。故用故用( ( , , , , ）描寫剛體的轉(zhuǎn)動。描寫剛體的轉(zhuǎn)動。所以：定軸轉(zhuǎn)動剛體中任何其它質(zhì)點所以：定軸轉(zhuǎn)動剛體中任何其它質(zhì)點都具有相同的都具有相同的 ， ， 40轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸Pvr確定。的方向由右手螺旋定則 之間的矢量關(guān)系：與vrv）（圓周運(yùn)動：rv1.2 角速度矢量角速度矢量5),s(rad21：單位kjikjikr68)54(32v例：一剛體以每分鐘例：一剛體以每分鐘60轉(zhuǎn)繞轉(zhuǎn)繞z

4、軸做勻速運(yùn)動軸做勻速運(yùn)動, ( 沿沿z軸正方向軸正方向)，設(shè)某時刻剛體上一點設(shè)某時刻剛體上一點P 的位置矢量為：的位置矢量為：（單位為（單位為“10-2m”），若以），若以“10-2m s-1”為單位，則該時刻為單位，則該時刻P點點的速度為：的速度為：kjir543解：解：ijikj86543200還可解行列式還可解行列式6(1)(1)求角加速度求角加速度 和飛輪從制動開始到靜止所轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)和飛輪從制動開始到靜止所轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)N；(2)(2)求制動開始后求制動開始后t = 25s 時飛輪的角速度時飛輪的角速度 ； 0rO解解(1)(1)初角速度為初角速度為 0 0 =21500/60=50 ra

5、d/s，方向如圖方向如圖剛體運(yùn)動學(xué)剛體運(yùn)動學(xué)綜合例題綜合例題: : 一飛輪轉(zhuǎn)速一飛輪轉(zhuǎn)速n =1500r/min，受到制動后均勻，受到制動后均勻地減速，經(jīng)地減速，經(jīng)t =50 s后靜止。后靜止。220srad14. 3srad5050t從開始制動到靜止，飛輪的角位移從開始制動到靜止，飛輪的角位移 及轉(zhuǎn)數(shù)及轉(zhuǎn)數(shù)N分別為分別為20021ttrad125050215050轉(zhuǎn) 625212502N對于對于勻變速轉(zhuǎn)動勻變速轉(zhuǎn)動，應(yīng)用，應(yīng)用以角量表示的運(yùn)動方程以角量表示的運(yùn)動方程，在在t=50s 時刻時刻 =0=0，代入方程，代入方程 = = 0+ t 得得 (2) (2)t=25=25s 時飛輪的角速度

6、為時飛輪的角速度為)s(rad5 .7825255010t 的方向與的方向與 0 0相同；相同；7對軸的角動量和對軸的力矩對軸的角動量和對軸的力矩, , 矢量代數(shù)的一般處理方式：矢量代數(shù)的一般處理方式：在具體的坐標(biāo)系中，角動量（或在具體的坐標(biāo)系中，角動量（或力矩）在各坐標(biāo)軸的分量，就叫力矩）在各坐標(biāo)軸的分量，就叫對軸對軸的角動量（或力矩）。的角動量（或力矩）。討論討論kLjLiLPrLzyxLz ：質(zhì)點對：質(zhì)點對z軸的角動量軸的角動量kMjMiMFrMzyxMz ：質(zhì)點對：質(zhì)點對z 軸的力矩軸的力矩P63)()(kFjFiFkzj yi xFrMzyxkyFxFjxFzFizFyFxyzxyz

7、)()()()(xyzyFxFM8o轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面軸FFrkMz求力對求力對z 軸的力矩軸的力矩Mz的的( (教材教材) )簡化步驟：簡化步驟：結(jié)論：結(jié)論：z軸轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分量的運(yùn)算就是對軸轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分量的運(yùn)算就是對z軸的力矩軸的力矩第第2步，認(rèn)定位矢和力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分量步，認(rèn)定位矢和力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分量,第第3步，算出力對步，算出力對z軸的力矩軸的力矩.軸r第第1步，通過質(zhì)點畫步，通過質(zhì)點畫z軸軸轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面（過質(zhì)點垂直轉(zhuǎn)軸的平面，即（過質(zhì)點垂直轉(zhuǎn)軸的平面，即過質(zhì)點的過質(zhì)點的xy平面）平面）Fz轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸or)()(jFiFj yi xFryxkyFxFxy)()(xyzyFxFM9

8、2.12.1力對轉(zhuǎn)軸的力矩力對轉(zhuǎn)軸的力矩. .(1)(1)外力在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)。外力在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)。的作用點。力FpFrM,方向sinrFM ，大小方向如果：如果：加速轉(zhuǎn)動。同向)( ,M阻力矩。反向）減速( ,M2 2 轉(zhuǎn)動定理轉(zhuǎn)動定理 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量（剛體動力學(xué)）（剛體動力學(xué)）0rMFp 100(2) (2) 外力不在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)外力不在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)FPr1F2F在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)。與轉(zhuǎn)軸平行，21FF（有效力矩）。，對轉(zhuǎn)動無貢獻(xiàn)，僅考慮221FrMFF。和分解成將21FFFP63 結(jié)論：結(jié)論：z軸轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分量軸轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分量的運(yùn)算就是對的運(yùn)算就是對z軸的力矩。軸的

9、力矩。o轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面軸F軸rFz轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸orFrkMz對轉(zhuǎn)動無貢獻(xiàn)。、 ,1 MF112.2 轉(zhuǎn)動定理轉(zhuǎn)動定理）：運(yùn)動方程（按牛頓定律寫出法、切向質(zhì)點現(xiàn)對imP2coscosrmamfFiiiniiiiiiiiiiiiirmamfFsinsinir式兩邊乘以將第22sinsiniiiiiiiirmrfrF質(zhì)點求和：對剛體中所有i2iiiiiiiiiirmrfrF)(sinsin合外力矩合外力矩M合內(nèi)力矩合內(nèi)力矩=0=0轉(zhuǎn)動慣量IOiriFifi i)(imP )(imP 取質(zhì)點、受外力iF，內(nèi)力if都在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)。并設(shè)iif、F12i2iiiiiiiiiirmrfrF)(sinsin合外力

10、矩合外力矩M合內(nèi)力矩合內(nèi)力矩=0轉(zhuǎn)動慣量IM=I 轉(zhuǎn)動定理轉(zhuǎn)動定理22ddddtt2iiisinsiniiiiirmrfrF定軸轉(zhuǎn)動定理（律）在轉(zhuǎn)動問題中的地位定軸轉(zhuǎn)動定理（律）在轉(zhuǎn)動問題中的地位相當(dāng)于平動時的牛頓第二定律相當(dāng)于平動時的牛頓第二定律13例例:幾個力同時作用在一個具有光滑固定轉(zhuǎn)軸的剛體上，幾個力同時作用在一個具有光滑固定轉(zhuǎn)軸的剛體上，如果這幾個力的矢量和為零，則此剛體如果這幾個力的矢量和為零，則此剛體 (A) 必然不會轉(zhuǎn)動必然不會轉(zhuǎn)動 (B) 轉(zhuǎn)速必然不變轉(zhuǎn)速必然不變 (C) 轉(zhuǎn)速必然改變轉(zhuǎn)速必然改變 (D) 轉(zhuǎn)速可能不變，也可能改變轉(zhuǎn)速可能不變，也可能改變 答案：答案：( )D

11、參考解答：參考解答：在應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律在應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律M=I 時應(yīng)注意時應(yīng)注意M是是合外力矩合外力矩，是外力是外力力矩之和，而不是合外力的力矩。力矩之和，而不是合外力的力矩。幾個力的矢量和為零，有合外力幾個力的矢量和為零，有合外力矩也為零或不為零的兩種情況，所以定軸轉(zhuǎn)動的剛體其轉(zhuǎn)速可能不矩也為零或不為零的兩種情況，所以定軸轉(zhuǎn)動的剛體其轉(zhuǎn)速可能不變，也可能改變。變，也可能改變。例例:一個有固定軸的剛體，受到兩個力的作用。當(dāng)這兩個力的合力為零時，一個有固定軸的剛體，受到兩個力的作用。當(dāng)這兩個力的合力為零時，它們對軸的合力矩也一定為零嗎？舉例說明之。它們對軸的合力矩也一定為零嗎？舉例說明之。答答: 并不是

12、一定為零。并不是一定為零。 如汽車的方向盤可繞垂直于轉(zhuǎn)盤且過盤中心的定軸轉(zhuǎn)動。當(dāng)駕駛員用如汽車的方向盤可繞垂直于轉(zhuǎn)盤且過盤中心的定軸轉(zhuǎn)動。當(dāng)駕駛員用兩手操縱方向盤時，就可在盤的左右兩側(cè)加上方向相反、大小相等的兩個兩手操縱方向盤時，就可在盤的左右兩側(cè)加上方向相反、大小相等的兩個力。對轉(zhuǎn)盤而言，合外力為零，但這兩個力的力矩大小相等，方向一致，力。對轉(zhuǎn)盤而言，合外力為零，但這兩個力的力矩大小相等，方向一致，故合力矩不為零。故合力矩不為零。討論討論14mrId2dm質(zhì)元的質(zhì)量質(zhì)元的質(zhì)量r 質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離剛體的質(zhì)量可認(rèn)為是連續(xù)分布的，所以上式可寫成剛體的質(zhì)量可認(rèn)為是連續(xù)分布的，所以上式

13、可寫成積分形式積分形式按轉(zhuǎn)動慣量的定義有按轉(zhuǎn)動慣量的定義有iimrI22.3 轉(zhuǎn)動慣量的計算轉(zhuǎn)動慣量的計算轉(zhuǎn)動慣量是轉(zhuǎn)動中慣性大小的量度轉(zhuǎn)動慣量是轉(zhuǎn)動中慣性大小的量度。質(zhì)量是平動中慣性大小的量度。質(zhì)量是平動中慣性大小的量度。類比類比：平動：一維直線運(yùn)動平動：一維直線運(yùn)動 轉(zhuǎn)動：定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動：定軸轉(zhuǎn)動 22ddddtxmtmmaFv22ddddtItIIM15注意：注意：轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量有關(guān)，與運(yùn)動速度無關(guān)。與質(zhì)量有關(guān)，與運(yùn)動速度無關(guān)。質(zhì)量一定時質(zhì)量一定時, ,與質(zhì)量的分布有關(guān)，并且與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。與質(zhì)量的分布有關(guān)，并且與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。轉(zhuǎn)動慣量計算：轉(zhuǎn)動慣量計算：,rmIiii2例：例

14、：mmmdddA0三個質(zhì)點三個質(zhì)點m組成一個正三角形組成一個正三角形剛體結(jié)構(gòu)。剛體結(jié)構(gòu)。求求IA 、I0 。222A2mdmdmdI疊加原理疊加原理).3(，320damaI與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。16(2) (2) 轉(zhuǎn)軸過頂端轉(zhuǎn)軸過頂端, ,與棒垂直與棒垂直x取取dx：222231ddmlxxlmmxIl0得：轉(zhuǎn)動慣量與轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動慣量與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)的位置有關(guān)0例：細(xì)棒質(zhì)量例：細(xì)棒質(zhì)量m,均勻分布均勻分布,長長l(1) (1) 轉(zhuǎn)軸過中心轉(zhuǎn)軸過中心, ,與棒垂直與棒垂直. .x0dxx取取dx：xlmmdd222221121ddmlxlxmxImll得：質(zhì)量連續(xù)分布：質(zhì)量連續(xù)分布：

15、mrId2dxx17平行軸定理：平行軸定理：222131121mlImlI、21221lmII2mdIIcd 兩平行軸之間的距離。兩平行軸之間的距離。122l例：均勻薄圓盤，轉(zhuǎn)軸過中心與盤面垂直，求例：均勻薄圓盤，轉(zhuǎn)軸過中心與盤面垂直，求I0 。m，Rr0rdr取半徑為取半徑為r，寬為寬為dr的圓環(huán)的圓環(huán)rrmsmRddd22rrmrmrIRR02dd2220221Rm質(zhì)心質(zhì)心 C18).21(2mRI 1m2m（ m2 m1 ）gm2T2)1(2222)(：amTgmmaT1m1g)2( )(1111amgmTm ：?21TT ,方向為正方向?qū)啠喝?22TT 11TT a ）（32112

16、2mRRTRT,TT0,21個方程。個未知數(shù)，共34 )(21,Ta,T又，繩與輪間無滑動，滑輪邊緣的切向又，繩與輪間無滑動，滑輪邊緣的切向加速度加速度R , ,和物體的加速度相等和物體的加速度相等. .）（ 4aRIM 由例：如圖所示例：如圖所示, ,滑輪質(zhì)量滑輪質(zhì)量m,半徑半徑R ( (注意注意: :在中學(xué)里在中學(xué)里一般滑輪質(zhì)量略去不計一般滑輪質(zhì)量略去不計）求：物體的加速度和繩的張力。求：物體的加速度和繩的張力。19例例: : 一半徑為一半徑為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為m勻質(zhì)圓盤，平放在粗糙的水平桌勻質(zhì)圓盤，平放在粗糙的水平桌面上。設(shè)盤與桌面間摩擦系數(shù)為面上。設(shè)盤與桌面間摩擦系數(shù)為 ，令圓盤最初以

17、角速度，令圓盤最初以角速度 0 0 繞通過中心且垂直盤面的軸旋轉(zhuǎn)，問它經(jīng)過多少時間才停止繞通過中心且垂直盤面的軸旋轉(zhuǎn)，問它經(jīng)過多少時間才停止轉(zhuǎn)動？轉(zhuǎn)動？解：由于摩擦力不是集中作用于解：由于摩擦力不是集中作用于某某一點，而是分布在整個圓盤與一點，而是分布在整個圓盤與桌子的接觸面上，其力矩的計算桌子的接觸面上，其力矩的計算要用要用積分法積分法。dddrrS errSeVdddd質(zhì)元質(zhì)元圓盤所受阻力矩圓盤所受阻力矩rrergmgrMddd 0e如圖，把圓盤分成許多如圖的如圖，把圓盤分成許多如圖的質(zhì)元質(zhì)元，每個質(zhì)元的質(zhì)量為每個質(zhì)元的質(zhì)量為dm，dm= dV= rd dre，( (e是盤的厚度是盤的厚度

18、) )所受到的阻力矩所受到的阻力矩dM= =r dmg。drd 3200232ddRegrregRMMd阻力矩向下，阻力矩向下，與與 0 0方向相反方向相反！20rrsd2d也可以把圓盤分成許多也可以把圓盤分成許多圓環(huán)形質(zhì)元圓環(huán)形質(zhì)元，每個質(zhì)元的質(zhì)量每個質(zhì)元的質(zhì)量dm= dV= 2 rdre，所受到的阻力矩是所受到的阻力矩是r dmg 。30232d2d2dRegrregrerrgmgrMR因因m=eR2，代入得，代入得mgRM32rerVd2dr e質(zhì)元質(zhì)元rdIM )21(2mRI 根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動定律，阻力矩使圓盤減速，即獲得負(fù)的角加速度根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動定律，阻力矩使圓盤減速，即獲得負(fù)的角加速度

19、.Rg34設(shè)圓盤經(jīng)過時間設(shè)圓盤經(jīng)過時間t 停止轉(zhuǎn)動，則有停止轉(zhuǎn)動，則有tt0tRg3400由此求得：由此求得：043gRt 22132mRmgR 21例：均質(zhì)矩形薄板繞豎直邊轉(zhuǎn)動，初始角速度為例：均質(zhì)矩形薄板繞豎直邊轉(zhuǎn)動，初始角速度為 0 0，轉(zhuǎn)動時受到空氣的，轉(zhuǎn)動時受到空氣的阻力阻力垂直于板面，阻力阻力垂直于板面，每一小面積所受阻力的大小與其面積及速度的每一小面積所受阻力的大小與其面積及速度的平方的乘積成正比，比例常數(shù)為平方的乘積成正比，比例常數(shù)為k試計算經(jīng)過多少時間，薄板角速度試計算經(jīng)過多少時間，薄板角速度減為原來的一半設(shè)薄板豎直邊長為減為原來的一半設(shè)薄板豎直邊長為b，寬為，寬為a，薄板質(zhì)

20、量為，薄板質(zhì)量為m 解解 在板上距離轉(zhuǎn)軸為在板上距離轉(zhuǎn)軸為r處取一長度為處取一長度為b，寬度，寬度為為dr的的面積元面積元，其面積為，其面積為dS = bdr 當(dāng)板的角速度當(dāng)板的角速度 時，面積元的速率為時，面積元的速率為 v = r 所受的阻力為所受的阻力為 df = kv2dS = k 2r2bdr，阻力產(chǎn)生的力矩為阻力產(chǎn)生的力矩為 dM = rdf = k 2r3bdr，因此合力矩為因此合力矩為 232401d4aMkbrrkbaabdSrr0mrId2rbabmSabmmdddrbabmrmraadd020223am其角加速度為其角加速度為mbakIM4322負(fù)號表示角加速度的方向與角

21、速度的方向相反負(fù)號表示角加速度的方向與角速度的方向相反. . 注意：注意：t002不成立！？不成立??？)(414tkbaM22由于由于 = d /dt，可得轉(zhuǎn)動的微分方程可得轉(zhuǎn)動的微分方程 22d3d4kbatm 分離變量得分離變量得 223dd4kbatm 積分得積分得 2314kbatCm當(dāng)當(dāng)t = 0時時， = 0，所以所以C = -1/ 0，因此得：因此得：203114kbatm當(dāng)當(dāng) = 0/2時時，解得時間為解得時間為 ：2043mtkbambak43220202dd43ttmkba233 3 剛體的動能與勢能剛體的動能與勢能221diikiimEmv，其動能任取)(riiv2221

22、rmii整個剛體的轉(zhuǎn)動動能等于整個剛體的轉(zhuǎn)動動能等于各質(zhì)點動能之和。各質(zhì)點動能之和。2222)(2121rmrmEiiiiiik)21(2vmEk平動動能：221IEk剛體的轉(zhuǎn)動動能剛體的轉(zhuǎn)動動能3.1 3.1 剛體的轉(zhuǎn)動動能剛體的轉(zhuǎn)動動能irivim24(1)(1)力矩的功力矩的功的作用點。力FP，d軸轉(zhuǎn)過作用，剛體繞力0ZF.,dddiiiiF0PrsFs夾角，與方向作用點的位移，力上作的功。位移力isFd)sincos(iiii，iFrAdsindsinFrM 外力矩外力矩dM剛體從角位移剛體從角位移 1 2時，時，外力矩外力矩M所作的功。所作的功。21dMA3.2 定軸轉(zhuǎn)動的動能定理定

23、軸轉(zhuǎn)動的動能定理dcoscosdddiiiiiFrsFsFAiFirisd25ddddddddItItIIM2211tt，21222121dd21IIIMA合外力矩對定軸轉(zhuǎn)動剛體所作的功等于合外力矩對定軸轉(zhuǎn)動剛體所作的功等于其轉(zhuǎn)動動能的增量。其轉(zhuǎn)動動能的增量。ddIM(2)(2)定軸轉(zhuǎn)動的動能定理定軸轉(zhuǎn)動的動能定理I,m v2022121dvvmmxFA從2022121dIIMA設(shè)想26.AAccrrvv，分析：解：當(dāng)棒擺到如圖所示位置時，解：當(dāng)棒擺到如圖所示位置時，重力矩棒受重力cos2lmgmg力矩為零。點因過軸對棒有支承力,0,0豎直，棒：水平2223121221mllmgIEAk由lg

24、3求例：如圖：均勻細(xì)棒例：如圖：均勻細(xì)棒（m、l ），），水平開始下擺，到豎直位置時，水平開始下擺，到豎直位置時，中心點中心點C和端點和端點A的速度各為多少？的速度各為多少？2dcos2d20lmglmgMA.CmgCA0光滑軸光滑軸.再問：水平位置和豎直位置再問：水平位置和豎直位置棒的角加速度各為多少棒的角加速度各為多少? ?031212MmllmgMIM豎直：水平：根據(jù)：0,2321豎直：水平：lg一一對應(yīng)的瞬時關(guān)系MIM下擺下擺d，ddMA 重力矩作的功：任取一中間過程任取一中間過程273.3 剛體的重力勢能剛體的重力勢能x0h(y)mc.iipighmEmi，取imihiiiipphm

25、gghmEEi整個剛體的重力勢能：mhmhiic質(zhì)心公式：chcPmghE 剛體勢能的計算剛體勢能的計算: :把剛體的質(zhì)量看成集中于把剛體的質(zhì)量看成集中于質(zhì)心質(zhì)心, ,計算質(zhì)心勢能即可計算質(zhì)心勢能即可. .283.4 剛體系統(tǒng)的功能原理剛體系統(tǒng)的功能原理A外力外力 +A非保守內(nèi)力非保守內(nèi)力=（Ek2 +Ep2 ）（Ek1 +Ep1）系統(tǒng)外力與非保守內(nèi)力作功之和等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量系統(tǒng)外力與非保守內(nèi)力作功之和等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量功能原理功能原理3.5 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律)( 0 或只有保守力作功若非保內(nèi)外AA系統(tǒng)機(jī)械能守恒系統(tǒng)機(jī)械能守恒.平動動能平動動能+ +轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能+ +重力

26、勢能重力勢能+ +彈性勢能彈性勢能= =恒量恒量恒量222212121kxmgyImccv如上例：棒定軸轉(zhuǎn)動，只有保守力如上例：棒定軸轉(zhuǎn)動，只有保守力(重力重力)作功，機(jī)械能守恒。作功，機(jī)械能守恒。水平，機(jī)械能：水平，機(jī)械能：mgh （注意勢能零點的選擇）（注意勢能零點的選擇）.3,2122lgIlmg豎直，機(jī)械能：豎直，機(jī)械能：221I機(jī)械能守恒：機(jī)械能守恒：29例例: : 質(zhì)量質(zhì)量m1，半徑為半徑為R 的定滑輪（當(dāng)作均質(zhì)圓盤）上繞的定滑輪（當(dāng)作均質(zhì)圓盤）上繞一輕繩，繩的一端固定在滑輪上，另一端掛一質(zhì)量為一輕繩，繩的一端固定在滑輪上，另一端掛一質(zhì)量為m2的物體而下垂，如圖所示。忽略軸處摩擦，

27、求物體的物體而下垂，如圖所示。忽略軸處摩擦，求物體m2由由靜止下落靜止下落h高度時的速度。高度時的速度。 21212222Imghmv21222 mmghmv得hROm2m1解解 將滑輪、物體、繩和地球視為一將滑輪、物體、繩和地球視為一個系統(tǒng)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律個系統(tǒng)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律Rv 2121RmI 301. 1. 剛體的角動量剛體的角動量4.4 剛體角動量和角動量守恒定律剛體角動量和角動量守恒定律剛體為特殊質(zhì)點系，質(zhì)點系對軸線的角動量定理剛體為特殊質(zhì)點系，質(zhì)點系對軸線的角動量定理（2.43）tLMzzdd可直接應(yīng)用于剛體，略去下標(biāo)可直接應(yīng)用于剛體，略去下標(biāo)z，寫成，寫成tLMdd剛體

28、所受對剛體所受對某給定軸某給定軸 的合外力矩等于剛體的合外力矩等于剛體對對該軸該軸 的角動量對時間的變化率。的角動量對時間的變化率。zi0ir0PrimiviviiizrmL2iiiiizzrmrmLLivIrmii)(2?zLLP63312.2.角動量角動量( (動量矩動量矩) )定理定理動量定理動量定理:00dvvmmtFtt設(shè)想設(shè)想: :角動量定理角動量定理: :00dIItMttLtMdd 由不變.) 1 (I0000dddIIILtMtttt.)2(變IIIttttIIILtM000000)d(dd角動量的增量。于剛體在這段時間內(nèi)的）等沖量矩（剛體所受的合外力矩的tM dtLMdd3

29、23. 角動量守恒定律角動量守恒定律0d)d(dd0tItLM如果恒矢量。IL剛體所受的合外力矩等于零時剛體所受的合外力矩等于零時, ,剛體的角動量保持不變剛體的角動量保持不變. .,rmIiii2I33例：如圖所示例：如圖所示,球球棒棒,完全彈性碰撞完全彈性碰撞.求小球的回跳速度求小球的回跳速度v, 棒的角速度棒的角速度 。.0.2,、棒 m.m球，u解解: : 小球：小球：動量定理動量定理 ( (向上為正向上為正) )：) 1 ()()(dumummtfvv)(棒對球式中：f細(xì)棒：細(xì)棒：角動量定理角動量定理( (方向以方向以 為正為正) )：)2(0ddItftM)(球?qū)Π羰街衒 棒對球f

30、球?qū)Π鬴 ff)3(2,10)(,Ium v得：聯(lián)立方程）（）（球球, ,棒系統(tǒng)棒系統(tǒng), ,彈性碰撞彈性碰撞, ,動能守恒：動能守恒：）（42022212121Imumv)121(20mI 式中：.),(,)4(),3(可以求解兩個未知數(shù)兩個方程v問題：公式（問題：公式（3）的）的物理意義？物理意義？另解另解: :棒球系統(tǒng)棒球系統(tǒng), ,碰撞過程角動量守恒碰撞過程角動量守恒. .為正方向以，方向末：角動量，球：，方向初：角動量，球：vmum。，方向棒：0I0Imv總和：)3(00)(.即：角動量守恒：IummIumvv平面平面34解解: :完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞, ,外力外力: :重力重力

31、, ,軸的支承力軸的支承力, ,對對轉(zhuǎn)軸的力矩為零轉(zhuǎn)軸的力矩為零, ,角動量守恒角動量守恒. .，方向：碰前：lmv碰后瞬間：設(shè)棒和槍彈開始一起運(yùn)動時的角碰后瞬間：設(shè)棒和槍彈開始一起運(yùn)動時的角速度為速度為 方向：,3122MLml角動量守恒：角動量守恒：）（12231MLmllmv例：均勻細(xì)桿長例：均勻細(xì)桿長 L 質(zhì)量質(zhì)量M ,可繞可繞A端的水平軸自由轉(zhuǎn)動端的水平軸自由轉(zhuǎn)動, ,在桿自由在桿自由下垂時下垂時, ,質(zhì)量為質(zhì)量為m的槍彈沿水平方向射進(jìn)桿的的槍彈沿水平方向射進(jìn)桿的P點點. .并使桿擺動并使桿擺動, ,擺擺動的最大偏轉(zhuǎn)角為動的最大偏轉(zhuǎn)角為 ,已知已知AP長為長為l ,求槍彈射入之前的速

32、度求槍彈射入之前的速度v.)31(22MLml I2231MLmlmv常見錯誤：常見錯誤：PA.Bm vl疊加原理疊加原理I2mlI lrvvlmIv35此后，棒和槍彈一起以此后，棒和槍彈一起以 運(yùn)動，機(jī)械能守恒。運(yùn)動，機(jī)械能守恒。槍彈射入后槍彈射入后, ,棒和槍彈系統(tǒng)的質(zhì)心位置棒和槍彈系統(tǒng)的質(zhì)心位置rc：mMmlLMcr2豎直，豎直，機(jī)械能：機(jī)械能：221I22222223121213121)(mlMLmlML機(jī)械能守恒：)2()cos1 (2)(3121222mMmllMgmMmlML最大偏轉(zhuǎn)角最大偏轉(zhuǎn)角 處處, ,機(jī)械能：機(jī)械能：)cos1 (2)()(mMmlLMgmMghmM.,12

33、v求出代解出從）（）（）（12231MLmllmv例：均勻細(xì)桿長例：均勻細(xì)桿長 L 質(zhì)量質(zhì)量M ,可繞可繞A端的水平軸自由轉(zhuǎn)動端的水平軸自由轉(zhuǎn)動, ,在桿自由在桿自由下垂時下垂時, ,質(zhì)量為質(zhì)量為m的槍彈沿水平方向射進(jìn)桿的的槍彈沿水平方向射進(jìn)桿的P點點. .并使桿擺動并使桿擺動, ,擺擺動的最大偏轉(zhuǎn)角為動的最大偏轉(zhuǎn)角為 ,已知已知AP長為長為l ,求槍彈射入之前的速度求槍彈射入之前的速度v.PA.Bm vlCh.Crc.零勢能點零勢能點Mxmxiiic36例例: :工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉(zhuǎn)工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動。如圖所示，速一起轉(zhuǎn)動。如圖所示

34、，A和和B兩飛輪的軸桿在同一中兩飛輪的軸桿在同一中心線上，心線上，A輪的轉(zhuǎn)動慣量為輪的轉(zhuǎn)動慣量為IA=10kg m2，B B的轉(zhuǎn)動慣量為的轉(zhuǎn)動慣量為IB=20kg m2 。開始時。開始時A輪的轉(zhuǎn)速為輪的轉(zhuǎn)速為600r/min，B輪靜止輪靜止。C為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速；在嚙合過程為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速；在嚙合過程中，兩輪的機(jī)械能有何變化？中，兩輪的機(jī)械能有何變化？ A ACBACB37解：以飛輪解：以飛輪A、B和嚙合器和嚙合器C作為一系統(tǒng)來考慮，在嚙合過程中，系統(tǒng)受作為一系統(tǒng)來考慮，在嚙合過程中，系統(tǒng)受到軸向的正壓力和嚙合器間的切向摩擦力，前者對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，后到軸向的正壓

35、力和嚙合器間的切向摩擦力，前者對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，后者對者對轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸有力矩，但為系統(tǒng)的內(nèi)力矩。系統(tǒng)沒有受到其他外力矩，所以有力矩，但為系統(tǒng)的內(nèi)力矩。系統(tǒng)沒有受到其他外力矩，所以系統(tǒng)的角動量守恒。按角動量守恒定律可得系統(tǒng)的角動量守恒。按角動量守恒定律可得BABBAAIIII 為兩輪嚙合后共同轉(zhuǎn)動的角速度為兩輪嚙合后共同轉(zhuǎn)動的角速度BABBAAIIII以各量的數(shù)值代入得以各量的數(shù)值代入得1srad9 .20或共同轉(zhuǎn)速為或共同轉(zhuǎn)速為1min200rn在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機(jī)械能不守恒，部分機(jī)械能將轉(zhuǎn)以機(jī)械能不守恒，部分機(jī)械能將轉(zhuǎn)化為熱量，損失的機(jī)械能為化為熱量，損失的機(jī)械能為JIIIIEBABABA42221032. 1212121 ACBACB38例例: : 均質(zhì)圓輪均質(zhì)圓輪A的質(zhì)量為的質(zhì)量為M1，半徑為半徑為R1，以角速度以角速度 繞繞OA桿的桿的A端轉(zhuǎn)動，端轉(zhuǎn)動，此時，將其放置在另一質(zhì)量為此時，將其放置在另一質(zhì)量為M2的均質(zhì)圓輪的均質(zhì)圓輪B上，上，B輪的半徑為輪的半徑為R2B輪輪原來靜止，但可繞其幾何中心軸自由轉(zhuǎn)動放置后，原來靜止，但可繞其幾何中心軸自由轉(zhuǎn)動放置后，A輪的重量由輪的重量由B輪支輪支持略去軸承的摩擦與桿持略去軸承的摩擦與桿OA的重量，并設(shè)兩輪間的摩擦因素為的重量，并設(shè)兩輪間的摩擦因素為 ，問自問自A輪放在輪放在B