高等流體力學第六章

1、第六章第六章 導熱問題的數(shù)值解導熱問題的數(shù)值解6.1 一維穩(wěn)態(tài)導熱一維穩(wěn)態(tài)導熱X(x)e(x)wWwxeEP0SdxdTkdxd6.2 邊界條件與源項的處理邊界條件與源項的處理n一維穩(wěn)態(tài)導熱一維穩(wěn)態(tài)導熱ddTk+S=0dxdxPPCTSSS()0wPWeEPcPPewkTTkTTSS TxxxewweSdxdxdTkdxdTk06.2 邊界條件與源項的處理邊界條件與源項的處理n一維穩(wěn)態(tài)導熱一維穩(wěn)態(tài)導熱0SdxdTkdxdbTaTaTaWWEEPP eeExka wwWxka其中xSaaapWEPxSbc6.2 邊界條件與源項的處理邊界條件與源項的處理n一維穩(wěn)態(tài)導熱一維穩(wěn)態(tài)導熱bTaTaTaWW

2、EEPPPnbnbTa Tb式中下標nb表示一個相鄰結點，表示對所有的相鄰結點求和 6.3 邊界條件邊界條件在熱傳導問題中有三類典型的邊在熱傳導問題中有三類典型的邊界條化：界條化： 1已知邊界溫度已知邊界溫度 2已知邊界熱流密度已知邊界熱流密度 3通過放熱系數(shù)和周圍流體的通過放熱系數(shù)和周圍流體的 溫度來規(guī)定邊界的熱流密度溫度來規(guī)定邊界的熱流密度6.3 邊界條件邊界條件“半”控制容積WIBXEP典型控制容積M6.3 邊界條件對控制容積積分，考慮熱流與溫度關系對控制容積積分，考慮熱流與溫度關系0iBIBCPBik TTqSS Txx 0ddTkSdxdx0BiCPBqqSS Tx dTqkdx B

3、Ii邊界附近的半控制容積x( x)i6.3 邊界條件 BBIIa Ta TbiIikaxCBbSxq BIPaaSxBIi邊 界 附 近 的 半 控 制 容 積 x( x )i6.3 邊界條件（第三類） BqBIBqh TTBTBBIIa Ta TbilikaxCIbSxhT BIPaaSxh 如果熱流密度系由放熱系數(shù)h以及環(huán)境流體溫度T 那么于是對于的方程變?yōu)椋菏街?.4 四項基本法則n法則法則1：在控制容積面上的連續(xù)性：在控制容積面上的連續(xù)性 當一個面作為兩個相鄰控制容積所共有，離當一個面作為兩個相鄰控制容積所共有，離散化方程內(nèi)必須用相同的表達式來表示通過散化方程內(nèi)必須用相同的表達式來表示

4、通過該面的熱流密度、質(zhì)量流量以及動量通量。該面的熱流密度、質(zhì)量流量以及動量通量。一維問題的典型網(wǎng)格點群控制容積(x)e(x)wWwPEe6.4 四項基本法則 圖圖3.5 由二次曲線分布所得到的熱流密度的不連續(xù)性由二次曲線分布所得到的熱流密度的不連續(xù)性WP左邊的斜率右邊的斜率TExEE 6.4 四項基本法則n法則法則2：正系數(shù)：正系數(shù) 所有的系數(shù)（所有的系數(shù)（ 以及各相鄰結點系數(shù)以及各相鄰結點系數(shù) ）必）必須總是正的。須總是正的。panbappEEWWa Ta Ta TbPPnbnba Ta Tb （3.13） （3.15）6.4 四項基本法則n法則法則3：源項的負斜率線性化：源項的負斜率線性化

5、 當源項線性化為當源項線性化為 時，系數(shù)時，系數(shù) 必必須總是小于或是等于須總是小于或是等于0。CPPSSS TPSppEEWWa Ta Ta TbeEekaxwWwkax其中其中6.4 四項基本法則n aP= aE + aW - SP xn法則法則4：相鄰結點系數(shù)之和：相鄰結點系數(shù)之和 為了使微分方程在因變量增加一個常數(shù)之后也為了使微分方程在因變量增加一個常數(shù)之后也仍然能得到滿足，我們要求：仍然能得到滿足，我們要求： pnbaza方程（方程（3.18）當）當 時，遵守此法則。時，遵守此法則。（3.18）0pS 6.5 界面導熱系數(shù)離散化方程：離散化方程：ppEEWWa Ta Ta Tb一維問題

6、的典型網(wǎng)格點群控制容積(x)e(x)wWwPEe6.5 界面導熱系數(shù)其中：其中：eEekaxwWwkax如何求取導熱系數(shù)如何求取導熱系數(shù)ki？6.5 界面導熱系數(shù)n假設假設k在在P點和點和E點之間呈線性變化，則：點之間呈線性變化，則：其中：其中：（4.5）()()eeexfx（4.6）eEP()ex()ex()exke = fe kP+ (1-fe)kE6.5 界面導熱系數(shù)n如果界面如果界面e位于兩個網(wǎng)格點之間的中點，那么位于兩個網(wǎng)格點之間的中點，那么fe將是將是0.5，ke就是就是kp與與ke的算術平均值。的算術平均值。界面熱流密度：界面熱流密度：()()ePEeek TTqx（4.8）對于

7、在對于在P點與點與E點之間的組合板，根據(jù)穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱點之間的組合板，根據(jù)穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源一維導熱的分析，可得：源一維導熱的分析，可得：()/()/PEeePeETTqxkxk（4.7）6.5 界面導熱系數(shù)n將（將（4.6）-（4.8）合并在一起，就得到：）合并在一起，就得到：11eeePEffkkk（4.9）當界面位于當界面位于P和和E之間的中點時，則之間的中點時，則 ，0.5ef 有有1110.5()ePEkkk（4.10）6.5 界面導熱系數(shù)n將式（將式（4.9）代入）代入 ，eEekax得得1()()eeEPExxakk（4.11）ae代表點代表點P和和E之間的材料的熱導。之間的材料的熱導。1

8、.令令 ，0Ek則由方程（則由方程（4.9）可得：）可得： 。0ek 2.令令 ，PEkk則：則： 。 Eeekkf6.6 源項的線性化n當源項當源項S與與T有關時，則：有關時，則：CP PSSS TS的線性化應當是的線性化應當是S-T關系的一個良好的表達式，關系的一個良好的表達式，還必須滿足非正的還必須滿足非正的SP的基本法則。的基本法則。6.6 源項的線性化例例1.已知：已知： 。54ST某些可能的線性化如下：某些可能的線性化如下：1.5,4.CPSS 2.*54,0.CPPSTS當當S的表達式很復雜時，采用此方式。的表達式很復雜時，采用此方式。3.*57,11.CPPSTS 曲線比實際的

9、曲線比實際的S-T關系更陡的曲線，這關系更陡的曲線，這將使迭代的收斂速度減慢。將使迭代的收斂速度減慢。6.6 源項的線性化例例2.已知：已知： 。37ST某些可能的線性化如下：某些可能的線性化如下：1.3,7.CPSS2.*37,0.CPPSTS3.*39,2.CPPSTS 導致收斂速度減慢。導致收斂速度減慢。不可接受，因為不可接受，因為SP為正。為正。6.6 源項的線性化例例3.已知：已知： 。345ST某些可能的線性化如下：某些可能的線性化如下：1.*24,.CPPSST 2.*345,0.CPPSTS3.*3*24 10,15.CPPPSTST 則：則：*3*2*4515PPPPPPdS

10、SSTTTTTTdT在在 點，所選擇的直線與點，所選擇的直線與S-T曲線相切。曲線相切。*PT6.6 源項的線性化4.*3*2420,25.CPPPSTST 收斂慢。收斂慢。圖4.2 四種可能的線性化ST已知曲線4321345ST*PT6.7 線性代數(shù)方程的解 一維離散化方程的解可以用標準的高一維離散化方程的解可以用標準的高斯斯(Gauss )消去法得到，由于方程的形消去法得到，由于方程的形式特別簡單，消去過程的算法就變得式特別簡單，消去過程的算法就變得十分方便有時候，這種算法稱之為十分方便有時候，這種算法稱之為TDMA(三對角矩陣算法三對角矩陣算法)TDMA的名的名稱基于：在寫這些方程的系數(shù)

11、矩陣時，稱基于：在寫這些方程的系數(shù)矩陣時，所有的非零系數(shù)均排列在矩陣的三條所有的非零系數(shù)均排列在矩陣的三條對角線上對角線上(僅對角元素及其上下鄰位上僅對角元素及其上下鄰位上的元素不為零的元素不為零)6.7 線性代數(shù)方程的解式中下標式中下標il，2，3，N于是溫于是溫度度Ti與相鄰的溫度與相鄰的溫度Ti-1及及Ti+1有關有關iiiiiiidTcTbTa11 （1）將方程將方程ppEEWWa Ta Ta Tb改寫成：改寫成：6.7 線性代數(shù)方程的解n顯然當顯然當i1時，時，C=0，而，而i=N時，時，B=0，即首、，即首、尾兩個節(jié)點的方程中僅有兩個未知數(shù)。尾兩個節(jié)點的方程中僅有兩個未知數(shù)。nTD

12、MA的求解過程分為消元與回代兩步。的求解過程分為消元與回代兩步。n消元時，從系數(shù)矩陣的第二行起，逐一把每行消元時，從系數(shù)矩陣的第二行起，逐一把每行中的非零元素消去一個，使原來的三元方程化中的非零元素消去一個，使原來的三元方程化為二元方程。消元進行到最后一行時，該二元為二元方程。消元進行到最后一行時，該二元方程就化為一元?？闪⒓吹贸鲈撐粗康闹?。方程就化為一元?？闪⒓吹贸鲈撐粗康闹怠逐一往前回代，由各二元方程解出其它未知值。逐一往前回代，由各二元方程解出其它未知值。6.7 線性代數(shù)方程的解111iiiiTP TQ假設在前向代入過程中，得到假設在前向代入過程中，得到1iiiiTPTQ111ii

13、iiiiiiiaTbTc P TQd 把方程（把方程（2）代入方程（）代入方程（1）就得到：）就得到： （2） （3）6.7 線性代數(shù)方程的解改寫成：改寫成：1111iiiiiiii iii ibdc QTTac Pac P與式（與式（2）相比，有）相比，有1biPiac Pii i11dc Qii iQiac Pii i6.7 線性代數(shù)方程的解n 可以由左端點的離散方程來確定：可以由左端點的離散方程來確定：,iiP Q1 11 21 01aTbTcTd其中其中 ，1 00cT 所以，所以，112bPa111dQa6.7 線性代數(shù)方程的解n當消元到最后一行時，有：當消元到最后一行時，有：1NN

14、NNTP TQ而而 ，10NNP T所以，所以，NNTQ從上式出發(fā)，逐個回代，得出從上式出發(fā)，逐個回代，得出Ti（N-1，1）。）。例題k1；源項ST，SC0，Sp1，T10設有一導熱型方程 ，邊界條件為x0，T0；x1， 。將該區(qū)域三等分，求該問題的解。解：由導熱方程知220d TTd x1dTdx， T1/301T2/3123TT46.7 線性代數(shù)方程的解6.7 線性代數(shù)方程的解bTaTaTaWWEEPP eeExka wwWxkaxSaaapWEPxSbc3 , 210T 1/3x1/3x 221 13 32a TaTa Tb3 322443a Ta Ta Tb443 34a Ta Tb

15、a1=a3=3,a2=19/3,b2=0 a2=a4=3,a3=19/3,b3=0 a3=3,a4=19/6,b4=-1 1)/(*0q44dxdTkxSbc， 6.7 線性代數(shù)方程的解即19/3T2=3T3+3T119/3T3=3T4+3T219/6T4=3T3-1T1=0T2=-243/1121T3=-27/59T4=-840/11216.7 線性代數(shù)方程的解高斯高斯塞始爾塞始爾(Gauss5eldel)逐點計算法逐點計算法PPnbnba Ta Tb*nbnbPPa TbTa其中其中Tnb*代表在計算機存貯器中所存在的相鄰點的溫度值對于那些在本次代表在計算機存貯器中所存在的相鄰點的溫度值對

16、于那些在本次迭代過程中已經(jīng)被訪問過的相鄰點是迭代過程中已經(jīng)被訪問過的相鄰點是新鮮的計值，而對于那些尚待訪問的相鄰點是由前一次達代所得到的值新鮮的計值，而對于那些尚待訪問的相鄰點是由前一次達代所得到的值6.7 線性代數(shù)方程的解高斯高斯塞始爾塞始爾(Gauss5eldel)逐點計算法逐點計算法121TT212.50.5TT 迭代序列號01234T10-1-4-11.5-30.25T20-3-10.5-29.5-76.136.7 線性代數(shù)方程的解高斯高斯塞始爾塞始爾(Gauss5eldel)逐點計算法逐點計算法120.40.2TT211TT 迭代的序號012345T10020680872094909

17、2010T2012168187219491980206.7 線性代數(shù)方程的解逐行計算法逐行計算法 所選定的行6.7 線性代數(shù)方程的解松弛松弛 PPnbnba Ta TbnbnbPPa TbTa*PT*nbnbPPPPa TbTTTaPT我們在方程的右側加上我們在方程的右側加上，再減它，我們就有：，再減它，我們就有：括號內(nèi)的部分代表由本次迭代所產(chǎn)生的括號內(nèi)的部分代表由本次迭代所產(chǎn)生的的變化。這一變化可以通過引進一個的變化。這一變化可以通過引進一個 6.7 線性代數(shù)方程的解松弛松弛 *nbnbPPPPa TbTTTaPT括號內(nèi)的部分代表由本次迭代所產(chǎn)生的括號內(nèi)的部分代表由本次迭代所產(chǎn)生的的變化。這

18、一變化可以通過引進一個的變化。這一變化可以通過引進一個 松弛因子加以修改，所以松弛因子加以修改，所以*nbnbPPPPa TbTTTa*1PPPnbnbPaaTa TbT6.8 超松弛與欠松弛n在代數(shù)方程的迭代求解過程中，或是用于處理非線性問題的整體迭代模式中，往往希望加快或是減慢前后二次迭代之間因變量值的變化。n因變量的變化被加速超松弛；因變量的變化被減慢欠松弛。對于離散方程取 作為前一次迭代所得TP值。采用一個松弛因子 離散方程可以寫成 如果我們在方程的右側加上 變換可以得到 括號內(nèi)部分代表本次迭代所產(chǎn)生的TP的變化?？梢酝ㄟ^引進一個松弛因子加以修改 , 為松弛因子當?shù)諗繒r， TP和 相等PPnbnba Ta Tb*PTnbnbPPa TbTa*PT*nbnbPPPPa TbTTTa*nbnbPPPPa TbTTTa*PT