第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析

1、第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理 第第8 8章章 線性離散系統(tǒng)分析線性離散系統(tǒng)分析信息控制類專業(yè)最重要的專業(yè)基礎(chǔ)課之一信息控制類專業(yè)最重要的專業(yè)基礎(chǔ)課之一第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析第第8章章 線性離散系統(tǒng)分析與校正線性離散系統(tǒng)分析與校正n8-1 8-1 離散系統(tǒng)的基本概念離散系統(tǒng)的基本概念n8-2 8-2 信號(hào)的采樣與保持信號(hào)的采樣與保持n8-3 Z8-3 Z變換理論變換理論n8-4 8-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型n8-5 8-5 離散系統(tǒng)穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差分析離散系統(tǒng)穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差分析第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析8-1 8-1 離散系統(tǒng)的基本概念離散系統(tǒng)的基本概

2、念n一一. 連續(xù)與離散系統(tǒng)連續(xù)與離散系統(tǒng)連續(xù)信號(hào)：時(shí)間上連續(xù)的信號(hào)連續(xù)信號(hào)：時(shí)間上連續(xù)的信號(hào)離散信號(hào)：時(shí)間上離散，幅度上連續(xù)或離散的信號(hào)離散信號(hào)：時(shí)間上離散，幅度上連續(xù)或離散的信號(hào)連續(xù)系統(tǒng)：控制系統(tǒng)中所有信號(hào)都是時(shí)間變量的連續(xù)連續(xù)系統(tǒng)：控制系統(tǒng)中所有信號(hào)都是時(shí)間變量的連續(xù)函數(shù)函數(shù)離散系統(tǒng)：控制系統(tǒng)中有一處或者幾處是離散信號(hào)離散系統(tǒng)：控制系統(tǒng)中有一處或者幾處是離散信號(hào)u脈沖控制系統(tǒng)脈沖控制系統(tǒng)(采樣系統(tǒng)采樣系統(tǒng))：離散信號(hào)是脈沖序列（幅值連續(xù)）：離散信號(hào)是脈沖序列（幅值連續(xù)）u數(shù)字控制系統(tǒng)數(shù)字控制系統(tǒng)(計(jì)算機(jī)系統(tǒng)計(jì)算機(jī)系統(tǒng)) ：數(shù)字信號(hào)，幅值不連續(xù)：數(shù)字信號(hào)，幅值不連續(xù)第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析

3、x(t)tx(t)tx(t)tT 2T nTT 2T nT連續(xù)信號(hào)連續(xù)信號(hào)采樣信號(hào)采樣信號(hào)實(shí)際采樣信號(hào)實(shí)際采樣信號(hào)為采樣開(kāi)關(guān)閉合時(shí)間為采樣開(kāi)關(guān)閉合時(shí)間x(t)tT 2T nT數(shù)字信號(hào)數(shù)字信號(hào)第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析二二. 采樣控制系統(tǒng)采樣控制系統(tǒng)n對(duì)來(lái)自傳感器的連續(xù)信息在某些規(guī)定的時(shí)間上瞬對(duì)來(lái)自傳感器的連續(xù)信息在某些規(guī)定的時(shí)間上瞬時(shí)取值采樣時(shí)取值采樣周期采樣周期采樣VS非周期采樣非周期采樣n應(yīng)用背景應(yīng)用背景高質(zhì)量控制效果（大慣性系統(tǒng)：爐溫采樣系統(tǒng)）高質(zhì)量控制效果（大慣性系統(tǒng)：爐溫采樣系統(tǒng)）)(tr)(te)(sGh( )het)(tc)(sGp)(*te)(sH第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析三三

4、. 數(shù)字控制系統(tǒng)數(shù)字控制系統(tǒng)n數(shù)字計(jì)算機(jī)作為控制器，輸入輸出均為數(shù)字信號(hào)數(shù)字計(jì)算機(jī)作為控制器，輸入輸出均為數(shù)字信號(hào)n與連續(xù)信號(hào)的轉(zhuǎn)換與連續(xù)信號(hào)的轉(zhuǎn)換A/D轉(zhuǎn)換器：采樣轉(zhuǎn)換器：采樣+量化量化D/A轉(zhuǎn)換器：解碼轉(zhuǎn)換器：解碼+復(fù)現(xiàn)復(fù)現(xiàn)數(shù)字計(jì)算機(jī)被控對(duì)象反饋裝置)(tr)(teDA/)(tf)(kTe)(kTuAD/)(1tu)(tc第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析)(tr)(te)(sGc)(tu)(sGh)(tuh)(tc)(sGp)(*te)(*tu)(sH數(shù)字控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)數(shù)字控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)控制器的傳遞函數(shù)控制器的傳遞函數(shù))(sGc)(sGp被控對(duì)象被控對(duì)象)(sGh信號(hào)保持器的傳遞函數(shù)信號(hào)

5、保持器的傳遞函數(shù))(sH測(cè)量元件的傳遞函數(shù)測(cè)量元件的傳遞函數(shù)第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析三三.離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn)離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn)n1）數(shù)字校正裝置實(shí)現(xiàn)方便且效果好，軟件編程實(shí)）數(shù)字校正裝置實(shí)現(xiàn)方便且效果好，軟件編程實(shí)現(xiàn)控制規(guī)律更靈活現(xiàn)控制規(guī)律更靈活n2）離散信號(hào)可以有效抑制噪聲，提高系統(tǒng)的抗干）離散信號(hào)可以有效抑制噪聲，提高系統(tǒng)的抗干擾能力擾能力n3）允許采用高靈敏度的控制元件，控制精度高）允許采用高靈敏度的控制元件，控制精度高n4）一臺(tái)計(jì)算機(jī)可以控制多個(gè)系統(tǒng)，計(jì)算機(jī)利用率）一臺(tái)計(jì)算機(jī)可以控制多個(gè)系統(tǒng)，計(jì)算機(jī)利用率高，經(jīng)濟(jì)性能好高，經(jīng)濟(jì)性能好n5）對(duì)于大延遲系統(tǒng)，更加穩(wěn)定）對(duì)于大延遲系統(tǒng)，更加

6、穩(wěn)定第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析四四.研究方法研究方法n沿用研究連續(xù)線性系統(tǒng)的方法，但是拉氏變換、沿用研究連續(xù)線性系統(tǒng)的方法，但是拉氏變換、傳遞函數(shù)和頻率響應(yīng)法、根軌跡法不再適應(yīng)。傳遞函數(shù)和頻率響應(yīng)法、根軌跡法不再適應(yīng)。出現(xiàn)復(fù)變量出現(xiàn)復(fù)變量s的超越函數(shù)的超越函數(shù)n采用采用Z變換方法建立離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：脈沖傳變換方法建立離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：脈沖傳遞函數(shù)，進(jìn)一步來(lái)分析離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和遞函數(shù)，進(jìn)一步來(lái)分析離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能。性能。第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析8-2 8-2 信號(hào)的采樣與保持信號(hào)的采樣與保持一一. 信號(hào)的采樣信號(hào)的采樣n1.采樣開(kāi)關(guān)：連續(xù)信號(hào)采樣開(kāi)關(guān)：連續(xù)信號(hào)e(t)變?yōu)?/p>

7、離散信號(hào)變?yōu)殡x散信號(hào)e*(t)e(t)e*(t)TT 為采樣周期為采樣周期00.511.500.20.40.60.81第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析n2.理想采樣過(guò)程理想采樣過(guò)程00.511.500.20.40.60.8100.511.500.20.40.60.8100.511.500.20.40.60.81理想采樣信理想采樣信號(hào)的表達(dá)式號(hào)的表達(dá)式 *0022ietete TtTeTtTe iTtiT)()()(*tteteT0)()(nTnTtte(t)第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析n3.實(shí)際采樣過(guò)程實(shí)際采樣過(guò)程實(shí)際采樣信號(hào)的表達(dá)式實(shí)際采樣信號(hào)的表達(dá)式 *00 111121212()11ietett

8、e TtTtTeTtTtTe iTtiTtiT第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析二二.采樣定理采樣定理給出從離散信號(hào)不失真地恢復(fù)原來(lái)信號(hào)所需的最低采樣頻率給出從離散信號(hào)不失真地恢復(fù)原來(lái)信號(hào)所需的最低采樣頻率n1.采樣信號(hào)頻譜采樣信號(hào)頻譜理想單位脈沖序列理想單位脈沖序列 TnttnT傅立葉級(jí)數(shù)形式傅立葉級(jí)數(shù)形式 1sjntTneT式中，式中，2/sT，稱為采樣角頻率。，稱為采樣角頻率。采樣信號(hào)可以寫為采樣信號(hào)可以寫為 *Tnete ttnTe tt*1snEjE jjnT對(duì)應(yīng)的傅立葉變換對(duì)應(yīng)的傅立葉變換第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析連續(xù)信號(hào)頻譜連續(xù)信號(hào)頻譜采樣信號(hào)頻譜采樣信號(hào)頻譜2sh采樣信號(hào)頻譜采樣信號(hào)頻

9、譜2shh為最大角頻率為最大角頻率第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析2.香農(nóng)采樣定理香農(nóng)采樣定理 采樣器的輸入連續(xù)信號(hào)頻譜中最高角頻率為采樣器的輸入連續(xù)信號(hào)頻譜中最高角頻率為h，為了采樣后能夠毫不失真地把原信號(hào)復(fù)現(xiàn)出來(lái)，為了采樣后能夠毫不失真地把原信號(hào)復(fù)現(xiàn)出來(lái)，則采樣角頻率則采樣角頻率s應(yīng)該大于或等于應(yīng)該大于或等于h的的2倍倍,即即s2h，或，或22hTn只有大于源信號(hào)的頻譜帶寬才有可能使用低通濾只有大于源信號(hào)的頻譜帶寬才有可能使用低通濾波器無(wú)畸變地把信號(hào)復(fù)現(xiàn)波器無(wú)畸變地把信號(hào)復(fù)現(xiàn) ，否則出現(xiàn)信號(hào)頻譜交，否則出現(xiàn)信號(hào)頻譜交疊則無(wú)法恢復(fù)。疊則無(wú)法恢復(fù)。第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析n常用的采樣周期常用的采樣

10、周期采樣周期過(guò)小，增加不必要的計(jì)算負(fù)擔(dān)采樣周期過(guò)小，增加不必要的計(jì)算負(fù)擔(dān)采樣周期過(guò)大，給控制過(guò)程帶來(lái)較大誤差，降低動(dòng)態(tài)性采樣周期過(guò)大，給控制過(guò)程帶來(lái)較大誤差，降低動(dòng)態(tài)性能，甚至使得系統(tǒng)不穩(wěn)定能，甚至使得系統(tǒng)不穩(wěn)定 控制過(guò)程控制過(guò)程采樣周期采樣周期(s)流量流量1壓力壓力5液面液面520成分成分20溫度溫度第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析三三. 零階保持器零階保持器n將離散信號(hào)恢復(fù)為連續(xù)信號(hào)，本質(zhì)上是要解決各將離散信號(hào)恢復(fù)為連續(xù)信號(hào)，本質(zhì)上是要解決各采樣時(shí)刻之間的插值問(wèn)題采樣時(shí)刻之間的插值問(wèn)題n用時(shí)間多項(xiàng)式逼近兩個(gè)采樣時(shí)刻之間的信號(hào)用時(shí)間多項(xiàng)式逼近兩個(gè)采樣時(shí)刻之間的信號(hào)n當(dāng)取多項(xiàng)式中的階次當(dāng)取多項(xiàng)式中

11、的階次p=0時(shí)稱為零階保持器，兩時(shí)稱為零階保持器，兩個(gè)采樣時(shí)刻之間保持采樣值不變個(gè)采樣時(shí)刻之間保持采樣值不變01phpenTtaatat 0hhenTtaenTx(t)tT 2T nT第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析零階保持器的脈沖響應(yīng)函數(shù)為零階保持器的脈沖響應(yīng)函數(shù)為 t在單位脈沖在單位脈沖 作用下的輸出，作用下的輸出， tgh可以分解為兩個(gè)單位可以分解為兩個(gè)單位 11hgtttT tgh傳遞函數(shù)為傳遞函數(shù)為 1( )TshheGsL g ts使采樣信號(hào)變成階梯信號(hào)使采樣信號(hào)變成階梯信號(hào)階躍函數(shù)之和階躍函數(shù)之和第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析8-3 Z8-3 Z變換變換n一一. Z變換（采樣拉氏變換）變換

12、（采樣拉氏變換）0)()(dtetesEst設(shè)連續(xù)信號(hào)設(shè)連續(xù)信號(hào) 可進(jìn)行拉氏變換可進(jìn)行拉氏變換)(te設(shè)設(shè) 時(shí)時(shí) ，則，則0)(te0tdtetesEst)()(第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析0*)()()(nnTtnTete采樣信號(hào)采樣信號(hào) 可以寫為可以寫為)(*te采樣信號(hào)采樣信號(hào) 的拉氏變換為的拉氏變換為)(*te*( )*( )stEset edt00.511.500.20.40.60.810() () stne nTtnTedt0() ()stne nTtnTedt0()()ste nTtnT edt第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析由脈沖函數(shù)的篩選性質(zhì)由脈沖函數(shù)的篩選性質(zhì)snTstedtenT

13、t)()()()(nTfdttfnTtsnTnenTesE0*)()(所以，采樣信號(hào)所以，采樣信號(hào) 的拉氏變換為的拉氏變換為)(*te00.511.500.20.40.60.81*0( )()()stE se nTtnT edt第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析snTnenTesE0*)()(令令sTez (Z也是個(gè)復(fù)數(shù)也是個(gè)復(fù)數(shù))zTsln1nnzTsznTesEzE0ln1*)()()(采樣信號(hào)采樣信號(hào) 的的Z變換為變換為)(*te)()()(*teZteZzE或記作或記作第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析二二. Z變換方法變換方法 1. 冪級(jí)數(shù)求和法冪級(jí)數(shù)求和法利用利用Z變換的定義式變換的定義式012(

14、 )()(0)( )(2 )()nnnE ze nT zee T ze T ze nT z若級(jí)數(shù)收斂，則若級(jí)數(shù)收斂，則Z變換存在變換存在第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析 解：?jiǎn)挝浑A躍信號(hào)的離散信號(hào)為解：?jiǎn)挝浑A躍信號(hào)的離散信號(hào)為120( )()1nkE ze nT zzz 時(shí)上式收斂時(shí)上式收斂111)( 1 1zzztZ1, 11zorz因此單位階躍函數(shù)的因此單位階躍函數(shù)的Z變換為變換為 【例例1】求單位階躍函數(shù)求單位階躍函數(shù) 的的Z變換變換)( 1)(tte()1,0,1,2,e nTn等比序列等比序列111qqaS 第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析解：指數(shù)函數(shù)的采樣值為解：指數(shù)函數(shù)的采樣值為 000(

15、)()()nanTnaTnnnnF zf nT zezezaTaTatezzzeeZ1)(11(),0,1,2,anTf nTen【例例2】 求指數(shù)函數(shù)求指數(shù)函數(shù) 的的Z變換變換)0( ,)(aetfat當(dāng)當(dāng) ，即當(dāng)，即當(dāng) 時(shí)，上式收斂時(shí)，上式收斂1)(1aTze1aTze第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析設(shè)設(shè)E(s)沒(méi)有重極點(diǎn)沒(méi)有重極點(diǎn) ，將，將E(s)展開(kāi)為展開(kāi)為)()()(sMsNsEniiissAsE1)(nitsiieAsELte11)()(2. 部分分式法部分分式法設(shè)設(shè)式中，式中，M(s)、N(s)是是s的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式niTsinitsinitsiiiiezzAeZAeAZteZzE11

16、0)()(第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析【例例4】 求下面?zhèn)鬟f函數(shù)的求下面?zhèn)鬟f函數(shù)的Z變換變換)()(assasE解：將解：將F(s)展開(kāi)為部分分式展開(kāi)為部分分式asssE11)(求拉氏逆變換，得求拉氏逆變換，得aTaTaTaTezezezezzzzteZ)1 (1 (1)(2)atesELte1)()(1再求再求Z變換，得變換，得第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析Z變換簡(jiǎn)表變換簡(jiǎn)表 P292函數(shù)函數(shù)拉氏變換拉氏變換Z變換變換11)(tateas 11zzaTezz)( 1 ts1第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析attetsin2)(1as 2)(aTaTezTze211cos21sinzTzTz22st21s

17、2) 1( zTz)(nTt nTsenz第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析三三. Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)1.線性定理線性定理 )()(zEateaZ)()()()(2121zEzEteteZ)()(),()(2211zEteZzEteZ若若a為常數(shù)，則為常數(shù)，則第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析2.2.滯后定理滯后定理( (實(shí)數(shù)位移定理實(shí)數(shù)位移定理) ) )()(zEzkTteZk)()(zEteZ若若0,0)(tte設(shè)設(shè)則則【例例5】求求 的的Z變換，變換，a為常數(shù)為常數(shù))(Ttae解：解：1)(atTtaeZzeZaTatezzeZaTaTTtaezezzzeZ11)(第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析3.3.

18、復(fù)數(shù)位移定理復(fù)數(shù)位移定理)()(aTatzeFtfeZ 解 :已知22)() 1()(aTaTaTaTaTezTzezezeTteZ設(shè)設(shè) ，則有，則有 )()(zFtfZ【例6】求 的Z變換atte2) 1(zTztZ第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析4.4.終值定理終值定理 )() 1(lim)(lim1zEzkTezk)208. 0416. 0)(1(792. 0)(22zzzzzE【例7】已知若若 , ,序列序列 極限存在，則極限存在，則)()(zEteZ)(kTe確定 的終值)(*te)()1 (lim)(lim11zEzkTezk或第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析1208.0416.01792.0

19、208.0416.0792.0lim)()1(lim)(2211zzzzEzezz解：應(yīng)用終值定理解：應(yīng)用終值定理級(jí)數(shù)必須收斂，或級(jí)數(shù)必須收斂，或Z函數(shù)必須穩(wěn)定才可以應(yīng)函數(shù)必須穩(wěn)定才可以應(yīng)用終值定理（穩(wěn)定性在后面介紹）用終值定理（穩(wěn)定性在后面介紹）)208. 0416. 0)(1(792. 0)(22zzzzzE第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析5.5.卷積定理卷積定理 兩個(gè)離散信號(hào)的卷積定義為兩個(gè)離散信號(hào)的卷積定義為0() *()() ()kx nTy nTx kTynk T那么那么)()()(zYzXzG()()* ()g nTx nTy nT如果如果第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析若已知序列若已知序列

20、 的的Z變換為變換為四四. Z反變換反變換)(nTe)()(1zEZnTe)(zE則求則求 的的Z反變換為反變換為)(nTe1.部分分式法部分分式法1）設(shè)）設(shè) 無(wú)重極點(diǎn)，無(wú)重極點(diǎn)， 將其分解為將其分解為)(zEniiizzAzzE1)(第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析niiizzzAzE1)(再改寫為再改寫為2）查）查Z變換表，得每個(gè)分式的反變換變換表，得每個(gè)分式的反變換iiizzzAZnTe1)(niinTenTe1)()(3） 的反變換為的反變換為)(zE第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析【例例8】求下面求下面Z變換函數(shù)的反變換變換函數(shù)的反變換)(1()1 ()(aTaTezzzezE解：解：aTaTa

21、TezzezzezzE111)(1(1)(aTezzzzzE1)(所以所以anTenTe1)(查查Z變換表，得變換表，得0*)()1 ()(natnTtete第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析2.冪級(jí)數(shù)法（長(zhǎng)除法）冪級(jí)數(shù)法（長(zhǎng)除法）nmzazazazbzbzbbzEnnmm,1)(221122110將將E(z)寫為如下的多項(xiàng)式形式寫為如下的多項(xiàng)式形式j(luò)iba ,都是常系數(shù)都是常系數(shù)應(yīng)用多項(xiàng)式除法，可得應(yīng)用多項(xiàng)式除法，可得022110)(nnnnnzczczczcczE若該級(jí)數(shù)收斂，則根據(jù)若該級(jí)數(shù)收斂，則根據(jù)Z變換的定義可知，變換的定義可知，是采樣脈沖序列是采樣脈沖序列 的脈沖強(qiáng)度的脈沖強(qiáng)度nc)(*t

22、e)(nTe第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析022110)(nnnnnzczczczcczE那么，可以直接寫出那么，可以直接寫出0*)()(nnnTtcte【例例9】設(shè)設(shè)Z變換為變換為zzzzzzE5 . 05 . 112)(2323求其求其Z反變換反變換第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析213123235 . 05 . 11215 . 05 . 112)(zzzzzzzzzzE利用多項(xiàng)式除法，可得利用多項(xiàng)式除法，可得解：解：E(z)改寫為改寫為321375. 675. 45 . 31)(zzzzE所以，采樣離散信號(hào)為所以，采樣離散信號(hào)為)3(375. 6)2(75. 4)(5 . 3)()(*TtTtTt

23、tte第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析8-4 8-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型差分方程差分方程脈沖脈沖(Z)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)離散狀態(tài)空間模型離散狀態(tài)空間模型, 2, 1, 0),(nnr離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)輸入序列輸入序列輸出序列輸出序列輸入序列輸入序列, 2, 1, 0),(nnc輸出序列輸出序列第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析n離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)理論中，信號(hào)總是以序列的形式出現(xiàn)離散時(shí)間系統(tǒng)理論中，信號(hào)總是以序列的形式出現(xiàn)離散系統(tǒng)離散系統(tǒng): 將輸入序列將輸入序列 r(n) 變換為輸出序列變換為輸出序列c(n) , n = 0,1,2,線性定常離散系統(tǒng)：線

24、性定常離散系統(tǒng)： 離散模型滿足線性疊加原理，離散模型滿足線性疊加原理，并且輸入輸出關(guān)系不隨時(shí)間變化并且輸入輸出關(guān)系不隨時(shí)間變化n差分方程差分方程 k時(shí)刻的輸出時(shí)刻的輸出c(k)不僅與不僅與k時(shí)刻的輸入有關(guān)，而且與時(shí)刻的輸入有關(guān)，而且與k時(shí)時(shí)刻以前的輸入和輸出有關(guān)，表示為刻以前的輸入和輸出有關(guān)，表示為)() 1() 1()()() 1()2() 1()(110121mkrbmkrbkrbkrbnkcankcakcakcakcmmnn第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析求解方法：迭代法和求解方法：迭代法和z變換法。變換法?！纠?】求如下差分方程的輸出序列的值求如下差分方程的輸出序列的值)2(2) 1()(

25、)(kckckrkc已知輸入序列已知輸入序列 ，初始條件，初始條件1)(kr1) 1 (, 0)0(cc解：手工計(jì)算解：手工計(jì)算(0)0(1)1(2)(2)(1)2 (0)2(3)(3)(2)2 (1)1cccrcccrccmjjniijkrbikcakc01)()()(差分方程記為差分方程記為（1）迭代法）迭代法第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析（2）Z變換法變換法(2)3 (1)2 ( )0(0)0, (1)1c kc kc kcc22 (2)( )(0)(1) (1)( )(0)Z c kz C zz czcZ c kzC zzc例例：2(32) ( )zzC zz2( )3212zzzC zz

26、zzz( )( 1)( 2)0,1,2,kkc kk 解：解：第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析n三三. 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)n1.定義定義)()()(zRzCzG脈沖傳遞函數(shù)：初始條件為零時(shí)脈沖傳遞函數(shù)：初始條件為零時(shí)，輸出采樣信號(hào)的輸出采樣信號(hào)的Z變換與輸入采樣信號(hào)的變換與輸入采樣信號(hào)的Z變換之比變換之比)(sG)(*tr)(tr)(*tc)(tc)(zR)(zC)(zG)(tr采樣)(*trZ變換)(zR)(tc采樣)(*tcZ變換)(zC第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析脈沖傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：脈沖傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：nG(s)是一個(gè)線性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，而是一個(gè)線性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，而G(z)表示的

27、表示的是線性環(huán)節(jié)與理想開(kāi)關(guān)兩者的組合體的傳遞函數(shù)是線性環(huán)節(jié)與理想開(kāi)關(guān)兩者的組合體的傳遞函數(shù)（脈沖傳遞函數(shù)）。如果不存在理想開(kāi)關(guān)，那么（脈沖傳遞函數(shù)）。如果不存在理想開(kāi)關(guān)，那么脈沖傳遞函數(shù)是不成立的。脈沖傳遞函數(shù)是不成立的。 n利用線性環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)只能得出在采樣時(shí)利用線性環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)只能得出在采樣時(shí)刻上的信息。為了強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，往往在環(huán)節(jié)的輸刻上的信息。為了強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，往往在環(huán)節(jié)的輸出端畫上一個(gè)假想的同步理想開(kāi)關(guān)。實(shí)際上，線出端畫上一個(gè)假想的同步理想開(kāi)關(guān)。實(shí)際上，線性環(huán)節(jié)的輸出仍然是一個(gè)連續(xù)信號(hào)。性環(huán)節(jié)的輸出仍然是一個(gè)連續(xù)信號(hào)。第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析)(sG)(*tr)(tr)(*

28、tc)(tc)(zR)(zC)(zG)()()()(11*zRzGZzCZtc若輸出為連續(xù)信號(hào)若輸出為連續(xù)信號(hào)c(t)，可以在輸出端設(shè)一虛擬，可以在輸出端設(shè)一虛擬采樣開(kāi)關(guān)，如圖采樣開(kāi)關(guān)，如圖第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析n脈沖傳遞函數(shù)的意義脈沖傳遞函數(shù)的意義脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)G(z)等于加權(quán)序列的等于加權(quán)序列的Z變換變換對(duì)于線性定常離散系統(tǒng)，若輸入為單位序列對(duì)于線性定常離散系統(tǒng)，若輸入為單位序列1,0()()0,0nr nTnTn此時(shí)系統(tǒng)的輸出為單位脈沖響應(yīng)序列，稱為加權(quán)序列此時(shí)系統(tǒng)的輸出為單位脈沖響應(yīng)序列，稱為加權(quán)序列K(nT)*11100( ) ( ) ( ) ( ) ( )() ()(

29、) ()nnc tZC zZG z R zZG zc nTtnTK nTtnT( )1R z 第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析2. 脈沖傳遞函數(shù)的求法脈沖傳遞函數(shù)的求法mjjniijkrbikcakc01)()()(線性定常離散系統(tǒng)的差分方程為：線性定常離散系統(tǒng)的差分方程為：在零初始條件下進(jìn)行在零初始條件下進(jìn)行Z變換變換mjjjniiizzRbzzCazC01)()()(niiimjjjzazbzRzCzG101)()()(n根據(jù)差分方程求脈沖傳遞函數(shù)根據(jù)差分方程求脈沖傳遞函數(shù)G(z)第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析【例例2】設(shè)某環(huán)節(jié)的差分方程為設(shè)某環(huán)節(jié)的差分方程為)()(TknrnTc求其脈沖傳遞函數(shù)求

30、其脈沖傳遞函數(shù)G(z)解：對(duì)差分方程兩邊取解：對(duì)差分方程兩邊取Z變換，有變換，有)()(zRzzCkkzzRzCzG)()()(第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析n根據(jù)傳遞函數(shù)根據(jù)傳遞函數(shù)G(s)求脈沖傳遞函數(shù)求脈沖傳遞函數(shù)G(z)習(xí)慣上，簡(jiǎn)單記為習(xí)慣上，簡(jiǎn)單記為( ) ( )G zZ G s按照采樣周期進(jìn)行離散化，得到加權(quán)序列按照采樣周期進(jìn)行離散化，得到加權(quán)序列K(nT), 則則)(sG)(tr)(*tr)(tc對(duì)于傳遞函數(shù)對(duì)于傳遞函數(shù) ，求拉氏反變換得到脈沖響應(yīng)函數(shù)，求拉氏反變換得到脈沖響應(yīng)函數(shù)K( (t) )(sG1( ) ( )K tLG s0( )()nnG zK nT z第8章線性離散系統(tǒng)

31、分析剖析【例例3】設(shè)一個(gè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)一個(gè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為10( )(10)G ss s求其相應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)求其相應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)解：將解：將G(s)展開(kāi)為部分分式展開(kāi)為部分分式11( )10G sss查查Z變換表，得變換表，得10( )1TzzG zzze第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析四、開(kāi)環(huán)脈沖傳函四、開(kāi)環(huán)脈沖傳函n當(dāng)開(kāi)環(huán)離散系統(tǒng)由幾個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，其脈沖傳函當(dāng)開(kāi)環(huán)離散系統(tǒng)由幾個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，其脈沖傳函的求法與連續(xù)系統(tǒng)不同。的求法與連續(xù)系統(tǒng)不同。n即使兩個(gè)系統(tǒng)環(huán)節(jié)完全相同，但是由于采樣開(kāi)關(guān)即使兩個(gè)系統(tǒng)環(huán)節(jié)完全相同，但是由于采樣開(kāi)關(guān)位置和數(shù)目不同，開(kāi)環(huán)傳函也會(huì)不同位置和數(shù)目不同，開(kāi)環(huán)傳

32、函也會(huì)不同.采樣拉氏變換的重要性質(zhì)：采樣拉氏變換的重要性質(zhì)：若采樣函數(shù)的拉氏變換若采樣函數(shù)的拉氏變換 與連續(xù)函數(shù)的拉與連續(xù)函數(shù)的拉氏變換氏變換 相乘后再離散化，則相乘后再離散化，則 可以從離可以從離散符號(hào)中提出來(lái)，即散符號(hào)中提出來(lái)，即)(*sE)(sG)(*sE)()()()(*sEsGsEsG第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析r(t)c(t)d*(t)R(z)G1(s)G2(s)TsTsTsd(t)r*(t)c*(t)D(z)C(z)1. 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開(kāi)關(guān)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開(kāi)關(guān)( )?( )C zR z*( )?( )CsR s*( ) ?C s ( ) ?C s 2( )( )( )*C s

33、G s D s1( )( )( )*D sG s R s1( )( )( )*D sGs R s2( )( )( )*CsGs D s21( )( )( )( )*C sGs Gs R s12( )( )( )( )( )C zG zG z G zR z12( )( )( )( )*CsGs GsR s第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析r(t)c(t)R(z)G1(s)G2(s)TsTsd(t)r*(t)c*(t)C(z)2. 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無(wú)采樣開(kāi)關(guān)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無(wú)采樣開(kāi)關(guān)12( )( )( )( )*C sG s G s R s*211221( )( )( )( )( )G G sG s G sG s

34、 G s( )?( )C zR z*( ) ?C s ( ) ?C s *( )?( )CsR s12( )( )( )*CsGGs R s 12( )( )( )*CsGGs R s12( )( )( )( )C zG zGG zR z注意：注意：第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析n被理想采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)的兩個(gè)線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，其被理想采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)的兩個(gè)線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，其脈沖傳遞函數(shù)等于這兩個(gè)環(huán)節(jié)各自的脈沖傳遞函脈沖傳遞函數(shù)等于這兩個(gè)環(huán)節(jié)各自的脈沖傳遞函數(shù)的乘積。這個(gè)結(jié)論可以推廣到幾個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)。數(shù)的乘積。這個(gè)結(jié)論可以推廣到幾個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)。n所有串聯(lián)環(huán)節(jié)之間都有理想開(kāi)關(guān)分隔的情況下，所有串聯(lián)環(huán)節(jié)之間都有理想開(kāi)

35、關(guān)分隔的情況下，總的脈沖傳遞函數(shù)等于每個(gè)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)總的脈沖傳遞函數(shù)等于每個(gè)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)的乘積。的乘積。n沒(méi)有采樣開(kāi)關(guān)隔離時(shí)兩個(gè)線性環(huán)節(jié)串聯(lián)沒(méi)有采樣開(kāi)關(guān)隔離時(shí)兩個(gè)線性環(huán)節(jié)串聯(lián),其脈沖其脈沖傳函為這兩個(gè)環(huán)節(jié)的傳函相乘之積的傳函為這兩個(gè)環(huán)節(jié)的傳函相乘之積的Z變換。變換。第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析3. 有零階保持器時(shí)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)有零階保持器時(shí)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)零階保持器不是零階保持器不是s的有理分式函數(shù)，不能簡(jiǎn)單的按照的有理分式函數(shù)，不能簡(jiǎn)單的按照兩個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)進(jìn)行處理兩個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)進(jìn)行處理( )1( )( )( )(1)TspTshppGseG s GsGsess11( )( )(

36、)( )( )( )( )( )(1) pppppTshpG sG sG sG sG sG zZ G s G sZeZZzzZsssss第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析1( )(1)pGss s 22111111pGsssssss2( )11pTGsTzzzZszzez 2( )1( )11TC zzTzzzG zR zzzzez【例例4】求脈沖傳遞函數(shù)求脈沖傳遞函數(shù)ExErcisE解：解：第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析n五五. 閉環(huán)脈沖傳函閉環(huán)脈沖傳函采樣器在閉環(huán)系統(tǒng)中有多種配置的可能性，系采樣器在閉環(huán)系統(tǒng)中有多種配置的可能性，系統(tǒng)的閉環(huán)統(tǒng)的閉環(huán)Z傳遞函數(shù)不唯一傳遞函數(shù)不唯一)(*tr)(*tb)(*

37、tc)(sH)(tr)(tc)(sG)(te)(*te)(tb系統(tǒng)中有一個(gè)實(shí)際采樣開(kāi)關(guān)，為了分析方便可以增加系統(tǒng)中有一個(gè)實(shí)際采樣開(kāi)關(guān)，為了分析方便可以增加三個(gè)虛擬采樣開(kāi)關(guān)三個(gè)虛擬采樣開(kāi)關(guān)第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析)(*tr)(*tb)(*tc)(sH)(tr)(tc)(sG)(te)(*te)(tb系統(tǒng)中的連續(xù)信號(hào)系統(tǒng)中的連續(xù)信號(hào))()()(*sEsGsC)()()()(sCsHsRsE如何求閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)如何求閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) ？( )( )C zR z系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出C(z)如何表示？如何表示？系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出C(s)如何描述？如何描述？*( )E s是誤差信號(hào)的采樣拉氏變換是誤差信號(hào)的

38、采樣拉氏變換第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析)()()()(*sEsHGsRsE誤差采樣信號(hào)誤差采樣信號(hào) 的拉氏變換為的拉氏變換為)(*te)(1)()(*sHGsRsE整理得整理得)(*tr)(*tb)(*tc)(sH)(tr)(tc)(sG)(te)(*te)(tb*( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )E sR sH s C sR sH s G s E s)()(11)(zRzHGzE第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析由于由于)()(1)()()()()()(*sRsHGsGsEsGsEsGsC取取Z變換，得變換，得)()(1)()(zRzHGzGzC)(*tr)(*tb)(*tc)(s

39、H)(tr)(tc)(sG)(te)(*te)(tb)(1)()(*sHGsRsE第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析)(11)()()(zHGzRzEze)(1)()()()(zHGzGzRzCz誤差脈沖傳遞函數(shù)誤差脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)0)(1)(zGHzD特征多項(xiàng)式為特征多項(xiàng)式為注意：注意：)()(,)()(sZzsZzee)(sH)(tr)(tc)(sG)(te)(*te)(tb閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)不能從閉環(huán)傳遞函數(shù)直接求閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)不能從閉環(huán)傳遞函數(shù)直接求Z變換得到！變換得到！采樣器在閉環(huán)系統(tǒng)中可能有多種配置！采樣器在閉環(huán)系統(tǒng)中可能有多種配置！第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析【

40、例例5】求下圖所示離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)求下圖所示離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)解：解：)()()()()()(*11*12sEsGsEsEsGsC)()()(*1*1sEsGsE對(duì)對(duì) 離散化離散化)(1sE)()()()(*12sEsGsGsC第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析又又)()()()()()()()()(*12sEsGsGsHsRsCsHsRsE離散化后，有離散化后，有)()()()()(*1*2*sEsGsHGsRsE)()(1)()(*1*2*sGsHGsRsE第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析)()(1)()()()()(2121zHGzGzGzGzRzCz閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為閉環(huán)脈沖傳遞函

41、數(shù)為)()(1)()()()()()()(*2*1*2*1*1*2*sHGsGsRsGsGsEsGsGsC)()()()(*12sEsGsGsC第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析【例例6】求下圖所示離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)求下圖所示離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)解：解：)()()()()()()(*sCsHsRsEsEsGsC)()()()()()(*sCsHsGsRsGsC第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析)()()()()()(*sCsHsGsRsGsC對(duì)上式離散化，得對(duì)上式離散化，得)()()()(*sCsGHsGRsC)(1)()(*sGHsGRsC取取Z變換得變換得)(1)()(zGHzGRzC不能求

42、出閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，只能求出不能求出閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，只能求出)(*tc第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析8-5 8-5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差n一、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性一、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性在有界輸入序列作用下，其輸出序列有界，則在有界輸入序列作用下，其輸出序列有界，則該離散系統(tǒng)穩(wěn)定該離散系統(tǒng)穩(wěn)定典型離散系統(tǒng)典型離散系統(tǒng))(sH)(tr)(tc)(sG)(te)(*te)(tb( )( )( )( )1( )C zG zzR zGH z閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析 zGHzGzRzCz1根據(jù)根據(jù)Z變換的定義，有變換的定義，有如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么閉環(huán)特征

43、根如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么閉環(huán)特征根都應(yīng)在都應(yīng)在s平面的平面的左半部分左半部分閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)特征方程閉環(huán)特征方程 10GH z *10GHsTsze第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析令令js()TjTjTzeeeTze0z的模值的模值Tsze系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定1第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析1( )0GH z【例例1】判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性 1)() 1(10)(sHsssG1T 1110(1)1( )10(1)()ezGH zzze 0368. 0952. 42zz876. 4,076. 021zz1|2z系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)不穩(wěn)定。解：解：閉環(huán)特征方程閉環(huán)特征方程第8章線性離散系統(tǒng)

44、分析剖析n二二.離散系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)離散系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)勞思判據(jù)可以判斷是否所有的閉環(huán)特征根都位勞思判據(jù)可以判斷是否所有的閉環(huán)特征根都位于于S平面的左半平面。平面的左半平面。離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性需要判斷是否所有的閉環(huán)特離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性需要判斷是否所有的閉環(huán)特征根都位于征根都位于z平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)。平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)。關(guān)鍵：是把關(guān)鍵：是把z平面的單位圓內(nèi)區(qū)域映射到另一復(fù)平面的單位圓內(nèi)區(qū)域映射到另一復(fù)平面的左半平面平面的左半平面11z11zz雙線性變換第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析220()1uxy222222) 1(2) 1(1)(yxyjyxyxjvu平面平面jvujyz平面平面1x22

45、0()1uxy220()1uxy11z11zz第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析(1)求出離散控制系統(tǒng)的特征方程求出離散控制系統(tǒng)的特征方程 0zD(2)對(duì)其進(jìn)行變換，整理后得出一個(gè)以對(duì)其進(jìn)行變換，整理后得出一個(gè)以 w為變量的為變量的多項(xiàng)式方程多項(xiàng)式方程 0wp(3)應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)。離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)。離散控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分 必要條件是必要條件是 0wp的根都在的根都在 w平面的左半平面上。平面的左半平面上。w變換將變換將z域特征方程轉(zhuǎn)換為域特征方程轉(zhuǎn)換為w域域特征方程，從而可特征方程，從而可以應(yīng)用勞思判據(jù)判斷離散系統(tǒng)穩(wěn)定性，具體步驟以應(yīng)用勞思判據(jù)判斷離散系統(tǒng)穩(wěn)定性，具體步驟:第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析【例例2】設(shè)設(shè)T=0.1s，試求系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，試求系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的臨界值的臨界值解：解：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為)(1)()(zGzGz)(tr)(tc)1 . 01 (ssKT1011)1 .01 ()(ssKssKsG368.0368.1632.011)(210zzKzezzzKzGT第8章線性離散系統(tǒng)分析剖析閉環(huán)特征方程為閉環(huán)特征方程為1+G(z)=0，即：，即：0368. 0)368. 1632. 0(2zKz令令11z0368. 011)368. 1632. 0