怎樣作棱柱的截面

1、怎樣作棱柱的截面 陳文華棱柱的截面,是棱柱圖形性質(zhì)的一個重要部分。新教材對棱柱截面問題,沒有詳細論述,但是在例題、習題中，涉及到與截面有關(guān)的問題?？梢娫鯓幼骼庵慕孛妫€是必須掌握的。作棱柱的截面，在于確定截平面與棱柱有關(guān)底面和側(cè)面的交線，這些交線通常叫截痕，即截面和棱柱有關(guān)界面相交的痕跡。依據(jù)作截痕的方法與難易程度，通通常有這樣幾種類型。例1（蘇科版第23頁例2）在長方體abcda1b1c1d1中，p為棱bb的中點，畫出a1，c1，p三點所確定的平面與長方體表面的交線。作法：連結(jié)a1c1，a1p，c1p。則a1c1，a1p，c1p就是截平面與長方體ac面，ab面，cb面的交線。作法依據(jù)是公理

2、2“如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其它公共點，這些公共點的集合是經(jīng)過這個公共點的一條直線?！北绢}中，p是平面內(nèi)的一點，又是平面a1b內(nèi)的一點，所以p在平面與平面a1b的交線上。同理a1也在與平面a1b的交線上。所以a1p就是平面與平面a1b的交線。即a1p是截平面與平面a1b相交的截痕。同理，a1c1，c1p也是截痕，這三條截痕圍成的a1pc1就是截面?？梢娫谕唤缑嫔嫌袃蓚€已知點，只要連接這兩點，即可得到截痕。例2如圖，p是正方體abcda1b1c1d1所在棱的中點，q、r是所在棱的點，作出過p、q、r的截面。作法：（1）作直線pq交da延長線于s，作直線pr交dc延長線于t。（2）

3、連結(jié)st，交ab于e，交bc于f。（3）連結(jié)qe，rf，則五邊形pqefr就是所求作的截面。說明：因為s直線pq，所以s平面，又s直線ad，而ad平面ac，所以s平面ac。所以s在平面與平面ac的交線上。同理t在平面與平面ac的交線上，所以直線st即為平面與平面ac的交線，所以ef、qe、rf都是截痕。例3如圖p、q、r是正方體ac1所在棱的中點，作出過p、q、r的截面。作法：（1）pqbc=s；（2）src1c=t；（3）qtdb=m；（4）mrac=n，mrda=e；（5）pea1a=f。六邊形pqtrnf即為所求。例4 如圖正方體abcda1b1c1d1中，p在平面a1c1內(nèi)，求作過p、

4、b、d的截面。 就行了。作法：（1）連結(jié)b1d1，則b1d1bd。（2）在平面a1c1內(nèi)，過p作efb1d+1，交b1c1于e，交c1d1于f。（3）連結(jié)be、df，則四邊形bdfe即為所求。這種方法叫平行線法。如果兩個平行平面中，一個平面上有截痕，另一個平面上有已知點，則根據(jù)“兩平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行”，只要過已知點作出與截痕平行的直就行了。例5如圖，p、q在直四棱柱ac1的棱a1d1、ab上，r在側(cè)面bc1內(nèi)，求作過p、q、r的截面。分析：p、q、r沒有兩點在同一平面，不能直接作出某一截痕，應(yīng)考慮怎樣將問題轉(zhuǎn)化成r也在棱上，且與p共面。方法是把此直棱柱分成兩個小棱柱，而p、r分別在相鄰的兩條棱上。作法：（1）分別作r、p在底面的正投影、，則輔助面將棱柱分成兩個小棱柱，在小棱柱中，用“截痕法”可作出過prq的截面tqhpr；（2）延長tr交棱cc1于k，交b1c1的延長線于m，連結(jié)mp交dc1于n。（3）連結(jié)nk。則六邊形phqtkn即為所求。本題中，作小棱錐時應(yīng)用了p、r的射影，因此叫內(nèi)部射影法。