萬有引力定律(教案)

1、例如比較地球和火星，就有R地3R火3T地2 = T火2 = k例如比較月球和人造衛(wèi)星，就有R衛(wèi)3T衛(wèi)2六萬有引力和天體運動(一)開普勒行星定律1.第一定律一一軌道定律所有行星圍繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處于所有橢圓的一個焦點上。因此地球公轉(zhuǎn)時有近日點和遠日點2.第二定律一一面積定律太陽和行星的連線在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等。因此行星的公轉(zhuǎn)速率是不均勻的，在近日點最快，在遠日點最慢。3.第三定律一一周期定律所有行星橢圓軌道的半長軸 R的三次方與公轉(zhuǎn)周期 T的平方的比值都相等。R 3y-2 = k k是與行星無關(guān)，而與太陽有關(guān)的量。(1)若公轉(zhuǎn)軌道為圓，那么 R就是指半徑。(2)第三定律針對

2、的是繞同一中心天體運動的各星體，若中心天體不同，不能死套周期定律:k是一個與中心天體太陽有關(guān)的常數(shù)，與行星無關(guān)k是一個與中心天體地球相關(guān)的常數(shù)，與衛(wèi)星無關(guān)。R地3R月3例如行星的衛(wèi)星并非主要繞太陽運動，不能直接和行星比較，即去 工羋T地T月例1.已知日地距離為1.5億千米，火星公轉(zhuǎn)周期為1.88年，據(jù)此可推算得火星到太陽的距離約為A.1.2億千米C. 4.6億千米解：BB.2.3億千米D. 6.9億千米(二)萬有引力定律1. 基本概念(1)表述：自然界中任何兩個物體都是相互吸引的一一引力普遍存在;引力的大小跟這兩個物體的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們的距離的二次方成反比一一F萬乂氣R 2(2)公式:

3、m1m2F萬=G-R亍其中G稱為引力常量，適用于任何物體，由卡文迪許首先測岀。它在數(shù)值上等于兩個質(zhì)量都是 相距1m時的相互作用力：G= 6.67X 10_咖 m2/kg2。1kg的質(zhì)點例如，在赤道上的一個質(zhì)量為1kg的物體，用F萬=計算出來的萬有(3)定律的適用范圍：定律只適用于 質(zhì)點間的相互作用，公式中的 R是所研究的兩質(zhì)點間的距離。定律還可用于兩均勻球體間的相互作用，公式中的R是兩球心間的距離。定律還可用于一均勻球體和球體外另一質(zhì)點間的相互作用，公式中的R是球心與質(zhì)點間的距離。例2.已知月球中心到地球中心的距離約是地球半徑的60倍，兩者質(zhì)量之比 M月：M 地 = 1 : 81。問由地球飛往

4、月球的飛船距月球中心多遠時，地球與月球?qū)︼w船的萬有引力的合力恰好為零？解：設(shè)飛船質(zhì)量為 m,所求距離為d,據(jù)平衡條件有M 月 m = GM 地 mG - = G (60R地- d)2解得d = 6 R地2.萬有引力和重力(1)地面上物體的重力 mg是地球?qū)υ撐矬w的萬有引力的一個分力 隨著緯度的升高，物體所需向心力減小，物體的重力逐漸增大。事實上，地球表面的物體受到的萬有引力和重力十分接近。t4 n引力是9.830N，用F向=mR計算出來的的向心力是0.034N，那么物體受到的重力是 mg = F 萬- F向=9.796N。因此(2)在地面及附近，可認為Mmmg= G-R那么重力加速度g = G

5、R2 黃金代換例3.已知地球的半徑約為 R,地球表面的重力加速度為g,月球繞地球運動的周期為 T。又知月球的公轉(zhuǎn)可看做勻速圓周運動，試用上述物理量表達岀地月距離L (L遠大于R)o解：L遠大于R，可將地球和月球視為質(zhì)點，由萬有引力定律和牛頓第二定律有Mm 月 4 n2G = m 月T L在地球表面，有(3)地球表面附近高度為 h (h R)的地方，仍可視為重力等于萬有引力:Mmmg = GR帀2聯(lián)立、式解得GMR2故距地面高度為 h的地方，重力加速度 g = 陽 口2 =（R+ h）2 g聯(lián)立式得斗At R+ H解得H = R3.利用萬有引力定律測量天體質(zhì)量和密度（1）以天體表面的物體為研究對

6、象設(shè)星球半徑為R,在天體表面有:Mm mg =2得 M =-g;而 V= 4 nR3，則G3Ml v 4nGR3g例5.已知地球表面的重力加速度為 試估算地球的平均密度。9.8m/S，地球半徑為 6.4X 103km，引力常量為 6.67X 1011N m2/kg2。（ 1）（2）已知地核的體積約為整個地球體積的16%，地核的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的34%，試估算地核的平均密度。解：設(shè)地面上有一質(zhì)量為m的物體，它所受到的地球引力近似等于它的重力:_ M地3gpM= vT = 4nGR3X 9.84X 3.14 X6.67X 1011x 6.4X 106 kg/m 5.48 X 10 kg/m0.34

7、M 地核p0.16V地可見，隨高度的增大，重力加速度迅速減小。例4.在地球某處海平面上測得物體自由下落高度 h時所經(jīng)歷的時間為to在某高山頂上測得物體下落同樣的高度 所需時間增加了At。已知地球半徑為R，試用上述各量表達山的高度解：設(shè)地面的重力加速度為 g,據(jù)直線運動規(guī)律有g(shù)=務(wù)設(shè)高山頂上的重力加速度為g，同理有g(shù)=211 T U 丿則十=（片 ）2 在地面附近，可認為重力等于萬有引力，有Mm mg= G-R-_ Mmmg，= G(RTH)2則丄則丄=（R寺旦旦）2gRmg =得178- p地 = 11.6 X 103kg/m3故有M * gR 2Mm若已知中心天體的半徑R，V= 4- n3，

8、則MP=H V特別地，若物體是在中心天體表面附近飛行，則有R= rT,若該行星的密度可視例6.宇航員在地球表面以一定的初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時間t小球落回原處；若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球， 需經(jīng)過5t的時間后小球才落回原處（地球重力加速度取 g= 10m/s2，空氣阻力不計）， 求：（1）該星球表面附近的重力加速度；（2）已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星：R地= 1 : 4,求該星球的質(zhì)量和地球質(zhì)量之比。解：物體作豎直上拋運動時，上升時間t=*則 a * 1 即衛(wèi)星= -1得 g 星= 2 m/s2tg 地5t在星球表面有 mg= G ；m ，M星g星Rs 21M

9、地g地 R地 280（2）以繞中心天體運動的物體為研究對象設(shè)物體的軌道半徑為r，由牛頓第二定律及萬有引力定律有w 2 2V24 n2 2m = rrto 2r = mvw= m2r = m4 nf 2 rT 2例7. 一飛船在某行星表面附近沿圓軌道繞該行星飛行，測得飛船繞行一周所需時間為 為是均勻的，求該行星密度的表達式。（引力常量為 G）解：據(jù)萬有引力和牛頓第二定律有2Mm 4nGys = mr4n22r由于飛船是在行星表面附近飛行，可認為軌道半徑r與星球半徑R相等，有M 3n= 2V G T 2（三） 人造衛(wèi)星1.人造衛(wèi)星的發(fā)射7h39min，火衛(wèi)二若衛(wèi)星脫離火箭時的速度比它還小，衛(wèi)星將v

10、：。衛(wèi)星以該速度運行時,處于最低的近地軌道,如果軌道再低，衛(wèi)星的運行將受到空氣阻力的影響,會墜落回所謂“發(fā)射速度”并非指火箭的起飛速度，而是衛(wèi)星脫離火箭進入軌道時的速度。2.人造衛(wèi)星的在軌運行很多人造地球衛(wèi)星進入軌道后，就以一穩(wěn)定的速度做勻速圓周運動，軌道中心在地心。其運動所需的向心力由地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供。于是有Mm v 224 n2 2Gr2 = m_=r = m T 2 r = m4 冗f r其中r為軌道半徑，設(shè)地球半徑為 R,衛(wèi)星距地面的高度為 h,則r = R地+ h。衛(wèi)星按照不同的用途被安排在距地高度不同的圓軌道上。比較不同軌道上的衛(wèi)星， 它們的運行參數(shù)和軌道半徑間有下列關(guān)系：

11、2繞行速度 v和半徑r :由 G+叨 =得V 2* +，可見r越大，繞行速度越小。即衛(wèi)星的軌道越高，其線速度越小。角速度3和半徑r :由= mw 2r得32*占可見r越大，角速度 3越小。2環(huán)繞周期T和半徑r :由G M m = m4手r得T 2* r 5可見r越大，周期T越大。衛(wèi)星的向心加速度 a和半徑r :由G Mm = ma得a*古可見r越大，向心加速度 a越小。例8.火星有兩顆衛(wèi)星，分別是火衛(wèi)一和火衛(wèi)二，它們的軌道近似為圓，已知火衛(wèi)一的周期為 的周期是30h18min，那么兩顆衛(wèi)星相比較:A.火衛(wèi)一距火星表面近B.火衛(wèi)二的角速度較大C.火衛(wèi)一的運動速度較大D.火衛(wèi)二的向心加速度較大解：

12、AC地面。此時軌道距地面約 200km，其軌道半徑可視為地球半徑。v：是衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，若發(fā)射速度達不到v：,衛(wèi)星將墜回地面v：是衛(wèi)星軌道為圓形時的最大繞行速度，若速度再增大，軌道將不再是圓例9.已知地球半徑為 R,地球表面的重力加速度為g,不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，(1)試推導第一宇宙速度 v1的(1)第一宇宙速度衛(wèi)星脫離火箭，被火箭發(fā)射到軌道上時，有一個最小發(fā)射速度, 象炮彈一樣落回地面。這一最小發(fā)射速度稱為第一宇宙速度，記為5三種宇宙速度Mm rm-Vi(2)聯(lián)立可解得T= 2-,R:h表達式。（2）若某衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，運行軌道距地面高度為h,求衛(wèi)星的運行周期 T解：（1）衛(wèi)星

13、繞地運動時，設(shè)軌道半徑為 r，據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有：由于衛(wèi)星此時在地表附近飛行，有Mm mg= Gr 聯(lián)立可解得v【= /gR地=7.9km/s據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有：Mm4 nG疋喬疋喬= =m(R+ +h)對于地面上的物體，有Mm物m 物 g = G R 2（2）第二宇宙速度和第三宇宙速度如果第三級火箭進入圓軌道后，發(fā)動機繼續(xù)工作，使得衛(wèi)星的發(fā)射速度大于7.9km/s，那么衛(wèi)星將沿橢圓軌道運行；若衛(wèi)星的發(fā)射速度進一步增大，達到11.2km/s時，衛(wèi)星就會脫離地球的引力而不再繞地運行。此后衛(wèi)星將成為繞太陽運行的人造行星或者向其它行星飛去。這個速度是航天器能夠脫離地球引力的最

14、小速度，稱為第二宇宙速度，記為 ，也稱為地球表面的逃逸速度。如果發(fā)射速度進一步增大，達到16.7km/s以上時，航天器將脫離太陽引力束縛，飛到太陽系以外的宇宙中，不再返回太陽系或地球。這一速度稱為第三宇宙速度，記為vmo4.地球同步靜止衛(wèi)星衛(wèi)星繞地球旋轉(zhuǎn)周期與地球自轉(zhuǎn)周期完全相同，相對位置保持不變。此衛(wèi)星在地球上看來是靜止地掛在高空，稱為地球同步靜止衛(wèi)星，簡稱同步衛(wèi)星或靜止衛(wèi)星。（1）同步衛(wèi)星的特點軌道為圓。如果它的軌道是橢圓，則地球應處于橢圓的一個焦點上，衛(wèi)星在繞地球運轉(zhuǎn)的過程中就必然會岀現(xiàn)近地點和遠地點，當衛(wèi)星向近地點運行時， 衛(wèi)星的軌道半徑將減小， 地球?qū)λ娜f有引力就變大，衛(wèi)星的周期變

15、??；反之,當衛(wèi)星向遠地點運行時，衛(wèi)星的軌道半徑將變大，地球?qū)λ娜f有引力就減小，衛(wèi)星的周期變大，這也就不能保 持同步了。所以同步衛(wèi)星軌道不是橢圓，而只能是圓。軌道平面與赤道共面。假設(shè)衛(wèi)星發(fā)射在北緯某地的上空的 B點，其受力情況如圖1所示，由于 該衛(wèi)星繞地軸做圓周運動所需的向心力只能由萬有引力的一個分力 Fi提供, 而萬有引力的另一個分力 F2就會使該衛(wèi)星離開 B點向赤道運動。所以衛(wèi)星若發(fā)射在赤道平面的上方（或下方）某處，則衛(wèi)星在繞地軸做圓周運動的同時,相反，對返回式衛(wèi)星（或飛船）在回收時，應在遠地點b和近地點a分別使衛(wèi)星（或飛船）減速，使衛(wèi)星從高軌也向赤道平面運動，它的運動就不會穩(wěn)定，從而使衛(wèi)

16、星不能與地球同步，所以要使衛(wèi)星與地球同步運行，必須要求衛(wèi)星的軌道與地球赤道共面。高度固定。在赤道上空的同步衛(wèi)星，它受到的唯一的力一一萬有引力提供衛(wèi)星繞地軸運轉(zhuǎn)所需的向心力。當衛(wèi)星離地面的高度h取某一定值時，衛(wèi)星繞地軸運轉(zhuǎn)就可以與地球自轉(zhuǎn)同步，兩者的周期均為T=24h。設(shè)地球質(zhì)量為 M，地球半徑為R，衛(wèi)星質(zhì)量為m,離地面的高度為h,則有2-Mm4 nG(RTh) = mT將 R=6400km，G=6.67 X 10-11N m2/kg2，M=6.0X 1024kg，T=24h=86400s 代入上式得 h=3.6 X 104km即同步衛(wèi)星距離地面的高度相同 （均為h=3.6 X 104km），必

17、然定位于赤道上空的同一個大圓上。赤道上空的這一位置被科學家們喻為“黃金圈”，是各國在太空主要爭奪的領(lǐng)域之一。（2）同步衛(wèi)星的發(fā)射同步衛(wèi)星的發(fā)射，通常都采用變軌發(fā)射的方法。如圖所示，先是用 運載火箭把衛(wèi)星送入近地圓軌道1，待衛(wèi)星運行狀態(tài)穩(wěn)定后，在近地點（a點），衛(wèi)星的火箭開始點火加速，把衛(wèi)星送入橢圓軌道 2（稱為轉(zhuǎn)移軌道） 上，橢圓軌道的遠地點（b點）距地心距離等于同步軌道半徑。以后再在地面測控站的控制下，利用遙控指令選擇在遠地點啟動星載發(fā)動機點火加速， 道進入橢圓軌道，再回到近地軌道，最后進入大氣層，落回地面 試比較下列速度：衛(wèi)星在近地軌道上的繞行速度 VI,衛(wèi)星在橢圓軌道近地點的速度 V2,

18、衛(wèi)星在遠地點的速度 V3,衛(wèi)星在同步軌道上的繞行速度 V4：GM-可知，圓軌道半徑越大，繞行速度越小，故Vi V4；衛(wèi)星在a點要點火加速，故 V2Vi；橢圓軌道上近地點速度要大于遠地點速度，故V2 V3；衛(wèi)星在b點要點火加速，故 V4 V3。綜上所述有V2 Vi V4 V3。5.雙星和多星系統(tǒng)宇宙中的那些相距較近， 質(zhì)量可以比擬的兩顆星球， 它們離其他星球較遠， 其他星球?qū)λ鼈兊娜f有引力可忽略。在這種情況下，它們將各自圍繞其連線上的某一固定點做同周期的勻速圓周運動，這種結(jié)構(gòu)稱為雙星。（1）雙星系統(tǒng)中的兩顆星球與其固定點共線，只受相互間的萬有引力，它們運轉(zhuǎn)的角速度和周期相同。（2）固定點離質(zhì)量大的星球較近。如圖，設(shè)雙星繞固定點 0運轉(zhuǎn)，雙星間距為 L,雙星的質(zhì)量分別是 mi和m2，它們到固定點的距離分別是ri和r2,、 1由于雙星運轉(zhuǎn)的角速度相同，由F = rrto 2r得r*(R+h)使衛(wèi)星逐步調(diào)整至同步