全國各地中考數(shù)學分類解析(159套63專題)專題31折疊問題

1、2012年全國中考數(shù)學試題分類解析匯編(159套63專題）專題31：折疊問題一、選擇題1. （2012廣東梅州3分）如圖，在折紙活動中，小明制作了一張abc紙片，點d、e分別是邊ab、ac上，將abc沿著de折疊壓平，a與a重合，若a=75，則1+2=【 】a150b210c105d75【答案】a?！究键c】翻折變換（折疊問題），三角形內(nèi)角和定理?！痉治觥縜de是abc翻折變換而成，aed=aed，ade=ade，a=a=75。aed+ade=aed+ade=18075=105，1+2=3602105=150。故選a。2. （2012江蘇南京2分）如圖，菱形紙片abcd中，a=600，將紙片折疊

2、，點a、d分別落在a、d處，且ad經(jīng)過b，ef為折痕，當dfcd時，的值為【 】a. b. c. d. 【答案】a?！究键c】翻折變換（折疊問題），菱形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥垦娱Ldc與ad，交于點m，在菱形紙片abcd中，a=60，dcb=a=60，abcd。d=180-a=120。根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得adf=d=120，fdm=180-adf=60。dfcd，dfm=90，m=90-fdm=30。bcm=180-bcd=120，cbm=180-bcm-m=30。cbm=m。bc=cm。設(shè)cf=x，df=df=y， 則bc=cm=cd=cf

3、+df=x+y。fm=cm+cf=2x+y，在rtdfm中，tanm=tan30=，。故選a。3. （2012江蘇連云港3分）小明在學習“銳角三角函數(shù)”中發(fā)現(xiàn)，將如圖所示的矩形紙片abcd沿過點b的直線折疊，使點a落在bc上的點e處，還原后，再沿過點e的直線折疊，使點a落在bc上的點f處，這樣就可以求出67.5角的正切值是【 】a1 b1 c2.5 d【答案】b?！究键c】翻折變換(折疊問題)，折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理?！痉治觥繉⑷鐖D所示的矩形紙片abcd沿過點b的直線折疊，使點a落在bc上的點e處，abbe，aebeab45，還原后

4、，再沿過點e的直線折疊，使點a落在bc上的點f處，aeef，eafefa22.5。fab67.5。設(shè)abx，則aeefx，an67.5tanfabt。故選b。4. （2012廣東河源3分）如圖，在折紙活動中，小明制作了一張abc紙片，點d、e分別在邊ab、ac上，將abc沿著de折疊壓平，a與a重合若a75，則12【 】a150 b210 c105 d75【答案】a?！究键c】折疊的性質(zhì)，平角的定義，多邊形內(nèi)角和定理?！痉治觥扛鶕?jù)折疊對稱的性質(zhì)，aa75。 根據(jù)平角的定義和多邊形內(nèi)角和定理，得121800ada1800aea3600（adaaea）aa1500。故選a。5. （2012福建南平4

5、分）如圖，正方形紙片abcd的邊長為3，點e、f分別在邊bc、cd上，將ab、ad分別和ae、af折疊，點b、d恰好都將在點g處，已知be=1，則ef的長為【 】a b c d3 【答案】b。【考點】翻折變換（折疊問題），正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理。【分析】正方形紙片abcd的邊長為3，c=90，bc=cd=3。根據(jù)折疊的性質(zhì)得：eg=be=1，gf=df。設(shè)df=x，則ef=eggf=1x，fc=dcdf=3x，ec=bcbe=31=2。在rtefc中，ef2=ec2fc2，即（x1）2=22（3x）2，解得：。df= ，ef=1。故選b。6. （2012湖北武漢3分）如圖，矩形ab

6、cd中，點e在邊ab上，將矩形abcd沿直線de折疊，點a恰好落在邊bc的點f處若ae5，bf3，則cd的長是【 】a7 b8 c9 d10【答案】c?！究键c】折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥扛鶕?jù)折疊的性質(zhì)，ef=ae5；根據(jù)矩形的性質(zhì)，b=900。 在rtbef中，b=900，ef5，bf3，根據(jù)勾股定理，得。 cd=ab=aebe=54=9。故選c。7. （2012湖北黃石3分）如圖所示，矩形紙片abcd中，ab=6cm，bc=8 cm，現(xiàn)將其沿ef對折，使得點c與點a重合，則af長為【 】a. b. c. d. 【答案】b?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質(zhì)，矩形的性

7、質(zhì)，勾股定理。【分析】設(shè)af=xcm，則df=（8-x）cm，矩形紙片abcd中，ab=6cm，bc=8cm，現(xiàn)將其沿ef對折，使得點c與點a重合，df=df，在rtadf中，af2=ad2df2，即x2=62（8x）2，解得：x=。故選b。8. （2012湖北荊門3分）如圖，已知正方形abcd的對角線長為2，將正方形abcd沿直線ef折疊，則圖中陰影部分的周長為【 】a 8 b 4 c 8 d 6【答案】c。【考點】翻折變換（折疊問題），折疊的對稱性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，正方形abcd的對角線長為2，即bd=2，a=90，ab=ad，abd=45，ab=bdcosabd=

8、bdcos45=2。ab=bc=cd=ad=2。由折疊的性質(zhì)：am=am，dn=dn，ad=ad，圖中陰影部分的周長為am+bm+bc+cn+dn+ad=am+bm+bc+cn+dn+ad=ab+bc+cd+ad=2+2+2+2=8。故選c。9. （2012四川內(nèi)江3分）如圖，在矩形abcd中，ab=10，bc=5點e、f分別在ab、cd上，將矩形abcd沿ef折疊，使點a、d分別落在矩形abcd外部的點a1、d1處，則陰影部分圖形的周長為【 】a.15 b.20 c.25 d.30【答案】d。【考點】翻折變換（折疊問題），矩形和折疊的性質(zhì)?！痉治觥扛鶕?jù)矩形和折疊的性質(zhì)，得a1e=ae，a1d

9、1=ad，d1f=df，則陰影部分的周長即為矩形的周長，為2（10+5）=30。故選d。10. （2012四川資陽3分）如圖，在abc中，c90，將abc沿直線mn翻折后，頂點c恰好落在ab邊上的點d處，已知mnab，mc6，nc，則四邊形mabn的面積是【 】a b c d【答案】c?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，【分析】連接cd，交mn于e，將abc沿直線mn翻折后，頂點c恰好落在ab邊上的點d處，mncd，且ce=de。cd=2ce。mnab，cdab。cmncab。在cmn中，c=90，mc=6，nc= ，。故選c。11. （2012貴州黔東南4

10、分）如圖，矩形abcd邊ad沿拆痕ae折疊，使點d落在bc上的f處，已知ab=6，abf的面積是24，則fc等于【 】a1 b2 c3 d4【答案】b?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥坑伤倪呅蝍bcd是矩形與ab=6，abf的面積是24，易求得bf的長，然后由勾股定理，求得af的長，根據(jù)折疊的性質(zhì)，即可求得ad，bc的長，從而求得答案：四邊形abcd是矩形，b=90，ad=bc。ab=6，sabf=abbf=6bf=24。bf=8。由折疊的性質(zhì)：ad=af=10，bc=ad=10。fc=bcbf=108=2。故選b。12. （2012貴州遵義3分）如圖，

11、矩形abcd中，e是ad的中點，將abe沿be折疊后得到gbe，延長bg交cd于f點，若cf=1，fd=2，則bc的長為【 】a b c d【答案】b。【考點】翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)和判定，折疊對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。【分析】過點e作embc于m，交bf于n。四邊形abcd是矩形，a=abc=90，ad=bc，emb=90，四邊形abme是矩形。ae=bm，由折疊的性質(zhì)得：ae=ge，egn=a=90，eg=bm。eng=bnm，engbnm（aas）。ng=nm。e是ad的中點，cm=de，ae=ed=bm=cm。emcd，bn：nf=bm：cm。bn=nf。

12、nm=cf=。ng=。bg=ab=cd=cf+df=3，bn=bgng=3。bf=2bn=5。故選b。13. （2012山東泰安3分）如圖，將矩形紙片abcd沿ef折疊，使點b與cd的中點重合，若ab=2，bc=3，則fcb與bdg的面積之比為【 】a9：4b3：2c4：3d16：9【答案】d?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥吭O(shè)bf=x，則由bc=3得：cf=3x，由折疊對稱的性質(zhì)得：bf=x。點b為cd的中點，ab=dc=2，bc=1。在rtbcf中，bf2=bc2+cf2，即，解得：，即可得cf=。dbg=dgb=90，dbg+cbf

13、=90，dgb=cbf。rtdbgrtcfb。根據(jù)面積比等于相似比的平方可得： 。故選d。14. （2012山東濰坊3分）已知矩形abcd中，ab=1，在bc上取一點e，沿ae將abe向上折疊，使b點落在ad上的f點，若四邊形efdc與矩形abcd相似，則ad=【 】 a b c . d2【答案】b?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)?！痉治觥烤匦蝍bcd中，af由ab折疊而得，abef是正方形。又ab=1，af= ab=ef=1。設(shè)ad=x，則fd=x1。四邊形efdc與矩形abcd相似，即。解得，（負值舍去）。經(jīng)檢驗是原方程的解。故選

14、b。15. （2012廣西河池3分）如圖，在矩形abcd中，adab，將矩形abcd折疊，使點c與點a重合，折痕為mn，連結(jié)cn若cdn的面積與cmn的面積比為14，則 的值為【 】a2b4 cd【答案】d?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，矩形、菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥窟^點n作ngbc于g，由四邊形abcd是矩形，易得四邊形cdng是矩形，又由折疊的性質(zhì)，可得四邊形amcn是菱形，由cdn的面積與cmn的面積比為1：4，根據(jù)等高三角形的面積比等于對應底的比，可得dn：cm=1：4，然后設(shè)dn=x，由勾股定理可求得mn的長，從而求得答案： 過點n作ngbc于g，四邊形abc

15、d是矩形，四邊形cdng是矩形，adbc。cd=ng，cg=dn，anm=cmn。由折疊的性質(zhì)可得：am=cm，amn=cmn，anm=amn。am=an。am=cm，四邊形amcn是平行四邊形。am=cm，四邊形amcn是菱形。cdn的面積與cmn的面積比為1：4，dn：cm=1：4。設(shè)dn=x，則an=am=cm=cn=4x，ad=bc=5x，cg=x。bm=x，gm=3x。在rtcgn中，在rtmng中，。故選d。16. （2012河北省3分）如圖，在平行四邊形abcd中，a=70，將平行四邊形折疊，使點d、c分別落在點f、e處（點f、e都在ab所在的直線上），折痕為mn，則amf等于【

16、 】a70 b40 c30 d20【答案】b?！究键c】翻折變換（折疊問題），平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平角的定義?！痉治觥克倪呅蝍bcd是平行四邊形，abcd。根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：mnae，fmn=dmn，abcdmn。a=70，fmn=dmn=a=70。amf=180dmnfmn=1807070=40。故選b。17. （2012青海西寧3分）折紙是一種傳統(tǒng)的手工藝術(shù)，也是每一個人從小就經(jīng)歷的事，它是一種培養(yǎng)手指靈活性、協(xié)調(diào)能力的游戲，更是培養(yǎng)智力的一種手段在折紙中，蘊涵許多數(shù)學知識，我們還可以通過折紙驗證數(shù)學猜想把一張直角三角形紙片按照圖的過程折疊后展開，請選擇所得到的數(shù)學結(jié)論【 】a

17、角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等b在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半c直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半d如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形【答案】c。【考點】翻折變換（折疊問題）。【分析】如圖，cde由ade翻折而成，ad=cd。如圖，dcf由dbf翻折而成，bd=cd。ad=bd=cd，點d是ab的中點。cd=ab，即直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。故選c。二、填空題1. （2012上海市4分）如圖，在rtabc中，c=90，a=30，bc=1，點d在ac上，將adb沿直線bd翻折后，將點a落在點e處，如果ade

18、d，那么線段de的長為 【答案】?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥吭趓tabc中，c=90，a=30，bc=1，。將adb沿直線bd翻折后，將點a落在點e處，adb=edb，de=ad。aded，cde=ade=90，edb=adb=。cdb=edbcde=13590=45。c=90，cbd=cdb=45。cd=bc=1。de=ad=accd=。2. （2012浙江麗水、金華4分）如圖，在等腰abc中，abac，bac50bac的平分線與ab的中垂線交于點o，點c沿ef折疊后與點o重合，則ce

19、f的度數(shù)是 【答案】50。【考點】翻折變換(折疊問題)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)?！痉治觥坷萌热切蔚呐卸ㄒ约按怪逼椒志€的性質(zhì)得出obc40，以及obcocb40，再利用翻折變換的性質(zhì)得出eoec，ceffeo，進而求出即可：連接bo，abac，ao是bac的平分線，ao是bc的中垂線。boco。bac50，bac的平分線與ab的中垂線交于點o，oaboac25。等腰abc中，abac，bac50，abcacb65。obc652540。obcocb40。點c沿ef折疊后與點o重合，eoec，ceffeo。ceffeo（18002400）250。3. （

20、2012浙江紹興5分）如圖，在矩形abcd中，點e，f分別在bc，cd上，將abe沿ae折疊，使點b落在ac上的點b處，又將cef沿ef折疊，使點c落在eb與ad的交點c處則bc：ab的值為 ?！敬鸢浮俊！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。【分析】連接cc，將abe沿ae折疊，使點b落在ac上的點b處，又將cef沿ef折疊，使點c落在eb與ad的交點c處,ec=ec，ecc=ecc，dcc=ecc，ecc=dcc.cc是ecd的平分線。cbc=d=90，cc=cc，cbccdc（aas

21、）。cb=cd。又ab=ab，b是對角線ac中點，即ac=2ab。acb=30。tanacb=tan30=。bc：ab=。4. （2012浙江臺州5分）如圖，將正方形abcd沿be對折，使點a落在對角線bd上的a處，連接ac，則bac= 度【答案】67.5?！究键c】折疊問題，折疊的對稱性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平角定義?！痉治觥坑烧郫B的對稱和正方形的性質(zhì)，知abeabe，bea=67.50，ade是等腰直角三角形。 設(shè)ae=ae=ad =x，則ed=。設(shè)cd=y，則bd=。 。 又eda=adc=450，edaadc。d

22、ac=dea=67.50450=112.50。 bac=1800112.50=67.50。5. （2012江蘇宿遷3分）如圖，將一張矩形紙片abcd沿ef折疊，使頂點c，d分別落在點c，d處，ce交af于點g.若cef=70，則gfd= .【答案】40?！究键c】折疊問題矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)?！痉治觥扛鶕?jù)折疊的性質(zhì)，得dfe=dfe。abcd是矩形，adbc。gfe=cef=70，dfe=1800cef=110。gfd=dfegfe=11070=40。6. （2012江蘇鹽城3分）如圖,在abc中，d,、e分別是邊ab、ac的中點, b=50.現(xiàn)將ade沿de折疊，點a落在三角形所在平面內(nèi)的點

23、為a1,則bda1的度數(shù)為 .【答案】80?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊對稱的性質(zhì)，三角形中位線定理，平行的性質(zhì)?！痉治觥縟、e分別是邊ab、ac的中點，debc（三角形中位線定理）。ade=b=50（兩直線平行，同位角相等）。又ade=a1de（折疊對稱的性質(zhì)），a1da=2b。bda1=1802b=80。7. （2012江蘇揚州3分）如圖，將矩形abcd沿ce折疊，點b恰好落在邊ad的f處，如果，那么tandcf的值是【答案】?！究键c】翻折變換(折疊問題)，翻折對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義?！痉治觥克倪呅蝍bcd是矩形，abcd，d90，將矩形abcd沿ce折疊

24、，點b恰好落在邊ad的f處，cfbc，。設(shè)cd2x，cf3x，。tandcf。8. （2012湖北荊州3分）如圖，已知正方形abcd的對角線長為2，將正方形abcd沿直線ef折疊，則圖中陰影部分的周長為 【答案】8?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊的對稱性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，正方形abcd的對角線長為2，即bd=2，a=90，ab=ad，abd=45，ab=bdcosabd=bdcos45=2。ab=bc=cd=ad=2。由折疊的性質(zhì)：am=am，dn=dn，ad=ad，圖中陰影部分的周長為am+bm+bc+cn+dn+ad=am+bm+bc+cn+dn+ad=ab+b

25、c+cd+ad=2+2+2+2=8。9. （2012湖南岳陽3分）如圖，在rtabc中，b=90，沿ad折疊，使點b落在斜邊ac上，若ab=3，bc=4，則bd= 【答案】。【考點】翻折變換（折疊問題）。1052629【分析】如圖，點e是沿ad折疊，點b的對應點，連接ed，aed=b=90，ae=ab=3，在rtabc中，b=90，ab=3，bc=4，。ec=acae=53=2。設(shè)bd=ed=x，則cd=bcbd=4x，在rtcde中，cd2=ec2+ed2，即：（4x）2=x2+4，解得：x=。bd=。10. （2012四川達州3分）將矩形紙片abcd，按如圖所示的方式折疊，點a、點c恰好落

26、在對角線bd上，得到菱形bedf.若bc=6，則ab的長為 .【答案】?！究键c】翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，菱形和矩形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥吭O(shè)bd與ef交于點o。四邊形bedf是菱形，ob=od=bd。四邊形abcd是矩形，c=90。 設(shè)cd=x，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：ob=od= cd=x，即bd=2x，在rtbcd中，bc2+cd2=bd2，即62+x2=（2x）2，解得：x=。ab=cd=。11. （2012貴州黔西南3分）把一張矩形紙片（矩形abcd）按如圖方式折疊，使頂點b和點d重合，折痕為ef，若ab3cm，bc5cm，則重疊部分def的面積為 cm 2?！敬鸢浮俊！究键c】折

27、疊問題，折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥吭O(shè)ed=x，則根據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)，得ae=ae=5x，ad=ab=3。 根據(jù)勾股定理，得，即，解得。 （cm 2）。12. （2012河南省5分）如圖，在rtabc中，c=900，b=300，bc=3，點d是bc邊上一動點（不與點b、c重合），過點d作debc交ab邊于點e，將b沿直線de翻折，點b落在射線bc上的點f處，當aef為直角三角形時，bd的長為 【答案】1或2。13. （2012內(nèi)蒙古包頭3分）如圖，將abc 紙片的一角沿de向下翻折，使點a 落在bc 邊上的a 點處，且debc ，下列結(jié)論： aedc； ； bc= 2de ；

28、。其中正確結(jié)論的個數(shù)是 個。【答案】4。【考點】折疊問題，折疊對稱的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形兩銳角的關(guān)系，三角形中位線定理，全等、相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥縟ebc，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，得aedc。正確。 根據(jù)折疊對稱的性質(zhì)，a d=ad，a e=ae。 debc，根據(jù)兩直線分線段成比例定理，得。正確。 連接a a ，根據(jù)折疊對稱的性質(zhì)，a ，a 關(guān)于de對稱。a a de。debc，a a bc。a d=ad，da a d a a。db a d a b。bd= a d。bd=ad。de是abc的中位線。bc= 2de。正確。debc，abcade。

29、 由bc= 2de，。根據(jù)折疊對稱的性質(zhì)，adeade。，即。正確。綜上所述，正確結(jié)論的個數(shù)是4個。14. （2012黑龍江綏化3分）長為20，寬為a的矩形紙片（10a20），如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則操作停止當n=3時，a的值為 .【答案】12或15?！究键c】翻折變換（折疊問題），正方形和矩形的性質(zhì)，剪紙問題，分類歸納（圖形的變化類）?！痉治觥扛鶕?jù)操作步驟，可知每一次操作時所得正方形的邊長都等于原矩形的寬所以

30、首先需要判斷矩形相鄰的兩邊中，哪一條邊是矩形的寬。當10a20時，矩形的長為20，寬為a，所以，第一次操作時，所得正方形的邊長為a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為20a，a。第二次操作時，由20aa可知所得正方形的邊長為20a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為20a，a（20a）=2a20。（20a）（2a20）=403a，20a與2a20的大小關(guān)系不能確定，需要分情況進行討論。第三次操作時，當20a2a20時，所得正方形的邊長為2a20，此時，20a（2a20）=403a，此時剩下的矩形為正方形，由403a=2a20得a=12。當2a2020a時，所得正方形的邊長為20a，此時，2a20（20a）=3

31、a40，此時剩下的矩形為正方形，由3a40=20a得a=15。故答案為12或15。15. （2012黑龍江黑河、齊齊哈爾、大興安嶺、雞西3分）如圖所示，沿de折疊長方形abcd的一邊，使點c落在ab邊上的點f處，若ad=8，且afd的面積為60，則dec的 面積為 【答案】?！究键c】翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，折疊對稱的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥克倪呅蝍bcd是矩形，a=b=90，bc=ad=8，cd=ab。afd的面積為60，即adaf=60，解得：af=15。由折疊的性質(zhì)，得：cd=cf=17。ab=17。bf=abaf=1715=2。設(shè)ce=x，則ef=ce=x，be=bcce=8x

32、，在rtbef中，ef2=bf2be2，即x2=22（8x）2，解得：x=，即ce=，dec的面積為： cdce=17。三、解答題1. （2012天津市10分）已知一個矩形紙片oacb，將該紙片放置在平面直角坐標系中，點a（11，0），點b（0，6），點p為bc邊上的動點（點p不與點b、c重合），經(jīng)過點o、p折疊該紙片，得點b和折痕op設(shè)bp=t（）如圖，當bop=300時，求點p的坐標；（）如圖，經(jīng)過點p再次折疊紙片，使點c落在直線pb上，得點c和折痕pq，若aq=m，試用含有t的式子表示m；（）在（）的條件下，當點c恰好落在邊oa上時，求點p的坐標（直接寫出結(jié)果即可）【答案】解：（）根據(jù)題

33、意，obp=90，ob=6。在rtobp中，由bop=30，bp=t，得op=2t。op2=ob2+bp2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=，t2=（舍去）點p的坐標為（ ，6）。（）obp、qcp分別是由obp、qcp折疊得到的，obpobp，qcpqcp。opb=opb，qpc=qpc。opb+opb+qpc+qpc=180，opb+qpc=90。bop+opb=90，bop=cpq。又obp=c=90，obppcq。由題意設(shè)bp=t，aq=m，bc=11，ac=6，則pc=11t，cq=6m。（0t11）。（）點p的坐標為（，6）或（，6）?！究键c】翻折變換（折疊問題），坐標與圖形

34、性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚ǎ└鶕?jù)題意得，obp=90，ob=6，在rtobp中，由bop=30，bp=t，得op=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。 （）由obp、qcp分別是由obp、qcp折疊得到的，可知obpobp，qcpqcp，易證得obppcq，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案。（）首先過點p作peoa于e，易證得pcecqa，由勾股定理可求得cq的長，然后利用相似三角形的對應邊成比例與，即可求得t的值： 過點p作peoa于e，pea=qac=90。pce+epc=90。pce+qca=90，epc=

35、qca。pcecqa。pc=pc=11t，pe=ob=6，aq=m，cq=cq=6m，。，即，即。將代入，并化簡，得。解得：。點p的坐標為（，6）或（，6）。2. （2012海南省11分）如圖（1），在矩形abcd中，把b、d分別翻折，使點b、d分別落在對角線bc上的點e、f處，折痕分別為cm、an.（1）求證：andcbm.（2）請連接mf、ne，證明四邊形mfne是平行四邊形，四邊形mfne是菱形嗎？請說明理由？（3）p、q是矩形的邊cd、ab上的兩點，連結(jié)pq、cq、mn，如圖（2）所示，若pq=cq，pqmn。且ab=4，bc=3，求pc的長度.【答案】（1）證明：四邊形abcd是矩形

36、，d=b，ad=bc，adbc。 dac=bca。 又由翻折的性質(zhì)，得dan=naf，ecm=bcm，dan=bcm。 andcbm（asa）。（2）證明：andcbm，dn=bm。 又由翻折的性質(zhì)，得dn=fn，bm=em， fn=em。 又nfa=acdcnf=bacema=mec， fnem。四邊形mfne是平行四邊形。四邊形mfne不是菱形，理由如下：由翻折的性質(zhì)，得cem=b=900，在emf中，femefm。fmem。四邊形mfne不是菱形。（3）解：ab=4，bc=3，ac=5。 設(shè)dn=x，則由sadc=sandsnac得3 x5 x=12，解得x=，即dn=bm=。過點n作n

37、hab于h，則hm=43=1。在nhm中，nh=3，hm=1，由勾股定理，得nm=。pqmn，dcab，四邊形nmqp是平行四邊形。np=mq，pq= nm=。又pq=cq，cq=。在cbq中，cq=，cb=3，由勾股定理，得bq=1。np=mq=。pc=4=2?！究键c】翻折問題，翻折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理。【分析】（1）由矩形和翻折對稱的性質(zhì)，用asa即可得到andcbm。 （2）根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定即可證明。 （3）設(shè)dn=x，則由sadc=sandsnac可得dn=bm=。過點n作n

38、hab于h，則由勾股定理可得nm=，從而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知pq=cq，即可求得cq=。因此，在cbq中，應用勾股定理求得bq=1。從而求解。3. （2012廣東省9分）如圖，在矩形紙片abcd中，ab=6，bc=8把bcd沿對角線bd折疊，使點c落在c處，bc交ad于點g；e、f分別是cd和bd上的點，線段ef交ad于點h，把fde沿ef折疊，使點d落在d處，點d恰好與點a重合（1）求證：abgcdg；（2）求tanabg的值；（3）求ef的長【答案】（1）證明：bdc由bdc翻折而成， c=bag=90，cd=ab=cd，agb=dgc，abg=ade。在abgcdg中，bag=c，

39、ab= cd，abg=ad c，abgcdg（asa）。（2）解：由（1）可知abgcdg，gd=gb，ag+gb=ad。設(shè)ag=x，則gb=8x，在rtabg中，ab2+ag2=bg2，即62+x2=（8x）2，解得x=。（3）解：aef是def翻折而成，ef垂直平分ad。hd=ad=4。tanabg=tanade=。eh=hd=4。ef垂直平分ad，abad，hf是abd的中位線。hf=ab=6=3。ef=eh+hf=。【考點】翻折變換（折疊問題），翻折變換的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，三角形中位線定理?！痉治觥浚?）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可知c=ba

40、g=90，cd=ab=cd，agb=dgc，故可得出結(jié)論。（2）由（1）可知gd=gb，故ag+gb=ad，設(shè)ag=x，則gb=8-x，在rtabg中利用勾股定理即可求出ag的長，從而得出tanabg的值。（3）由aef是def翻折而成可知ef垂直平分ad，故hd=ad=4，再根據(jù)tanabg的值即可得出eh的長，同理可得hf是abd的中位線，故可得出hf的長，由ef=eh+hf即可得出結(jié)果。4. （2012廣東深圳8分）如圖，將矩形abcd沿直線ef折疊，使點c與點a重合，折痕交ad于點e、交bc于點f，連接af、ce.(1)求證：四邊形afce為菱形；(2)設(shè)ae=a，ed=b，dc=c.

41、請寫出一個a、b、c三者之間的數(shù)量關(guān)系式【答案】（1）證明：四邊形abcd是矩形，adbc，aef=efc。由折疊的性質(zhì)，可得：aef=cef，ae=ce，af=cf，efc=cef。cf=ce。af=cf=ce=ae。四邊形afce為菱形。（2）解：a、b、c三者之間的數(shù)量關(guān)系式為：a2=b2+c2。理由如下：由折疊的性質(zhì)，得：ce=ae。四邊形abcd是矩形，d=90。ae=a，ed=b，dc=c，ce=ae=a。在rtdce中，ce2=cd2+de2，a、b、c三者之間的數(shù)量關(guān)系式可寫為：a2=b2+c2?！究键c】翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平等的性質(zhì)，菱形的判定，勾股

42、定理?！痉治觥浚?）由矩形abcd與折疊的性質(zhì)，易證得cef是等腰三角形，即ce=cf，即可證得af=cf=ce=ae，即可得四邊形afce為菱形。（2）由折疊的性質(zhì)，可得ce=ae=a，在rtdce中，利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之間的數(shù)量關(guān)系式為：a2=b2+c2。（答案不唯一）5. （2012廣東珠海9分） 已知，ab是o的直徑，點p在弧ab上（不含點a、b），把aop沿op對折，點a的對應點c恰好落在o上（1）當p、c都在ab上方時（如圖1），判斷po與bc的位置關(guān)系（只回答結(jié)果）；（2）當p在ab上方而c在ab下方時（如圖2），（1）中結(jié)論還成立嗎？證明你的結(jié)論；（3）當p、

43、c都在ab上方時（如圖3），過c點作cd直線ap于d，且cd是o的切線，證明：ab=4pd【答案】解：（1）po與bc的位置關(guān)系是pobc。（2）（1）中的結(jié)論pobc成立。理由為：由折疊可知：apocpo，apo=cpo。又oa=op，a=apo。a=cpo。又a與pcb都為所對的圓周角，a=pcb。cpo=pcb。pobc。（3）證明：cd為圓o的切線，occd。又adcd，ocad。apo=cop。由折疊可得：aop=cop，apo=aop。又oa=op，a=apo。a=apo=aop。apo為等邊三角形。aop=60。又opbc，obc=aop=60。又oc=ob，bc為等邊三角形。c

44、ob=60。poc=180（aop+cob）=60。又op=oc，poc也為等邊三角形。pco=60，pc=op=oc。又ocd=90，pcd=30。在rtpcd中，pd=pc，又pc=op=ab，pd=ab，即ab=4pd?！究键c】折疊的性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，平行的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)。6. （2012福建龍巖12分）如圖1，過abc的頂點a作高ad，將點a折疊到點d（如圖2），這時ef為折痕，且bed和cfd都是等腰三角形，再將bed和cfd沿它們各自的對稱軸eh、fg折疊，使b、

45、c兩點都與點d重合，得到一個矩形efgh（如圖3），我們稱矩形efgh為abc的邊bc上的折合矩形 （1）若abc的面積為6，則折合矩形efgh的面積為 ；（2）如圖4，已知abc，在圖4中畫出abc的邊bc上的折合矩形efgh；（3）如果abc的邊bc上的折合矩形efgh是正方形，且bc=2a，那么，bc邊上的高ad= ，正方形efgh的對角線長為 【答案】解：（1）3。 （2）作出的折合矩形efgh： （3）2a ； 。 【考點】新定義，折疊問題，矩形和正方形的性質(zhì)，勾股定理。 【分析】（1）由折疊對稱的性質(zhì)，知折合矩形efgh的面積為abc的面積的一半， （2）按題意，作出圖形即可。 （

46、3）由如果abc的邊bc上的折合矩形efgh是正方形，且bc=2a，那么，正方形邊長為a，bc邊上的高ad為efgh邊長的兩倍2a。 根據(jù)勾股定理可得正方形efgh的對角線長為。 7. （2012福建龍巖13分）矩形abcd中，ad=5，ab=3，將矩形abcd沿某直線折疊，使點a的對應點a落在線段bc上，再打開得到折痕ef （1）當a與b重合時（如圖1），ef= ；當折痕ef過點d時（如圖2），求線段ef的長； （2）觀察圖3和圖4，設(shè)ba=x，當x的取值范圍是 時，四邊形aeaf是菱形；在的條件下，利用圖4證明四邊形aeaf是菱形【答案】解：(1)5。 由折疊（軸對稱）性質(zhì)知ad=ad=5

47、，a=ead=900。 在rtadc中，dc=ab=2， 。ab=bcac=54=1。 eabbea=eabfac=900， bea=fac。 又 b=c=900，rtebartacf。，即 。在rtaef中，。 （2）。 證明：由折疊（軸對稱）性質(zhì)知aef=fea，ae=ae，af=af。 又 adbc，afe=fea 。aef=afe 。 ae=af。ae=ae=af=af。 四邊形aeaf是菱形?！究键c】折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的判定?！痉治觥?1)根據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)，當a與b重合時（如圖1），ef= ad=5。 根據(jù)

48、折疊和矩形的性質(zhì)，以及勾股定理求出ab、af和fc的長，由rtebartacf求得，在rtaef中，由勾股定理求得ef的長。 （2）由圖3和圖4可得，當時，四邊形aeaf是菱形。 由折疊和矩形的性質(zhì)，可得ae=ae，af=af。由平行和等腰三角形的性質(zhì)可得ae=af。從而ae=ae=af=af。根據(jù)菱形的判定得四邊形aeaf是菱形。8. （2012湖北恩施8分）如圖，用紙折出黃金分割點：裁一張正方的紙片abcd，先折出bc的中點e，再折出線段ae，然后通過折疊使eb落到線段ea上，折出點b的新位置b，因而eb=eb類似地，在ab上折出點b使ab=ab這是b就是ab的黃金分割點請你證明這個結(jié)論【答案】證明：設(shè)正方形abcd的邊長為2，e為bc的中點，be=1。又be=be=1，ab=aebe=1。又ab=ab，ab=1。點b是線段ab的黃金分割點?！究键c】翻折（折疊）問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，折疊對稱的性