第四章 穩(wěn)定性分析——Nyquist 穩(wěn)定性判據(jù)(4-3)B

1、1 第四節(jié)第四節(jié) Nyquist 穩(wěn)定性判據(jù)穩(wěn)定性判據(jù)基本思想：基本思想：利用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性判別閉 環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)2 一、預(yù)備知識一、預(yù)備知識幅角定理幅角定理 幅角定理：幅角定理： F(s)是s的單值有理函數(shù)，在s平面上任一閉合路徑包圍了F(s)的Z個零點(diǎn)和P個極點(diǎn)，并且不經(jīng)過F(s)的任一零點(diǎn)和極點(diǎn)，則當(dāng)s沿閉合路徑順時針順時針方向旋轉(zhuǎn)一圈時，映射到F(s)平面內(nèi)的F(s)曲線順時針繞原順時針繞原點(diǎn)（點(diǎn)（Z P）圈）圈。即 N=Z-PN=Z-P （或逆時針逆時針繞原點(diǎn)N= P - Z圈）其中：N為圈數(shù) 逆時針為正， 順時針為負(fù)。3二、奈魁斯特穩(wěn)定性判據(jù)二、奈魁斯特穩(wěn)定性判據(jù)1、

2、線性系統(tǒng)的特征方程、線性系統(tǒng)的特征方程運(yùn)動方程一般形式： r(t)輸入 c(t)輸出特征方程系統(tǒng)傳遞函數(shù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)為：比較得到閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程（閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母0） c(t)adtdc(t)adtc(t)dadtc(t)da011 -n1 -n1 -n1 -nnnnnr(t)bdtdr(t)bdtr(t)dbdtr(t)db011 -m1 -m1 -m1 -mmmmm+_ _( )R s( )C s( )H s( )B s( )E s( )G sG(s)H(s)1G(s)R(s)C(s)011n1nnn011m1mmmasasasabsbsbsbR(s)C(s)0asasasa011n1nn

3、n0asasasaG(s)H(s)1F(s)011n1nnn4 2 2奈氏路徑奈氏路徑 令：令： 順時針方向順時針方向包圍整個s右半平面。當(dāng)F(s)有若干個極點(diǎn)處于s平面虛軸（包括原點(diǎn)）上時，則以這些點(diǎn)為圓心，作半徑為無窮小的半圓，按逆時針逆時針方向方向從右從右側(cè)繞過側(cè)繞過這些點(diǎn)。 jj1j1j( )F s的極點(diǎn)Rj 0j0js平面jjjjjs005 3. 3. 奈氏判據(jù)奈氏判據(jù) 設(shè)： 閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式 顯然顯然：F(s) 的的零點(diǎn)零點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)的就是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)極點(diǎn)。 (1) (1) 1 1G(S)H(S)G(S)H(S)平面上的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析平面上的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析 假如s沿著奈氏路徑

4、繞一圈，根據(jù)幅角定理，F(xiàn)(s)平面上繪制的F(s)曲線F 逆時針逆時針方向繞原點(diǎn)原點(diǎn)的圈數(shù)N則為F(s)在s右半開平面內(nèi)極點(diǎn)個數(shù)P與的零點(diǎn)個數(shù)Z之差： N= P - Z 當(dāng)Z=0 即（N= P ）時，說明系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)無極點(diǎn)在 s 右半開平面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；反之，系統(tǒng)則是不穩(wěn)定的。 sHsGSF16（2 2）G(s)H(s)G(s)H(s)平面上的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析平面上的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析-奈氏判據(jù)奈氏判據(jù) 因為1+ G(s)H(s) 與G(s)H(s) 之間相差1，所以系統(tǒng)的穩(wěn)定性可表達(dá)成： 奈氏判據(jù)：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：奈氏判據(jù)：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：s s沿著奈氏路徑繞一沿著奈氏路徑繞

5、一圈，圈，G(j)H(jG(j)H(j) )曲線逆時針繞（曲線逆時針繞（-1-1，j0j0）點(diǎn)的點(diǎn)的P P圈圈（N= P ）。 P P為為G(s)H(s)G(s)H(s)位于位于s s右半平面的極點(diǎn)數(shù)。右半平面的極點(diǎn)數(shù)。 a.若P=0，且 N=0，即曲線不包圍（-1，j0）點(diǎn)，則閉環(huán)系 統(tǒng)穩(wěn)定； b.若P0，且N=P，即曲線逆時針繞（-1，j0）點(diǎn)P圈，則閉 環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則是不穩(wěn)定系統(tǒng)。 不穩(wěn)定系統(tǒng)分布在s右半平面極點(diǎn)的個數(shù)可按下式求?。?Z=PN c.若曲線通過（-1，j0）點(diǎn)L次，則說明閉環(huán)系統(tǒng)有L個極點(diǎn) 分布在s平面的虛軸上。7例例: 一系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：解

6、：本系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性 當(dāng) 變化時，系統(tǒng)的幅相曲線如圖所示。 因為系統(tǒng)有一個開環(huán)極點(diǎn)位于s的右半平面，即：P=1。 圖中奈氏曲線是逆時針方向逆時針方向繞（-1，j0）點(diǎn)的1圈，即 N=1。根據(jù)奈氏判據(jù), 閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面極點(diǎn)數(shù) Z=P-N=1-1=0 所以系統(tǒng)穩(wěn)定。0)a ( 1)()(sasHsG1)()(jajHjGjjjj00210 ReIm8 繪繪畫乃氏曲線過程中：畫乃氏曲線過程中： 當(dāng)s從-j0轉(zhuǎn)到+j0時，G(s)H(s)的奈氏曲線以半徑為無窮大，順時針轉(zhuǎn)過 。 當(dāng) s 沿奈氏曲線從+j到 - j時，對nm的系統(tǒng)，G(s)H(s)的奈魁斯特氏曲線以無窮小半徑，繞原點(diǎn)逆時針轉(zhuǎn)過（

7、 n - m）。 9例：例： 一系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解：解： 先作+j 0到+j時的G(j)H(j)曲線。再根據(jù)對稱性，作出-j 0到-j時的G(j)H(j)曲線。 0)k ( )1()1()()(1sssKsHsG ) 1() 1()()(1jjjKjHjGImRe2K1 01001K10 當(dāng) 時， s從- j0轉(zhuǎn)到+j0，G(j)H(j) 曲線以半徑為無窮大，順時針轉(zhuǎn)過角（圖中虛線）。并可求得， = 1時，G(j)H(j)與實軸交 。從圖可見，G(s)H(s)的奈氏曲線順時針繞 ( -1, j0 ) 點(diǎn)一圈，N = -1，又因為P =0，所以 Z = P - N=1

8、，說明為不穩(wěn)定系統(tǒng)，有一個閉環(huán)極點(diǎn)在s的右半平面。11KImRe2K101001K11 3 3。一種簡易的奈氏判據(jù)。一種簡易的奈氏判據(jù) （1）正、負(fù)穿越的概念 G(j)H(j)曲線對稱實軸。應(yīng)用中只畫 部分。所謂“穿越”是指 軌跡穿過 段。正穿越正穿越：從上而下穿過該段一次（相角增加），用 表示。負(fù)穿越：負(fù)穿越：由下而上穿過該段一次（相角減少），用 表示。 正穿越正穿越 負(fù)穿越負(fù)穿越N 0N),1(122N1N13 若G(j)H(j)軌跡起始或終止于 (-1, j0)以左的負(fù)軸上，則穿越次數(shù)為半次，且同樣有+ 1/2 次穿越和-1/2次穿越。14 如果G(j)H(j)按逆時針方向鐃(-1, j

9、0) 一周，則必正穿越一次。反之，若按順時針方向包圍點(diǎn)(-1, j0) 一周，則必負(fù)穿越一次。這種正負(fù)穿越之和即為G(j)H(j)包圍的圈數(shù)。故奈氏判據(jù)奈氏判據(jù)又可表述為： 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng) 由由0變化到變化到 時，時，G(j)H(j)曲線在（曲線在（-1，j0）點(diǎn)以左的負(fù)實軸點(diǎn)以左的負(fù)實軸 上的正負(fù)穿越之和為上的正負(fù)穿越之和為 P/2 圈。圈。 P為開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)。此時 Z=P-2N 若開環(huán)傳遞函數(shù)無極點(diǎn)分布在S右半平面，即 ，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件應(yīng)該是閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件應(yīng)該是N=0： 注意：這里對應(yīng)的變化范圍是 。00P15

10、 例例: 某系統(tǒng)G(j)H(j)軌跡如下，已知有2個開環(huán)極點(diǎn)分布在s的右半平面，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解解：系統(tǒng)有2個開環(huán)極點(diǎn)分布在s的右半平面（P=2），G(j)H(j)軌跡在點(diǎn)(-1, j0)以左的負(fù)實軸有2次正穿越，1次負(fù)穿越，因為：N= , 求得：Z=P-2N=2-2=0 所以系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。.112NN2P16 例例: 兩系統(tǒng)取一半奈氏曲線，試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。 解解: (a) : N= N+ - N =（0-1）= -1，且已知P =0，所以 Z=P-2N=2 系統(tǒng)不穩(wěn)定。 (b) ：K1時，N= N+ - N - =1-1/2= -1/2，且已知P=1，所以 Z= P-2N=0，閉

11、環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定； K0db時相頻特性曲線自下而上（或自上而下）地穿越-180線。ImRe0 ( 1,0)j()()GjHj()L( ) dB00c18 參照極坐標(biāo)中奈氏判據(jù)的定義，對數(shù)坐標(biāo)下的奈判據(jù)可表述如下： 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng) 由由0變到變到 時，時，在開環(huán)對數(shù)幅頻特性在開環(huán)對數(shù)幅頻特性 的頻段內(nèi)，相頻特性的頻段內(nèi)，相頻特性 穿越的次數(shù)（正穿越穿越的次數(shù)（正穿越 與負(fù)穿越與負(fù)穿越 次數(shù)之差）次數(shù)之差）為為 。 P為開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)。 若開環(huán)傳遞函數(shù)無極點(diǎn)分布在S右半平面，即 ，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：在閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：在 的頻

12、段內(nèi)，的頻段內(nèi)，相頻特性相頻特性 在在 線上正負(fù)穿越次數(shù)代數(shù)和為零?；蛘卟淮┰?線 。0)(L)(NN2P0P0)(L)(19例：某系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點(diǎn)在S右半平面（P=2） N+- N-=1-2= -1 不等于P/2（=1） 所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。)(L0)(2P20 人們常用系統(tǒng)開環(huán)頻率特性人們常用系統(tǒng)開環(huán)頻率特性G(j)H(j)與與GH平面平面 上與（上與（-1，j0）點(diǎn)的靠近程度來表征閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定點(diǎn)的靠近程度來表征閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。一般來說，程度。一般來說，G(j)H(j)離開（離開（-1，j0）點(diǎn)越遠(yuǎn)，點(diǎn)越遠(yuǎn)，則穩(wěn)定程度越高；反之，穩(wěn)定程度越低。則穩(wěn)定程度越高；反之，穩(wěn)定程度越低。 一

13、、相位裕量相位裕量 增益剪切頻率增益剪切頻率 ：是指開環(huán)頻率特性：是指開環(huán)頻率特性(j)H(j）的幅值等于的幅值等于1時的頻率，即時的頻率，即 在控制系統(tǒng)的增益剪切頻率在控制系統(tǒng)的增益剪切頻率c上，使閉環(huán)系統(tǒng)上，使閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)所需附加的相移（超前或遲后相達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)所需附加的相移（超前或遲后相移）量，稱為系統(tǒng)的相位裕量，記作移）量，稱為系統(tǒng)的相位裕量，記作。c1)()(ccjHjG21 （a） （b） 相位裕量： = 當(dāng)0時，相位裕量為正，系統(tǒng)穩(wěn)定； 當(dāng)0）上，開環(huán)頻率特上，開環(huán)頻率特性的倒數(shù)，稱為控制系統(tǒng)的增量裕量，記作性的倒數(shù)，稱為控制系統(tǒng)的增量裕量，記作Kg，即即以分貝表示時以分貝表示時 Kg大于大于1，則增益裕量為正值，系統(tǒng)穩(wěn)定。，則增益裕量為正值，系統(tǒng)穩(wěn)定。