動點(diǎn)例題解析及答案

1、初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題及練習(xí)題附參考答案所謂“動點(diǎn)型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個或多個動點(diǎn),它們在線段、射線或弧線上運(yùn)動的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題. 關(guān)鍵:動中求靜.數(shù)學(xué)思想：分類思想 函數(shù)思想 方程思想 數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化思想注重對幾何圖形運(yùn)動變化能力的考查。從變換的角度和運(yùn)動變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對稱、動點(diǎn)的運(yùn)動”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。選擇基本的幾何圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過程，以能力立意，考查學(xué)生的自主探究能力，促進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力圖形在動點(diǎn)的運(yùn)動過程

2、中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在不同位置的情況，才能做好計算推理的過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動點(diǎn)”探究題的基本思路,這也是動態(tài)幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。二期課改后數(shù)學(xué)卷中的數(shù)學(xué)壓軸性題正逐步轉(zhuǎn)向數(shù)形結(jié)合、動態(tài)幾何、動手操作、實(shí)驗探究等方向發(fā)展這些壓軸題題型繁多、題意創(chuàng)新，目的是考察學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應(yīng)用意識、推理能力等從數(shù)學(xué)思想的層面上講：（1）運(yùn)動觀點(diǎn)；（2）方程思想；（3）數(shù)形結(jié)合思想；（4）分類思想；（5）轉(zhuǎn)化思想等研究歷年來各區(qū)的壓軸性試題，就能找到今年中考數(shù)學(xué)試題的熱點(diǎn)的形成和命題的動向，它有利于我們教師在教學(xué)中研究對策，把握方

3、向只的這樣，才能更好的培養(yǎng)學(xué)生解題素養(yǎng)，在素質(zhì)教育的背景下更明確地體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的導(dǎo)向本文擬就壓軸題的題型背景和區(qū)分度測量點(diǎn)的存在性和區(qū)分度小題處理手法提出自己的觀點(diǎn)專題一：建立動點(diǎn)問題的函數(shù)解析式函數(shù)揭示了運(yùn)動變化過程中量與量之間的變化規(guī)律,是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.動點(diǎn)問題反映的是一種函數(shù)思想,由于某一個點(diǎn)或某圖形的有條件地運(yùn)動變化,引起未知量與已知量間的一種變化關(guān)系,這種變化關(guān)系就是動點(diǎn)問題中的函數(shù)關(guān)系.那么,我們怎樣建立這種函數(shù)解析式呢?下面結(jié)合中考試題舉例分析.一、應(yīng)用勾股定理建立函數(shù)解析式。二、應(yīng)用比例式建立函數(shù)解析式。三、應(yīng)用求圖形面積的方法建立函數(shù)關(guān)系式。專題二：動態(tài)幾何型壓軸題動態(tài)

4、幾何特點(diǎn)-問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過程中，特別要關(guān)注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置。）動點(diǎn)問題一直是中考熱點(diǎn)，近幾年考查探究運(yùn)動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。下面就此問題的常見題型作簡單介紹，解題方法、關(guān)鍵給以點(diǎn)撥。一、 以動態(tài)幾何為主線的壓軸題。（一）點(diǎn)動問題。 （二）線動問題。 （三）面動問題。二、解決動態(tài)幾何問題的常見方法有:1、特殊探路，一般推證。2、動手實(shí)踐，操作確認(rèn)。3、建立聯(lián)系，計算說明。三、專題二總結(jié)，本大類習(xí)題的共性：1代數(shù)、幾何的

5、高度綜合（數(shù)形結(jié)合）；著力于數(shù)學(xué)本質(zhì)及核心內(nèi)容的考查;四大數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué)結(jié)合、分類討論、方程、函數(shù)2以形為載體，研究數(shù)量關(guān)系；通過設(shè)、表、列獲得函數(shù)關(guān)系式；研究特殊情況下的函數(shù)值。專題三：雙動點(diǎn)問題點(diǎn)動、線動、形動構(gòu)成的問題稱之為動態(tài)幾何問題. 它主要以幾何圖形為載體，運(yùn)動變化為主線，集多個知識點(diǎn)為一體，集多種解題思想于一題. 這類題綜合性強(qiáng)，能力要求高，它能全面的考查學(xué)生的實(shí)踐操作能力，空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力. 其中以靈活多變而著稱的雙動點(diǎn)問題更成為今年中考試題的熱點(diǎn)，現(xiàn)采擷幾例加以分類淺析，供讀者欣賞.1 以雙動點(diǎn)為載體，探求函數(shù)圖象問題。2 以雙動點(diǎn)為載體，探求結(jié)論開放

6、性問題。3 以雙動點(diǎn)為載體，探求存在性問題。4 以雙動點(diǎn)為載體，探求函數(shù)最值問題。雙動點(diǎn)問題的動態(tài)問題是近幾年來中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)題型.這類試題信息量大,對同學(xué)們獲取信息和處理信息的能力要求較高;解題時需要用運(yùn)動和變化的眼光去觀察和研究問題,挖掘運(yùn)動、變化的全過程,并特別關(guān)注運(yùn)動與變化中的不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系,動中取靜,靜中求動。專題四：函數(shù)中因動點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題 專題五：以圓為載體的動點(diǎn)問題動點(diǎn)問題是初中數(shù)學(xué)的一個難點(diǎn)，中考經(jīng)?？疾?，有一類動點(diǎn)問題，題中未說到圓，卻與圓有關(guān)，只要巧妙地構(gòu)造圓，以圓為載體，利用圓的有關(guān)性質(zhì)，問題便會迎刃而解；此類問題方法巧妙，耐人尋味。例1.如圖，已知

7、在矩形ABCD中，AD=8，CD=4，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DA以每秒1個單位長的速度向點(diǎn)A方向移動，同時點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CD方向以每秒2個單位長的速度移動，當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動設(shè)點(diǎn)E移動的時間為t（秒）（1）求當(dāng)t為何值時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動；（2）設(shè)四邊形BCFE的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；（3）求當(dāng)t為何值時，以E，F(xiàn)，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形；ABCDEFO（4）求當(dāng)t為何值時，BEC=BFC例2. 正方形邊長為4，、分別是、上的兩個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時，保持和垂直，（1）證明：；（2）設(shè)，梯形的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式

8、；當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時，四邊形面積最大，并求出最大面積；DMABCN（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時，求此時的值例3.如圖，在梯形中，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動；動點(diǎn)同時從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動設(shè)運(yùn)動的時間為秒（09年濟(jì)南中考）ADCBMN （1）求的長。（2）當(dāng)時，求的值（3）試探究：為何值時，為等腰三角形yAOMQPBx例4.如圖，在RtAOB中，AOB90，OA3cm，OB4cm，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)P、Q分別為AB、OB邊上的動點(diǎn)它們同時分別從點(diǎn)A、O向B點(diǎn)勻速運(yùn)動，速度均為1cm/秒，設(shè)P、Q移動時間為t（0t4）（1）求AB的長

9、，過點(diǎn)P做PMOA于M，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)（用t表示）（2）求OPQ面積S（cm2），與運(yùn)動時間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)t為何值時，S有最大值？最大是多少？（3）當(dāng)t為何值時，OPQ為直角三角形？（4）若點(diǎn)P運(yùn)動速度不變，改變Q 的運(yùn)動速度，使OPQ為正三角形，求Q點(diǎn)運(yùn)動的速度和此時t的值.例5：如圖1,在半徑為6,圓心角為90的扇形OAB的弧AB上,有一個動點(diǎn)P,PHOA,垂足為H,OPH的重心為G.(1)當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動時,線段GO、GP、GH中,有無長度保持不變的線段?如果有,請指出這樣的線段,并求出相應(yīng)的長度.(2)設(shè)PH,GP,求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域(即自變量的取

10、值范圍).HMNGPOAB圖1(3)如果PGH是等腰三角形,試求出線段PH的長.解:(1)當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動時,OP保持不變,于是線段GO、GP、GH中,有長度保持不變的線段，這條線段是GH=NH=OP=2.(2)在RtPOH中, , .在RtMPH中,.=GP=MP= (06).(3)PGH是等腰三角形有三種可能情況:GP=PH時,解得. 經(jīng)檢驗, 是原方程的根,且符合題意.GP=GH時, ,解得. 經(jīng)檢驗, 是原方程的根,但不符合題意.PH=GH時,.綜上所述,如果PGH是等腰三角形,那么線段PH的長為或2.例6.如圖2,在ABC中,AB=AC=1,點(diǎn)D,E在直線BC上運(yùn)動.設(shè)BD=CE

11、=. (1)如果BAC=30,DAE=105,試確定與之間的函數(shù)解析式； AEDCB圖2 (2)如果BAC的度數(shù)為,DAE的度數(shù)為,當(dāng),滿足怎樣的關(guān)系式時,(1)中與之間的函數(shù)解析式還成立?試說明理由.解:(1)在ABC中,AB=AC,BAC=30, ABC=ACB=75, ABD=ACE=105.BAC=30,DAE=105, DAB+CAE=75, 又DAB+ADB=ABC=75, CAE=ADB, ADBEAC, , , .(2)由于DAB+CAE=,又DAB+ADB=ABC=,且函數(shù)關(guān)系式成立,=, 整理得.當(dāng)時,函數(shù)解析式成立.ABCO圖8H例7.如圖,在ABC中,BAC=90,AB

12、=AC=,A的半徑為1.若點(diǎn)O在BC邊上運(yùn)動(與點(diǎn)B、C不重合),設(shè)BO=,AOC的面積為.(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式,(2)以點(diǎn)O為圓心,BO長為半徑作圓O,求當(dāng)O與A相切時,AOC的面積.解:(1)過點(diǎn)A作AHBC,垂足為H.BAC=90,AB=AC=, BC=4,AH=BC=2. OC=4-., ().(2)當(dāng)O與A外切時,在RtAOH中,OA=,OH=, . 解得.此時,AOC的面積=.當(dāng)O與A內(nèi)切時,在RtAOH中,OA=,OH=, . 解得.此時,AOC的面積=.綜上所述,當(dāng)O與A相切時,AOC的面積為或.動點(diǎn)練習(xí)題答案例1. 解：（1）當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，如圖

13、2所示（1分）圖2ABCDEF由題意可知：ED=t，BC=8，F(xiàn)D= 2t-4，F(xiàn)C= 2tEDBC，F(xiàn)EDFBC解得t=4當(dāng)t=4時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動；（3分）（2）ED=t，CF=2t， S=SBCE+ SBCF=84+2tt=16+ t2即S=16+ t2（0 t 4）；（6分）（3）若EF=EC時，則點(diǎn)F只能在CD的延長線上，EF2=，EC2=，=t=4或t=0（舍去）；若EC=FC時，EC2=，F(xiàn)C2=4t2，=4t2；若EF=FC時，EF2=，F(xiàn)C2=4t2，=4t2t1=（舍去），t2=當(dāng)t的值為4，時，以E，F(xiàn)，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形；（9分）（4）在RtBCF和Rt

14、CED中，BCD=CDE=90，RtBCFRtCEDBFC=CED（10分）ADBC，BCE=CED若BEC=BFC，則BEC=BCE即BE=BCBE2=，=64t1=（舍去），t2=當(dāng)t=時，BEC=BFC（12分）例2. 解：（1）在正方形中，NDACDBM，在中，（2）， ，當(dāng)時，取最大值，最大值為10（3），要使，必須有，由（1）知，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到的中點(diǎn)時，此時例3.解：（1）如圖，過、分別作于，于，則四邊形是矩形在中，在中，由勾股定理得，（圖）ADCBKH（圖）ADCBGMN（2）如圖，過作交于點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形由題意知，當(dāng)、運(yùn)動到秒時，又即解得，（3）分三種情況討論：當(dāng)時，如圖，即ADCBMN（圖）（圖）ADCBMNHE當(dāng)時，如圖，過作于即當(dāng)時，如圖，過作于點(diǎn).（圖）ADCBHNMF