動點例題解析及答案

1、初中數(shù)學動點問題及練習題附參考答案所謂“動點型問題”是指題設圖形中存在一個或多個動點,它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目.解決這類問題的關鍵是動中求靜,靈活運用有關數(shù)學知識解決問題. 關鍵:動中求靜.數(shù)學思想：分類思想 函數(shù)思想 方程思想 數(shù)形結合思想 轉化思想注重對幾何圖形運動變化能力的考查。從變換的角度和運動變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對稱、動點的運動”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。選擇基本的幾何圖形，讓學生經(jīng)歷探索的過程，以能力立意，考查學生的自主探究能力，促進培養(yǎng)學生解決問題的能力圖形在動點的運動過程

2、中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在不同位置的情況，才能做好計算推理的過程。在變化中找到不變的性質是解決數(shù)學“動點”探究題的基本思路,這也是動態(tài)幾何數(shù)學問題中最核心的數(shù)學本質。二期課改后數(shù)學卷中的數(shù)學壓軸性題正逐步轉向數(shù)形結合、動態(tài)幾何、動手操作、實驗探究等方向發(fā)展這些壓軸題題型繁多、題意創(chuàng)新，目的是考察學生的分析問題、解決問題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應用意識、推理能力等從數(shù)學思想的層面上講：（1）運動觀點；（2）方程思想；（3）數(shù)形結合思想；（4）分類思想；（5）轉化思想等研究歷年來各區(qū)的壓軸性試題，就能找到今年中考數(shù)學試題的熱點的形成和命題的動向，它有利于我們教師在教學中研究對策，把握方

3、向只的這樣，才能更好的培養(yǎng)學生解題素養(yǎng)，在素質教育的背景下更明確地體現(xiàn)課程標準的導向本文擬就壓軸題的題型背景和區(qū)分度測量點的存在性和區(qū)分度小題處理手法提出自己的觀點專題一：建立動點問題的函數(shù)解析式函數(shù)揭示了運動變化過程中量與量之間的變化規(guī)律,是初中數(shù)學的重要內(nèi)容.動點問題反映的是一種函數(shù)思想,由于某一個點或某圖形的有條件地運動變化,引起未知量與已知量間的一種變化關系,這種變化關系就是動點問題中的函數(shù)關系.那么,我們怎樣建立這種函數(shù)解析式呢?下面結合中考試題舉例分析.一、應用勾股定理建立函數(shù)解析式。二、應用比例式建立函數(shù)解析式。三、應用求圖形面積的方法建立函數(shù)關系式。專題二：動態(tài)幾何型壓軸題動態(tài)

4、幾何特點-問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關系；分析過程中，特別要關注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質、圖形的特殊位置。）動點問題一直是中考熱點，近幾年考查探究運動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。下面就此問題的常見題型作簡單介紹，解題方法、關鍵給以點撥。一、 以動態(tài)幾何為主線的壓軸題。（一）點動問題。 （二）線動問題。 （三）面動問題。二、解決動態(tài)幾何問題的常見方法有:1、特殊探路，一般推證。2、動手實踐，操作確認。3、建立聯(lián)系，計算說明。三、專題二總結，本大類習題的共性：1代數(shù)、幾何的

5、高度綜合（數(shù)形結合）；著力于數(shù)學本質及核心內(nèi)容的考查;四大數(shù)學思想：數(shù)學結合、分類討論、方程、函數(shù)2以形為載體，研究數(shù)量關系；通過設、表、列獲得函數(shù)關系式；研究特殊情況下的函數(shù)值。專題三：雙動點問題點動、線動、形動構成的問題稱之為動態(tài)幾何問題. 它主要以幾何圖形為載體，運動變化為主線，集多個知識點為一體，集多種解題思想于一題. 這類題綜合性強，能力要求高，它能全面的考查學生的實踐操作能力，空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力. 其中以靈活多變而著稱的雙動點問題更成為今年中考試題的熱點，現(xiàn)采擷幾例加以分類淺析，供讀者欣賞.1 以雙動點為載體，探求函數(shù)圖象問題。2 以雙動點為載體，探求結論開放

6、性問題。3 以雙動點為載體，探求存在性問題。4 以雙動點為載體，探求函數(shù)最值問題。雙動點問題的動態(tài)問題是近幾年來中考數(shù)學的熱點題型.這類試題信息量大,對同學們獲取信息和處理信息的能力要求較高;解題時需要用運動和變化的眼光去觀察和研究問題,挖掘運動、變化的全過程,并特別關注運動與變化中的不變量、不變關系或特殊關系,動中取靜,靜中求動。專題四：函數(shù)中因動點產(chǎn)生的相似三角形問題 專題五：以圓為載體的動點問題動點問題是初中數(shù)學的一個難點，中考經(jīng)常考察，有一類動點問題，題中未說到圓，卻與圓有關，只要巧妙地構造圓，以圓為載體，利用圓的有關性質，問題便會迎刃而解；此類問題方法巧妙，耐人尋味。例1.如圖，已知

7、在矩形ABCD中，AD=8，CD=4，點E從點D出發(fā)，沿線段DA以每秒1個單位長的速度向點A方向移動，同時點F從點C出發(fā)，沿射線CD方向以每秒2個單位長的速度移動，當B，E，F(xiàn)三點共線時，兩點同時停止運動設點E移動的時間為t（秒）（1）求當t為何值時，兩點同時停止運動；（2）設四邊形BCFE的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關系式，并寫出t的取值范圍；（3）求當t為何值時，以E，F(xiàn)，C三點為頂點的三角形是等腰三角形；ABCDEFO（4）求當t為何值時，BEC=BFC例2. 正方形邊長為4，、分別是、上的兩個動點，當點在上運動時，保持和垂直，（1）證明：；（2）設，梯形的面積為，求與之間的函數(shù)關系式

8、；當點運動到什么位置時，四邊形面積最大，并求出最大面積；DMABCN（3）當點運動到什么位置時，求此時的值例3.如圖，在梯形中，動點從點出發(fā)沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動設運動的時間為秒（09年濟南中考）ADCBMN （1）求的長。（2）當時，求的值（3）試探究：為何值時，為等腰三角形yAOMQPBx例4.如圖，在RtAOB中，AOB90，OA3cm，OB4cm，以點O為坐標原點建立坐標系，設P、Q分別為AB、OB邊上的動點它們同時分別從點A、O向B點勻速運動，速度均為1cm/秒，設P、Q移動時間為t（0t4）（1）求AB的長

9、，過點P做PMOA于M，求出P點的坐標（用t表示）（2）求OPQ面積S（cm2），與運動時間t（秒）之間的函數(shù)關系式，當t為何值時，S有最大值？最大是多少？（3）當t為何值時，OPQ為直角三角形？（4）若點P運動速度不變，改變Q 的運動速度，使OPQ為正三角形，求Q點運動的速度和此時t的值.例5：如圖1,在半徑為6,圓心角為90的扇形OAB的弧AB上,有一個動點P,PHOA,垂足為H,OPH的重心為G.(1)當點P在弧AB上運動時,線段GO、GP、GH中,有無長度保持不變的線段?如果有,請指出這樣的線段,并求出相應的長度.(2)設PH,GP,求關于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域(即自變量的取

10、值范圍).HMNGPOAB圖1(3)如果PGH是等腰三角形,試求出線段PH的長.解:(1)當點P在弧AB上運動時,OP保持不變,于是線段GO、GP、GH中,有長度保持不變的線段，這條線段是GH=NH=OP=2.(2)在RtPOH中, , .在RtMPH中,.=GP=MP= (06).(3)PGH是等腰三角形有三種可能情況:GP=PH時,解得. 經(jīng)檢驗, 是原方程的根,且符合題意.GP=GH時, ,解得. 經(jīng)檢驗, 是原方程的根,但不符合題意.PH=GH時,.綜上所述,如果PGH是等腰三角形,那么線段PH的長為或2.例6.如圖2,在ABC中,AB=AC=1,點D,E在直線BC上運動.設BD=CE

11、=. (1)如果BAC=30,DAE=105,試確定與之間的函數(shù)解析式； AEDCB圖2 (2)如果BAC的度數(shù)為,DAE的度數(shù)為,當,滿足怎樣的關系式時,(1)中與之間的函數(shù)解析式還成立?試說明理由.解:(1)在ABC中,AB=AC,BAC=30, ABC=ACB=75, ABD=ACE=105.BAC=30,DAE=105, DAB+CAE=75, 又DAB+ADB=ABC=75, CAE=ADB, ADBEAC, , , .(2)由于DAB+CAE=,又DAB+ADB=ABC=,且函數(shù)關系式成立,=, 整理得.當時,函數(shù)解析式成立.ABCO圖8H例7.如圖,在ABC中,BAC=90,AB

12、=AC=,A的半徑為1.若點O在BC邊上運動(與點B、C不重合),設BO=,AOC的面積為.(1)求關于的函數(shù)解析式,(2)以點O為圓心,BO長為半徑作圓O,求當O與A相切時,AOC的面積.解:(1)過點A作AHBC,垂足為H.BAC=90,AB=AC=, BC=4,AH=BC=2. OC=4-., ().(2)當O與A外切時,在RtAOH中,OA=,OH=, . 解得.此時,AOC的面積=.當O與A內(nèi)切時,在RtAOH中,OA=,OH=, . 解得.此時,AOC的面積=.綜上所述,當O與A相切時,AOC的面積為或.動點練習題答案例1. 解：（1）當B，E，F(xiàn)三點共線時，兩點同時停止運動，如圖

13、2所示（1分）圖2ABCDEF由題意可知：ED=t，BC=8，F(xiàn)D= 2t-4，F(xiàn)C= 2tEDBC，F(xiàn)EDFBC解得t=4當t=4時，兩點同時停止運動；（3分）（2）ED=t，CF=2t， S=SBCE+ SBCF=84+2tt=16+ t2即S=16+ t2（0 t 4）；（6分）（3）若EF=EC時，則點F只能在CD的延長線上，EF2=，EC2=，=t=4或t=0（舍去）；若EC=FC時，EC2=，F(xiàn)C2=4t2，=4t2；若EF=FC時，EF2=，F(xiàn)C2=4t2，=4t2t1=（舍去），t2=當t的值為4，時，以E，F(xiàn)，C三點為頂點的三角形是等腰三角形；（9分）（4）在RtBCF和Rt

14、CED中，BCD=CDE=90，RtBCFRtCEDBFC=CED（10分）ADBC，BCE=CED若BEC=BFC，則BEC=BCE即BE=BCBE2=，=64t1=（舍去），t2=當t=時，BEC=BFC（12分）例2. 解：（1）在正方形中，NDACDBM，在中，（2）， ，當時，取最大值，最大值為10（3），要使，必須有，由（1）知，當點運動到的中點時，此時例3.解：（1）如圖，過、分別作于，于，則四邊形是矩形在中，在中，由勾股定理得，（圖）ADCBKH（圖）ADCBGMN（2）如圖，過作交于點，則四邊形是平行四邊形由題意知，當、運動到秒時，又即解得，（3）分三種情況討論：當時，如圖，即ADCBMN（圖）（圖）ADCBMNHE當時，如圖，過作于即當時，如圖，過作于點.（圖）ADCBHNMF