例說微積分知識(shí)中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用學(xué)士學(xué)位論文

1、學(xué)號(hào)：2004050049哈爾濱師范大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文題 目 例說微積分知識(shí)中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用哈 爾 濱 師 范 大 學(xué)學(xué)士學(xué)位論文開題報(bào)告論文題目 例說微積分知識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2009年 3 月課題來源：指導(dǎo)教師命題自擬題目課題研究的目的和意義： 目的是了解微積分的基本內(nèi)容和思想方法，從而使微積分應(yīng)用到中學(xué)數(shù)學(xué)解題中，使中學(xué)數(shù)學(xué)中的問題解法簡化，例如不等式的證明，數(shù)列求和問題，在解析幾何中也有巧妙的應(yīng)用，并且學(xué)習(xí)微積分可以培養(yǎng)學(xué)生辯證思維方法和數(shù)學(xué)觀念。國內(nèi)外同類課題研究現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢： 國內(nèi)：大有熱點(diǎn)之勢，有很多學(xué)者熱衷。國外：這方面相對(duì)比較發(fā)達(dá)，他們對(duì)數(shù)學(xué)起

2、步較早，已有一定的經(jīng)驗(yàn)。發(fā)展趨勢：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，抓好基礎(chǔ)概念，是非常重要的。有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生解題的實(shí)際能力。各種解題方法的正確理解和掌握又是鍛煉學(xué)生思維的多樣性課題研究的主要內(nèi)容和方法，研究過程中的主要問題和解決辦法： 首先給出了微積分的基本內(nèi)容與思想方法，并提出微積分時(shí)培養(yǎng)學(xué)生辯證思維方法的最佳內(nèi)容，之后討論了微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，并舉例說明微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中都有哪些巧妙的應(yīng)用，使解題得到簡化。課題研究起止時(shí)間和進(jìn)度安排：起止時(shí)間：2008年12月28日2009年4月20進(jìn)度安排：2008.12.282009.3.20 學(xué)習(xí)相關(guān)的理論知識(shí)并分析其在教學(xué)過程中的具體應(yīng)用;

3、撰寫課題方案。2009.3.212009.3.29 定期請(qǐng)教指導(dǎo)教師指導(dǎo)課題研究,請(qǐng)教相關(guān)問題,完成論文初稿。2009.4.62009.4.20 根據(jù)指導(dǎo)教師的意見和要求修改論文,完成成稿。課題研究所需主要設(shè)備、儀器及藥品：雜志、復(fù)印機(jī)、計(jì)算機(jī)、打印機(jī)等。外出調(diào)研主要單位，訪問學(xué)者姓名：指導(dǎo)教師審查意見：同意開題指導(dǎo)教師 （簽字） 年 月 日 教研室（研究室）評(píng)審意見：同意開題數(shù)學(xué)教育教研室（研究室）主任 （簽字） 年 月 日系（部）主任審查意見：同意開題 數(shù)學(xué)系 （部）主任 （簽字） 年 月 日畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）原創(chuàng)性聲明和使用授權(quán)說明原創(chuàng)性聲明本人鄭重承諾：所呈交的畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文），是我個(gè)人

4、在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的成果。盡我所知，除文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，不包含其他人或組織已經(jīng)發(fā)表或公布過的研究成果，也不包含我為獲得 及其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或?qū)W歷而使用過的材料。對(duì)本研究提供過幫助和做出過貢獻(xiàn)的個(gè)人或集體，均已在文中作了明確的說明并表示了謝意。作 者 簽 名： 日 期： 指導(dǎo)教師簽名： 日期： 使用授權(quán)說明本人完全了解 大學(xué)關(guān)于收集、保存、使用畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的規(guī)定，即：按照學(xué)校要求提交畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的印刷本和電子版本；學(xué)校有權(quán)保存畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的印刷本和電子版，并提供目錄檢索與閱覽服務(wù)；學(xué)?？梢圆捎糜坝　⒖s印、數(shù)字化或其它復(fù)制手段保存論文；在不以贏利為目

5、的前提下，學(xué)校可以公布論文的部分或全部內(nèi)容。作者簽名： 日 期： 學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的研究成果。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識(shí)到本聲明的法律后果由本人承擔(dān)。作者簽名： 日期： 年 月 日學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)校保留并向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán) 大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)

6、數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文。涉密論文按學(xué)校規(guī)定處理。作者簽名：日期： 年 月 日導(dǎo)師簽名： 日期： 年 月 日指導(dǎo)教師評(píng)閱書指導(dǎo)教師評(píng)價(jià)：一、撰寫（設(shè)計(jì)）過程1、學(xué)生在論文（設(shè)計(jì)）過程中的治學(xué)態(tài)度、工作精神 優(yōu) 良 中 及格 不及格2、學(xué)生掌握專業(yè)知識(shí)、技能的扎實(shí)程度 優(yōu) 良 中 及格 不及格3、學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和專業(yè)技能分析和解決問題的能力 優(yōu) 良 中 及格 不及格4、研究方法的科學(xué)性；技術(shù)線路的可行性；設(shè)計(jì)方案的合理性 優(yōu) 良 中 及格 不及格5、完成畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）期間的出勤情況 優(yōu) 良 中 及格 不及格二、論文（設(shè)計(jì)）質(zhì)量1、論文（設(shè)計(jì)）

7、的整體結(jié)構(gòu)是否符合撰寫規(guī)范？ 優(yōu) 良 中 及格 不及格2、是否完成指定的論文（設(shè)計(jì)）任務(wù)（包括裝訂及附件）？ 優(yōu) 良 中 及格 不及格三、論文（設(shè)計(jì)）水平1、論文（設(shè)計(jì)）的理論意義或?qū)鉀Q實(shí)際問題的指導(dǎo)意義 優(yōu) 良 中 及格 不及格2、論文的觀念是否有新意？設(shè)計(jì)是否有創(chuàng)意？ 優(yōu) 良 中 及格 不及格3、論文（設(shè)計(jì)說明書）所體現(xiàn)的整體水平 優(yōu) 良 中 及格 不及格建議成績： 優(yōu) 良 中 及格 不及格（在所選等級(jí)前的內(nèi)畫“”）指導(dǎo)教師： （簽名） 單位： （蓋章）年 月 日評(píng)閱教師評(píng)閱書評(píng)閱教師評(píng)價(jià)：一、論文（設(shè)計(jì)）質(zhì)量1、論文（設(shè)計(jì)）的整體結(jié)構(gòu)是否符合撰寫規(guī)范？ 優(yōu) 良 中 及格 不及格2、是否

8、完成指定的論文（設(shè)計(jì)）任務(wù)（包括裝訂及附件）？ 優(yōu) 良 中 及格 不及格二、論文（設(shè)計(jì)）水平1、論文（設(shè)計(jì)）的理論意義或?qū)鉀Q實(shí)際問題的指導(dǎo)意義 優(yōu) 良 中 及格 不及格2、論文的觀念是否有新意？設(shè)計(jì)是否有創(chuàng)意？ 優(yōu) 良 中 及格 不及格3、論文（設(shè)計(jì)說明書）所體現(xiàn)的整體水平 優(yōu) 良 中 及格 不及格建議成績： 優(yōu) 良 中 及格 不及格（在所選等級(jí)前的內(nèi)畫“”）評(píng)閱教師： （簽名） 單位： （蓋章）年 月 日教研室（或答辯小組）及教學(xué)系意見教研室（或答辯小組）評(píng)價(jià)：一、答辯過程1、畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）的基本要點(diǎn)和見解的敘述情況 優(yōu) 良 中 及格 不及格2、對(duì)答辯問題的反應(yīng)、理解、表達(dá)情況 優(yōu) 良

9、中 及格 不及格3、學(xué)生答辯過程中的精神狀態(tài) 優(yōu) 良 中 及格 不及格二、論文（設(shè)計(jì)）質(zhì)量1、論文（設(shè)計(jì)）的整體結(jié)構(gòu)是否符合撰寫規(guī)范？ 優(yōu) 良 中 及格 不及格2、是否完成指定的論文（設(shè)計(jì)）任務(wù)（包括裝訂及附件）？ 優(yōu) 良 中 及格 不及格三、論文（設(shè)計(jì)）水平1、論文（設(shè)計(jì)）的理論意義或?qū)鉀Q實(shí)際問題的指導(dǎo)意義 優(yōu) 良 中 及格 不及格2、論文的觀念是否有新意？設(shè)計(jì)是否有創(chuàng)意？ 優(yōu) 良 中 及格 不及格3、論文（設(shè)計(jì)說明書）所體現(xiàn)的整體水平 優(yōu) 良 中 及格 不及格評(píng)定成績： 優(yōu) 良 中 及格 不及格（在所選等級(jí)前的內(nèi)畫“”）教研室主任（或答辯小組組長）： （簽名）年 月 日教學(xué)系意見：系主任

10、： （簽名）年 月 日學(xué) 士 學(xué) 位 論 文題 目 例說微積分知識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 系 別 數(shù)學(xué)系學(xué) 院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院哈爾濱師范大學(xué)2009年4月例說微積分知識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用摘要：數(shù)學(xué)分析中的微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中有廣泛的應(yīng)用,可以起到以簡馭繁的作用，如在代數(shù)方程根的討論中、不等式的證明、恒等變形及恒等式證明、數(shù)列求和，在平面解析幾何中也有及其巧妙的應(yīng)用。使用微積分的方法，可使解法簡化，并能使問題得以深化和拓廣。此外，微積分可以培養(yǎng)學(xué)生辨證思維方法和數(shù)學(xué)觀念，從而能夠在以后的高等數(shù)學(xué)過程中得到更深一步的發(fā)展。關(guān)鍵詞：微積分 中學(xué)數(shù)學(xué) 極限 辯證思維微積分是以

11、數(shù)列為基礎(chǔ)，貫穿極限思想方法，突出微分、積分這對(duì)基本矛盾，及其內(nèi)在聯(lián)系微積分基本定理。下面介紹的是微積分的基本內(nèi)容以及基本思想方法，及其微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中解題中的應(yīng)用。此外中學(xué)數(shù)學(xué)中也可以應(yīng)用微積分來預(yù)測答案，確定初等解法的路線，構(gòu)造習(xí)題，檢測結(jié)果等。一、微積分的基本內(nèi)容以及思想方法微積分的基本內(nèi)容是由微分、積分、以及指出微分，積分是一對(duì)矛盾的微積分基本定理-牛頓萊布尼茨公式，這三個(gè)主要部分組成。極限、微分、積分概念，極限方法，微積分計(jì)算原理，運(yùn)動(dòng)辨證思想和數(shù)學(xué)觀念的培養(yǎng)，組成了微積分的知識(shí)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，極限概念和極限思想方法貫穿了微積分的全部內(nèi)容。從進(jìn)入高二階段學(xué)習(xí)的學(xué)生認(rèn)知水平來看，他們已開始

12、擺脫具體事務(wù)的形式，進(jìn)入具有形式邏輯的抽象，概括，分析，綜合，演繹，可歸納等一般化理論思維階段，并開始向更高級(jí)的思維-辨證思維形式發(fā)展。學(xué)習(xí)微積分這一具有豐富辨證思想的知識(shí)內(nèi)容是培養(yǎng)和發(fā)展中學(xué)生思維能力不可分割的部分。并且學(xué)習(xí)微積分也是現(xiàn)代社會(huì)對(duì)人才的要求，和大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容得以銜接，無論是繼續(xù)學(xué)習(xí)深造，還是步入社會(huì)在實(shí)踐中學(xué)習(xí)提高，初等微積分的學(xué)習(xí)都難能使學(xué)生體驗(yàn)和見識(shí)變量數(shù)學(xué)的思想方法，拓寬他們對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和思路，培養(yǎng)辨證思維方式，進(jìn)一步鍛煉和形成理性思維，以適應(yīng)科技迅速發(fā)展且競爭激烈的現(xiàn)代社會(huì)。無窮的方法，即極限思想方法是初等微積分的基本思想方法，所謂極限思想是用聯(lián)系變動(dòng)的觀點(diǎn)

13、，把所考察的對(duì)象（例如圓面積、變速運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度、曲邊梯形面積等）看作是某對(duì)象（內(nèi)接正n邊形的面積、勻速運(yùn)動(dòng)的物體的速度，小矩形面積之和）在無限變化過程中變化結(jié)果的思想（方法），它出發(fā)與對(duì)過程無限變化的考察，而這種考察總是與過程的某一特定的，有限的，暫時(shí)的結(jié)果有關(guān)，因此它體現(xiàn)了“從有限中找到無限，從暫時(shí)中找到永久，并且使之確定起來”的一種運(yùn)動(dòng)辨證思想，它不僅包括極限過程，而且又完成了極限過程。也就是說，它不僅是一個(gè)不斷擴(kuò)展式的“潛無窮”過程，又是完成了的“實(shí)無窮”，因此是“潛無窮”與“實(shí)無窮”的對(duì)立統(tǒng)一體，綜觀微積分的全部內(nèi)容，極限思想方法及其理論貫穿始終，是微積分的基礎(chǔ)。二、微積分的作用

14、微積分是培養(yǎng)學(xué)生辯證思維方法的最佳內(nèi)容。初等數(shù)學(xué)用的是靜態(tài)觀點(diǎn)，而微積分的用的是動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)；初等數(shù)學(xué)及決問題主要用的是形式變換方法，而微積分主要用的是矛盾轉(zhuǎn)化方法；初等數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)是形式邏輯，而微積分的邏輯基礎(chǔ)是辯證邏輯。下面將用辯證的觀點(diǎn)，分析與綜合相結(jié)合的方法，以案例的形式，對(duì)為什么微積分時(shí)培養(yǎng)學(xué)生辯證思維方法的最佳內(nèi)容作以比較全面的論述。案例1 極限概念的定義及其蘊(yùn)含的辯證思維方法。極限 一類變量無限變化趨勢的數(shù)學(xué)模型。 定義1 無窮數(shù)列:當(dāng)n趨向無窮大時(shí)，無限制逼近一個(gè)常數(shù)a,則稱a,為無窮數(shù)列的極限，記作或。點(diǎn)評(píng) （1）定義1直觀而生動(dòng)的顯示出，又有限到無限變化，再由無限變化轉(zhuǎn)化為

15、有限，這就是有限與無限相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系。 (2)定義1不足之處是只給極限概念的定性分析，而未上升到嚴(yán)格的量化分析。定義2設(shè)無窮數(shù)列與常數(shù)a,有如下關(guān)系：即對(duì)任給0，總存在相應(yīng)的正整數(shù)n，使得當(dāng)nn時(shí)，總有恒成立，則稱無窮數(shù)列以a為極限，記作。案例2 導(dǎo)數(shù)（微分）的定義及其蘊(yùn)含的辯證思維方法。導(dǎo)數(shù) 變量變化速度的數(shù)學(xué)模型。定義 設(shè)函數(shù)，分別為函數(shù)在點(diǎn)自變量的增量和相應(yīng)y的增量。若，當(dāng)時(shí)，極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，記作 點(diǎn)評(píng)（1）在此定義中采用了欲進(jìn)而先退的迂回方法，即先不直接正面探求，而退回到已知的平均變化率，再反其道而行之，有極限方法，將平均速度轉(zhuǎn)化為瞬時(shí)速度。（2）此定義充分體現(xiàn)了“退”

16、與“進(jìn)”的互補(bǔ)關(guān)系，近似于精確的互相轉(zhuǎn)化的辯證思維方法。案例3 定積分定義及其蘊(yùn)含的辯證思維方法定積分 求變量總量的數(shù)學(xué)模型。定義 如果函數(shù)，與常數(shù)a有如下關(guān)系，即對(duì)的任意分割t, 不論點(diǎn)如何取,總有，則稱函數(shù)在上可積，常數(shù)a叫做函數(shù)在上的積分，記作 點(diǎn)評(píng) 從定義可以看出有如下的辯證思維方法，“分”與“和”的辯證統(tǒng)一和互補(bǔ)關(guān)系；質(zhì)與量的互轉(zhuǎn)規(guī)律。上面用辯證思維分析的方法，揭示了微積分三個(gè)基本概念所蘊(yùn)含的辯證思維方法，由于微積分學(xué)的整個(gè)內(nèi)容是以這三個(gè)概念為核心而建構(gòu)起來的，所以整個(gè)微積分學(xué)的內(nèi)容充滿了辯證概念思維方法，這正是微積分學(xué)培養(yǎng)學(xué)生辯證思維方法的最佳載體的根本原因。 三、微積分在中學(xué)中的

17、應(yīng)用 積分的知識(shí)和方法在中學(xué)數(shù)學(xué)的許多問題上，都能起到以簡馭繁的作用，尤其是在不等式、恒等式及恒等邊形；求極值；研究函數(shù)的變化性態(tài)及左圖；求弧長、面積、體積等方面，不僅可使解題簡化，并能使問題的研究更深入、全面。(一)指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù) (二)等式的證明在研究變化過程中變量之間的相互制約關(guān)系時(shí)，更多的是不等式的研究，因此從某種意義上來說，對(duì)不等式的研究比等式更為長見，也更為重要，但不等式的證明方法多種多樣，沒有較為統(tǒng)一的方法，初等數(shù)學(xué)中經(jīng)常通過恒等變形、數(shù)學(xué)歸納法、二次型等方法解決，或運(yùn)用已有的基本不等式來證明，為此往往要進(jìn)行恒等變形，這需要較高的技巧。利用微積分的方法，例如微積分的中值定理

18、、函數(shù)的增減性、極值判定法、定積分的性質(zhì)等，可簡化不等式的證明過程，降低技巧性。例4:證明以下不等式（1） （2）證明：（1）設(shè)所以遞增又，故設(shè)由已證明的得結(jié)果：，知遞增且因y(0)=0,即知（2）設(shè)可知，所以遞增，又，得到，于是知道，即，也即例5：證 (b0,c0.a1)證明：設(shè) 因?yàn)椋?，所以為減函數(shù)，于是有，即特別地，當(dāng)b=c=1，有例6：試證證明：由定積分定義有：（三）恒等變形及恒等式證明 用初等方法證明恒等式，往往要有較高的技巧，用微積分的方法，就簡單許多，例如對(duì)sin3=3sin-4sin3兩端對(duì)求導(dǎo)，立即可得到cos3=4cos3-3cos.再如證明，也只要做短對(duì)x求導(dǎo)，且用特殊值

19、確定常數(shù)即可解決。雖然我們不用微積分的一套方法，取代中學(xué)數(shù)學(xué)里必須有的恒等變形的知識(shí)和技巧訓(xùn)練，但做為數(shù)學(xué)的輔助手段，尚是可取的，例7：證明當(dāng)證明：當(dāng)x=1時(shí)，顯然成立。當(dāng)則由中值定理得令代入上式得 所以證畢本題用初等解法也不很困難，但須討論，易出錯(cuò)。例8：求證證明：對(duì)兩端求導(dǎo)得令顯然，對(duì)應(yīng)于x的不同值，可得若干類似的恒等式例9；證明證明：對(duì)兩端從0到1積分即故 （四）數(shù)列求和中的應(yīng)用數(shù)列求和是中學(xué)階段數(shù)列部分的重要內(nèi)容之一，由許多初等解決方法。本段探討的是運(yùn)用微積分知識(shí)進(jìn)行數(shù)列求和的基本方法，從中可見高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的密切聯(lián)系。1微分知識(shí)在數(shù)列求和中的應(yīng)用首先證明一個(gè)等式：事實(shí)上利用二項(xiàng)式

20、定理有：而因而：當(dāng)時(shí)，兩邊同除以得：而當(dāng)時(shí)，左邊右邊則恒有：從式出發(fā)利用微分知識(shí)可推出以下求和公式：公式1：對(duì)式兩邊求導(dǎo)則有：令公式2：由式可知：兩邊求二階段導(dǎo)數(shù)則：令公式3：由式可知：x+2x2+3x3+nxn=兩邊求導(dǎo)得：令仿此：若式兩邊同時(shí)乘以x求導(dǎo)后令便會(huì)有：公式4：2，積分知識(shí)在數(shù)列求和中的應(yīng)用用首先由于項(xiàng)式定理：兩邊對(duì)從0到1求積分，則：所以故從而有公式5：如果兩邊對(duì)從0到2，則：便可得到：公式6：繼續(xù)推廣公式7：例10：求證：其巧妙證法可為：設(shè)，所以則：（五）在平面解析幾何中的妙用 這主要表現(xiàn)在用微積分方法求直線的斜率，有關(guān)二次曲線的切線、法線、和某些點(diǎn)的軌跡問題，都可以用微積分

21、法解決，致使二次曲線的一般問題要用到多元微積分知識(shí)，在中學(xué)平面解析幾何中，不能做深入研究。但是，類似的問題在各類考試中時(shí)有出現(xiàn)，他們用初等方法去解比較困難，用微分法知識(shí)去做，則很簡單。例11：如圖已知橢圓的面積的最小值為解：易求直線cd：。設(shè)切點(diǎn)，顯見過點(diǎn)與cd平行的切線ef和cd的距離為最小。在x軸上方，橢圓方程為，因而，所以，故，由點(diǎn)到直線距離公式得p0到cd距離為，從廁最小為例12：設(shè)m是橢圓，上不是頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，求過m點(diǎn)的切線方程。解：用隱含數(shù)求導(dǎo)法則得，所以過點(diǎn)m的切線方程為：，進(jìn)一步整理得：類似的方法可求得雙曲線、拋物線的切線方。例13：過點(diǎn)a（2，1）的直線i與雙曲線交于點(diǎn)p1和

22、p2，求線段p1p2中點(diǎn)的軌跡。這個(gè)問題用初等解法比較困難，我們先用微分中值定理建立一般的方法，再去解決它。若則由于元函數(shù)微分中值定理得，其中是點(diǎn)m（x,y）和點(diǎn)的連接線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)滿足隱含數(shù)存在性定理的條件時(shí)，方程確定了平面上的一條直線，設(shè)m和m1在此曲線上，若，由得利用這個(gè)結(jié)果證題：解：設(shè)p點(diǎn)的坐標(biāo)為弦的斜率為k，則得又點(diǎn)p和點(diǎn)a都在p1p2上，所以整理得 （五）在函數(shù)中的應(yīng)用1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例14：已知確定的單調(diào)區(qū)間，并加以證明。解：（1） 由故在上為減函數(shù)。 ，遞增區(qū)間：遞增區(qū)間： 綜上可知在下為減函數(shù)，在上為增函數(shù)。從上可以獲知如果一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性已知，那么函數(shù)的最大（?。┲狄?/p>

23、就水到渠成了。求函數(shù)的最大（?。┲?，還有另一種思路，即計(jì)算函數(shù)在拐點(diǎn)處遇區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值。2 求根式函數(shù)的最大（?。┲道?5：函數(shù)的值域是解：先求定義域：1993x1994得駐點(diǎn)，計(jì)算駐點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，得，可知，故值域是3、方程根的討論例16試證:當(dāng)0a1時(shí),方程ax=x有唯一解,(0,1).證明設(shè)f(x)=ax-x,則當(dāng)0a0,f(1) = a-10,所以由連續(xù)函數(shù)介值定理知,f(x) =0在(0,1)上有解,即 (0,1),使a=,此外,因?yàn)閒(x) = axlna-10,所以f(x)在(-,+)上單調(diào)遞減,故方程ax= x在(-,+)

24、上只有一個(gè)根。由結(jié)論可知,當(dāng)0 a1時(shí),y= ax的圖像與直線y = x有且只有一個(gè)交點(diǎn)。關(guān)于函數(shù)y =ax的圖象與直線y = x是否有交點(diǎn)的問題,可通過對(duì)方程ax= x根的討論得到完滿的解答4、求分式函數(shù)的最大（小）值例17：求實(shí)數(shù)a取值范圍，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x和任意解：易知原命題等價(jià)于：設(shè)，上述二式可轉(zhuǎn)化為：與令，得駐點(diǎn)只需計(jì)算于是令計(jì)算5、.函數(shù)的變化性態(tài)及作圖函數(shù)的圖象以其直觀性有著別的工具不可替代的作用,特別是在說明一個(gè)函數(shù)的整體情況及其特征的時(shí)候,其作用尤為明顯,這就要求我們能正確地作出函數(shù)的圖象。中學(xué)教材在介紹二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)等函數(shù)時(shí),通常用描點(diǎn)法作出函數(shù)的圖像。這種

25、圖像一般是粗糙的,不一定能準(zhǔn)確地反映曲線在一些點(diǎn)和區(qū)間上的性態(tài)。利用導(dǎo)數(shù)作為工具,可有效地對(duì)函數(shù)的增減性、極值點(diǎn)、凹凸性等重要性態(tài)和關(guān)鍵點(diǎn)作出準(zhǔn)確的判斷,從而比較準(zhǔn)確地作出函數(shù)的圖象。一般來說,描繪函數(shù)的圖像可以按以下步驟進(jìn)行:(1)求出函數(shù)f(x)的定義域,確定圖像范圍。(2)判別函數(shù)f(x)是否具有奇偶性或周期性,縮小描繪圖像的范圍。(3)求函數(shù)f(x)的不連續(xù)點(diǎn),并討論函數(shù)在不連續(xù)點(diǎn)的左、右變化情況,可能存在極限,也可能趨向無窮(此時(shí)有垂直漸近線)。如果函數(shù)定義域是無限區(qū)間,則要討論當(dāng)| x |無限增加時(shí),f(x)的變化趨勢,若存在極限,則有水平漸近線;若趨于無窮,應(yīng)考慮是否有斜漸近線。

26、(4)計(jì)算函數(shù)f(x)的一、二階導(dǎo)數(shù),并求解f(x) =0和f(x) =0,討論f(x)的單調(diào)性、局部極值、凹凸性與拐點(diǎn),列表。(5)計(jì)算曲線的穩(wěn)定點(diǎn)、局部極值點(diǎn)、拐點(diǎn)的坐標(biāo)以及曲線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)。(6)在直角坐標(biāo)系中,標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo),畫出漸近線,再按討論的性態(tài)逐段描繪綜上所述,微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)的幾個(gè)應(yīng)用中技巧獨(dú)特,它使我們發(fā)現(xiàn),一個(gè)完整的“解題單元”總是不同程度地包含:“陌生結(jié)構(gòu)發(fā)散思維、求異思維熟悉結(jié)構(gòu)不斷嘗試解題實(shí)現(xiàn)回顧解題、推廣經(jīng)驗(yàn)”這一過程在這一過程中,頻繁的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換是慣用的希望這一過程能夠帶給學(xué)習(xí)者一些啟發(fā)。參考文獻(xiàn)1錢珮玲，邵光華：數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)，北京師范大學(xué)出版社

27、，1999年7月2張奠宙，鄒一心：現(xiàn)代數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)，上海教育出版社，1990年9月3龔彥琴：數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2006年第1期 calculus in the application of secondary mathematics questionstan xiang-weiabstract: mathematical analysis of the infinitesimal calculus in secondary mathematics questions are broad applications can play a short drive to the complex role

28、, as in algebra equation roots discussions, the kids prove, hang, deformation and hang equation certificates, series while in horizontal analytic geometry, and have ingenious applications. use infinitesimal calculus methods enable solutions to simplify and enable problems to deepen and broaden. furt

29、hermore, infinitesimal calculus students can develop standard ways of thinking and mathematical concepts that can in future be deeper step higher math course development.key words: infinitesimal calculus；secondary mathematic；limit；dialectical thought論文（設(shè)計(jì)）題目 例說微積分知識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用作 者譚相煒指導(dǎo)教師張宏偉指導(dǎo)教師職稱副教授評(píng)

30、閱人評(píng)閱人職稱意 見 本文結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，重點(diǎn)突出，論據(jù)翔實(shí)，層次清晰。舉例能夠很好說明微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，該文有一定的深度、廣度及獨(dú)到之處。是一篇合格學(xué)士學(xué)位論文評(píng)閱人簽字評(píng)閱意見論文評(píng)閱人意見指導(dǎo)教師評(píng)語頁論文（設(shè)計(jì)）題目例說微積分知識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用作 者譚相煒指導(dǎo)教師張宏偉職 稱副教授評(píng) 語該論文從五個(gè)方面微積分在數(shù)學(xué)解題方面的應(yīng)用。論文選題有意義，內(nèi)容比較完整，論證較充分，研究思路清晰，層次清楚。語句比較流暢，格式規(guī)范，論點(diǎn)比較明確，論據(jù)比較充分，研究結(jié)果有一定的意義。指導(dǎo)教師簽字論文等級(jí)論文評(píng)閱人意見論文（設(shè)計(jì)）題目例說微積分知識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用作 者譚相煒指導(dǎo)教師

31、張宏偉指導(dǎo)教師職稱副教授評(píng)閱人評(píng)閱人職稱意 見 本論文選題有一定的意義，論證充分，論點(diǎn)突出，注重尋找出存在之問題，并找出解決的辦法，對(duì)實(shí)踐有一定的指導(dǎo)意義，達(dá)到學(xué)士論文的標(biāo)準(zhǔn)。評(píng)閱人簽字評(píng)閱意見本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）答辯過程記錄院系 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 專業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年級(jí)2005級(jí) 答辯人姓名 譚相煒 學(xué)號(hào) 2004050049 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目 例說微積分在知識(shí)中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）答辯過程記錄：答辯是否通過：通過（ ） 未通過（ ）記錄員 答辯小組組長簽字 年 月 日 年 月 日本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）答辯登記表院（系）：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級(jí)：2005級(jí)論

32、文（設(shè)計(jì)）題目：例說微積分知識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用答辯人：譚相煒學(xué)號(hào)：2004050049評(píng)閱人：指導(dǎo)教師：張宏偉 論文（設(shè)計(jì)）等級(jí)：答辯小組成員：答辯小組意見：秘書簽名： 年 月 日論文（設(shè)計(jì)）答辯是否通過：通過（ ） 未通過（ ）論文（設(shè)計(jì)）最終等級(jí)：答辯小組組長簽名：答辯委員會(huì)主席簽名：學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作所取得的成果。盡我所知，除文中已經(jīng)特別注明引用的內(nèi)容和致謝的地方外，本論文不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式注明并表示感謝。本人完全意識(shí)到本聲

33、明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。學(xué)位論文作者（本人簽名）： 年 月 日學(xué)位論文出版授權(quán)書本人及導(dǎo)師完全同意中國博士學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫出版章程、中國優(yōu)秀碩士學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫出版章程(以下簡稱“章程”)，愿意將本人的學(xué)位論文提交“中國學(xué)術(shù)期刊（光盤版）電子雜志社”在中國博士學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫、中國優(yōu)秀碩士學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫中全文發(fā)表和以電子、網(wǎng)絡(luò)形式公開出版，并同意編入cnki中國知識(shí)資源總庫，在中國博碩士學(xué)位論文評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)庫中使用和在互聯(lián)網(wǎng)上傳播，同意按“章程”規(guī)定享受相關(guān)權(quán)益。論文密級(jí)：公開保密（_年_月至_年_月）(保密的學(xué)位論文在解密后應(yīng)遵守此協(xié)議)作者簽名：_ 導(dǎo)師簽名：_年_月_日 _年_月_

34、日獨(dú) 創(chuàng) 聲 明本人鄭重聲明：所呈交的畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)，是本人在指導(dǎo)老師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果，成果不存在知識(shí)產(chǎn)權(quán)爭議。盡我所知，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本設(shè)計(jì)（論文）不含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品成果。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體均已在文中以明確方式標(biāo)明。本聲明的法律后果由本人承擔(dān)。作者簽名: 二一年九月二十日畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）使用授權(quán)聲明本人完全了解濱州學(xué)院關(guān)于收集、保存、使用畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的規(guī)定。本人愿意按照學(xué)校要求提交學(xué)位論文的印刷本和電子版，同意學(xué)校保存學(xué)位論文的印刷本和電子版，或采用影印、數(shù)字化或其它復(fù)制手段保存設(shè)計(jì)（論文）；同意學(xué)校在不以營利為目的的前提下，建立目錄檢索與閱覽服務(wù)系統(tǒng)，公布設(shè)計(jì)（論文）的部分或全部內(nèi)容，允許他人依法合理使用。（保密論文在解密后遵守此規(guī)定）作者