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1、第第2節(jié)直接證明與間接證明節(jié)直接證明與間接證明 最新考綱1.了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合 法;了解分析法和綜合法的思考過程和特點(diǎn);2.了解間接證明 的一種基本方法反證法;了解反證法的思考過程和特點(diǎn). 1.直接證明 知知 識(shí)識(shí) 梳梳 理理 內(nèi)容綜合法分析法 定義 利用已知條件和某 些數(shù)學(xué)定義、公理、 定理等,經(jīng)過一系 列的推理論證,最 后推導(dǎo)出所要證明 的結(jié)論成立 從要證明的結(jié)論出發(fā),逐 步尋求使它成立的_ 條件,直到最后把要證明 的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明 顯成立的條件(已知條件、 定理、定義、公理等)為止 充分 2.間接證明 間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法,反證法是一 種常用
2、的間接證明方法. (1)反證法的定義:假設(shè)原命題_(即在原命題的條 件下,結(jié)論不成立),經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,因 此說明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明了_的證明方法. (2)用反證法證明的一般步驟:反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論 不成立;歸謬根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到推出矛盾為止; 結(jié)論斷言假設(shè)不成立,從而肯定原命題的結(jié)論成立. 不成立 原命題成立 1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”) (1)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋找使結(jié)論成立的 充要條件.() (2)用反證法證明結(jié)論“ab”時(shí),應(yīng)假設(shè)“ab”.() (3)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定,推出矛盾.() (4)在解決問題時(shí),常用分析法尋找解題的思路與方
3、法,再 用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程.() 診診 斷斷 自自 測(cè)測(cè) 解析(1)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋找使結(jié)論成 立的充分條件. (2)應(yīng)假設(shè)“ab”. (3)反證法只否定結(jié)論. 答案(1)(2)(3)(4) 解析a2aba(ab),ab0,ab0, a2ab. 又abb2b(ab)0,abb2, 由得a2abb2. 答案B 解析a2b21a2b20(a21)(b21)0. 答案D 4.用反證法證明:若整系數(shù)一元二次方程ax2bxc0(a0) 有有理數(shù)根,那么a,b,c中至少有一個(gè)是偶數(shù).用反證法證 明時(shí),下列假設(shè)正確的是() A.假設(shè)a,b,c都是偶數(shù) B.假設(shè)a,b,c都不是偶數(shù)
4、C.假設(shè)a,b,c至多有一個(gè)偶數(shù) D.假設(shè)a,b,c至多有兩個(gè)偶數(shù) 解析“至少有一個(gè)”的否定為“都不是”,故B正確. 答案B 5.(選修22P85例1改編)在ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì) 邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數(shù)列,a,b,c成等比 數(shù)列,則ABC的形狀為_. 答案等邊三角形 規(guī)律方法1.綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法,它是一種從 已知到未知(從題設(shè)到結(jié)論)的邏輯推理方法,即從題設(shè)中的已 知條件或已證的真實(shí)判斷(命題)出發(fā),經(jīng)過一系列中間推理, 最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實(shí)性. 2.綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理. 考點(diǎn)二分析法的應(yīng)用考點(diǎn)二分析法的應(yīng)用 【例2】 已知a
5、b0,求證:2a3b32ab2a2b. 證明要證明2a3b32ab2a2b成立, 只需證2a3b32ab2a2b0, 即2a(a2b2)b(a2b2)0, 即(ab)(ab)(2ab)0. ab0,ab0,ab0,2ab0, 從而(ab)(ab)(2ab)0成立, 2a3b32ab2a2b. 規(guī)律方法1.逆向思考是用分析法證題的主要思想,通過反推, 逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件.正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題 順利獲解的關(guān)鍵. 2.證明較復(fù)雜的問題時(shí),可以采用兩頭湊的辦法,即通過分 析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論,然后通過綜合 法證明這個(gè)中間結(jié)論,從而使原命題得證. 只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc), 需證c2a2acb2, 又ABC三內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,故B60, 由余弦定理,得b2c2a22accos 60, 即b2c2a2ac,故c2a2acb2成立. 于是原等式成立. 規(guī)律方法1.當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”、“至少”、 “唯一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí),可用反證法來證,反證法關(guān) 鍵是在正確的推理下得出矛盾,矛盾可以是與已知條件矛
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