第十二章 第2節(jié)

1、第第2節(jié)直接證明與間接證明節(jié)直接證明與間接證明 最新考綱1.了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合 法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點(diǎn)；2.了解間接證明 的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程和特點(diǎn). 1.直接證明 知知 識(shí)識(shí) 梳梳 理理 內(nèi)容綜合法分析法 定義 利用已知條件和某 些數(shù)學(xué)定義、公理、 定理等，經(jīng)過一系 列的推理論證，最 后推導(dǎo)出所要證明 的結(jié)論成立 從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐 步尋求使它成立的_ 條件，直到最后把要證明 的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明 顯成立的條件(已知條件、 定理、定義、公理等)為止 充分 2.間接證明 間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法，反證法是一 種常用

2、的間接證明方法. (1)反證法的定義：假設(shè)原命題_(即在原命題的條 件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因 此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了_的證明方法. (2)用反證法證明的一般步驟：反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論 不成立；歸謬根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，直到推出矛盾為止； 結(jié)論斷言假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立. 不成立 原命題成立 1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”) (1)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的 充要條件.() (2)用反證法證明結(jié)論“ab”時(shí)，應(yīng)假設(shè)“ab”.() (3)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定，推出矛盾.() (4)在解決問題時(shí)，常用分析法尋找解題的思路與方

3、法，再 用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程.() 診診 斷斷 自自 測(cè)測(cè) 解析(1)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成 立的充分條件. (2)應(yīng)假設(shè)“ab”. (3)反證法只否定結(jié)論. 答案(1)(2)(3)(4) 解析a2aba(ab)，ab0，ab0， a2ab. 又abb2b(ab)0，abb2， 由得a2abb2. 答案B 解析a2b21a2b20(a21)(b21)0. 答案D 4.用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程ax2bxc0(a0) 有有理數(shù)根，那么a，b，c中至少有一個(gè)是偶數(shù).用反證法證 明時(shí)，下列假設(shè)正確的是() A.假設(shè)a，b，c都是偶數(shù) B.假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)

4、C.假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)偶數(shù) D.假設(shè)a，b，c至多有兩個(gè)偶數(shù) 解析“至少有一個(gè)”的否定為“都不是”，故B正確. 答案B 5.(選修22P85例1改編)在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì) 邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比 數(shù)列，則ABC的形狀為_. 答案等邊三角形 規(guī)律方法1.綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法，它是一種從 已知到未知(從題設(shè)到結(jié)論)的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已 知條件或已證的真實(shí)判斷(命題)出發(fā)，經(jīng)過一系列中間推理， 最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實(shí)性. 2.綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理. 考點(diǎn)二分析法的應(yīng)用考點(diǎn)二分析法的應(yīng)用 【例2】 已知a

5、b0，求證：2a3b32ab2a2b. 證明要證明2a3b32ab2a2b成立， 只需證2a3b32ab2a2b0， 即2a(a2b2)b(a2b2)0， 即(ab)(ab)(2ab)0. ab0，ab0，ab0，2ab0， 從而(ab)(ab)(2ab)0成立， 2a3b32ab2a2b. 規(guī)律方法1.逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推， 逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件.正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題 順利獲解的關(guān)鍵. 2.證明較復(fù)雜的問題時(shí)，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分 析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合 法證明這個(gè)中間結(jié)論，從而使原命題得證. 只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc)， 需證c2a2acb2， 又ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B60， 由余弦定理，得b2c2a22accos 60， 即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立. 于是原等式成立. 規(guī)律方法1.當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”、“至少”、 “唯一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí)，可用反證法來證，反證法關(guān) 鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛