函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題課分析

1、第十講 函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題課函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題課函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題課一、內(nèi)容小結(jié)二、題型練習(xí)函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題課函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題課一、內(nèi)容小結(jié)二、題型練習(xí)連續(xù)的概念連續(xù)的概念定義定義注意注意優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)yx 0lim0)()(lim000 xfxxfx是變量是變量x 直觀、直觀、 便于分析便于分析 )(lim0 xfxx)(lim0 xfxx )(0 xf 左連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)右連續(xù)三個(gè)要點(diǎn)三個(gè)要點(diǎn)便于應(yīng)用便于應(yīng)用自然、自然、, 0 0 當(dāng)當(dāng) |0 xx時(shí)時(shí) | )()(|0 xfxfx可以等于可以等于0 x清晰、便于論證清晰、便于論證間斷的概念與分類間斷的概念與分類u概念概念在在處沒(méi)有定義處沒(méi)有定義)(x

2、f0 x在在處有定義處有定義)(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在在在處有定義處有定義)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在但但)()(lim00 xfxfxx 但但u分類分類間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)和和)( 0 xf)( 0 xf都存在都存在第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)和和)( 0 xf)( 0 xf至少一個(gè)不存在至少一個(gè)不存在第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn))()( 00 xfxf可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn))()( 00 xfxf跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函

3、數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)過(guò)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)過(guò)四則運(yùn)算仍連續(xù)初等函數(shù)初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)u有界性與最大值最小值定理有界性與最大值最小值定理u零點(diǎn)定理與介值定理零點(diǎn)定理與介值定理函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題課函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題課一、內(nèi)容小結(jié)二、題型練習(xí)函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題課函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題課一、內(nèi)容小結(jié)二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間斷點(diǎn)的判定（三）分段函數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間斷點(diǎn)的判定（三）分段函數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題(1)(6)(2)(

4、xf在在0 x處連續(xù)，處連續(xù)，)( xf在在0 x處也連續(xù)處也連續(xù). .(3)( xf在在0 x處連續(xù)，處連續(xù)，)( xg在在0 x處不連續(xù)處不連續(xù))()(xgxf 在在0 x處一定不連續(xù)處一定不連續(xù). .(4)( xf在在0 x處不連續(xù)，處不連續(xù)，)( xg在在0 x處不連續(xù)處不連續(xù))()(xgxf 在在0 x處一定不連續(xù)處一定不連續(xù). .)(xf在在 ba,上不連續(xù)，則上不連續(xù)，則)( xf在在 ba,上無(wú)界上無(wú)界(5)一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù). .u例例1 1判斷下列說(shuō)法的正確性判斷下列說(shuō)法的正確性)(xf在在0 x處連續(xù)，處連續(xù)，在在0 x處也連續(xù)處也連

5、續(xù). .| )(|xf二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間斷點(diǎn)的判定（三）分段函數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間斷點(diǎn)的判定（三）分段函數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題找間斷點(diǎn)找間斷點(diǎn)初等函數(shù)初等函數(shù)分段函數(shù)分段函數(shù)無(wú)定義的點(diǎn)無(wú)定義的點(diǎn)分段點(diǎn)（嫌疑）分段點(diǎn)（嫌疑）判類型判類型 求極限求極限求連續(xù)區(qū)間求連續(xù)區(qū)間 有定義的開(kāi)區(qū)間有定義的開(kāi)區(qū)間討論分段點(diǎn)的連續(xù)性討論分段點(diǎn)的連續(xù)性合并合并間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)無(wú)定義的點(diǎn)無(wú)定義的點(diǎn)思路思路u例例2xxxxxf111111 )(xxxfsin)( 確定下列函數(shù)的間斷點(diǎn)確定下列函數(shù)的間斷點(diǎn), ,判

6、斷類型判斷類型, ,并求連續(xù)區(qū)間并求連續(xù)區(qū)間分開(kāi)討論分開(kāi)討論討論全面討論全面xxxxxf)(sin)()(112 討論左右極限討論左右極限xxfln)(1 x=0=0也是間斷點(diǎn)也是間斷點(diǎn)111 xxexf)(注意指數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)注意指數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)(1)(2)(3)(4)(5)011sin)1ln(0sin)(23xxxxxxxxf1112cos)(xxxxxfu補(bǔ)補(bǔ)1 1010sin)(xxxxxf確定下列函數(shù)的間斷點(diǎn)確定下列函數(shù)的間斷點(diǎn), ,判斷類型判斷類型, ,并求連續(xù)區(qū)間并求連續(xù)區(qū)間xxf1arctan)(xxxf2tan)(1212)(11xxxf(6)(7)(1)(2)(3)(4)二、

7、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間斷點(diǎn)的判定（三）分段函數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間斷點(diǎn)的判定（三）分段函數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題u例例3 3確定常數(shù)確定常數(shù)a, ,b使函數(shù)使函數(shù)011ln1010cos1sin)(xbxxxxxaxxf在在x=0=0處連續(xù)處連續(xù). .u補(bǔ)補(bǔ)2 2確定常數(shù)確定常數(shù)a, ,b使函數(shù)使函數(shù)1000111)21ln()(2xbxxaxxxxxf在在x=0=0處連續(xù)處連續(xù). .u例例4 4設(shè)設(shè) 11xxaxxf)( 002xxxbxg)(確定確定a, ,b使使)()(xgxf 在在),( 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連

8、續(xù). .u例例5 5設(shè)設(shè)21)(,lim)(xxgnnnnxfxxxxn 討論復(fù)合函數(shù)討論復(fù)合函數(shù))(xgf在在內(nèi)的連續(xù)性內(nèi)的連續(xù)性. .及及)(xfg),( u例例6 6討論討論nnnnnxxxxxf 2lim)(的連續(xù)性的連續(xù)性. .u例例7 7u補(bǔ)補(bǔ)3 3討論討論xxxxxfnnnn 112121lim)(的連續(xù)性的連續(xù)性. .設(shè)設(shè),1lim)(2212 nnnxbxaxxxf確定常數(shù)確定常數(shù)a, ,b使使)(xf在在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .),( 二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間斷點(diǎn)的判定（三）分段函數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間

9、斷點(diǎn)的判定（三）分段函數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題u例例8 8u補(bǔ)補(bǔ)4 4u例例9 9設(shè)設(shè)bxaeaxf 1)(a, ,b為常數(shù)且為常數(shù)且確定常數(shù)確定常數(shù)a, ,b的正負(fù)并求的正負(fù)并求 lim ( ).xf x, 0)(lim xfx在在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,),( 且且有無(wú)窮間斷點(diǎn)有無(wú)窮間斷點(diǎn)設(shè)設(shè))()(1 xxaexfx0 x及可去間斷點(diǎn)及可去間斷點(diǎn)試求常數(shù)試求常數(shù)a的值的值. ., 1 x有無(wú)窮間斷點(diǎn)有無(wú)窮間斷點(diǎn)設(shè)設(shè))()(1 xaxbexfx0 x及可去間斷點(diǎn)及可去間斷點(diǎn)試求常數(shù)試求常數(shù)a,b的值的值. ., 1 x二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間斷點(diǎn)的判定（三）分段函

10、數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題二、題型練習(xí)二、題型練習(xí)（一）辨析題（二）間斷點(diǎn)的判定（三）分段函數(shù)的連續(xù)性（四）確定常數(shù)（五）證明題( (五五) ) 證明題證明題1連續(xù)的概念2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)( (五五) ) 證明題證明題1連續(xù)的概念2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)u例例1010u補(bǔ)補(bǔ)5 5u例例1111u補(bǔ)補(bǔ)6 6設(shè)設(shè)xexf )(在在0 x處連續(xù)處連續(xù), ,證明證明)(xf在在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .),( 設(shè)設(shè))()(,)(xfxgf 00)(xf在在0 x處連續(xù)處連續(xù), ,證明證明)(xf在在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .),( )()()(R,212121xfxfxxfxx 設(shè)設(shè))(xf在在0 x

11、處連續(xù)處連續(xù), ,證明證明)(xf在在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .),( 在在)(xf)()()(R,212121xfxfxxfxx 設(shè)設(shè)0 x處連續(xù)處連續(xù), ,證明證明)(xf在在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .),( ( (五五) ) 證明題證明題1連續(xù)的概念2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)( (五五) ) 證明題證明題1連續(xù)的概念2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)2 2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)（1）有界性與最值性（2）零點(diǎn)定理（3）介值定理2 2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)（1）有界性與最值性（2）零點(diǎn)定理（3）介值定理u例例1313u補(bǔ)補(bǔ)8 8u例例1212u補(bǔ)補(bǔ)7 7證明證明BxfAxfbxax

12、)(lim,)(lim設(shè)設(shè))(xf在在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,)(xf在在),(ba內(nèi)有界內(nèi)有界. .),(ba設(shè)設(shè))(xf在在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,),( aBxfAxfxax )(lim,)(lim證明證明)(xf在在),( a內(nèi)有界內(nèi)有界. .內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,證明證明內(nèi)取得最小值內(nèi)取得最小值. . )(limxfx設(shè)設(shè))(xf在在),( )(xf在在),( 證明證明內(nèi)取得最小值內(nèi)取得最小值. . )(lim)(limxfxfaxax設(shè)設(shè))(xf在在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,),(ba)(xf在在),(ba2 2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)（1）有界性與最值性（2）零點(diǎn)定理（3）介值定理2 2

13、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)（1）有界性與最值性（2）零點(diǎn)定理（3）介值定理（2 2）零點(diǎn)定理）零點(diǎn)定理u例例1414 證明證明01 xxsin在在 22 ,內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根. .u例例1515 證明奇次多項(xiàng)式證明奇次多項(xiàng)式)()(001221120 aaxaxaxpnnn至少有一個(gè)實(shí)根至少有一個(gè)實(shí)根. .u例例1616證明證明0332211 xaxaxa),(3213210 aaa在在),(),(3221 內(nèi)各有一個(gè)實(shí)根內(nèi)各有一個(gè)實(shí)根. .方程根的存在性方程根的存在性（2 2）零點(diǎn)定理）零點(diǎn)定理構(gòu)造輔助函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)u例例1717u例例1818u補(bǔ)補(bǔ)設(shè)設(shè))(xf在在2 , 0a證明證明上連續(xù)上連續(xù), ,)()(aff20 )()(axfxf2 在在上至少有一個(gè)實(shí)根上至少有一個(gè)實(shí)根. ., 0a設(shè)設(shè)為連續(xù)函數(shù)，其定義域和值域都是為連續(xù)函數(shù)，其定義域和值域都是證明存在證明存在,ba 使使.)( f)(xf,ba)()(),()(bgbfagaf 設(shè)設(shè))(),(xgxf上的兩個(gè)連續(xù)函數(shù)，上的兩個(gè)連續(xù)函數(shù)，是是證明