高等數(shù)學(xué)D111對(duì)弧長和曲線積分課件

1、2021-10-11高等數(shù)學(xué)D111對(duì)弧長和曲線積分第十一章積分學(xué) 定積分二重積分三重積分積分域 區(qū)間域 平面域 空間域 曲線積分曲線積分曲線域曲線域曲面域曲面域曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對(duì)弧長的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分 2021-10-11高等數(shù)學(xué)D111對(duì)弧長和曲線積分第一節(jié)一、對(duì)弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一型曲線積分 第十一章 2021-10-11高等數(shù)學(xué)D111對(duì)弧長和曲線積分AB一、對(duì)弧長

2、的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長構(gòu)件在空間所占弧段為AB , 其線密度為),(zyx“大化小, 常代變, 近似和, 求極限” kkkks),(可得nk 10limM為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (其中 為 n 個(gè)小弧段的最大長度)2021-10-11高等數(shù)學(xué)D111對(duì)弧長和曲線積分設(shè) 是空間中一條有限長的光滑曲線,義在 上的一個(gè)有界函數(shù), kkkksf),(都存在,),(zyxf上對(duì)弧長的曲線積分,記作szyxfd),(若通過對(duì) 的任意分割局部的任意取點(diǎn), 2. .定

3、義定義是定),(zyxf下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.),(zyxf稱為被積函數(shù)， 稱為積分弧段 .曲線形構(gòu)件的質(zhì)量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和對(duì)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-11高等數(shù)學(xué)D111對(duì)弧長和曲線積分如果 L 是 xoy 面上的曲線弧 ,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果 L 是閉曲線 , 則記為.d),(Lsyxf則定義對(duì)弧長的曲線積分為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么問Ls(2) 定積分是否可看作對(duì)弧長曲

4、線積分的特例 ? 否! 對(duì)弧長的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中dx 可能為負(fù).2021-10-11高等數(shù)學(xué)D111對(duì)弧長和曲線積分3. 性質(zhì)性質(zhì)szyxfd ),() 1 (szyxfkd),()2(（k 為常數(shù))szyxfd),()3( 由 組成) 21, sd)4( l 為曲線弧 的長度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(szyxfkd),(l21d),(d),(szyxfszyxf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-11高等數(shù)學(xué)D111對(duì)弧長和曲線積分tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22二、對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)弧長的曲線積

5、分的計(jì)算法基本思路基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn) 化定理定理:),(yxf設(shè)且)()(tty上的連續(xù)函數(shù),證證:是定義在光滑曲線弧則曲線積分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲線積分根據(jù)定義 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-11高等數(shù)學(xué)D111對(duì)弧長和曲線積分, ,1kkktt點(diǎn)),(kktttskkttkd)()(122,)()(22kkktnk 10limLsyxfd),(kkkt)()(22 )(, )(kkf連續(xù)注意)()(22tt設(shè)各分點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為), 1 ,0(nktk對(duì)應(yīng)參數(shù)為 則,1kkkttnk 10limkk

6、kt)()(22 )(, )(kkf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-11高等數(shù)學(xué)D111對(duì)弧長和曲線積分xdydsdxyoLsyxfd),(tttttfd)()()(),(22說明說明:, 0, 0) 1 (kkts因此積分限必須滿足!(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法”. 因此機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-11高等數(shù)學(xué)D111對(duì)弧長和曲線積分如果曲線 L 的方程為),()(bxaxy則有Lsyxfd),(如果方程為極坐標(biāo)形式:),()(: rrL則syxfLd),()sin)(,cos)(rr

7、f推廣推廣: 設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為)()(, )(),(:ttztytx則szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-11高等數(shù)學(xué)D111對(duì)弧長和曲線積分例例1. 計(jì)算,dLsx其中L是拋物線2xy 與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上點(diǎn) O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 202

8、1-10-11高等數(shù)學(xué)D111對(duì)弧長和曲線積分例例2. 計(jì)算半徑為 R ,中心角為2的圓弧 L 對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I (設(shè)線密度 = 1). 解解: 建立坐標(biāo)系如圖,RxyoLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23 R0342sin22 R)cossin(3 R則 )(sincos:RyRxL機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 sd2021-10-11高等數(shù)學(xué)D111對(duì)弧長和曲線積分例例3. 計(jì)算,dsxIL其中L為雙紐線)0()()(222222ayxayx解解: 在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為)40(2cos:1 arL利用對(duì)稱性 , 得sxILd4140

9、22d)()(cos)(4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLyox機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 sd2021-10-11高等數(shù)學(xué)D111對(duì)弧長和曲線積分例例4. 有一半圓弧cosRx ),0(其線密度 ,2解解:cosdd2RskFxdcos2Rksindd2RskFydsin2RkRRoxy0dcos2RkFx0dsin2RkFy0cossin2RkRk40sincos2RkRk2故所求引力為),(yx,sinRy 求它對(duì)原點(diǎn)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力. RkRkF2,4機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 sd2021-10-11高等數(shù)學(xué)D111對(duì)弧長和曲線積分課堂練習(xí)課

10、堂練習(xí). 計(jì)算,dsxyIL其中L為. 1 yx提示提示: L 分為四段進(jìn)行計(jì)算：化為定積分 , 得1:1 yxL機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1:2 xyL1:3 yxL1:4 xyLsxyILd4321LLLL10d2)1 (xxx01d2)1 (xxx01d2)1(xxx10d2) 1(xxx. 0yox11112021-10-11高等數(shù)學(xué)D111對(duì)弧長和曲線積分例例5. 計(jì)算曲線積分 ,d)(222szyx其中為螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222k

11、akatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax線機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 BAzyx2021-10-11高等數(shù)學(xué)D111對(duì)弧長和曲線積分ozyx例例6. 計(jì)算,d2sx其中為球面 2222azyx被平面 所截的圓周. 0zyx解解: 由對(duì)稱性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-11高等數(shù)學(xué)D111對(duì)弧長和曲線積分思考思考: 例6中 改為0)1()1(2222zyxazyx計(jì)算?d2sx解解: 令 11zZyYxX0 :2222

12、ZYXaZYX, 則sx d2sXd) 1(2sXd2332a)131(22aasX d2sda2圓的形心在原點(diǎn), 故0XaX22, 如何機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-11高等數(shù)學(xué)D111對(duì)弧長和曲線積分d d s例例7. 計(jì)算,d)(222szyxI其中為球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交線與平面 zx292 z化為參數(shù)方程 21cos2x sin2y則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ozyx2021-10-11高等數(shù)學(xué)D111對(duì)弧長和曲線積分課堂

13、練習(xí)課堂練習(xí). L為球面2222Rzyx三個(gè)坐標(biāo)面的交線 , 求其形心。在第一卦限與提示提示: 如圖所示 , 交線長度為RozyxRR1L3L2LslLd31423R23 R由對(duì)稱性 , 形心坐標(biāo)為321d1LLLsxlxyz321ddd1LLLsxsxsxl1d2Lsxl20dcos2RRl34R機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-11高等數(shù)學(xué)D111對(duì)弧長和曲線積分內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定義定義kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性質(zhì)性質(zhì)kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),(

14、)2(szyxfszyxfszyxf),(21組成由ls d)3( l 曲線弧 的長度)Lszyxfd),(),(為常數(shù)szyxgLd),(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-11高等數(shù)學(xué)D111對(duì)弧長和曲線積分3. 計(jì)算計(jì)算 對(duì)光滑曲線弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 對(duì)光滑曲線弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對(duì)光滑曲線弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-1

15、1高等數(shù)學(xué)D111對(duì)弧長和曲線積分思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 已知橢圓134:22yxL周長為a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用對(duì)稱性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-11高等數(shù)學(xué)D111對(duì)弧長和曲線積分2. 設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它關(guān)于 z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;zI(2) 求它的質(zhì)心 .解解: 設(shè)其密度為 (常數(shù)).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2) L的質(zhì)量smLd222ka 而sxLd22kaa20dcostt0(1)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-11高等數(shù)學(xué)D111對(duì)弧長和曲線積分syLd22kaa20dsintt0szLd22kak20dtt2222kak故重心坐標(biāo)為),0,0(k第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyo3. 設(shè) C 是由極坐標(biāo)系下曲線, ar 0及4所圍區(qū)域的邊界, 求seICyxd222)2