以空間圖形為背景的軌跡問題的探求

1、以空間圖形為背景的軌跡問題的探求伴隨新課程的不斷深入，近幾年高考試題，設(shè)置了一些開放題，具有新穎性、綜合性.在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題是當(dāng)今高考命題的一個(gè)方向，空間軌跡問題正是在這種背景下“閃亮登場(chǎng)”.這類題目已突破傳統(tǒng)的筐筐，涵蓋的知識(shí)點(diǎn)多，較抽象，學(xué)生求解起來頗感困難，得分率偏低，令人惋惜.本文通過幾道典型例題的分析，尋求空間軌跡問題的探求方法.1 分析動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何性質(zhì)；通過設(shè)軌跡上任意一點(diǎn)，根據(jù)條件求出動(dòng)點(diǎn)的某些特征，再類比已學(xué)過的曲線的定義和性質(zhì)，來尋求突破.1.1 利用線面垂直關(guān)系【例1】cda1bd1111111c1b1a1 正方體中，點(diǎn)p在側(cè)面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，保持a

2、p，則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡是（ a ） a.線段 pb.線段c.中點(diǎn)與中點(diǎn)連成的線段d.中點(diǎn)與中點(diǎn)連成的線段解：聯(lián)想到線面垂直，轉(zhuǎn)化為求ap運(yùn)動(dòng)所形成的面與垂直，易證，故選a.1.2 聯(lián)想圓的定義 【例2】如圖所在的平面和四邊形所在的平面垂直，且， ， ，則點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是（ a ）a圓的一部分 b橢圓的一部分c雙曲線的一部分 d拋物線的一部分， 有在平面pab內(nèi)，以ab所在直線為x軸，ab的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)p（x,y）則，化簡(jiǎn)得，注意到點(diǎn)p不在直線ab上，故除掉 選a.bcdac1b1a1d1p2p1pp3p6p4p5練習(xí)：已知正方體的棱長(zhǎng)為1，在正方體的表面上與點(diǎn)a距離為的點(diǎn)的集合形成一條曲線

3、，則該曲線的長(zhǎng)度為（ b ） a. b. c. d. 解：當(dāng)點(diǎn)p在上底面時(shí)，連ap、a1p，在直角apa1中，求得pa1=，即弧p1p2的長(zhǎng).同理左側(cè)面的弧p5p6、后側(cè)面的弧p3p4的長(zhǎng)也為；當(dāng)點(diǎn)p在前側(cè)面時(shí)，弧p1p6的半徑為，因?yàn)橹苯莂1p1a中，直角邊a1p1的長(zhǎng)為斜邊p1a的一半，所以弧p1p6的圓心角為，從而弧p1p6的長(zhǎng)為.同理右側(cè)面的弧p2p3的長(zhǎng)與下底面的弧p4p3的長(zhǎng)的長(zhǎng)也為.故曲線的總長(zhǎng)度為，故選b.1.3 聯(lián)想到拋物線的定義cdabd1c1b1a1efpm【例3】 已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)m在棱ab上，且am=，點(diǎn)p是平面abcd內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)p到直線的距離的平方與點(diǎn)p

4、到點(diǎn)m的距離的平方之差為1，則p點(diǎn)的軌跡為（a） a.拋物線弧 b.雙曲線弧 c.線段 d.以上都不對(duì)解法一：過p作pf垂直ad于f，則pf垂直平面add1a1，過點(diǎn)f作fe垂直a1d1于e，連pe，則pe為點(diǎn)p到直線a1d1的距離，由已知，即，得， pf=pm，故p點(diǎn)的軌跡是以m為焦點(diǎn)，以ad為準(zhǔn)線的拋物線，故選a. 解法二：以ab，ad所在直線為x軸y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)p（x ,y）為軌跡上任意點(diǎn)，可得p到a1d1的距離平方為1+，=，所以1+-=1，整理得，故選a.c1d1a1b1dcbap練習(xí)：在正方體的側(cè)面abb1a1內(nèi)有一點(diǎn)p到直線ab與到直線b1c1的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)p所在曲線

5、的形狀為（ c） a.直線 b.雙曲線 c.拋物線 d.圓解：因?yàn)閎1c1垂直于平面abb1a1，所以pb1為點(diǎn)p到直線b1c1的距離，于是問題轉(zhuǎn)化為在平面abb1a1內(nèi)，點(diǎn)p到定點(diǎn)b1的距離與點(diǎn)p到定直線ab的距離相等.故根據(jù)拋物線的定義可知選答案c. 1.4 聯(lián)想到球面的定義【例4】 如圖，已知正方形的棱長(zhǎng)為2，長(zhǎng)為2的線段的一個(gè)端點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)n在正方形內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則中點(diǎn)的軌跡的面積是（ ）a.b. c. d.解：充分利用mn的長(zhǎng)度不變，是直角三角形，p點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，.故點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的球面位于正方體內(nèi)的部分，因?yàn)橐憔唧w面積，就必須求出幾何體是球的哪些部分.分析可得，點(diǎn)p

6、和棱、均交于各自的中點(diǎn)，即三條半徑兩兩垂直，該部分球面與正方體圍成的幾何體是球的八分之一，故選d.2 利用向量工具；按立體幾何的傳統(tǒng)方法幾乎無從下手時(shí)，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用向量，有踏破鐵鞋無覓處，得來全不費(fèi)工夫之感. 【例5】一定長(zhǎng)線段ab的兩個(gè)端點(diǎn)a、b沿互相垂直的兩條異面直線、運(yùn)動(dòng)，求它的中點(diǎn)的軌跡.解：設(shè)mn為、的公垂線段，則mn與、兩兩垂直.如圖，以n點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸，直線nm為軸，以過點(diǎn)n所作直線的平行線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)，則， p點(diǎn)坐標(biāo)為，其中橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)為變量，豎坐標(biāo)為常量.p點(diǎn)必在mn的垂直平分面上,取mn的中點(diǎn)o，則，所以p點(diǎn)在以o為圓心，為半徑的圓上.故p點(diǎn)的軌跡是mn的垂直平分面內(nèi)的一個(gè)圓.pmrqadbc3 利用特殊點(diǎn)定位；把問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，得出結(jié)論，并證明特殊化后的結(jié)論適合一般情況.【例6】 如圖所示，在三棱錐a-bcd中，p為cd的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)m在abd內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，且總保持pm平面abc,求動(dòng)點(diǎn)m的軌跡.解：先分析特殊位置；當(dāng)點(diǎn)m在bd邊上時(shí)，由pm平面abc可得pmbc，此時(shí)點(diǎn)m是bd邊的中點(diǎn)q，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)m在ad邊上時(shí)，同理可得pmac，此時(shí)點(diǎn)m是ad邊的中點(diǎn)r.于是猜想動(dòng)點(diǎn)m的軌跡為中位線rq.實(shí)際上此題就轉(zhuǎn)化為證明面，故命