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文檔簡介
1、以空間圖形為背景的軌跡問題的探求伴隨新課程的不斷深入,近幾年高考試題,設(shè)置了一些開放題,具有新穎性、綜合性.在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計試題是當(dāng)今高考命題的一個方向,空間軌跡問題正是在這種背景下“閃亮登場”.這類題目已突破傳統(tǒng)的筐筐,涵蓋的知識點多,較抽象,學(xué)生求解起來頗感困難,得分率偏低,令人惋惜.本文通過幾道典型例題的分析,尋求空間軌跡問題的探求方法.1 分析動點滿足的幾何性質(zhì);通過設(shè)軌跡上任意一點,根據(jù)條件求出動點的某些特征,再類比已學(xué)過的曲線的定義和性質(zhì),來尋求突破.1.1 利用線面垂直關(guān)系【例1】cda1bd1111111c1b1a1 正方體中,點p在側(cè)面及其邊界上運動,在運動過程中,保持a
2、p,則動點p的軌跡是( a ) a.線段 pb.線段c.中點與中點連成的線段d.中點與中點連成的線段解:聯(lián)想到線面垂直,轉(zhuǎn)化為求ap運動所形成的面與垂直,易證,故選a.1.2 聯(lián)想圓的定義 【例2】如圖所在的平面和四邊形所在的平面垂直,且, , ,則點在平面內(nèi)的軌跡是( a )a圓的一部分 b橢圓的一部分c雙曲線的一部分 d拋物線的一部分, 有在平面pab內(nèi),以ab所在直線為x軸,ab的中點為坐標(biāo)原點,設(shè)p(x,y)則,化簡得,注意到點p不在直線ab上,故除掉 選a.bcdac1b1a1d1p2p1pp3p6p4p5練習(xí):已知正方體的棱長為1,在正方體的表面上與點a距離為的點的集合形成一條曲線
3、,則該曲線的長度為( b ) a. b. c. d. 解:當(dāng)點p在上底面時,連ap、a1p,在直角apa1中,求得pa1=,即弧p1p2的長.同理左側(cè)面的弧p5p6、后側(cè)面的弧p3p4的長也為;當(dāng)點p在前側(cè)面時,弧p1p6的半徑為,因為直角a1p1a中,直角邊a1p1的長為斜邊p1a的一半,所以弧p1p6的圓心角為,從而弧p1p6的長為.同理右側(cè)面的弧p2p3的長與下底面的弧p4p3的長的長也為.故曲線的總長度為,故選b.1.3 聯(lián)想到拋物線的定義cdabd1c1b1a1efpm【例3】 已知正方體的棱長為1,點m在棱ab上,且am=,點p是平面abcd內(nèi)的動點,且點p到直線的距離的平方與點p
4、到點m的距離的平方之差為1,則p點的軌跡為(a) a.拋物線弧 b.雙曲線弧 c.線段 d.以上都不對解法一:過p作pf垂直ad于f,則pf垂直平面add1a1,過點f作fe垂直a1d1于e,連pe,則pe為點p到直線a1d1的距離,由已知,即,得, pf=pm,故p點的軌跡是以m為焦點,以ad為準(zhǔn)線的拋物線,故選a. 解法二:以ab,ad所在直線為x軸y軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)p(x ,y)為軌跡上任意點,可得p到a1d1的距離平方為1+,=,所以1+-=1,整理得,故選a.c1d1a1b1dcbap練習(xí):在正方體的側(cè)面abb1a1內(nèi)有一點p到直線ab與到直線b1c1的距離相等,則動點p所在曲線
5、的形狀為( c) a.直線 b.雙曲線 c.拋物線 d.圓解:因為b1c1垂直于平面abb1a1,所以pb1為點p到直線b1c1的距離,于是問題轉(zhuǎn)化為在平面abb1a1內(nèi),點p到定點b1的距離與點p到定直線ab的距離相等.故根據(jù)拋物線的定義可知選答案c. 1.4 聯(lián)想到球面的定義【例4】 如圖,已知正方形的棱長為2,長為2的線段的一個端點在棱上運動,點n在正方形內(nèi)運動,則中點的軌跡的面積是( )a.b. c. d.解:充分利用mn的長度不變,是直角三角形,p點為斜邊的中點,.故點的軌跡是以為圓心,1為半徑的球面位于正方體內(nèi)的部分,因為要算具體面積,就必須求出幾何體是球的哪些部分.分析可得,點p
6、和棱、均交于各自的中點,即三條半徑兩兩垂直,該部分球面與正方體圍成的幾何體是球的八分之一,故選d.2 利用向量工具;按立體幾何的傳統(tǒng)方法幾乎無從下手時,恰當(dāng)?shù)倪\用向量,有踏破鐵鞋無覓處,得來全不費工夫之感. 【例5】一定長線段ab的兩個端點a、b沿互相垂直的兩條異面直線、運動,求它的中點的軌跡.解:設(shè)mn為、的公垂線段,則mn與、兩兩垂直.如圖,以n點為原點,直線為軸,直線nm為軸,以過點n所作直線的平行線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè),則, p點坐標(biāo)為,其中橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)為變量,豎坐標(biāo)為常量.p點必在mn的垂直平分面上,取mn的中點o,則,所以p點在以o為圓心,為半徑的圓上.故p點的軌跡是mn的垂直平分面內(nèi)的一個圓.pmrqadbc3 利用特殊點定位;把問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化,得出結(jié)論,并證明特殊化后的結(jié)論適合一般情況.【例6】 如圖所示,在三棱錐a-bcd中,p為cd的中點,動點m在abd內(nèi)部及邊界上運動,且總保持pm平面abc,求動點m的軌跡.解:先分析特殊位置;當(dāng)點m在bd邊上時,由pm平面abc可得pmbc,此時點m是bd邊的中點q,當(dāng)動點m在ad邊上時,同理可得pmac,此時點m是ad邊的中點r.于是猜想動點m的軌跡為中位線rq.實際上此題就轉(zhuǎn)化為證明面,故命
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