高等數(shù)學(xué)無窮級數(shù)(5)課件

1、11.2 常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法正項級數(shù)及其審斂法正項級數(shù)及其審斂法交錯級數(shù)交錯級數(shù)絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂小結(jié)小結(jié)定義定義 1n nn nu u為為正項級數(shù)正項級數(shù). nsss21收斂的充要條件收斂的充要條件單調(diào)增加數(shù)列單調(diào)增加數(shù)列, 0 nu一、正項級數(shù)及其審斂法一、正項級數(shù)及其審斂法若若的一般項的一般項則稱則稱 1n nn nu u當(dāng)級數(shù)為正項級數(shù)，則：當(dāng)級數(shù)為正項級數(shù)，則：這時這時,只可能有兩種情形只可能有兩種情形:,ns.limssnn ,)1(時時當(dāng)當(dāng) n.1必發(fā)散必發(fā)散 nnu,)2(有有上上界界若若ns, ns即即定理定理1 (基本定理基本定理) 正項

2、級數(shù)正項級數(shù)收斂收斂)( ssn有界有界.ns正項級數(shù)可以任意加括號正項級數(shù)可以任意加括號,其斂散性其斂散性對收斂的正項級數(shù)對收斂的正項級數(shù),其和也不變其和也不變.不變不變,注注 例例 判定判定 的斂散性的斂散性. 1121n nn n解解121 n n1211211212 nnSn2121212 n n211 由定理由定理1 1知知, ,故級數(shù)的部分和故級數(shù)的部分和, ,n n21 1 該正項該正項級數(shù)收斂級數(shù)收斂.由于由于另一個另一個已知斂散性的已知斂散性的正項正項級數(shù)級數(shù)比較來確定比較來確定.啟示啟示: :判定一個判定一個正項正項級數(shù)級數(shù)的斂散性的斂散性,可與可與正項級數(shù)正項級數(shù)收斂收斂

3、部分和所成的數(shù)列部分和所成的數(shù)列ns有界有界.比較審斂法比較審斂法證證定理定理2 1n nn nv v設(shè)設(shè)n nn nv vu u 即部分和數(shù)列有界即部分和數(shù)列有界. 1nnu,nnvu 若若則則 1n nn nv v收斂收斂 1n nn nu u收斂收斂 1n nn nu u發(fā)散發(fā)散 1n nn nv v發(fā)散發(fā)散收斂收斂. 0nnuuus 21且且 nvvv 21nns 則則)( nsn設(shè)設(shè)n nn nv vu u 且且 不是有界數(shù)列不是有界數(shù)列 1n nn nv v用比較審斂法，用比較審斂法，須有參考級數(shù)須有參考級數(shù). 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnv發(fā)散發(fā)散發(fā)散發(fā)散推論推論1 1n nn nu

4、 u若若(發(fā)散發(fā)散)收斂收斂,),(Nnkuvnn 且且)(nnvku 1nnv則則收斂收斂. (發(fā)散發(fā)散), ,n nn nv vu u 0若若現(xiàn)證現(xiàn)證注注解解, 1 p設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)則則 p, ,1 p p設(shè)設(shè) p pn n1(1)n nn np p11 n nn np px xx x1d用用比較審斂法比較審斂法發(fā)散發(fā)散. . 11n np pn n,1時時當(dāng)當(dāng)nxn n nn np pn nx x1d例例討論討論 級數(shù)級數(shù) p p p pp pp pn n131211的收斂性的收斂性. )0( p(2)ppxn11 pppnns131211 n np px xdxdx11)11(1111

5、pnp111 p p, ,有界有界即即n ns s收斂收斂 11n np pn n)1( pn ns s n nn np pp px xx xx xx x121dd1故故 發(fā)散發(fā)散時時當(dāng)當(dāng)收斂收斂時時當(dāng)當(dāng)級數(shù)級數(shù),1,1ppp nnppxxn1d1(1) 幾何級數(shù)幾何級數(shù)常用的比較級數(shù)常用的比較級數(shù)(2) p-級數(shù)級數(shù)(3) 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù) 發(fā)散發(fā)散時時當(dāng)當(dāng)收斂收斂時時當(dāng)當(dāng),1,10qqaqnn 發(fā)散發(fā)散時時當(dāng)當(dāng)收斂收斂時時當(dāng)當(dāng),1,1pp 11npn n nn nn n13121111發(fā)散發(fā)散;1收斂收斂則則 nnu), 2 , 1(1 nnun如如果果推論推論2,1 nnu若若, 1 p

6、如果有如果有)., 2 , 1(1 nnupn使使.1發(fā)散發(fā)散則則 nnu定理定理2,0nnvu 若若則則 1nnv收斂收斂 1nnu收斂收斂 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnv發(fā)散發(fā)散例例 討論正項級數(shù)討論正項級數(shù) 的斂散性的斂散性.nnn4sin31 解解 ：nnnu4sin30 而等比級數(shù)而等比級數(shù) 收斂收斂.nn 143 所以原級數(shù)收斂所以原級數(shù)收斂.n 43nn43 由比較審斂法，由比較審斂法，解解因為因為3)1(1 nnun3/2)1(1 n而而 13/2)1(1nn是發(fā)散的是發(fā)散的p-級數(shù)級數(shù)所以所以, 原級數(shù)原級數(shù) 13)1(1nnn 發(fā)散發(fā)散.由由比較審斂法，比較審斂法，例例 討論正

7、項級數(shù)討論正項級數(shù) 的斂散性的斂散性 23/21nn,11都是正項級數(shù)都是正項級數(shù)與與設(shè)設(shè) nnnnvu如果如果,limlvunnn 則則,0)1(時時當(dāng)當(dāng) l,0)2(時時當(dāng)當(dāng) l,)3(時時當(dāng)當(dāng) l(比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式)定理定理3,1收斂收斂若若 nnv;1收收斂斂則則 nnu,1發(fā)散發(fā)散若若 nnv.1發(fā)散發(fā)散則則 nnu兩級數(shù)有相同的斂散性兩級數(shù)有相同的斂散性;證證lvunnn lim)1(由由02 l 對對于于,N ,時時當(dāng)當(dāng)Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比較審斂法的推論由比較審斂法的推論, 得證得證.,0)1(時時當(dāng)當(dāng) l兩

8、兩級級數(shù)數(shù)有有相相同同的的斂斂散散性性,limlvunnn 比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式(2)推論推論則級數(shù)則級數(shù) 1nnu發(fā)散發(fā)散; ;則級數(shù)則級數(shù) 1nnu收斂收斂.由比較審斂法可推出如下快速的審斂法由比較審斂法可推出如下快速的審斂法當(dāng)分母當(dāng)分母,分子關(guān)于分子關(guān)于n的最高次數(shù)分別為的最高次數(shù)分別為, ,q qp p和和,1時時當(dāng)當(dāng) qp級數(shù)級數(shù) 1nnu)0( nu收斂收斂;,1時時當(dāng)當(dāng) qp級數(shù)級數(shù) 1nnu發(fā)散發(fā)散.例例 12tan3nnn 發(fā)散發(fā)散., n因為因為nnn 232tan3 而而 123nn發(fā)散發(fā)散.例例 127223132nnnnn收斂收斂.)23227(

9、qp因因為為1 解解nnn 31limnn1sinlim 1 nnn311lim 1 ,311收斂收斂 nn收斂收斂發(fā)散發(fā)散n31例例 判定判定級數(shù)級數(shù) 的斂散性的斂散性. 11sinnn極限形式知極限形式知, ,n1 131nnn例例 判定判定級數(shù)級數(shù) 的斂散性的斂散性.解解.ln12的的斂斂散散性性判判定定級級數(shù)數(shù) nnn解解2lnlimnnn 231nnnnlnlim 0 而級數(shù)而級數(shù)收斂收斂, 1231nn.ln12收斂收斂故故 nnn例例使用比較審斂法或比較審斂法的極限使用比較審斂法或比較審斂法的極限形式必須找到適當(dāng)?shù)谋容^級數(shù)形式必須找到適當(dāng)?shù)谋容^級數(shù)., 0lim)2( nnnvu

10、由由, 01 對于對于,N ,時時當(dāng)當(dāng)Nn . 11 nnvu),(Nnvunn 即即.,11收斂收斂根據(jù)比較審斂法，根據(jù)比較審斂法，收斂收斂 nnnnuv,limlvunnn ,0)2(時時當(dāng)當(dāng) l,1收斂收斂若若 nnv;1收收斂斂則則 nnu,lim)3( nnnvu由由, 01 M對對于于,N ,時時當(dāng)當(dāng)Nn . 1 Mvunn),(Nnvunn 即即.,11發(fā)發(fā)散散根根據(jù)據(jù)比比較較審審斂斂法法，發(fā)發(fā)散散 nnnnuv,limlvunnn ,)3(時時當(dāng)當(dāng) l,1發(fā)散發(fā)散若若 nnv.1發(fā)散發(fā)散則則 nnu1 ,1NNruu 23 NNruu, 由由(1)式的式的,3Nur 12 NNruu,2Nur 321N NN NN Nu uu uu u左邊相加左邊相加,的各項的各項 r令令右邊右邊,證證, 0 對對,N ,時時當(dāng)當(dāng)Nn nnuu1有有,1時時 nnuu1即即(1)小于右邊相加收斂的等比級數(shù)小于右邊相加收斂的等比級數(shù))1( r公比公比 NNNur