§3.2 周期信號(hào)的頻譜分析——傅里葉級(jí)數(shù)

1、主要內(nèi)容三角函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù)三角函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù) 指數(shù)函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù)指數(shù)函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù)兩種傅氏級(jí)數(shù)的關(guān)系兩種傅氏級(jí)數(shù)的關(guān)系 頻譜圖頻譜圖函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系周期信號(hào)的功率周期信號(hào)的功率傅里葉有限級(jí)數(shù)與最小方均誤差傅里葉有限級(jí)數(shù)與最小方均誤差一三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)幾個(gè)概念0)()(2121 ttdttftf(一一) 兩函數(shù)兩函數(shù) f1(t), f2(t) 正交正交 ：(二二) 正交函數(shù)集正交函數(shù)集 gi(t), i=1,2, , n ：0)()(2121 ttdttftfjiKjidttgtgittji, 0)()(21(三三) 完備正交函

2、數(shù)集：完備正交函數(shù)集： 1. 定義：定義： 如果正交函數(shù)集如果正交函數(shù)集 gi(t), i=1,2, , n 之外，之外，不存在函數(shù)不存在函數(shù)x(t), 滿足等式滿足等式 2. 任意信號(hào)任意信號(hào)f (t) 的完備正交函數(shù)集表示的完備正交函數(shù)集表示 nrrrnnrrtgCtgCtgCtgCtgCtf12211)()()()()()(, 1 , 0)()(21nidttgtxtti tntn11sin,cos 是一個(gè)完備的正交函數(shù)集是一個(gè)完備的正交函數(shù)集t在一個(gè)周期內(nèi)，在一個(gè)周期內(nèi)，n=0,1,. 0sincos2211TTdttmtnnmnmTdttmtnTT, 0,2coscos2211nmn

3、mTdttmtnTT, 0,2sinsin2211由積分可知由積分可知1.三角函數(shù)集很很重重要要很很有有用用 1112 , , TTtf 基基波波角角頻頻率率為為周周期期為為周周期期信信號(hào)號(hào)在滿足在滿足狄氏條件狄氏條件時(shí)，可展成時(shí)，可展成 1 sincos)(1110 nnntnbtnaatf 直流分量直流分量 TttttfTa00d)(10余弦分量的幅度余弦分量的幅度 TttnttntfTa00dcos)(21 正弦分量的幅度正弦分量的幅度 TttnttntfTb00dsin)(21 稱為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，其系數(shù)稱為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，其系數(shù)2傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)形式3-2-1 的

4、奇函數(shù)關(guān)于的偶函數(shù)關(guān)于nnba傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)與與傅立葉系數(shù)傅立葉系數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別的聯(lián)系與區(qū)別注意！注意！其他形式00ac 22nnnbac nnnabarctannnnca cos nnncbsin余弦形式余弦形式 2 cos)(110 nnntncctf 1 sincos)(1110 nnntnbtnaatf 的函數(shù)是關(guān)于和nnC合性諧）、直流、基波( 周期信號(hào)可分解為組線）的波（各次n關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖；關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖；關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖。關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖?？僧嫵隹僧嫵鲱l譜圖。頻譜圖。周期信號(hào)頻譜具有周期信號(hào)頻譜具有離散性、諧波性、收斂性離散性、諧波性、收斂性

5、。 nc n3. 周期信號(hào)的頻譜(頻域描述)cn 2211k1幅度譜1TE n51101相位譜單邊頻譜單邊頻譜二指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)1 1復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集 2, 1, 0 e1j ntn 2 2級(jí)數(shù)形式級(jí)數(shù)形式3 3系數(shù)系數(shù) 111110jj0j1deede)()(TtntnTtntttfnF 4 e)()(1j1tnnnFtf 5 de )(1110j TtnttfT 利用利用復(fù)變函數(shù)的正交特性復(fù)變函數(shù)的正交特性nF 也可寫為也可寫為說明 變變換換對(duì)對(duì)。式式是是一一對(duì)對(duì)、惟惟一一確確定定，則則如如給給出出)5()4()(1tfnF 的的線線性性組組合合。區(qū)區(qū)間間上上的的指

6、指數(shù)數(shù)信信號(hào)號(hào)周周期期信信號(hào)號(hào)可可分分解解為為tn1je, 4 e)()(1j1tnnnFtf 5 de)(1110j1 TtnttfTnF 三兩種系數(shù)之間的關(guān)系及頻譜圖 TtnttfTnF0j1de )(1)(1 TTttntfTttntfT0101dsin)(1jdcos)(1 nnbaj21 TTttntfTttntfTnF01011dsin)(1jdcos)(1)( nnbaj21 nnFnF j11e)( 是是復(fù)復(fù)數(shù)數(shù))(),(11 nFnF nnncbanF2121)(221 相頻特性相頻特性 nnnabarctan 周期信號(hào)的復(fù)數(shù)頻譜(另一種頻域描述)幅頻特性幅頻特性 的的奇奇函

7、函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于的的偶偶函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于取取正正值值）的的奇奇函函數(shù)數(shù)（實(shí)實(shí)際際關(guān)關(guān)于于取取正正值值）的的偶偶函函數(shù)數(shù)（實(shí)實(shí)際際關(guān)關(guān)于于 )( 11nnFnbnann 頻譜圖離散譜，譜線離散譜，譜線幅度頻譜幅度頻譜曲線nF相位頻譜相位頻譜曲線曲線 n|Fn|1TE 2211幅度譜-5151相位譜-3-2-2雙邊頻譜雙邊頻譜n四總結(jié)（1）周期信號(hào)）周期信號(hào)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)有兩種形式的傅里葉級(jí)數(shù)有兩種形式（3）周期信號(hào)的頻譜是離散譜，三個(gè)性質(zhì)）周期信號(hào)的頻譜是離散譜，三個(gè)性質(zhì)（2）兩種頻譜圖的關(guān)系）兩種頻譜圖的關(guān)系(1)周期信號(hào)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)有兩種形式= 110)cos(nnntncc 三

8、角形式三角形式指數(shù)形式指數(shù)形式 1110sincos)(nnntnbtnaatf tnnnFtf1j1e)()( 指數(shù)形式與三角形式本質(zhì)是完全一致的指數(shù)形式與三角形式本質(zhì)是完全一致的 ,)(是實(shí)數(shù)是復(fù)數(shù)nCnF 0001021)(acFncnFn (2)兩種頻譜圖的關(guān)系)()( 11 nn 相相位位頻頻譜譜為為奇奇函函數(shù)數(shù) nnc，三三角角函函數(shù)數(shù)形形式式：單邊頻譜單邊頻譜 nnF，指數(shù)函數(shù)形式：指數(shù)函數(shù)形式：雙邊頻譜雙邊頻譜關(guān)系關(guān)系)()( 11 nFnF 偶偶函函數(shù)數(shù)指指數(shù)數(shù)形形式式的的幅幅度度頻頻譜譜為為(3)三個(gè)性質(zhì) 的譜線唯一的譜線唯一惟一性：惟一性：處處現(xiàn)在現(xiàn)在（離散性），頻率只出

9、（離散性），頻率只出諧波性：諧波性：收斂性：收斂性：)(,11tfnnFn 五函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇諧函數(shù)奇諧函數(shù)偶諧函數(shù)偶諧函數(shù)注：指交流分量注：指交流分量1偶函數(shù)為為實(shí)實(shí)函函數(shù)數(shù)。項(xiàng)項(xiàng)。項(xiàng)項(xiàng)，只只含含直直流流項(xiàng)項(xiàng)和和余余弦弦傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)中中不不含含正正弦弦)(1 nF信號(hào)波形相對(duì)于縱軸是對(duì)稱的信號(hào)波形相對(duì)于縱軸是對(duì)稱的)()(tftf )(tfOtTET 0 nb 2010dcos)(4TnttntfTa nnnnabanFF21j21)(1 0 n 2奇函數(shù))()(tftf 對(duì)對(duì)稱稱的的：波波形形相相對(duì)對(duì)于于縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)是是反反)(tfOtTT

10、11 為虛函數(shù)。為虛函數(shù)。量，量，傅里葉級(jí)數(shù)中無余弦分傅里葉級(jí)數(shù)中無余弦分)(1 nF 0= d)(1 220 TTttfTa 0dcos)(2221 TTnttntfTa TnttntfTb01dsin)(2 nnnnbbanFFj21j21)(1 2010dsin)(4TttntfT 0 6 , 4 , 2 nnban時(shí)時(shí)3奇諧函數(shù) 201dcos)(4 5 , 3 , 1TnttntfTan 時(shí)時(shí) 201dsin)(4TnttntfTb f(t)的傅氏級(jí)數(shù)偶次諧波為零，即的傅氏級(jí)數(shù)偶次諧波為零，即)(tfOtTT 2T 2)(Ttftf若波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周若波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期并

11、相對(duì)于該軸上下反轉(zhuǎn)，期并相對(duì)于該軸上下反轉(zhuǎn)，此時(shí)波形并不發(fā)生變化：此時(shí)波形并不發(fā)生變化：00 a 21Ttftf112T 4偶諧函數(shù) 20111dsin)(4TnttntfTb 0 5 , 3 , 1 nnban時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 20111dcos)(4 6 , 4 , 2TnttntfTan 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)f(t)的傅氏級(jí)數(shù)奇次諧波為零，只有偶次諧波分量的傅氏級(jí)數(shù)奇次諧波為零，只有偶次諧波分量)(tfOt1T1T 21T 21T稱為偶諧函數(shù)。稱為偶諧函數(shù)。與原波形重合，與原波形重合，波形移動(dòng)波形移動(dòng)21T 六周期信號(hào)的功率這是這是帕塞瓦爾定理帕塞瓦爾定理在傅里葉級(jí)數(shù)情況下的具體體現(xiàn)在傅里葉級(jí)數(shù)情況下的具體體現(xiàn); ;表明：表明： 周期信號(hào)平均功率周期信號(hào)平均功率= =直流、基波及各次諧波分直流、基波及各次諧波分量有效值的平方和；量有效值的平方和； 時(shí)域和頻域的能量是守恒時(shí)域和頻域的能量是守恒的。的。 nnnnnnnFcabaa21220122202121 TttfTP02d)(1七傅里葉有限級(jí)數(shù)與最小方均誤差 1110sincosnnntnbtnaatf )()12(tfN項(xiàng)來逼近項(xiàng)來逼近取前取前 NnnnNtnbtnaaS1110sincos 誤差函數(shù)誤差函數(shù) NNStft )( 方均誤差方均誤差 100d)(1)(212TttNNN