3.示范教案（2.2.2 向量減法運(yùn)算及其幾何意義）

1、 向量減法運(yùn)算及其幾何意義整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析 三維目標(biāo)1.通過探究活動(dòng),使學(xué)生掌握向量減法概念,理解兩個(gè)向量的減法就是轉(zhuǎn)化為加法來進(jìn)行,掌握相反向量.2.啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,善于獨(dú)立思考,學(xué)會(huì)分析問題和創(chuàng)造地解決問題.能熟練地掌握用三角形法則和平行四邊形法則作出兩向量的差向量.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):向量的減法運(yùn)算及其幾何意義.教學(xué)難點(diǎn):對(duì)向量減法定義的理解.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程導(dǎo)入新課 思路1.(問題導(dǎo)入)上節(jié)課,我們定義了向量的加法概念,并給出了求作和向量的兩種方法.由向量的加法運(yùn)算自然聯(lián)想到向量的減法運(yùn)算:減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).向量的減法是否也有類似的法則呢?引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)

2、一步探究,由此展開新課. 思路2.(直接導(dǎo)入)數(shù)的減法運(yùn)算是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算.本節(jié)課,我們繼續(xù)學(xué)習(xí)向量加法的逆運(yùn)算減法.引導(dǎo)學(xué)生去探究、發(fā)現(xiàn).推進(jìn)新課新知探究提出問題向量是否有減法？向量進(jìn)行減法運(yùn)算,必須先引進(jìn)一個(gè)什么樣的新概念？如何理解向量的減法？向量的加法運(yùn)算有平行四邊形法則和三角形法則,那么,向量的減法是否也有類似的法則？ 活動(dòng):數(shù)的減法運(yùn)算是數(shù)的加法運(yùn)算的逆運(yùn)算,數(shù)的減法定義即減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù),因此定義數(shù)的減法運(yùn)算,必須先引進(jìn)一個(gè)相反數(shù)的概念.類似地,向量的減法運(yùn)算也可定義為向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算.可類比數(shù)的減法運(yùn)算,我們定義向量的減法運(yùn)算,也應(yīng)引進(jìn)一個(gè)新的概念,這個(gè)概念

3、又該如何定義?引導(dǎo)學(xué)生思考,相反向量有哪些性質(zhì)?由于方向反轉(zhuǎn)兩次仍回到原來的方向,因此a和-a互為相反向量.于是-(-a)=a.我們規(guī)定,零向量的相反向量仍是零向量.任一向量與其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.所以,如果a、b是互為相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(1)平行四邊形法則圖1如圖1,設(shè)向量=b,=a,則=-b,由向量減法的定義,知=a+(-b)=a-b.又b+=a,所以=a-b.由此,我們得到a-b的作圖方法.圖2(2)三角形法則如圖2,已知a、b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作=a,=b,則=a-b,即a-b可以表示為從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量,

4、這是向量減法的幾何意義.討論結(jié)果:向量也有減法運(yùn)算.定義向量減法運(yùn)算之前,應(yīng)先引進(jìn)相反向量.與數(shù)x的相反數(shù)是-x類似,我們規(guī)定,與a長(zhǎng)度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,記作-a.向量減法的定義.我們定義a-b=a+(-b),即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量.規(guī)定:零向量的相反向量是零向量.向量的減法運(yùn)算也有平行四邊形法則和三角形法則,這也正是向量的運(yùn)算的幾何意義所在,是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn).提出問題上圖中,如果從a的終點(diǎn)到b的終點(diǎn)作向量,那么所得向量是什么?改變上圖中向量a、b的方向使ab,怎樣作出a-b呢?討論結(jié)果:=b-a.略.應(yīng)用示例如圖3(1),已知向量a、b、c、d

5、,求作向量a-b,c-d.圖3 活動(dòng):教師讓學(xué)生親自動(dòng)手操作,引導(dǎo)學(xué)生注意規(guī)范操作,為以后解題打下良好基礎(chǔ);點(diǎn)撥學(xué)生根據(jù)向量減法的三角形法則,需要選點(diǎn)平移作出兩個(gè)同起點(diǎn)的向量.作法:如圖3(2),在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作=a,=b,=c,=d.則=a-b,=c-d.變式訓(xùn)練 (2006上海高考) 在ABCD中,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )A.= B.AD+= C.-AD=BD D.AD+=0分析:A顯然正確,由平行四邊形法則可知B正確,C中,-=錯(cuò)誤,D中,+=+=0正確.答案:C例2 如圖4,ABCD中, =a,=b,你能用a、b表示向量、嗎?圖4 活動(dòng):本例是用兩個(gè)向量表示幾何圖形中的其他向量,

6、這是用向量證明幾何問題的基礎(chǔ).要多注意這方面的訓(xùn)練,特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對(duì)角線的關(guān)系.解:由向量加法的平行四邊形法則,我們知道=a+b,同樣,由向量的減法,知=-=a-b.變式訓(xùn)練1.(2005高考模擬) 已知一點(diǎn)O到ABCD的3個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的向量分別是a、b、c,則向量等于( )A.a+b+c B.a-b+c C.a+b-c D.a-b-c圖5解析:如圖5,點(diǎn)O到平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的向量分別是a、b、c,結(jié)合圖形有=+=+=+-=a-b+c.答案:B2.若=a+b,=a-b.當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí),a+b與a-b垂直？當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí),|a+b|

7、=|a-b|？當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí),a+b平分a與b所夾的角 ？a+b與a-b可能是相等向量嗎？圖6解析:如圖6,用向量構(gòu)建平行四邊形,其中向量、恰為平行四邊形的對(duì)角線.由平行四邊形法則,得=a+b,=-=a-b.由此問題就可轉(zhuǎn)換為:當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時(shí),對(duì)角線互相垂直？(|a|=|b|)當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時(shí),對(duì)角線相等？(a、b互相垂直)當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時(shí),對(duì)角線平分內(nèi)角？(a、b相等)a+b與a-b可能是相等向量嗎？(不可能,因?yàn)閷?duì)角線方向不同) 點(diǎn)評(píng):靈活的構(gòu)想,獨(dú)特巧妙,數(shù)形結(jié)合思想得到充分體現(xiàn).由此我們可以想到在解決向量問題時(shí),可以利用向量的幾何意義構(gòu)造幾

8、何圖形,轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,這就是數(shù)形結(jié)合解題的威力與魅力,教師引導(dǎo)學(xué)生注意領(lǐng)悟.例3 判斷題:(1)若非零向量a與b的方向相同或相反,則a+b的方向必與a、b之一的方向相同.(2)ABC中,必有+=0.(3)若+=0,則A、B、C三點(diǎn)是一個(gè)三角形的三頂點(diǎn).(4)|a+b|a-b|.活動(dòng):根據(jù)向量的加、減法及其幾何意義.解:(1)a與b方向相同,則a+b的方向與a和b方向都相同;若a與b方向相反,則有可能a與b互為相反向量,此時(shí)a+b=0的方向不確定,說與a、b之一方向相同不妥.(2)由向量加法法則+=,與CA是互為相反向量,所以有上述結(jié)論.(3)因?yàn)楫?dāng)A、B、C三點(diǎn)共線時(shí)也有+=0,而此時(shí)構(gòu)

9、不成三角形.(4)當(dāng)a與b不共線時(shí),|a+b|與|a-b|分別表示以a和b為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng),其大小不定.當(dāng)a、b為非零向量共線時(shí),同向則有|a+b|a-b|,異向則有|a+b|a-b|;當(dāng)a、b中有零向量時(shí),|a+b|=|a-b|.綜上所述,只有(2)正確.例4 若|=8,|=5,則|的取值范圍是( )A.3,8 B.(3,8) C.3,13 D.(3,13)解析:=-.(1)當(dāng)、同向時(shí),|=8-5=3;(2)當(dāng)、反向時(shí),|=8+5=13;(3)當(dāng)、不共線時(shí),3|13.綜上,可知3|13.答案:C點(diǎn)評(píng):此題可直接應(yīng)用重要性質(zhì)|a|-|b|a+b|a|+|b|求解.變式訓(xùn)練 已

10、知a、b、c是三個(gè)非零向量,且兩兩不共線,順次將它們的終點(diǎn)和始點(diǎn)相連接而成一三角形的充要條件為a+b+c=0.證明:已知a0,b0,c0,且ab,bc,ca,(1)必要性:作=a,=b,則由假設(shè)=c,另一方面a+b=+=.由于與是一對(duì)相反向量,有+=0,故有a+b+c=0.(2)充分性:作=a,=b,則=a+b,又由條件a+b+c=0,+c=0.等式兩邊同加,得+c=+0.c=,故順次將向量a、b、c的終點(diǎn)和始點(diǎn)相連接成一三角形.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)解答:1.直接在課本上據(jù)原圖作(這里從略).2.,.點(diǎn)評(píng):解題中可以將減法變成加法運(yùn)算,如-=+=,這樣計(jì)算比較簡(jiǎn)便.3.圖略.課堂小結(jié)1.先由學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí):相反向量,向量減法的定義,向量減法的幾何意義,向量差的作圖.2.教師與學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法,類比,數(shù)形結(jié)合,幾何作圖,分類討論.作業(yè)課本習(xí)題2.2 A組6、7、8.設(shè)計(jì)感想1.向量減法的幾何意義主要是結(jié)合平行四邊形法則和三角形法則進(jìn)行講解的,兩種作圖方法各有千秋.第一種作法結(jié)合向量減法的定義,第二種作法結(jié)合向量的平行四邊形法則,直接作出從同一點(diǎn)