2章 桿件的內(nèi)力和內(nèi)力圖-彎曲

1、 2.4 彎曲桿件的內(nèi)力彎曲桿件的內(nèi)力剪力和彎矩剪力和彎矩2.4.1彎曲桿件的特點(diǎn)、工程實(shí)例及力學(xué)模型彎曲桿件的特點(diǎn)、工程實(shí)例及力學(xué)模型1）彎曲桿件的特點(diǎn)）彎曲桿件的特點(diǎn)受力特點(diǎn)：受力特點(diǎn)：桿件受到垂直于桿軸線的外力（橫向力）或外力偶桿件受到垂直于桿軸線的外力（橫向力）或外力偶（其矢量垂直于桿軸）作用。（其矢量垂直于桿軸）作用。MeMeABF變形特點(diǎn)：變形特點(diǎn)：直桿的軸線在變形后變?yōu)榍€；直桿的軸線在變形后變?yōu)榍€；最基本常見的彎曲類型：最基本常見的彎曲類型：對稱彎曲對稱彎曲（平面彎曲）平面彎曲）:梁變形后的軸線與外梁變形后的軸線與外力都在縱向?qū)ΨQ平面力都在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)內(nèi)FA AF1F2 B

2、對稱軸對稱軸縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面FB 特例特例平面彎曲平面彎曲構(gòu)件特征構(gòu)件特征構(gòu)件為具有縱對稱面的等截面直桿。構(gòu)件為具有縱對稱面的等截面直桿。受力特征受力特征外力或外力偶均作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)。外力或外力偶均作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)。變形特征變形特征桿軸線變形桿軸線變形后為后為縱向?qū)v向?qū)ΨQ面內(nèi)的稱面內(nèi)的平平面曲線面曲線qFeMAyFByFxBAy對稱面向縱平面彎曲平面彎曲平面彎曲平面彎曲具有縱向?qū)ΨQ面：具有縱向?qū)ΨQ面：梁的軸線與橫截面的對稱軸梁的軸線與橫截面的對稱軸所構(gòu)成的平面所構(gòu)成的平面外力都作用在此面內(nèi)外力都作用在此面內(nèi)彎曲變形后軸線變成對稱面內(nèi)的平面曲線彎曲變形后軸線變成對稱面內(nèi)的平面曲線否則

3、稱為否則稱為橫力彎曲橫力彎曲。縱向平面內(nèi)只有彎矩，稱為縱向平面內(nèi)只有彎矩，稱為純彎曲純彎曲。常見彎曲構(gòu)件截面常見彎曲構(gòu)件截面非對稱彎曲（斜彎曲）非對稱彎曲（斜彎曲）梁變形后軸線梁變形后軸線所在平面與外力所在平面不重合。所在平面與外力所在平面不重合。yzFPzyFPqxq2 2）工）工 程程 實(shí)實(shí) 例例3）梁的計算模型（計算簡圖）梁的計算模型（計算簡圖） 梁的支承條件與載荷情況一般都比較復(fù)雜，為了便于梁的支承條件與載荷情況一般都比較復(fù)雜，為了便于分析計算，應(yīng)進(jìn)行必要的簡化，抽象出計算簡圖。分析計算，應(yīng)進(jìn)行必要的簡化，抽象出計算簡圖。（1）構(gòu)件本身的簡化）構(gòu)件本身的簡化 通常取梁的軸線來代替梁。通

4、常取梁的軸線來代替梁。（2）載荷簡化）載荷簡化 作用于梁上的載荷（包括支座反力）可簡化為三種類型：作用于梁上的載荷（包括支座反力）可簡化為三種類型：集中力、集中力偶和分布載荷。集中力、集中力偶和分布載荷。計算簡圖的選取原則計算簡圖的選取原則正確反映結(jié)構(gòu)的實(shí)際受力情況，并使其變形盡可能與實(shí)際相符正確反映結(jié)構(gòu)的實(shí)際受力情況，并使其變形盡可能與實(shí)際相符；與計算手段相適應(yīng)，簡化甚至忽略對結(jié)構(gòu)內(nèi)力和變形影響較小的；與計算手段相適應(yīng)，簡化甚至忽略對結(jié)構(gòu)內(nèi)力和變形影響較小的次要因素，使計算簡化，但要保證足夠的精度。次要因素，使計算簡化，但要保證足夠的精度。均勻分布荷載均勻分布荷載線性線性(非均勻非均勻)分布

5、荷載分布荷載分布荷載分布荷載集中力偶集中力偶作用在梁上的載荷形式作用在梁上的載荷形式集中力集中力固定鉸支座固定鉸支座（3）支座簡化）支座簡化可動鉸支座可動鉸支座FAyFAyFAxFAy固定端固定端FAxFAyMA 石油、化工設(shè)備石油、化工設(shè)備中各種直立式反應(yīng)塔，中各種直立式反應(yīng)塔，底部與地面固定成一底部與地面固定成一體，因此，可以簡化體，因此，可以簡化為一端固定的懸臂梁。為一端固定的懸臂梁。在風(fēng)力載荷作用下，在風(fēng)力載荷作用下，反應(yīng)塔將發(fā)生彎曲變反應(yīng)塔將發(fā)生彎曲變形。形。 工工 程程 實(shí)實(shí) 例例懸臂梁懸臂梁 火車輪軸支撐在鐵軌火車輪軸支撐在鐵軌上，鐵軌對車輪的約束，上，鐵軌對車輪的約束，可以看作

6、鉸鏈支座，火車可以看作鉸鏈支座，火車輪軸可簡化為兩端外伸梁。輪軸可簡化為兩端外伸梁。 由于軸自身重量與車由于軸自身重量與車廂以及車廂內(nèi)裝載的人貨廂以及車廂內(nèi)裝載的人貨物的重量相比要小得多，物的重量相比要小得多，可以忽略不計，因此，火可以忽略不計，因此，火車輪軸將發(fā)生彎曲變形。車輪軸將發(fā)生彎曲變形。工工 程程 實(shí)實(shí) 例例外伸梁外伸梁橋式吊車的大梁可橋式吊車的大梁可以簡化為兩端餃支的簡以簡化為兩端餃支的簡支梁。在起吊重量支梁。在起吊重量(集集中力中力FP)及大梁自身重及大梁自身重量量(均布載荷均布載荷q)的作用下的作用下,大梁將發(fā)生彎曲。大梁將發(fā)生彎曲。 工工 程程 實(shí)實(shí) 例例簡支梁簡支梁靜定梁靜

7、定梁:支座反力可以由靜力平衡方程求解的梁。支座反力可以由靜力平衡方程求解的梁。超靜定梁超靜定梁:支座反力僅由靜力平衡方程不能求解的梁。支座反力僅由靜力平衡方程不能求解的梁。梁：梁：以彎曲變形為主的桿件。以彎曲變形為主的桿件。梁按支承方式分類梁按支承方式分類懸臂梁懸臂梁簡支梁簡支梁外伸梁外伸梁外伸梁外伸梁外伸梁外伸梁aFAB(a)mmx 以圖以圖(a)所示受集中力所示受集中力 F 作用的簡支梁為例，來分析梁作用的簡支梁為例，來分析梁任意任意橫截面上的內(nèi)力。橫截面上的內(nèi)力。2.4.2 梁任一橫截面上的內(nèi)力梁任一橫截面上的內(nèi)力剪力和彎矩剪力和彎矩求梁任一橫截面上的內(nèi)力仍然用求梁任一橫截面上的內(nèi)力仍然

8、用截面法截面法aFAmmxB(a)FQ首先利用整體平衡求首先利用整體平衡求支座反力支座反力，然后用截面然后用截面法假想地在橫截面法假想地在橫截面mm處把梁分為兩段，先分處把梁分為兩段，先分析梁左段。析梁左段。因?yàn)樵谶@段梁上有向因?yàn)樵谶@段梁上有向上的外力上的外力FAy所以在所以在橫截面橫截面 mm上必有一個上必有一個與與FAy平行而指向相反的平行而指向相反的內(nèi)力內(nèi)力 FQ 。FAyFBy(b)xxmAmyRACFAyaFAmmxB(a)FQ0-0QFFFAyyi由平衡方程得由平衡方程得可得可得 FQ = FAyFQ 稱為 (b)xxmAmyRACFAyFByFAy(b)由于外力由于外力FAy與剪

9、力與剪力FQ組成了一個力偶，因組成了一個力偶，因而在此橫截面上必頂而在此橫截面上必頂還有一個與其平衡的還有一個與其平衡的內(nèi)力偶，設(shè)其矩為內(nèi)力偶，設(shè)其矩為M 。aFABmmx(a)FQM可得可得 M=FAyx由平衡方程由平衡方程0MC0 xFMAy(b)xxmAmyRACFAy此內(nèi)力偶稱為此內(nèi)力偶稱為 MFQ取右段梁為研究對象。取右段梁為研究對象。其上剪力的指向和彎矩其上剪力的指向和彎矩的轉(zhuǎn)向則與取右段梁為的轉(zhuǎn)向則與取右段梁為研究對象所示相反。研究對象所示相反。(b)xxmAmyRACFQMmmRBBF(c)FByFAyF和和 的正負(fù)號的規(guī)定的正負(fù)號的規(guī)定dxmmFQFQ+剪力符號剪力符號使使d

10、x 桿段有桿段有 的相對錯動時，桿段有順時針轉(zhuǎn)的相對錯動時，桿段有順時針轉(zhuǎn)動趨勢，桿段左右橫截面動趨勢，桿段左右橫截面 上的剪上的剪力為力為正正-即：即：使使dx桿段有桿段有順時針轉(zhuǎn)動趨勢的順時針轉(zhuǎn)動趨勢的剪力為正。（對于水平桿段剪力為正。（對于水平桿段左左上上右右下為正下為正 ）。）。左：脫離體左截面左：脫離體左截面右：脫離體右截面右：脫離體右截面使使dx 桿桿段有段有 的相對錯動時，桿段有逆時針轉(zhuǎn)動的相對錯動時，桿段有逆時針轉(zhuǎn)動趨勢，桿段左、右橫截面趨勢，桿段左、右橫截面 上的剪上的剪力為力為負(fù)負(fù)-即：即：使使dx桿段有桿段有逆時針轉(zhuǎn)動趨勢的剪力逆時針轉(zhuǎn)動趨勢的剪力為負(fù)。（對于水平桿段為負(fù)

11、。（對于水平桿段左左下下右右上為上為負(fù)負(fù) ）。）。dxmmFQFQ左：脫離體左截面左：脫離體左截面右：脫離體右截面右：脫離體右截面_mm+_當(dāng)當(dāng)dx 桿段的彎曲桿段的彎曲下凸下凸即該段的即該段的下半部受拉下半部受拉 時時，左、右橫截面上的彎矩為左、右橫截面上的彎矩為于水平桿段：于水平桿段：左順右逆為左順右逆為正；正； 彎矩符號彎矩符號（受拉）（受拉）MMmm（受壓）（受壓）MM當(dāng)當(dāng)dx 桿段的彎曲桿段的彎曲上上凸凸即該段的即該段的下半部受拉下半部受拉壓壓時時，左、右橫截面左、右橫截面 上的彎矩為上的彎矩為。對于水平桿段：對于水平桿段：左逆右順左逆右順為負(fù)。為負(fù)。左：脫離體左截面左：脫離體左截面

12、右：脫離體右截面右：脫離體右截面剪力：剪力：彎矩：彎矩：使使桿段有順時針轉(zhuǎn)動趨勢桿段有順時針轉(zhuǎn)動趨勢為正為正（對水平桿段左上、右下為正對水平桿段左上、右下為正）,反之為負(fù)反之為負(fù)使桿段下側(cè)受拉為正使桿段下側(cè)受拉為正（對水平桿段左順、右逆為正對水平桿段左順、右逆為正），反之為負(fù)反之為負(fù)簡言之簡言之左：脫離體左截面左：脫離體左截面右：脫離體右截面右：脫離體右截面FPllABCDMO=2FPlFPFPllABCDMO=2FPlMA0AClFPMA0FQCMCFPMA0FPllABCDMO=2FPlCAFPlMA000QP，CyFFF0)(0P，lFMMCCPQFFClFMCP0FPMA0FPllAB

13、CDMO=2FPlAFPMA0llMO=2FPlDFPMA0FPllABCDMO=2FPlMDFQDAFPMA0llMO=2FPlD00PQ，F(xiàn)FFDy020PlFMMMODD0PQFFD0DMFPMA0FPllABCDMO=2FPl例例 求圖示外伸梁在截面求圖示外伸梁在截面11、22、33和和44橫截面上的剪力和彎矩。橫截面上的剪力和彎矩。解：支反力為解：支反力為0yF0AM032aFFaaFBy)(2FFByFFFAyBy)(3 FFAy xyAF Baa2a11224433M =3FaFByFAy截面截面110yF01CM01aFM) (1順順FaMFF1Q截面截面220yF 02CM0

14、2aFM) (2順順FaM02QFFFAyFFFFAy22QM1FQ1F C111FAyM2FQ2F C222 xyAF Baa2a11224433Me =3FaFByFAy截面截面3303aFaFMAy) (3逆逆FaMFFFBy24Q截面截面4404aFMBy) (24順順FaM03QFFFAyFFFFAyQ23 xyAF Baa2a11224433Me =3FaFByFAy33C3M3F FQ3FAyFQ4M44C4FBy4內(nèi)力內(nèi)力11223344FQ-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa1)1)橫截面上的剪力和彎矩在數(shù)值上由截面左側(cè)或右橫截面上的剪力和彎矩在數(shù)值上由截面左側(cè)或右側(cè)梁

15、段脫離體的靜力平衡方程來確定。側(cè)梁段脫離體的靜力平衡方程來確定。 xAF B11224433Me =3FaFA=3FFB =-2F總結(jié)以上例題：總結(jié)以上例題：2）在集中力作用處，剪力值發(fā)生突變，突變值）在集中力作用處，剪力值發(fā)生突變，突變值=集中力大小，彎矩?zé)o變化。集中力大小，彎矩?zé)o變化。在集中力偶作用處，彎矩值發(fā)生突變，突變值在集中力偶作用處，彎矩值發(fā)生突變，突變值=集中力偶矩大小，剪力無變化。集中力偶矩大小，剪力無變化。內(nèi)力內(nèi)力11223344FQ-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa xAF B11224433Me =3FaFA=3FFB =-2F截面截面11) (1順順FaMFF1

16、QM1FQ1F C111截面截面22) (2順順FaMFFFFAy22QFAyM2FQ2F C222截面截面33) (3逆逆FaMFFFFAyQ2333C3M3F FQ3FAyFFFBy24Q截面截面44) (24順順FaMFQ4M44C4FBy4FQFPFPFQFPFPFQFQ+-剪力剪力剪力剪力剪力剪力等于脫離體上等于脫離體上所有外力所有外力沿沿軸線法線軸線法線方向投影的代數(shù)和，對方向投影的代數(shù)和，對切切開面開面而言，使脫離體產(chǎn)生而言，使脫離體產(chǎn)生順時順時轉(zhuǎn)動趨勢的轉(zhuǎn)動趨勢的外力外力產(chǎn)生正的剪力產(chǎn)生正的剪力，反，反之，使脫離體產(chǎn)生之，使脫離體產(chǎn)生逆時逆時轉(zhuǎn)動趨勢的轉(zhuǎn)動趨勢的外力外力產(chǎn)生負(fù)的

17、剪力。產(chǎn)生負(fù)的剪力。對于水平桿段對于水平桿段左上右下為正左上右下為正,反之為負(fù)反之為負(fù)左上左上：取左部分為脫離體，向上的外力產(chǎn)生正的剪力：取左部分為脫離體，向上的外力產(chǎn)生正的剪力右下右下：取右部分為脫離體，向下的外力產(chǎn)生正的剪力：取右部分為脫離體，向下的外力產(chǎn)生正的剪力FPFPFPFP+-MMMM彎矩彎矩U U U U MMMM+-彎矩彎矩等于脫離體上所有外力對等于脫離體上所有外力對切開面形心切開面形心力矩的代數(shù)和，對水平桿力矩的代數(shù)和，對水平桿件而言，使脫離體件而言，使脫離體下側(cè)受拉下側(cè)受拉的外力的外力產(chǎn)生正的彎矩產(chǎn)生正的彎矩，使脫離體，使脫離體上側(cè)受上側(cè)受拉拉的外力的外力產(chǎn)生負(fù)的彎矩。產(chǎn)生

18、負(fù)的彎矩。對于水平桿件對于水平桿件向上的向上的外力外力均將引起均將引起 正值正值 的彎矩，而向下的彎矩，而向下 的外力則引起的外力則引起 負(fù)值負(fù)值 的的彎矩。彎矩。對于力偶：左順右逆為正，反之為負(fù)對于力偶：左順右逆為正，反之為負(fù)左順左順：取左部分為脫離體，順時轉(zhuǎn)向的力偶產(chǎn)生正的彎矩取左部分為脫離體，順時轉(zhuǎn)向的力偶產(chǎn)生正的彎矩右逆右逆：取右部分為脫離體，逆時轉(zhuǎn)向的力偶產(chǎn)生正的彎矩：取右部分為脫離體，逆時轉(zhuǎn)向的力偶產(chǎn)生正的彎矩例：求指定截面上的內(nèi)力例：求指定截面上的內(nèi)力 FQA左左 ， FQA右右， FQD左左 ， FQD右右 ， MD左左， MD右右 ， FQB左左 ， FQB右右 。解：解：F

19、Ay=14.5kNFBy=3.5kNkN62QqAF左kN582Q.qFFAyA右kN53QQ.FFFByDD右左kN.m42mFMByD左kN.m4364qFMAyD左mkN3qm=3kN.m2m2m4mCADBFAyFBymKNq 3 m=3KN.m2m2m4mCADBFAyFBykN.m7364mqFMAyD右kN.m72FMByD右kN53Q.FFByB左0QFB右例例: : 求求A、B、C、D截面的內(nèi)力截面的內(nèi)力。解：求支反力2 ; 2qaFqaFDyAy0;2QARAMqaF左端點(diǎn)A：221;2QqaMqaFBLBB點(diǎn)左：221;2QqaMqaFBRBB點(diǎn)右：221;2QqaMqa

20、FLCCC點(diǎn)左：221;2QqaMqaFRCCC點(diǎn)右：0 ; 21QDLDMqaF右端點(diǎn)D：qqa2qaFAy=0.5qaFDy=0.5qaABCD3aalq0ABC例例: 圖中所示擋土墻木樁的計算簡圖如圖圖中所示擋土墻木樁的計算簡圖如圖 所示。所示。它是一根在整個長度上受線性分布荷載作用的懸它是一根在整個長度上受線性分布荷載作用的懸臂梁。已知最大荷載集度為臂梁。已知最大荷載集度為 q0=20kN/m ， 梁梁長長 l=2m ，a=1m。求求 C、B 兩兩點(diǎn)處橫截面上的點(diǎn)處橫截面上的剪力和彎矩剪力和彎矩。QCFMC02020QlaqF,FCykN5221202220QlaqFC032020al

21、aqM,MCC 解：解： 先計算先計算 C 橫橫截面上的剪力截面上的剪力 FQC 和彎矩和彎矩 MC 。從對左段梁寫出的平衡方從對左段梁寫出的平衡方程程kN.m6671262061330.laqMC3alaq220alq0ABCAcaFQC 和彎矩和彎矩 MC 都為負(fù)值都為負(fù)值，亦即它們的指向和轉(zhuǎn)，亦即它們的指向和轉(zhuǎn)向都和圖中相反向都和圖中相反。 再計算再計算 B 橫截面上的橫截面上的剪力剪力 FQB 和彎矩和彎矩 MB ，沿沿支座支座 B 假想地截開假想地截開 ，從，從對左段梁寫出的平衡方程對左段梁寫出的平衡方程 Aalq0BC3l20lqlABQBMBFQB0200QlqF,FBy032,

22、 00llqMmBBmkN33.1362206220lqMBkN20222020QlqFBFQB 和和MB 都為負(fù)值都為負(fù)值3l20lqlABQBMBFQB不同橫截面處剪力、彎矩的大小是不同的，需不同橫截面處剪力、彎矩的大小是不同的，需要找出內(nèi)力最大的最危險截面，即需要繪出梁要找出內(nèi)力最大的最危險截面，即需要繪出梁的內(nèi)力圖。的內(nèi)力圖。2.4.3 梁的內(nèi)力圖梁的內(nèi)力圖剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖)(QQxFF )(xMM 剪力方程剪力方程彎矩方程彎矩方程反映梁的橫截面上的剪反映梁的橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置變力和彎矩隨截面位置變化的函數(shù)式化的函數(shù)式剪力方程和彎矩方程及剪力圖和彎矩圖剪力方程和

23、彎矩方程及剪力圖和彎矩圖xMxxFQBAl例：簡支梁受均布載荷作用例：簡支梁受均布載荷作用試寫出剪力和彎矩方程，并試寫出剪力和彎矩方程，并畫畫出剪力出剪力圖圖和彎矩和彎矩圖。圖。解：解：1 1確定約束力確定約束力00，BAMMFAy FBy ql/22 2寫出剪力和彎矩方程寫出剪力和彎矩方程yxCx lxqx/qlxF02Q lxqxqlxxM02/2/23. 3. 依方程畫出剪力圖和彎矩圖。依方程畫出剪力圖和彎矩圖。2/ql2/qlFQxMx2max,QqlF82maxqlM8/2ql0.5l BAlFAyFBy例：圖示簡支梁例：圖示簡支梁C C點(diǎn)受集中力作用。點(diǎn)受集中力作用。試寫出剪力和彎

24、矩方程，并畫試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。出剪力圖和彎矩圖。解：解：1 1確定約束力確定約束力00，BAMMFAyFb/l FByFa/l2 2寫出剪力和彎矩方程寫出剪力和彎矩方程x2FQxl /abFPx1AC axl /bFxF1P1Q0 axl /bxFxM11P10CB lxal /aFxF2P2Q lxal /xlaFxM22P23. 3. 依方程畫出剪力圖和彎矩圖。依方程畫出剪力圖和彎矩圖。CabFPl /bFPl /aFPMlbFFmax,PQlabFMmaxP發(fā)生在集中荷發(fā)生在集中荷載作用處載作用處發(fā)生在發(fā)生在AC段段ba時時FQ FPblxFPblMxFPabl

25、FP BlAabCa=b=l/2時，時，2PQFFmax,4plFMmax BAl例：圖示簡支梁例：圖示簡支梁C點(diǎn)受集中力偶作用。點(diǎn)受集中力偶作用。試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。解：解：1 1確定約束力確定約束力00，BAMMFAyM / l FBy -M / l2 2寫出剪力和彎矩方程寫出剪力和彎矩方程x2x1AC axl/MxF11Q0 axlMxxM1110/CBbxl/MxF22Q0bxlMxxM2220/3. 3. 依方程畫出依方程畫出剪力圖和彎矩圖。剪力圖和彎矩圖。CMablM/lMa/lMb/FQ圖圖M圖ba時時lMbMm

26、ax發(fā)生在發(fā)生在C截面右側(cè)截面右側(cè)Bl/2FAy AFByCMl/2FQlxMMxM/2M/2思考：對稱性與反對稱性思考：對稱性與反對稱性BFAy AFByCFP l/2l/2xMFPl/4xFP/2FP/2FQBl/2FAy AFByCMl/2FQlxMMxM/2M/2 結(jié)構(gòu)對稱、外力對稱時，彎矩圖為正對稱，結(jié)構(gòu)對稱、外力對稱時，彎矩圖為正對稱，剪力圖為反對稱剪力圖為反對稱 結(jié)構(gòu)對稱、外力反對稱時，彎矩圖為反對稱，結(jié)構(gòu)對稱、外力反對稱時，彎矩圖為反對稱，剪力圖為正對稱剪力圖為正對稱結(jié)論：結(jié)論：2/ql2/qlFQxMx8/2ql0.5lBAlyx例：示懸臂梁受集度為例：示懸臂梁受集度為q的滿

27、布均布荷載作用。試作的滿布均布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。梁的剪力圖和彎矩圖。解：解：1 1、以自由端為坐標(biāo)原點(diǎn)，則可不求反力、以自由端為坐標(biāo)原點(diǎn)，則可不求反力列剪力方程和彎矩方程：列剪力方程和彎矩方程： lxqxxF0Q lxqxxqxxM0222ABxlBxFQ(x)M(x)2、 作剪力圖和彎矩圖作剪力圖和彎矩圖注意：注意：彎矩圖中正的彎矩值繪在彎矩圖中正的彎矩值繪在x軸的下方軸的下方(即彎矩值繪在即彎矩值繪在彎曲時梁的受拉側(cè)彎曲時梁的受拉側(cè))。 )0(QlxqxxF )0(22lxqxxMxqlFS ql22xM l/2ql28ABlqlFmax,Q22maxqlMABlxFFl)

28、xl (FFByAyPPFP例題例題 ：一：一簡支梁受移動荷載簡支梁受移動荷載FP的作用如的作用如圖圖所示的。所示的。試求梁的最大彎矩為極大時荷載試求梁的最大彎矩為極大時荷載FP的位置。的位置。解：先設(shè)解：先設(shè) FP 在距左支在距左支座座 A 為為x的任意位置。的任意位置。求此情況下梁的最大求此情況下梁的最大彎矩。荷載在任意位彎矩。荷載在任意位置時，支反力為置時，支反力為：ABxlFAyFByFPxl)xl (FxFMAyCP當(dāng)荷載當(dāng)荷載 FP 在距左支座為在距左支座為 的任意位置的任意位置 時，梁的最大時，梁的最大彎矩即為彎矩即為 C 點(diǎn)處橫截面上點(diǎn)處橫截面上的彎矩的彎矩 M C ，其值為其

29、值為 ：x02PxllF2lx AB令令0dxdMCABxlFPFPFAyFByC此結(jié)果說明：當(dāng)移動荷載此結(jié)果說明：當(dāng)移動荷載F P 在簡支梁的跨中時，在簡支梁的跨中時， 梁的最大彎矩為極大梁的最大彎矩為極大。xl)xl (FxFMAyCP得最大彎矩值得最大彎矩值lFMmaxP412lx 代入式將第二種方法：控制截面法第二種方法：控制截面法xyq(x)FPm1）彎矩、剪力與分布荷載集度間的微分關(guān)系）彎矩、剪力與分布荷載集度間的微分關(guān)系q = q(x)規(guī)定規(guī)定：將將 x 軸的坐表原點(diǎn)取在軸的坐表原點(diǎn)取在 梁的梁的。設(shè)梁上作用有任意分布荷載設(shè)梁上作用有任意分布荷載其集度其集度1 .彎矩、剪力與分布

30、荷載集度間的關(guān)系及其應(yīng)用彎矩、剪力與分布荷載集度間的關(guān)系及其應(yīng)用內(nèi)力是由外荷載引起的，兩者必然存在著內(nèi)在的關(guān)系。內(nèi)力是由外荷載引起的，兩者必然存在著內(nèi)在的關(guān)系。FQ(x)M(x)FQ(x)+dFQ(x)M(x)+dM(x)假想地用坐標(biāo)為假想地用坐標(biāo)為 x 和和 x+dx的的兩橫截面兩橫截面 m-m 和和 n-n 從梁從梁中取出中取出 dx 一段。一段。xyq(x)FPmxmmnndxmmnnq(x)Cx+dx 截面處截面處 則分別為則分別為 FQ(x)+dFQ(x), M(x)+dM(x) 。由于由于dx很小，略去很小，略去q(x) 沿沿dx的變化的變化m-m截面上內(nèi)力為截面上內(nèi)力為FQ(x)

31、， M(x) Fy= 0FQ(x) - FQ(x)+dFQ(x) + q(x)dx = 0得到得到 Mc = 0 M (x) + dM(x) - M(x) - FQ(x) dx - q(x)dx.dx2= 0寫出平衡方程寫出平衡方程FQ(x)M(x)FQ(x)+dFQ(x)M(x)+dM(x)mmnnq(x)C略去二階無窮小量即得略去二階無窮小量即得= q(x)dFQ(x)dx= FQ(x)dM(x)dx= q (x)d2M(x)dx2dM(x)dx= FQ(x) d M(x) 2d x2= q(x)= q(x)dxdFQ(x) d M(x) 22d x= q(x)dx=FQ(x)dxdFQ(

32、x) = q(x)dM(x)M(x)圖為一向圖為一向下下凸的二次拋物線凸的二次拋物線FQ(x)圖為一向右下方傾斜的直線圖為一向右下方傾斜的直線xFQ(x)oM(x)xoq(x)、FQ（x）圖、圖、 M（x）圖三者間的關(guān)系圖三者間的關(guān)系梁上有向下的均布荷載，即梁上有向下的均布荷載，即 梁段上無荷載作用，即梁段上無荷載作用，即 剪力圖為一條水平直線剪力圖為一條水平直線彎矩圖為一斜直線彎矩圖為一斜直線xFQ(x)oxoM(x)xM(x)o當(dāng)當(dāng) FQ(x) 0 時，向右下方傾斜。時，向右下方傾斜。當(dāng)當(dāng) FQ(x) 0q0FQ 0 x斜直線增函數(shù)xx降函數(shù)xC自左向右突變xC無變化斜直線xM增函數(shù)xM降

33、函數(shù)曲線xM山峰狀xM盆狀自左向右折角 自左向右突變與m反xM折向與F反向MxM1M2mMM21利用以上特征利用以上特征1)可以校核已作出的剪力圖和彎矩圖是否正確；可以校核已作出的剪力圖和彎矩圖是否正確；2)可以不建立剪力方程和彎矩方程，利用微分關(guān)系直接繪制剪可以不建立剪力方程和彎矩方程，利用微分關(guān)系直接繪制剪力圖和彎矩圖。力圖和彎矩圖。求支座反力。求支座反力。BA00，BAMMOOBAOOBA方法一方法一（-）（+）FAy0.89 kN 0.89 kN FFy1.11 kN 1.11 kN FByBA1.5m1.5m1.5mFAy1kN.m2kNDCFQ（ kN）0.891.11方法二方法二

34、（-）（-）1.3350.3351.665M（ kN.m）OOBAkN111maxQ.FmkN6651max.MmaxMmaxQFOOBAqBA00，BAMMqaFqaFByAy4349,qBACqBAqBAqBAqxEqaFAy4902004902，EEEyqxMMxqqaF2232812149qaqxMaxEEEqBAqBA2maxmaxQ328149qaMqaFqBA （+） （-）qaFqaFByAy4349,qBAFAyFBy FQ 9qa/4 7qa/4qa（+） M 81qa2/32qa2xQFQ xqa/2qa/2FQFQqqMxMxqqqqqqxFQxFQqaFQMxMxqa

35、2/2qa2FQqqFQqq2230QqaM;F0 ; QMqaF2 ;QqaMqaF223; 0QqaMFaaqaqA解：左端點(diǎn)：解：左端點(diǎn)：分區(qū)點(diǎn)分區(qū)點(diǎn)A：M 的駐點(diǎn)的駐點(diǎn)：右端點(diǎn)：右端點(diǎn)：FQx223qaqa2qaxM例：繪出下列懸臂梁的內(nèi)力圖例：繪出下列懸臂梁的內(nèi)力圖例例: : 畫下列各圖示梁的內(nèi)力圖。解：求支反力2 ; 2qaFqaFDyAy0;2QMqaF左端點(diǎn)A：221;2QqaMqaFB點(diǎn)左：221;2QqaMqaFB點(diǎn)右：221;2QqaMqaFC點(diǎn)左：M 的駐點(diǎn)：283; 0QqaMF221;2QqaMqaFC點(diǎn)右：0 ; 21QMqaF右端點(diǎn)D：qqa2qaFAyFDyF

36、Qxqa/2qa/2qa/2+ABCDqa2/2xMqa2/2qa2/23qa2/8+B3aACM =3qa2axq例：試?yán)脧澗?、剪力與分布荷載集度間的微分例：試?yán)脧澗亍⒓袅εc分布荷載集度間的微分關(guān)系作圖示梁的剪力圖和彎矩圖。關(guān)系作圖示梁的剪力圖和彎矩圖。解：解：1 1、支反力為、支反力為qaFAy35qaFBy310BM 0AM03232aFaaqqaAy022332aaqqaaFByFByB3aACM =3qa2axqFAyAC段：段： q=0 剪力圖為水平直線剪力圖為水平直線剪力值剪力值qaF35Q2 2、作剪力圖、作剪力圖FQ5qa/3xqa/38a/3xFByB3aACM =3q

37、a2axqCB段：段：q=常量常量0 剪力圖為向右下方剪力圖為向右下方傾斜的斜直線傾斜的斜直線qaF35QCqaFB31QFAy3、作彎矩圖、作彎矩圖AC段段彎矩圖彎矩圖斜直線斜直線CB段段彎矩圖彎矩圖二次拋二次拋物線物線B3aACM =3qa2axqMx4qa2/35qa2/3qa2/18（+）FQ5qa/3xqa/38a/3Mx4qa2/3qa2/185qa2/3（+）例題例題 :一簡支梁受兩個力一簡支梁受兩個力FP作用如圖所示。已知作用如圖所示。已知 FP= 25.3KN，有關(guān)尺寸如圖所示。試用控制截面法有關(guān)尺寸如圖所示。試用控制截面法作此梁的剪力圖和彎矩圖。作此梁的剪力圖和彎矩圖。解：

38、求梁的支反力。由平衡解：求梁的支反力。由平衡 方程方程 mB=0 和和 mA=0 得得k623 .FAykN 27FBy將梁分為將梁分為AC，CD，DB三段。三段。 每一段均屬無外力段每一段均屬無外力段。ABCD2001151265FPFPFAyFBy剪力圖剪力圖每段梁的剪力圖均為水平直線每段梁的剪力圖均為水平直線AC段：段：FQ1 = FAy =23.6kNCD段：段：FQ2= FAy-FP = -1.7kNDB段：段：FQ3 =- FBy = - 27kNkN27maxQFABCD2001151265FPFP123kN6 .23FAykN27FBy最大剪力發(fā)生在最大剪力發(fā)生在DB段中的段中

39、的任一橫截面上任一橫截面上+1.72723.6FQ圖（圖（kN)ABCD2001151265FPFP123彎矩圖彎矩圖每段梁的彎矩圖均為斜直線。且每段梁的彎矩圖均為斜直線。且梁上無集中力偶。故只需計算梁上無集中力偶。故只需計算A、C、D、B各點(diǎn)處橫截面上的彎矩各點(diǎn)處橫截面上的彎矩。0 MAmkN724200FMAyCmkN113115FMByD0 MBmkN724maxM+4.723.11M圖（圖（kN.m）最大彎矩發(fā)生在最大彎矩發(fā)生在 C 截面截面kN6 .23FAykN27FBy對圖形進(jìn)行校核對圖形進(jìn)行校核在集中力作用的在集中力作用的 C，D 兩點(diǎn)兩點(diǎn)剪力圖發(fā)生突變，突變值剪力圖發(fā)生突變，

40、突變值 FP=25.3kN 。 而彎矩圖而彎矩圖有尖角。在有尖角。在AC段剪力為正值段剪力為正值，彎矩圖為向下傾斜的直線。，彎矩圖為向下傾斜的直線。在在CD和和DB段，剪力為負(fù)值段，剪力為負(fù)值，彎矩圖為向上傾斜的直線。，彎矩圖為向上傾斜的直線。最大彎矩發(fā)生在剪力改變正，最大彎矩發(fā)生在剪力改變正，負(fù)號的負(fù)號的C點(diǎn)截面處。說明剪點(diǎn)截面處。說明剪力圖和彎矩圖是正確的。力圖和彎矩圖是正確的。+1.72723.6ABCDFPFP123FAyFBy+4.723.11FQ圖（圖（kN)M圖（圖（kN.m)=5mFx3m4m4m4mkN2kN2kN.m10mm1kNqABcDEkN7FAykN5FBy例例:

41、作梁的內(nèi)力圖作梁的內(nèi)力圖解：支座反力為解：支座反力為kN7FAykN5FBy7kN1kN+-3kN3kN2kNFQ圖圖3m4m4m4mkN2kN2kN.m10mm1kNqABcDEkN7FAykN5FBy例例: 作梁的內(nèi)力圖作梁的內(nèi)力圖解：支座反力為解：支座反力為kN7FAykN5FBy+-20.5201666 M圖圖 （kN.m)例例: :試?yán)L出圖示有中間鉸的靜定梁的剪力彎矩圖。試?yán)L出圖示有中間鉸的靜定梁的剪力彎矩圖。已知：已知： kN81AyFmkN5 .96AMkN29ByF( (逆時針逆時針) )1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/m M=5kNmF=50kNMA FAx

42、 FAyFBy 96.515.53155345M圖圖( (kNm) )813129FQ圖圖( (kN) )1.45 m1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/m M=5kNmF=50kN中間鉸鏈傳遞剪力中間鉸鏈傳遞剪力（鉸鏈左，右兩側(cè)的（鉸鏈左，右兩側(cè)的剪力相等）；剪力相等）；但不傳遞彎矩（鉸鏈但不傳遞彎矩（鉸鏈處彎矩必為零）。處彎矩必為零）。81kN29kN96.5kN.m例題例題: 一簡支梁受均布荷載作用，其集度一簡支梁受均布荷載作用，其集度 q=100kN/m , 如圖如圖 所示。作此梁的剪力圖和彎矩圖。所示。作此梁的剪力圖和彎矩圖。解：計算梁的支反力解：計算梁的支反力kN80

43、6110050FFByAy將梁分為將梁分為 AC、CD、DB三段三段。AC和和DB上無荷載，上無荷載，CD段段有向下的均布荷載。有向下的均布荷載。EqABCD0.21.612剪力圖剪力圖AyFByFkN80QFFAyCkN80QFFByDEqABCD0.21.61221DB段：水平直線段：水平直線最大剪力發(fā)生在最大剪力發(fā)生在 CD 和和 DB 段的任一橫截面上。段的任一橫截面上。 CD段：段： 向右下方的斜直線向右下方的斜直線AC段：水平直線段：水平直線 FQ1 = FAy = 80 kNkN80QFFByB 左0QFB 右),(FmaxkN80QAyFByF+80KN80KNFQ圖圖EqAB

44、CD0.21.61221彎矩圖彎矩圖AC段：向下傾斜的直線段：向下傾斜的直線0 MAkN.m1620.FMAyCCD段：向下凸的二次拋物線段：向下凸的二次拋物線mkN1620FMByDmkN48211) 201 (2qFMAyE+80kN80kN其極值點(diǎn)在其極值點(diǎn)在FQ=0的中點(diǎn)的中點(diǎn)E處的處的橫截面上。橫截面上。DB段：向上傾斜的直線段：向上傾斜的直線 MB = 0AyFByFFQ圖圖EqABCD0.21.61221+161648M圖（kN.m）0 MAkN.m1620.FMAyCmkN1620FMByDmkN48211) 201 (2qFMAyE MB = 0全梁的最大彎矩梁跨中全梁的最大

45、彎矩梁跨中E點(diǎn)的橫截面上。點(diǎn)的橫截面上。mkN48maxMFAyFBy例例改內(nèi)力圖之錯。a2aaqqa2ABFQxxM+qa/4qa/43qa/47qa/4qa2/449qa2/323qa2/25qa2/447;4qaFqaFByAy)x(qx)x(dFdQbabax)x(q)x(FddQbax)x(q)A(F)B(FdQQbaABx)x(qFFdQQ式中，式中，F(xiàn)QA，F(xiàn)QB分別為在分別為在 x=a , x=b 處兩各橫截面處兩各橫截面A及及B上的剪力。上的剪力。等號右邊積分的幾何意義是上述兩橫截面間分布荷載圖的面積等號右邊積分的幾何意義是上述兩橫截面間分布荷載圖的面積。若在若在 x=a 和

46、和 x=b 處兩個橫截面處兩個橫截面A，B間無集中力則間無集中力則2）彎矩、剪力與分布荷載集度間的積分關(guān)系）彎矩、剪力與分布荷載集度間的積分關(guān)系注意：注意：A B必須必須根據(jù)脫離體確定根據(jù)脫離體確定)x(Fx)x(MQdd若橫截面若橫截面 A，B 間無集中力偶作用則得間無集中力偶作用則得baABx)x(FMMdQ式中，式中，MA，MB分別為在分別為在 x=a , x=b 處兩個橫截面處兩個橫截面 A 及及 B上的上的彎矩彎矩。等號右邊積分的幾何意義是等號右邊積分的幾何意義是A，B兩個橫截面間剪力圖兩個橫截面間剪力圖的面積。的面積。注意：注意：A B根據(jù)根據(jù)脫離體確定脫離體確定例題例題: 利用積

47、分關(guān)系計算利用積分關(guān)系計算 梁梁 C、 E 兩橫截面上的剪力和彎矩。兩橫截面上的剪力和彎矩。 EABCD0.21.612caACx)x(qFFdQQkN800QFFAyA在在CE段中段中mkN100qecCEx)x(qFFdQQCEqFCQ020110080 ).(baABx)x(qFFdQQbaABx)x(FMMdQ在在AC段中段中 q=0 ，且且 FQA=FAy解：解：FAy=80kNFBy=80kNq=100kN/mcaACx)x(FMMdQACFMAQmkN162 . 0800+80kN80kN(b)EqABCD0.21.612在在AC段中段中 FQc = 80kN，剪力圖剪力圖為矩形

48、，為矩形，MA =0baABx)x(qFFdQQbaABx)x(FMMdQFQ圖圖FAy=80kNFBy=80kNecCEx)x(FMMdQCE.FMCCQ21kN.m48201802116).(+80KN80KN(b)EqABCD0.21.612在在CE段中，剪力圖為三角形段中，剪力圖為三角形FQC=80kN，MC=16kN.mFAy=80kNFAy=80kNFBy=80kNbaABx)x(qFFdQQbaABx)x(FMMdQFP=20kN解：解：畫荷載圖畫荷載圖CABD例題：已知簡支梁的剪力圖，例題：已知簡支梁的剪力圖，作梁的彎矩圖和荷載圖。作梁的彎矩圖和荷載圖。 已知梁上沒有集中力偶作

49、用。已知梁上沒有集中力偶作用。+abcd18kN2kN14kN3m3m6mFQ圖圖baABx)x(qFFdQQFP=18kNFP=14kN+abcd18kN2kN14kN3m3m6mFP=20kNCABDFQ圖圖FP=18kNFP=14kNBC段：無荷載段：無荷載CD段：有均布荷載段：有均布荷載q( )qx)x(qFFdcCD6dQQkN26)2()14(qAB段：沒有荷載，在段：沒有荷載，在B處處有集中力，有集中力，F(xiàn)P=20kN。因因?yàn)闉閗N18QFB左kN2Q右BF所以所以FP( )q=2kN/m+abcd18kN2kN14kN3m3m6mFP=20kNCABDFQ圖圖FP=18kNFP=14kNq=2kN/m彎矩圖彎矩圖b