陜西省商洛市2020—2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題理（含解析）

1、陜西省商洛市2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題 理（含解析）一、單選題（共12題；共60分）1.(1+3i)+(2i)= （ ） A.1+2iB.32iC.12iD.3+2i2.設(shè)集合 P=x|x29 ， Q=x|x20 ，則圖中陰影部分表示的集合為（ ） A.x|x3C.x|3x2D.x|210.1)=0.2 .若從A類零件中隨機(jī)選取100個(gè)，則零件質(zhì)量在 9.9kg10.1kg 的個(gè)數(shù)大約為（ ） A.40B.30C.60D.2410.已知 P 為曲線 C:x=3y 上一點(diǎn)， T(0,94) ， A(3,3) ，則 |PT|+|PA| 的最小值為（ ） A.6B.234C.5

2、D.21411.已知函數(shù) f(x)=sin(x2+14)sin(37x2)(0) 在 0,) 上恰有6個(gè)零點(diǎn)，則 的取值范圍是（ ） A.(417,487B.(347,417C.417,487)D.347,417)12.若 a=log1243 ， b=ln34 ， c=14 ，則（ ） A.abcB.bacC.cabD.ac1) 的焦點(diǎn)與雙曲線 D:x22y2t=1(t0) 的焦點(diǎn)相同，且D的離心率為 62 . （1）求C與D的方程； （2）若 P(0,1) ，直線 l:y=x+m 與C交于A ， B兩點(diǎn)，且直線PA ， PB的斜率都存在. 求m的取值范圍.試問這直線PA ， PB的斜率之積是

3、否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.21.已知函數(shù) f(x)=2ex(ex2a)+4ax+a2 . （1）當(dāng) a0 時(shí)，求 f(x) 極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)； （2）若 x1 ， x2 是 f(x) 的兩個(gè)極值點(diǎn)，且 f(x1)+f(x2)M 在 2,3 上恒成立，求 a 的取值范圍. 答案解析部分一、單選題（共12題；共60分）1.(1+3i)+(2i)= （ ） A.1+2iB.32iC.12iD.3+2i【答案】 D 【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算 【解析】【解答】解： (1+3i)+(2i)=3+2i故答案為：D 【分析】根據(jù)題意由復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)整理即可得出答案。2.設(shè)集合 P=x|

4、x29 ， Q=x|x20 ，則圖中陰影部分表示的集合為（ ） A.x|x3C.x|3x2D.x|20=x|x2 ， 所以 PQ=x|210.1)=0.2 .若從A類零件中隨機(jī)選取100個(gè)，則零件質(zhì)量在 9.9kg10.1kg 的個(gè)數(shù)大約為（ ） A.40B.30C.60D.24【答案】 C 【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義 【解析】【解答】正態(tài)分布 N(10,2) 的對(duì)稱軸為 m=10 ， 所以 P(m10.1)=0.2 .所以 P(9.9m10.1)=1P(m10.1)=0.6 ，所以若從A類零件中隨機(jī)選取100個(gè)，則零件質(zhì)量在 9.9kg10.1kg 的個(gè)數(shù)大約為 1000.

5、6=60 個(gè).故答案為：C. 【分析】由正太分布的性質(zhì)結(jié)合已知條件，代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果即可。10.已知 P 為曲線 C:x=3y 上一點(diǎn)， T(0,94) ， A(3,3) ，則 |PT|+|PA| 的最小值為（ ） A.6B.234C.5D.214【答案】 D 【考點(diǎn)】拋物線的定義，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【解析】【解答】由題意知：曲線 C 是拋物線 x2=9y 的右半部分且 T(0,94) 是焦點(diǎn)， P 為曲線 C 上一點(diǎn)，若 P 到準(zhǔn)線 y=94 的距離為 d ，則 d=|PT| ， |PT|+|PA|=d+|PA| ，要使其值最小，則 d+|PA| 即為 A 到準(zhǔn)線 y=94 的距離， |P

6、T|+|PA| 的最小值為 3+94=214 .故答案為：D 【分析】根據(jù)題意由拋物線的定義求出d的值，再結(jié)合題意即可得出|PT|+|PA|=d+|PA| ， 從而計(jì)算出結(jié)果。11.已知函數(shù) f(x)=sin(x2+14)sin(37x2)(0) 在 0,) 上恰有6個(gè)零點(diǎn)，則 的取值范圍是（ ） A.(417,487B.(347,417C.417,487)D.347,417)【答案】 A 【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦公式，函數(shù)的零點(diǎn)，誘導(dǎo)公式 【解析】【解答】 f(x)=sin(x2+14)sin(37x2)=sin(x2+14)cos2(37x2)=sin(x2+14)cos(x2+14)=1

7、2sin(x+7)x=0 時(shí) x+7=7 ； x= 時(shí) x+7=+7 ；由 f(x)=12sin(x+7)=0 得 x+7=k(kZ)在 0,) 上恰有6個(gè)零點(diǎn)且 0 ,則 6+77 ， 417487故答案為：A 【分析】首先由誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦公式整理化簡(jiǎn)原式，再由整體思想結(jié)合零點(diǎn)的定義即可求出的值。12.若 a=log1243 ， b=ln34 ， c=14 ，則（ ） A.abcB.bacC.cabD.aclog342log34elog3425681=4 ，所以 1log3421log34e14 ，即 abc故答案為：A 【分析】首先由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)整理化簡(jiǎn)a與b，再由對(duì)數(shù)函數(shù)的單

8、調(diào)性即可比較出大小。二、填空題（共4題；共20分）13.圓 x2+(y1)2=1 的圓心到直線 x+y+1=0 的距離為_. 【答案】2【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式，直線與圓的位置關(guān)系 【解析】【解答】解：圓 x2+(y1)2=1 的圓心坐標(biāo)為 (0,1) ，所以圓心到直線 x+y+1=0 的距離 d=|1+1|12+12=2故答案為： 2 【分析】根據(jù)題意首先求出圓心坐標(biāo)以及半徑，再由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算出結(jié)果即可。14.已知向量 a=(2,) 與 b=(3,1) 垂直，則 a2= _. 【答案】 240 【考點(diǎn)】向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 【解析】【解答】由題意， 2(

9、3)+=0 ，則 =6 ， a2=|a|2=6(4+36)=240 .故答案為：240 【分析】首先由向量垂直的坐標(biāo)公式代入數(shù)值計(jì)算出的值，再把數(shù)值代入到a2計(jì)算出答案。15.已知 ABC 的內(nèi)角A ， B ， C的對(duì)邊分別為a ， b ， c ， 且 sin2A+sin2Bsin2C=sinAsinB ，現(xiàn)有下列四個(gè)結(jié)論： C=23 ；當(dāng) a=lg2 ， b=lg5 時(shí)， c2=13lg2lg5 ；當(dāng) c=23 時(shí)， ABC 外接圓的面積為 16 ；當(dāng) c=2 時(shí)， ABC 面積的最大值為 3 .其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是_. 【答案】 【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，正弦定理，余弦定理 【解析】【解

10、答】解：因?yàn)?sin2A+sin2Bsin2C=sinAsinB ，由正弦定理可得 a2+b2c2=ab ，所以 cosC=a2+b2c22ab=12 ，因?yàn)?C(0,) ，所以 C=3 ，故錯(cuò)誤，當(dāng) a=lg2 、 b=lg5 時(shí) c2=a2+b2ab=lg22+lg25lg2lg5=(lg2+lg5)23lg2lg5=13lg2lg5 ，故正確；當(dāng) c=23 時(shí)，設(shè)其外接圓的半徑為 R ，由正弦定理可得 2R=csinC=2332=4 ，所以 R=2 ，所以外接圓的面積為 4 ，故錯(cuò)誤；當(dāng) c=2 時(shí)，由 a2+b2c2=ab ，所以 a2+b2=4+ab2ab ，即 ab4 ，當(dāng)且僅當(dāng)

11、a=b 時(shí)取等號(hào)，所以 SABC=12absinC=34ab3 ，故正確； 故答案為： 【分析】利用正弦定理以及余弦定理整理化簡(jiǎn)即可求出角C的值由此判斷出錯(cuò)誤；結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可判斷出正確；由正弦定理結(jié)合三角形的面積公式即可求出R的值由此判斷出錯(cuò)誤；對(duì)c賦值然后由基本不等式結(jié)合三角形的面積公式即可判斷出正確；由此得出答案。16.中國(guó)古代計(jì)時(shí)器的發(fā)明時(shí)間不晚于戰(zhàn)國(guó)時(shí)代(公元前476年前222年)，其中沙漏就是古代利用機(jī)械原理設(shè)計(jì)的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道流到下部容器.如圖，某沙漏由上下兩個(gè)圓錐容器組成，圓錐

12、底面圓的直徑和高均為4cm，當(dāng)細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的 34 (細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì)).若細(xì)沙的流速為每分鐘1cm3 ， 則上部細(xì)沙全部流完的時(shí)間約為_分鐘(結(jié)果精確到整數(shù)部分)；若細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則該沙堆的高為_cm. 【答案】 7；2716【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積 【解析】【解答】由題設(shè)，圓錐底面圓半徑為 R ，高為 ，則 R=2 cm， =4 cm， 當(dāng)細(xì)沙全部在上部時(shí)，細(xì)沙形狀可看作一個(gè)圓錐，其底面圓半徑 r 滿足，rR=34=34 ， r=34R=32 cm，細(xì)沙的體積 V=13r234=13(32)23=94 cm3.若細(xì)沙的

13、流速為每分鐘1cm3 ， 則上部細(xì)沙全部流完的時(shí)間為 94 分鐘，約為7分鐘.若細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，設(shè)該圓錐形沙堆高為 1 ，則由細(xì)沙漏入前后體積不變得， 13R21=94 ，把 R=2 代入，解得 1=2716 cm.故答案為：7； 2716 . 【分析】根據(jù)題意即可得出當(dāng)細(xì)沙全部在上部時(shí)，細(xì)沙形狀可看作一個(gè)圓錐，其底面圓半徑 r 滿足的關(guān)系式，然后由圓錐的體積公式代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果即可；若細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，由等體積法就可求出沙堆的高。三、解答題（共7題；共70分）17.如圖，在空間直角坐標(biāo)系 Oxyz 中，A ，

14、 D ， B分別在x ， y ， z軸的正半軸上，C在平面BOD內(nèi). （1）若 OECD ，證明： CDAE . （2）已知 OA=OD=3 ， OB=2 ，C的坐標(biāo)為 (0,2,4) ，求BC與平面ACD所成角的正弦值. 【答案】 （1） AO 面 BOD ， CD 面 BOD ， AOCD ，而 OECD ， AOOE=O ， CD 面 AOE ，而 AE 面 AOE ， CDAE .（2）由題意知： A(3,0,0) ， D(0,3,0) ， B(0,0,2) ， AC=(3,2,4) ， DC=(0,1,4) ， BC=(0,2,2) ，若 m=(x,y,z) 是面ACD的一個(gè)法向量，

15、則 3x+2y+4z=0y+4z=0 ，令 z=1 ，有 m=(4,4,1) ， |cos|=|BCm|BC|m|=10833=56666 ，BC與平面ACD所成角的正弦值為 56666 .【考點(diǎn)】直線與平面垂直的性質(zhì)，空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，用空間向量求直線與平面的夾角 【解析】【分析】(1)由線面垂直的性質(zhì)定理即可得出線線垂直，再由線面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理即可得證出結(jié)論。 (2)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量和平面ACD法向量的坐標(biāo)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求出平面ACD的法向量的坐標(biāo)，結(jié)合空間數(shù)量積的運(yùn)算公式代入數(shù)值即可求出夾角的余弦值即為線面角的正弦值，由此得到

16、BC與平面ACD所成角的正弦值 。18.2020年某地蘋果出現(xiàn)滯銷現(xiàn)象，為了幫助當(dāng)?shù)毓r(nóng)度過銷售難關(guān)，當(dāng)?shù)卣c全國(guó)一些企業(yè)采用團(tuán)購的方式帶動(dòng)銷售鏈，使得積壓了許多蘋果的當(dāng)?shù)毓r(nóng)有了銷路.為了解果農(nóng)們蘋果的銷售量情況，當(dāng)?shù)剞r(nóng)業(yè)局隨機(jī)對(duì)100名果農(nóng)的蘋果銷售量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將數(shù)據(jù)分成 90,110) ， (110,130 ， (130,150 ， (150,170 4組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替) （1）試估計(jì)這100名果農(nóng)蘋果銷售量的平均數(shù)； （2）假設(shè)這100名果農(nóng)在未打開銷路之前都積壓了2萬千克的蘋果，通過團(tuán)購的方式果農(nóng)每千克蘋果的純利潤(rùn)為1.

17、3元，而積壓仍未售出的蘋果每千克將損失2元的成本費(fèi)，試估計(jì)這100名果農(nóng)積壓的蘋果通過此次團(tuán)購活動(dòng)獲得的總利潤(rùn). 【答案】 （1）x=(1000.0025+1200.01+1400.0225+1600.015)20=140 ， 這100名果農(nóng)蘋果銷售量的平均數(shù)為1.4萬千克；（2）銷售量在 90,110) 的每位果農(nóng)的利潤(rùn)為 1001001.3(2104100100)2=0.7 萬元；銷售量在 (110,130 的每位果農(nóng)的利潤(rùn)為1201001.3(2104120100)2=0.04 萬元；銷售量在 (130,150 的每位果農(nóng)的利潤(rùn)為1001401.3(2104140100)2=0.62 萬

18、元；銷售量在 (150,170 的每位果農(nóng)的利潤(rùn)為1001601.3(2104160100)2=1.28 萬元；因?yàn)?90,110) ， (110,130 ， (130,150 ， (150,170 4組的人數(shù)分別為5,20,45,30，所以這100名果農(nóng)積壓的蘋果通過此次團(tuán)購活動(dòng)獲得的總利潤(rùn)約為0.750.0420+0.6245+1.2830=62 萬元.【考點(diǎn)】頻率分布直方圖，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 【解析】【分析】(1)由已知條件的頻率直方圖中的數(shù)據(jù)，結(jié)合平均數(shù)的公式計(jì)算出結(jié)果即可。 (2)根據(jù)題意由已知條件代入數(shù)值計(jì)算出答案。19.在各項(xiàng)均為正整數(shù)的等差數(shù)列 an 中， a10a2=16

19、 ，且 a72 為小于10的質(zhì)數(shù). （1）求 an 的通項(xiàng)公式； （2）若 bn=2n(an1) ，求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 Sn . 【答案】 （1）解：設(shè)等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)為 a1 ，因?yàn)?a10a2=16 ，所以 8d=a10a2=16 ，即 d=2 ，所以 a72=a1+6d2=a1+122 ，因?yàn)?a72 為小于10的質(zhì)數(shù)，且 a1 為正整數(shù)，所以 a1=2 ，所以 an=a1+(n1)d=2n（2）因?yàn)?bn=2n(an1) ，所以 bn=2n(2n1) ， 所以 Sn=121+322+523+(2n1)2n 所以 2Sn=122+323+524+(2n1)2n+1 -得

20、Sn=121+222+223+22n(2n1)2n+1Sn=121+23(12n1)12(2n1)2n+1Sn=28+22n+1(2n1)2n+1=6(2n3)2n+1所以 Sn=6+(2n3)2n+1【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列的求和 【解析】【分析】(1)首先由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式整理化簡(jiǎn)已知條件由此求出公差的值，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。 (2)由(1) 的結(jié)論整理求出數(shù)列bn的通項(xiàng)公式，再由錯(cuò)位相減法求出數(shù)列前n項(xiàng)和。 20.已知橢圓 C:x2a2+y2=1(a1) 的焦點(diǎn)與雙曲線 D:x22y2t=1(t0) 的焦點(diǎn)相同，且D的離心率為 62

21、. （1）求C與D的方程； （2）若 P(0,1) ，直線 l:y=x+m 與C交于A ， B兩點(diǎn)，且直線PA ， PB的斜率都存在. 求m的取值范圍.試問這直線PA ， PB的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】 （1）解：因?yàn)镈的離心率為 62 ，即 1+t2=62 ， 解得： t=1 ，所以D的方程為： x22y2=1 ；焦點(diǎn)坐標(biāo)為 (3,0) ，又因橢圓 C:x2a2+y2=1(a1) 的焦點(diǎn)與雙曲線 D:x22y2t=1(t0) 的焦點(diǎn)相同，所以 a21=3 ，所以 a2=4 ，所以C的方程為： x24+y2=1 ；（2）如圖： 因?yàn)橹本€ l:y=x+m

22、 與C交于A，B兩點(diǎn)，且直線PA，PB的斜率都存在，所以 m1 ，聯(lián)立 x24+y2=1y=x+m ，消 x 化簡(jiǎn)得： 5y22my+m24=0 ，所以 =4m220(m24)0 ，解得 5m5 ，所以 5m5 且 m1 ；設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2) ，由得： y1+y2=2m5,y1y2=m245 ，kPA=y11x1,kPB=y21x2 ，所以 kPAkPB=(y11)(y21)x1x2=y1y2(y1+y2)+1(y1+m)(y2+m)=m14(m+1) ，故直線PA，PB的斜率之積不是是定值.【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與圓錐曲線的綜合問題 【解析】【分析】(1)首先由離心

23、率的公式求出t的值，再由已知條件集合橢圓的性質(zhì)求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出a的值，從而得到橢圓和雙曲線的方程。 (2) 由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去x等到關(guān)于y的一元二次方程結(jié)合韋達(dá)定理即可得到關(guān)于m的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，再直線向量的公式整理得到kPAkPB=m14(m+1) ， 由此得出結(jié)論。21.已知函數(shù) f(x)=2ex(ex2a)+4ax+a2 . （1）當(dāng) a0 時(shí)，求 f(x) 極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)； （2）若 x1 ， x2 是 f(x) 的兩個(gè)極值點(diǎn)，且 f(x1)+f(x2)0 ， f(x)=g(t)=4t24at+4a=4(ta2)2+4aa2 ，又 a0

24、 ， (0,a2) 上 g(t) 單調(diào)遞減； (a2,+) 上 g(t) 單調(diào)遞增；而 g(0)=4a0 ， g(a+a24a2)=0 ， t(0,a+a24a2) 上 g(t)0 ； x(,lna+a24a2) 上 f(x)0 ， f(x) 單調(diào)遞增； f(x) 極值點(diǎn)只有一個(gè)極小值點(diǎn).（2）由（1）知： t=ex0 ， f(x)=g(t)=4t24at+4a ， 要使 f(x) 有兩個(gè)極值點(diǎn)，即 g(t) 有兩個(gè)不同的根，則 g(0)0a20=16a264a0 ，即 a4 ，此時(shí)，若 t1=ex1 、 t2=ex2 ，則 t1+t2=a ， t1t2=a ，又 f(x1)+f(x2)=2(

25、t1+t2)24t1t24a(t1+t2)+4aln(t1t2)+a2 ， f(x1)+f(x2)=4alna4aa2 ， tf(x1)+f(x2)ex1+ex2=4lnaa4 恒成立，若 (a)=4lnaa4 ，只需在 a4 上 t(a)max 即可，而 (a)=4a10 ， (a) 單調(diào)遞減，則 (a)8(ln21) .【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【解析】【分析】(1)首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合a的取值范圍得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，由此得到函數(shù)的單調(diào)性，然后由極值的定義即可得出答案。 (2)由(1)的結(jié)論再結(jié)合零點(diǎn)與方程的關(guān)系，由此得到關(guān)于a的不等式組以及

26、韋達(dá)定理得到t1+t2=a ， t1t2=a ， 由已知條件整理即可得到f(x1)+f(x2)=4alna4aa2 ， 分離參數(shù)得到tf(x1)+f(x2)ex1+ex2=4lnaa4恒成立，構(gòu)造函數(shù)(a)=4lnaa4結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)即可得到函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性即可求出最值，從而得到t的取值范圍。22.在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C 的參數(shù)方程為 x=3+3cos,y=3sin ( 為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線 l 的極坐標(biāo)方程為 2sin(+4)+1=0 ，點(diǎn) P 的極坐標(biāo)為 (1,) . （1）求 C 的普通方程和 l 的直角坐標(biāo)方程； （2）若 C 與 l 交于M ， N兩點(diǎn)，求 |PM|+|PN| 的值. 【答案】 （1）解：因?yàn)榍€ C 的參數(shù)方程為 x=3+3cos,y=3sin ( 為參數(shù)).因?yàn)?sin2+cos2=1 ，所以 (x3)2+y2=9 ，即 C 的普通方程為 (x3)2+y2=9 ； 直線 l 的極坐標(biāo)方程為 2sin(+4)+1=0 ，所以 2(sincos4+cossin4)+1=0 ，即