2021年人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊課時學(xué)案第3章《3.3.1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》(含解析)

1、3.3拋物線33.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握拋物線的定義及其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的概念.2.會求簡單的拋物線方程知識點(diǎn)一拋物線的定義1定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l(不經(jīng)過點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡2焦點(diǎn)：定點(diǎn)F.3準(zhǔn)線：定直線l.思考拋物線的定義中，為什么要加條件l不經(jīng)過點(diǎn)F?答案若點(diǎn)F在直線l上，點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)F且垂直于直線l的直線知識點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y22px(p0)xy22px(p0)xx22py(p0)yx22py(p0)y思考拋物線方程中p(p0)的幾何意義是什么？答案p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離1到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋

2、物線()2拋物線的方程都是二次函數(shù)()3拋物線y22px(p0)中p是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離()4方程x22ay(a0)表示開口向上的拋物線( )一、求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1分別求符合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)經(jīng)過點(diǎn)(3，1)；(2)焦點(diǎn)為直線3x4y120與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)解(1)因?yàn)辄c(diǎn)(3，1)在第三象限，所以設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)或x22py(p0)若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)，則由(1)22p(3)，解得p；若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22py(p0)，則由(3)22p(1)，解得p.故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2x或x29y.(2)對于直線方程3x4y120，令x0，

3、得y3；令y0，得x4，所以拋物線的焦點(diǎn)為(0，3)或(4,0)當(dāng)焦點(diǎn)為(0，3)時，3，所以p6，此時拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212y；當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時，4，所以p8，此時拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216x.故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212y或y216x.反思感悟用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟注意：當(dāng)拋物線的類型沒有確定時，可設(shè)方程為y2mx(m0)或x2ny(n0)，這樣可以減少討論情況的個數(shù)跟蹤訓(xùn)練1(1)若拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則p_，準(zhǔn)線方程為_答案2x1解析因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以1，p2，準(zhǔn)線方程為x1.(2)求焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離

4、為5的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_答案x210y和x210y解析設(shè)方程為x22my(m0)，由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5，知|m|5，m5，所以滿足條件的拋物線有兩條，它們的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為x210y和x210y.二、拋物線定義的應(yīng)用例2(1)已知拋物線C：y2x的焦點(diǎn)為F，A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，|AF|x0，則x0等于()A1 B2 C4 D8答案A解析x0x0，x01.(2)已知點(diǎn)P是拋物線y22x上的一個動點(diǎn)，求點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值解由拋物線的定義可知，拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于它到焦點(diǎn)的距離由圖可知，點(diǎn)P，點(diǎn)(0,2)和拋物線的焦點(diǎn)F三點(diǎn)共線時距離之和最

5、小，所以最小距離d .延伸探究1若將本例(2)中的點(diǎn)(0,2)改為點(diǎn)A(3,2)，求|PA|PF|的最小值解將x3代入y22x，得y.所以點(diǎn)A在拋物線內(nèi)部設(shè)點(diǎn)P為其上一點(diǎn)，點(diǎn)P到準(zhǔn)線(設(shè)為l)x的距離為d，則|PA|PF|PA|d.由圖可知，當(dāng)PAl時，|PA|d最小，最小值是.即|PA|PF|的最小值是.2.若將本例(2)中的點(diǎn)(0,2)換為直線l1：3x4y0，求點(diǎn)P到直線3x4y0的距離與P到該拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值解如圖，作PQ垂直于準(zhǔn)線l于點(diǎn)Q，|PA1|PQ|PA1|PF|A1F|min.|A1F|的最小值為點(diǎn)F到直線3x4y0的距離d1.即所求最小值為1.反思感悟 拋物線

6、定義的應(yīng)用實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋物線定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距與點(diǎn)線距的相互轉(zhuǎn)化，從而簡化某些問題跟蹤訓(xùn)練2(1)已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F1，若點(diǎn)A(2，4)在拋物線上，則點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離為_答案4解析把點(diǎn)(2，4)代入拋物線y22px，得164p，即p4，從而拋物線的焦點(diǎn)為(2,0)故點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離為4.(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，)，點(diǎn)P在拋物線y28x上移動，P到直線x1的距離為d，則d|PA|的最小值為()A1 B2 C3 D4答案C解析由題意知拋物線y28x的焦點(diǎn)為F(2,0)，點(diǎn)P到準(zhǔn)線x2的距離為d1，于是|P

7、F|d1，所以d|PA|PF|1|PA|的最小值為|AF|1413.拋物線的實(shí)際應(yīng)用問題典例河上有一拋物線形拱橋，當(dāng)水面距拱橋頂5 m時，水面寬為8 m，一小船寬4 m，高2 m，載貨后船露出水面上的部分高0.75 m，問：水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距多少m時，小船開始不能通航？解如圖，以拱橋的拱頂為原點(diǎn)，以過拱頂且平行于水面的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)拋物線方程為x22py(p0)，由題意可知，點(diǎn)B(4，5)在拋物線上，故p，得x2y.當(dāng)船面兩側(cè)和拋物線接觸時，船開始不能通航，設(shè)此時船面寬為AA，則A(2，yA)，由22yA，得yA.又知船面露出水面上的部分高為0.75 m，所以h

8、|yA|0.752(m)所以水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距2 m時，小船開始不能通航素養(yǎng)提升首先確定與實(shí)際問題相匹配的數(shù)學(xué)模型此問題中拱橋是拋物線型，故利用拋物線的有關(guān)知識解決此問題，操作步驟為(1)建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(2)假設(shè)：設(shè)出合適的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程(3)計算：通過計算求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(4)求解：求出需要求出的量(5)還原：還原到實(shí)際問題中，從而解決實(shí)際問題1設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x2，則拋物線的方程是()Ay28xBy28xCy24xDy24x答案B2已知拋物線y2px2過點(diǎn)(1,4)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A(1,0) B. C. D(0,1)答案C解析由拋物線y

9、2px2過點(diǎn)(1,4)，可得p2，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選C.3準(zhǔn)線為y的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()Ax23y Byx2Cx3y2 Dxy2答案A解析準(zhǔn)線為y的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x23y，故選A.4一動圓過點(diǎn)(0,1)且與定直線l相切，圓心在拋物線x24y上，則l的方程為()Ax1 BxCy1 Dy答案C解析因?yàn)閯訄A過點(diǎn)(0,1)且與定直線l相切，所以動圓圓心到點(diǎn)(0,1)的距離與它到定直線l的距離相等，又因?yàn)閯訄A圓心在拋物線x24y上，且(0,1)為拋物線的焦點(diǎn)，所以l為拋物線的準(zhǔn)線，所以l：y1.5若拋物線y22px(p0)上有一點(diǎn)M，其橫坐標(biāo)為9，它到焦點(diǎn)的距離為10，則

10、點(diǎn)M的坐標(biāo)為_答案(9,6)或(9，6)解析由拋物線方程y22px(p0)，得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F，準(zhǔn)線方程為x.設(shè)點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為d，則d|MF|10，即(9)10，得p2，故拋物線方程為y24x.由點(diǎn)M(9，y)在拋物線上，得y6，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(9,6)或(9，6)1知識清單：(1)拋物線的定義(2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式(3)拋物線定義的應(yīng)用2方法歸納：待定系數(shù)法、定義法、轉(zhuǎn)化化歸3常見誤區(qū)：混淆拋物線的焦點(diǎn)位置和方程形式1拋物線yx2的準(zhǔn)線方程為()Ax Bx1Cy1 Dy2答案C解析拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y，則準(zhǔn)線方程為y1.2已知拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，

11、則該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A(1,0) B(1,0) C(0，1) D(0,1)答案B解析拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線方程為x，由題設(shè)知1，即p2，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選B.3(多選)經(jīng)過點(diǎn)P(4，2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()Ay2x B. y28xCy28x Dx28y答案AD解析當(dāng)開口向右時，設(shè)拋物線方程為y22p1x(p10)，則(2)28p1，所以p1，所以拋物線方程為y2x.當(dāng)開口向下時，設(shè)拋物線方程為x22p2y(p20)，則424p2，p24，所以拋物線方程為x28y.4若拋物線yax2的焦點(diǎn)與橢圓y21的上頂點(diǎn)重合，則a等于()A. B. C2 D4答案B解析橢圓y21的上頂點(diǎn)是

12、拋物線yax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)閮牲c(diǎn)重合，所以1，所以a.5若拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)是橢圓1的一個焦點(diǎn)，則p等于()A2 B3 C4 D8答案D解析因?yàn)閽佄锞€y22px(p0)的焦點(diǎn)是橢圓1的一個焦點(diǎn)，所以3pp2，解得p8.6已知雙曲線y21的右焦點(diǎn)恰好是拋物線y28x的焦點(diǎn)，則m_.答案3解析由題意得m122，解得m3.7在拋物線y212x上，與焦點(diǎn)的距離等于9的點(diǎn)的坐標(biāo)是_答案(6,6)或(6，6)解析由方程y212x，知焦點(diǎn)F(3,0)，準(zhǔn)線l：x3.設(shè)所求點(diǎn)為P(x，y)，則由定義知|PF|3x.又|PF|9，所以3x9，x6，代入y212x，得y6.所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,

13、6)或(6，6)8已知拋物線C：4xay20恰好經(jīng)過圓M：(x1)2(y2)21的圓心，則拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_，準(zhǔn)線方程為_答案(1,0)x1解析圓M的圓心為(1,2)，代入4xay20得a1，將拋物線C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得y24x，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1.9已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上一點(diǎn)M(m，3)到焦點(diǎn)的距離為5，求m的值、拋物線方程和準(zhǔn)線方程解方法一如圖所示，設(shè)拋物線的方程為x22py(p0)，則焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線l：y，作MNl，垂足為N，則|MN|MF|5，而|MN|35，即p4.所以拋物線方程為x28y，準(zhǔn)線方程為y2.由m28(3)24，得m2.方

14、法二設(shè)所求拋物線方程為x22py(p0)，則焦點(diǎn)為F.M(m，3)在拋物線上，且|MF|5，故解得拋物線方程為x28y，m2，準(zhǔn)線方程為y2.10花壇水池中央有一噴泉，水管OP1 m，水從噴頭P噴出后呈拋物線狀，先向上至最高點(diǎn)后落下，若最高點(diǎn)距水面2 m，點(diǎn)P距拋物線的對稱軸1 m，則水池的直徑至少應(yīng)設(shè)計多少米？(精確到1 m)解如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)拋物線方程為x22py(p0)依題意有P(1，1)在拋物線上，代入得p.故得拋物線方程為x2y.又點(diǎn)B在拋物線上，將B(x，2)代入拋物線方程得x，即|AB| m，則|OB|OA|AB|(1) m，因此所求水池的直徑為2(1) m，約為5

15、 m，即水池的直徑至少應(yīng)設(shè)計為5 m.11已知拋物線y24x上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為5，則PFO的面積為()A1 B2 C3 D4答案B解析由題意，知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1.因?yàn)閽佄锞€y24x上的一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為5，由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到準(zhǔn)線x1的距離是5，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，所以P(4，4)，所以PFO的面積為142.12設(shè)F為拋物線y24x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若0，則|_.答案6解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)由0知(x11)(x21)(x31)0，即x1x2x33，|x1x2x3p6.13已知拋

16、物線y22px(p0)上一點(diǎn)M(1，m)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線x21的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM垂直，則實(shí)數(shù)a_.答案解析根據(jù)拋物線的定義得15，p8，則m4，不妨取M(1,4)，又A(1,0)，則直線AM的斜率為2，由已知得21，故a.14已知直線l1：4x3y60和直線l2：x1，拋物線y24x上一動點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是_答案2解析如圖所示，動點(diǎn)P到l2：x1的距離可轉(zhuǎn)化為到點(diǎn)F的距離，由圖可知，距離和的最小值，即F(1,0)到直線l1的距離d2.15對標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線，給出下列條件：焦點(diǎn)在y軸上；焦點(diǎn)在x軸上；拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2,1)其中滿足拋物線方程為y210x的是_(要求填寫適合條件的序號)答案解析拋物線y210x的焦點(diǎn)在x軸上，滿足，不滿足；設(shè)M(1，y0)是y210x上一點(diǎn)，則|MF|116，所以不滿足；由于拋物線y210x的焦點(diǎn)為，過該焦點(diǎn)的直線方程為yk，若由原點(diǎn)向該直線作垂線，垂足為(2,1)時，則k2，此時存在，所以滿足16設(shè)P是拋物線y24x上的一個動點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦