廣西桂林市逸仙中學(xué)高二數(shù)學(xué)《一元二次不等式及其解法》課件

1、第二節(jié)一元二次不等式及其解法基礎(chǔ)梳理1.元二次不等式的定義只含有1個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式叫做一 元二次不等式.2-元二次不等式的解集如下表判別式A = Z?2 -4acA0A = 0A 0）的圖像A/x, 12/2 文_LZ_一卩LOx=x2 xoT一元二次方程 ax2 +bx + c = 0 （。0）的根有兩相異實(shí)根Xp X2（%! 0 （a0）的解集（s，Xj） Y（x2,-ko）7丫（4）Rax2 +bx + c 0）的解集（兀1*2）3.分式不等式與一元二次不等式的關(guān)系設(shè)avb口 0等價于(x-a)(xb)0;x b等價于(x-a ) (x-b)0;=0等價于Yx

2、bx-b/Q;(x-a)()6b)0二0等價于Yx bx-b/Q.式不P式轉(zhuǎn)化為兩個不等式組的并集z繼而求出其解集.典例分析題型元二次不等式的解法【例1】解下列不等式.(1) -x2+2x-10 ;(2) 8x-l16x2.分析可根據(jù)二次函數(shù)、方程和不等式的關(guān)系求解,也可利用 二次函數(shù)圖象求解,還可對不等式左邊(右邊為0)進(jìn)行因式分 解,然后求解.解 兩邊同乘以z得3x2-6x+2 0,且方程3x2- 6x+2二o的根是 xC爭2=1+竽所以原不等式的解集是X|l 毎V1+ 433方法一：原不等式即為16x2-8x+l0,其相應(yīng)方程為16x2-8x4-1=0,A=(-8)2-4x16=0z上述

3、方程有兩相等實(shí)根X=14,結(jié)合二次函數(shù)y二16xFx+l的圖象知z原不等式的解集為R方法二:8x-l0 (4x-l)20, XWR,.不等式的解集為R學(xué)后反思一般地,對于a 0時的解題步驟求解;也可以先把它化成二次項(xiàng)系數(shù)為正的 元二次不等式,再求解.舉一反三1. 設(shè)口尺解關(guān)于滅的不等式 m2x2 +/7ix-2 0時,原不等式化為(mx+2)(mx-l) 0, 解得二。丄m m(3) 當(dāng)m v 0時,原不等式化為(mx+2)(mx-l) 0 , 解得丄x0時，不等式的解集為-);-當(dāng)mvO時，不等式的解集為(丄，m m題型二三個二次問題【例2】函數(shù)f(x)二x2+ax+3 當(dāng)xwR時z f(x

4、)na恒成立，求a的取值范圍；當(dāng)xe-2z2時z f(x)na恒成立z求a的取值范圍.分析 設(shè)g ( x )二f(x)-a二x2+ax+3a,f(x)na恒成立問題轉(zhuǎn)化為 g(x)nO恒成立問題：(1)中xeR時,g(x)nO恒成立z即g(x)的圖象不在x車由下方, 故朋0;(2沖求當(dāng)xe-2z2時z g(x)R恒成立,并不能說明 拋物線恒在x軸上方z怎樣解呢？解(1)txwR時，有x2+ax+3-an0恒成立，則有A=a2-4(3-a)0z BPa2+4a-120/.-6a2.方法一:當(dāng)xe-2,2時，g(x)=x2+ax+3-an0,分如下三種情況 討論：圖1圖2圖3 如圖當(dāng)g(x)的圖象

5、恒在x軸上方,滿足條件時,有 A=a2-4(3-a)0f BP-6aO/BPAOZ0za2-4(3-ad0,即-2nga4 o as z解得a w (pF7Z 丄象驅(qū)3nOAI爲(wèi)+對+寸OAIVsoAI(x)6sNOO)UJxwIIII.哌似血捧XJJ?回SS6 卅回艮方法二:f(x)二x?+ax+3 n a,只要f(x)的最小值大于或等于a即可.a a.2 f(x)二x2+ax+3 二(x于尸匂.當(dāng)V2,即-4a4時儉)伽二3-242令3秦a它6sas2,再結(jié)合得-4a2,即aaJ!Ja-7z/.-7a4 時 f(x：U 二 f(2)二 72a. 令7-2aaHd/貝！Jas .aecp由

6、,-7aOr ax2+bx+cv0(aH0)恒成卒 a0,A0; ax2+bx+c0(a/0)恒成立a0,A0舉一反三2. 不等式 -2）F +2（r務(wù)欣缺叵成立,貝Ua的取值范圍是.解析：（1）當(dāng)a二2時，不等式恒成立;由片20仗2+16解得22灼02綜上廠2 as2.答案：（-2,2 題型三一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用【例3】（14分）國家原計劃以2400元/t的價格收購某種農(nóng)產(chǎn)品m t,按規(guī)定，農(nóng)戶向國家納稅為：每收入100元納8元（稱作稅率 為8個百分點(diǎn)，即8% ） 為了減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān)，制定積極的收購政策. 根據(jù)市場規(guī)律，稅率降低x個百分點(diǎn),收購量能增加2x個百分點(diǎn)試 確定x的范圍，使稅率調(diào)

7、低后,國家此項(xiàng)稅收總收入不低于原計劃 的 78%.分析理解題意，巧設(shè)未知數(shù)，正確將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化成不等式是解 題關(guān)鍵.解設(shè)稅率調(diào)低后的稅收總收入為y元,1則y二2 400m(l+2x%)(8-x)%1|(2+42x-400) (0 x 2400m x 8% x 78%整理得x2+42x88s0,解得44sxs2.10f根據(jù)x的實(shí)際意義知0 x0）曷知1 s走了型b 笳），由 口工亠心 1 ci5呻廠3600 18題思得X221 o +當(dāng)”5 /1231125即話+IiVW6x23.所以卡車的最大限速為23 km/h.易錯警示【例】解關(guān)于x的不等式axUa+l）x+lvO錯解 ax2- ( a+1

8、) x+l0 x2-(ll )x+la0,a即(x-l)(x- *0.當(dāng)4 h即0 V： v 1時不等式解集為x| 1 x l或avO時,不等式解集為x| 1.aa錯解分析 上述錯解有如下錯誤：應(yīng)首先對二次項(xiàng)游的系數(shù)a的 正負(fù)進(jìn)行討論討論時漏掉了 a二0和a l;故最后結(jié)論不應(yīng)月并集,應(yīng)分別敘述;若是按x分類討論的,則最后若avO原不等式o(x %xl)0必v哉xl;aa1若a0,原不等務(wù) x-(x-l)l時，式(J。vxvl; 當(dāng)Ovavl時，式(鬥li .a綜上所述,當(dāng)a0時，不等式解集為x|xl;當(dāng)a二0時z不等式解集為x|xl;當(dāng)Ovavl時，不等式解集為x|lv也；當(dāng)a二1時，不等式

9、解集為cp ； a當(dāng)al時z不等式解集為x|lax0的解集為(1,2 )若f(x)的最大值小于1 ,求a的取值范圍.解析：由題意知a0,可設(shè)/(兀)=。(兀l)(x 2)=處?3處+加 而 a0,/. f(x =8/(3q)1 仝二斗v 7max4a4a 4/.-4am-2m2的所有m都成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解析：設(shè) /(m) = (x2-l)/7i-(2x-l)要使f(m) v0在上恒成立,只需/(2)0即 f2x2-2x-l 0或1-a/31 + 3%2-1-V7x 2(-2)212. (2009-南京模擬)已知不等式ax23x+64的解集為x|xvl或xb.(1)求 a,b;解不等式ax2(ac+b)x+bc4的解集為x|xb,所以 X與X2二b是方程日x2-3x+2=0的兩個實(shí)數(shù)根，且bl,由根與 系數(shù)關(guān)系得+ b 丄a=l/(2)ax2 丄ac+b)x+bc 人 9 X2 丄 2+CX+2C 人0、s(x2)(xCAP味CV2真吻?2)?c)人 os爵淋過x一2 人XAC)