D一階線性微分方程第次課PPT學習教案

1、會計學1D一階線性微分方程第次課一階線性微分方程第次課xxPCyd)(e對應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解xxPCd)(e)()(ddxQyxPxy用常數(shù)變易法常數(shù)變易法:,e)()()(xxPxuxyd則xxPud)(e)(xPxxPud)(e)(xQ故原方程的通解xxQxxPxxPde)(ed)(d)(CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(y即即作變換xxPuxPd)(e)(xxPxQxud)(e)(ddCxxQuxxPde)(d)(兩端積分得第1頁/共11頁.) 1(12dd25xxyxy解解: 先解,012ddxyxy即1d2dxxyy積分得,ln1ln2lnCxy即2)

2、 1( xCy用常數(shù)變易法常數(shù)變易法求通解.,) 1()(2xxuy則) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齊次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解為Cxxy232) 1(32) 1(令第2頁/共11頁0d2d3yyxyyxx的通解 .解解: 注意 x, y 同號,d2d, 0,xxxyx此時不妨設(shè)yyxyx2dd2yyP21)(yyQ1)(由一階線性方程通解公式通解公式 , 得exyy2de1(yyy2d故方程可變形為yy1y1 lndCy 所求通解為 )0(eCCyyxyCyln這是以x為因變量 y 為自變量的一階線性方程Cylnd)0(C第3頁/共11頁伯努利方

3、程的標準形式:)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd則)()1 ()()1 (ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程兩邊 , 得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法解法:(線性方程)伯努利 第4頁/共11頁2)ln(ddyxaxyxy的通解.解解: 令,1 yz則方程變形為xaxzxzlndd其通解為ez將1 yz1)ln(22xaCxyxxd1exa)ln(xxd1Cx d2)ln(2xaCx代入, 得原方程通解: 第5頁/共11頁1. 一階線性方程)()(ddxQyxPxy方法1 先解齊次方程

4、, 再用常數(shù)變易法.方法2 用通解公式CxxQyxxPxxPde)(e)()(dd,1 nyu令化為線性方程求解.2. 伯努利方程nyxQyxPxy)()(dd)1,0(n第6頁/共11頁例如, 解方程yxxy1ddyxyxdd, yxu, xuy1ddddxuxy法法1. 取 y 作自變量: 線性方程 法法2. 作變換 則 代入原方程得 ,11dduxuuuxu1dd可分離變量方程第7頁/共11頁判別下列方程類型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyyd

5、d1 可分離 變量方程xyxyxylndd齊次方程221dd2xyxxy線性方程221dd2yxyyx線性方程2ln2ddyxxyxxy伯努利方程第8頁/共11頁1. 求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù))(xf使其滿足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0提示提示:令txuuufxxfxd)(sin)(0則有xxfxfcos)()(0)0(f線性方程)esin(cos21)(xxxxf利用公式可求出第9頁/共11頁( 雅各布第一 伯努利 ) 書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用, 瑞士數(shù)學家, 位數(shù)學家. 標和極坐標下的曲率半徑公式, 1695年 版了他的巨著猜度術(shù),上的一件大事, 而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他