材料力學(xué)扭轉(zhuǎn)詳細(xì)講解和題目,非常好

1、材料力學(xué) 扭轉(zhuǎn)圖 6 1圖 6 2圖 6 36.1 扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)是桿件變形的一種基本形式。在工程實(shí)際中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的桿件也是比較多 的，例如圖 6-1 所示汽車方向盤的操縱桿， 兩端分別受到駕駛員作用于方向盤上的外力偶和 轉(zhuǎn)向器的反力偶的作用； 圖 6-2 所示為水輪機(jī)與發(fā)電機(jī)的連接主軸， 兩端分別受到由水作用 于葉片的主動(dòng)力偶和發(fā)電機(jī)的反力偶的作用； 動(dòng)力偶和反力偶的作用，使軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。方向相反、 且作用平面與桿這些實(shí)例的共同特點(diǎn)是： 在桿件的兩端作用兩個(gè)大小相等、 件軸線垂直的力偶， 使桿件的任意兩個(gè)截面都發(fā)生繞桿件軸線的相對轉(zhuǎn)動(dòng)。 這種形式的變形稱為扭轉(zhuǎn)變形（見圖 6-4 ）。

2、以扭轉(zhuǎn)變形為主的直桿件稱為軸。若桿件的截面為圓形的軸稱為圓軸。圖 6 46.2 扭矩和扭矩圖6.2.1 外力偶矩作用在軸上的外力偶矩，可以通過將外力向軸線簡化得到，但是，在多數(shù)情況下，則是通過軸所傳遞的功率和軸的轉(zhuǎn)速求得。它們的關(guān)系式為PM 9550（6-1 ）n其中： M外力偶矩（ N m ）;P 軸所傳遞的功率（ KW）；n 軸的轉(zhuǎn)速（ r min）。外力偶的方向可根據(jù)下列原則確定： 輸入的力偶矩若為主動(dòng)力矩則與軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同； 輸 入的力偶矩若為被動(dòng)力矩則與軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反。6.2.2 扭矩圓軸在外力偶的作用下， 其橫截面上將產(chǎn)生連續(xù)分布內(nèi)力。 根據(jù)截面法， 這一分布內(nèi)力 應(yīng)組成一作用

3、在橫截面內(nèi)的合力偶， 從而與作用在垂直于軸線平面內(nèi)的外力偶相平衡。 由分 布內(nèi)力組成的合力偶的力偶矩， 稱為扭矩，用 M n表示。扭矩的量綱和外力偶矩的量綱相同， 均為 N m或 kN m。當(dāng)作用在軸上的外力偶矩確定之后，應(yīng)用截面法可以很方便地求得軸上的各橫截面內(nèi) 的扭矩。如圖 6-5 （a）所示的桿，在其兩端有一對大小相等、轉(zhuǎn)向相反，其矩為M 的外力偶作用。 為求桿任一截面 m-m的扭矩， 可假想地將桿沿截面 m-m切開分成兩段， 考察其中任 一部分的平衡，例如圖 6-5 （b）中所示的左端。由平衡條件MX （F） 0可得 M n M圖 6 5圖 6-6 扭矩正負(fù)號(hào)規(guī)定注意，在上面的計(jì)算中，

4、我們是以桿的左段位脫離體。如果改以桿的右端為脫離體， 則在同一橫截面上所求得的扭矩與上面求得的扭矩在數(shù)值上完全相同，但轉(zhuǎn)向卻恰恰相反。 為了使從左段桿和右段桿求得的扭矩不僅有相同的數(shù)值而且有相同的正負(fù)號(hào)， 我們對扭矩的正負(fù)號(hào)根據(jù)桿的變形情況作如下規(guī)定： 把扭矩當(dāng)矢量， 即用右 手的四指表示扭矩的旋轉(zhuǎn)方向， 則右手的大拇指所表示的方向 即為扭矩的矢量方向。 如果扭矩的矢量方向和截面外向法線的 方向相同， 則扭矩為正扭矩， 否則為負(fù)扭矩。 這種用右手確定 扭矩正負(fù)號(hào)的方法叫做右手螺旋法則。如圖 6-6 所示。按照這一規(guī)定，園軸上同一截面的扭矩（左與右）便具 有相同的正負(fù)號(hào)。應(yīng)用截面法求扭矩時(shí)，一般

5、都采用設(shè)正法， 即先假設(shè)截面上的扭矩為正， 若計(jì)算所得的符號(hào)為負(fù)號(hào)則說明 扭矩轉(zhuǎn)向與假設(shè)方向相反。當(dāng)一根軸同時(shí)受到三個(gè)或三個(gè)以上外力偶矩作用時(shí)， 其各 段橫斷面上的扭矩須分段應(yīng)用截面法計(jì)算。6.2.3 扭矩圖為了形象地表達(dá)扭矩沿桿長的變化情況和找出桿上最大扭矩所在的橫截面， 我們通常把扭矩隨截面位置的變化繪成圖形。此圖稱為扭矩圖。繪制扭矩圖時(shí)，先按照選定的比例尺， 以受扭桿橫截面沿桿軸線的位置 x為橫坐標(biāo)，以橫截面上的扭矩 M n為縱坐標(biāo)，建立 M n x直角坐標(biāo)系。 然后將各段截面上的扭矩畫在 M n x坐標(biāo)系中。繪圖時(shí)一般規(guī)定將正號(hào)的 扭矩畫在橫坐標(biāo)軸的上側(cè)，將負(fù)號(hào)的扭矩畫在橫坐標(biāo)軸的下側(cè)

6、。例 6-1 傳遞功率的等截面圓軸轉(zhuǎn)速 n =120rpm ，軸上各有一個(gè)功率輸入輪和輸出輪。已 知該軸承受的扭矩 M n 450 N m， 求：軸所傳遞的功率數(shù)。解： 因?yàn)榈冉孛鎴A軸上只有兩個(gè)外力偶作用，且大小相等、 方向相反 （輸入和輸出功率相 等），故軸所承受的扭矩大小等于外力偶矩，即M= M n =1450MM n 1450 N m根據(jù)（ 6-1 ）式，9550Pn由此求得軸所傳遞的功率為MnP9550 9550例 6-2 傳動(dòng)軸如圖 6-7 所示， 已知主動(dòng)輪的輸入功率 P1 20 KW，三個(gè)從動(dòng)輪的輸出功率 P25 KW、 P3 5 KW、 P4 10 KW，軸的轉(zhuǎn)速 n 200

7、rpm 。繪制軸的扭矩圖。1450 120 18.2kN圖 6 7 解： 1 ）計(jì)算作用在主動(dòng)輪上的外力偶矩M1和從動(dòng)輪上的外力偶矩 M2、M3、 M4。M3、MM1 9550 P1 9550 20 955 Nm1 n 200M 2 9550 P2 9550 5239 N m2 n 200P35M3 9550 Pn3 9550 2050 239 NmP410M 4 9550 4 9550478 N m4 n 2002） 求各段截面上的扭矩。截面 1-1 上的扭矩，由平衡方程M 0 M 2 M n1 0解得M n1M 2239 N m截面 2-2 上的扭矩，由平衡方程M 0 M 2 M 3 M

8、n2 0得Mn2 M 2 M3239 239 478 Nm截面 3-3 上的扭矩，由平衡方程M 0 M 4 M n3 0 M4 Mn3=0得 M n3 M 4 478 N m3） 畫扭矩圖根據(jù)所得數(shù)據(jù)， 把各截面上的扭矩沿軸線的變化情況， 畫在 M n x 坐標(biāo)系中， 如圖 6-7 所示。從圖中看出，最大扭矩發(fā)生于 BC 段和 CD 內(nèi)，且 M max 478 Nm。對同一根軸來說，若把主動(dòng)輪 C 安置于軸的一端，例如放在右端，則軸的扭矩圖將發(fā) 生變化。這時(shí)，軸的最大扭矩變?yōu)椋?M max 955 N m?？梢姡瑐鲃?dòng)軸上主動(dòng)輪和從動(dòng)輪 安置的位置不同，軸所承受的最大扭矩也就不同。因此主動(dòng)輪和從

9、動(dòng)輪的布局要盡量合理。6.3 扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力為了說明圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力及其分布規(guī)律，我們可進(jìn)行一次扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)。取一實(shí)心圓桿， 在其表面上畫一系列與軸線平行的縱線和一系列表示圓軸橫截面的圓環(huán)線， 將圓 軸的表面劃分為許多的小矩形， 如圖 6-8 所示。 若在圓軸的兩端加上一對大小相等、 轉(zhuǎn)向相 反、其矩為 M 的外力偶，使園軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。當(dāng)扭轉(zhuǎn)變形很小時(shí)，我們就可以觀察到如 圖 6-8（b） 所示的變形情況： （ 1）雖然圓軸變形后，所有與軸線平行的縱向線都被扭成螺旋 線，但對于整個(gè)圓軸而言，它的尺寸和形狀基本上沒有變動(dòng)；（ 2）原來畫好的圓環(huán)線仍然保持為垂

10、直于軸線的圓環(huán)線， 各圓環(huán)線的間距也沒有改變， 各圓環(huán)線所代表的橫截面都好像是 “剛性圓盤”一樣， 只是在自己原有的平面內(nèi)繞軸線旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度；（ 3）各縱向線都傾斜了相同的角度 ，原來軸上的小方格變成平行四邊形。圖 6 8根據(jù)從試驗(yàn)觀察到的這些現(xiàn)象，可以假設(shè)：在變形微小的情況下，軸在扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，其大小、軸長沒有改變；每個(gè)截面都發(fā)生對其它橫截面的相對轉(zhuǎn)動(dòng)，但是仍保持為平面，形狀都不改變。這個(gè)假設(shè)就是圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的平面假設(shè)（或稱剛性平面假設(shè)） 。 根據(jù)平面假設(shè)，可得如下結(jié)論： （ 1）因?yàn)楦鹘孛娴拈g距均保持不變，故橫截面上沒有 正應(yīng)力；（2）由于各截面繞軸線相對轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，即橫截面間發(fā)生了旋轉(zhuǎn)式

11、的相對錯(cuò)動(dòng)， 出現(xiàn)了剪切變形，故橫截面上有切應(yīng)力存在； （ 3）因半徑長度不變，切應(yīng)力方向必與半徑垂 直；（4）圓心處變形為零，圓軸表面的變形最大。綜上所述，圓軸在扭轉(zhuǎn)時(shí)其橫截面上各點(diǎn)的切應(yīng)變與該點(diǎn)至截面形心的距離成正比， 由剪切胡克定律，橫截面上必有與半徑垂直并呈線性分布的切應(yīng)力存在（見圖 6-9 ）， 故有 k。扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的計(jì)算如圖 69 所示，在圓軸橫截面各微面積上的微剪力對圓心的力矩的 總和必須與扭矩 M n 相等。因微面積 dA上的微剪力 dA對圓心的力矩為dA，故整個(gè)橫截面上所有微力矩之和為dA ，故有AM n dA K 2dA（6-2 ）AA將 I 2 dA定義為極慣性矩，則A由

12、此得 M n /I（ 6-3 ）顯然，當(dāng) 0時(shí)， 0；當(dāng) R 時(shí)，切應(yīng)力最大。 令Wn I R ，則式（ 6-3）為maxWn6-4)其中， Wn 抗扭截面系數(shù)。max注意： 式（ 6-3 ）及式（ 6-4 ）均以平面假設(shè)為基礎(chǔ)推導(dǎo)而得，故只能限定圓軸的 不超過材料的比例極限時(shí)方可應(yīng)用。極慣性矩 I 和抗扭截面系數(shù) Wn1、 實(shí)心圓軸截面設(shè)圓軸的直徑為 d , 在截面任一半徑 r 處，取寬度為 dr 的圓環(huán)作為微元面積。此微元 面積 dA 2 r dr , 如圖 6-10 所示。圖 6 10d4320.1d4抗扭截面系數(shù)IWnd21630.2d36-5 )2. 空心圓軸截面 設(shè)空心圓軸截面的內(nèi)

13、、 的下限由 0 變?yōu)?d ，于是得到2外經(jīng)分別為d 和 D 。微元面積仍為 dA 2 r dr ，只是積分23I 2dA 2 r 3dr(D 4 d4)32根據(jù)極慣性矩的定義 I2dA ，得到A2I 2dA 2 r 3drA0或?qū)懗蒊 D (1324)其中 為內(nèi)、外徑之比，即抗扭截面系數(shù)Wn3D4(14)166-6)6.3.3 圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度計(jì)算 為了保證受扭圓軸安全可靠地工作，必須使軸橫截面上的最大切應(yīng)力不超過材料的許 用切應(yīng)力，即max6-7)此即圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的“強(qiáng)度計(jì)算準(zhǔn)則” ，又稱為“扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件” 。對于等截面圓軸，切應(yīng)力的最大值由下式確定：maxM maxWn這時(shí)最大扭矩 M max

14、作用的截面稱為危險(xiǎn)面。 對于階梯軸， 由于各段軸的抗扭截面系數(shù)不同， 最大扭矩作用面不一定是危險(xiǎn)面。 這時(shí)， 需要綜合考慮扭矩與抗扭截面系數(shù)的大小， 判斷可 能產(chǎn)生最大切應(yīng)力的危險(xiǎn)面。所以在進(jìn)行扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，必須畫出扭矩圖。根據(jù)扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件，可解決以下三類強(qiáng)度問題：（ 1）扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度校核。 已知軸的橫截面尺寸， 軸上所受的外力偶矩 （或傳遞的功率和轉(zhuǎn)速） ， 及材料的扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力。校核構(gòu)件能否安全工作。（ 2）圓軸截面尺寸設(shè)計(jì)。 已知軸所承受的外力偶矩 （或傳遞的功率） ，以及材料的扭轉(zhuǎn)許 用切應(yīng)力。圓軸的截面尺寸應(yīng)滿足Wn M n6-8）6-9）（3） 確定圓軸的許可載荷。已知圓軸的截面尺

15、寸和材料的扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力，得到軸所承 受的扭矩M n Wn再根據(jù)軸上外力偶的作用情況，確定軸上所承受的許可載荷（或傳遞功率） 。例 6-3 已知實(shí)心圓軸，承受的最大扭矩為 M max 1.5 KN m，軸的直徑 d1 53 mm。求： 1）在最大切應(yīng)力相同的條件下，用空心圓軸代替實(shí)心圓軸，當(dāng)空心軸外經(jīng) D2 =90mm時(shí)的內(nèi)徑值;2 ）兩軸的重量之比。解:（ 1）求實(shí)心軸橫截面上的最大切應(yīng)力實(shí)心軸橫截面上的最大切應(yīng)力為maxmax16M maxWn616 1.5 106 533=51.3MPa（ 2）求空心軸的內(nèi)徑因?yàn)閮奢S的最大切應(yīng)力相等，故max（空）max（實(shí)） 51.3 MPamax（

16、空）16Mmax34D 23（14 ）51.3 MPa由此解得16MmaxD23 51.34 1 16 1.35 106903 51.30.945因此，空心軸的內(nèi)徑d2D2 0.945 90 85.1 mm（ 3）求兩軸的重量比A（空 ） A（實(shí)）因?yàn)閮奢S的長度和材料都相同，故兩者的重量之比等于面積之比，即0.305D22 d22 902 85.12d12532可見，在保證最大切應(yīng)力相同的條件下，空心軸的重量比實(shí)心軸輕得多。顯然，采用空 心軸能減輕構(gòu)件的重量、節(jié)省材料，因而更為合理。空心軸的這種優(yōu)點(diǎn)在于圓軸受扭時(shí)， 橫截面上的切應(yīng)力沿半徑方向線性分布的特點(diǎn)所決 定的。由于圓軸截面中心區(qū)域切應(yīng)力

17、很小， 當(dāng)截面邊緣上各點(diǎn)的應(yīng)力達(dá)到扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力時(shí)， 中心區(qū)域各點(diǎn)的切應(yīng)力卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力值。 因此，這部分材料沒有得到充分利用。 若把軸心附近的材料向邊緣移動(dòng)， 使其成為空心軸， 則截面的極慣性矩和抗扭截面系數(shù)將會(huì) 有較大增加， 使截面上的切應(yīng)力分布趨于均勻。 并由此而減小最大切應(yīng)力的數(shù)值， 提高圓軸 的承載能力。但其加工工藝較復(fù)雜，成本較高。6.3 扭轉(zhuǎn)變形工程設(shè)計(jì)中，對于承受扭轉(zhuǎn)變形的圓軸，除了要求足夠的強(qiáng)度外，還要求有足夠的剛 度。即要求軸在彈性范圍內(nèi)的扭轉(zhuǎn)變形不能超過一定的限度。 例如，車床結(jié)構(gòu)中的傳動(dòng)絲杠， 其相對扭轉(zhuǎn)角不能太大， 否則將會(huì)影響車刀進(jìn)給動(dòng)作的準(zhǔn)確性，降低加工

18、的精度。 又如，發(fā) 動(dòng)機(jī)中控制氣門動(dòng)作的凸輪軸，如果相對扭轉(zhuǎn)角過大，會(huì)影響氣門啟閉時(shí)間等等。MnlGI對某些重要的軸或者傳動(dòng)精度要求較高的軸，均要進(jìn)行扭轉(zhuǎn)變形計(jì)算。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)兩 個(gè)橫截面相對轉(zhuǎn)動(dòng)的角度 即為圓軸的扭轉(zhuǎn)變形， 稱為扭轉(zhuǎn)角。 由數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得扭轉(zhuǎn)角 的計(jì)算公式為6-10 ）其中 扭轉(zhuǎn)角（ rad ）；M n 某段軸的扭矩（ N m）；L 相應(yīng)兩橫界面間的距離（ m）；G 軸材料的切變量模量（ GPa）；4I 橫截面間的極慣性矩（ m ）；式中的 GI 反映了材料及軸的截面形狀和尺寸對彈性扭轉(zhuǎn)變形的影響， 稱為圓軸的 “抗扭剛度”?？古偠?GI 越大，相對扭轉(zhuǎn)角 就越小。為了消除軸的

19、長度對變形的影響，引入單位長度的扭轉(zhuǎn)角示，則上式為M n 180 l GI/m，并用度 / 米（ 0/m）單位表（ 6-11 ）不同用途的傳動(dòng)軸對于 值的大小有不同的限制，即 。 稱為許用單位長度扭轉(zhuǎn)角（可查有關(guān)手冊） ，對其進(jìn)行的計(jì)算稱為扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算。例 6-4 圖示階梯圓軸， 已知 AB 段直徑 D1 75mm,BC 段直徑 D2 50 mm ； A 輪輸入功 率 P1 35 KW， C 輪的輸出功率 P3 15 KW，軸的轉(zhuǎn)速為 n 200 rpm ，軸材料的 G 80GPa， 60MPa，軸的 =2 0m。1）試求該軸的強(qiáng)度和剛度。 2）如果強(qiáng)度和剛度都 有富裕，試分析，在不改變 C

20、輪輸出功率的前提下， A 論的輸入功率可以增加到多大？圖 6 11 解 1 ）校核軸的強(qiáng)度和剛度 （1）計(jì)算外力偶矩M1 9550 1 9550n352001671N m 1.67kN m9550 P3 955015716.2 N m 0.72 kN200有力偶平衡條件M2 M1 M 3 1.67 0.716 0.95 kN m2）應(yīng)用截面法計(jì)算各段的扭矩并畫扭矩圖AB段M n1 M 1 1.67kN mBC 段M n3 M 3 0.72 kN m由此畫出扭矩圖，如 6-11 圖 所示。（3）計(jì)算應(yīng)力，校核強(qiáng)度。從扭矩圖看， AB段扭矩最大；從截面尺寸看， BC 段直徑最小。因而不能直接確 定

21、最大切應(yīng)力發(fā)生在哪一段截面上。比較兩端內(nèi)的最大切應(yīng)力：AB段M n1 1.67 1061 20.2 MPaWn1 75316BC 段M n222Wn20.718 10629.2 MPa350全軸內(nèi)橫截面上的最大切應(yīng)力為： 所以，軸的強(qiáng)度滿足要求。（ 4）計(jì)算扭轉(zhuǎn)角，校核剛度。max29.2MPa 60MPa。根據(jù)軸的單位長度扭轉(zhuǎn)角Mn ，由于 AB和 BC段的扭矩和截面都不GI相同，故需分段計(jì)算，找出 max。AB段M n1 1800 GI 11031.67 106 1800 10300.390 /m80 103 754 32BC 段M n2 1800 103 GI 26 0 30.716 1

22、06 1800 103 0.840 /m3 480 103 504 32因 max00.84 m=20m。所以軸的剛度滿足要求。162）計(jì)算 A 輪的最大輸入功率BC 段的扭矩不變。所以，這段軸的強(qiáng)度和剛度都是安因?yàn)?C 輪的輸入功率不變，即全的， 故只需根據(jù) AB 段的強(qiáng)度和剛度條件確定這段軸所能承受的最大扭矩。而這段軸的 扭矩等于作用在 A輪上的外力偶矩，由此即可求得 A 輪上所能輸入的最大功率。根據(jù)強(qiáng)度條件M n1maxWn1 60 16 75 4.97kNm根據(jù)剛度條件M n1maxGI 1 2 3 80 103754 8.7 kN m1 180 10332考慮到既要滿足強(qiáng)度要求又要滿足剛度要求，故取兩者中的較小者，即M n1max 4.97kN m。于是，A輪的輸入功率34.97 103 200 104KW9550M n M n1max nP19550 9550小結(jié) 本章主要介紹了圓軸扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力扭矩的計(jì)算和圓軸在力偶作用面垂直于軸線的平衡力 偶作用下產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)變形。（1）作用在軸上的外力偶矩，通過軸所傳遞的功率和軸的轉(zhuǎn)速求得。它們的關(guān)系式為PM 9550 n（2）用截面法求圓軸的內(nèi)力偶矩，利用力系的平衡條件列出方程求解。各截面的內(nèi) 力偶矩的方向有