周衍柏《理論力學(xué)教程(第三版)》電子教案 第五章1分析力學(xué)

1、第五章第五章分析力學(xué)分析力學(xué)拉格朗日拉格朗日哈密頓哈密頓 為什么要學(xué)習(xí)分析力學(xué)為什么要學(xué)習(xí)分析力學(xué)? 前面是按前面是按“牛頓方式牛頓方式”研究力學(xué)問(wèn)題研究力學(xué)問(wèn)題, , 它著重分析力、它著重分析力、動(dòng)量、速度、加速度、角動(dòng)量、力矩等矢量動(dòng)量、速度、加速度、角動(dòng)量、力矩等矢量, , 稱作稱作“矢量矢量力學(xué)力學(xué)”. . 它運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律處理力學(xué)問(wèn)題它運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律處理力學(xué)問(wèn)題, , 稱作稱作“牛頓牛頓力學(xué)力學(xué)”. . 建立了運(yùn)動(dòng)方程建立了運(yùn)動(dòng)方程, ,并不意味大功告成并不意味大功告成. .因?yàn)檫€沒(méi)有一般方因?yàn)檫€沒(méi)有一般方法求得運(yùn)動(dòng)微分方程的解法求得運(yùn)動(dòng)微分方程的解. . 如何尋找方程的積分如何

2、尋找方程的積分以及利用這以及利用這些積分些積分, ,如何定性研究解的結(jié)構(gòu)和定量地進(jìn)行計(jì)算如何定性研究解的結(jié)構(gòu)和定量地進(jìn)行計(jì)算, ,這些都是這些都是力學(xué)中極為重要的課題力學(xué)中極為重要的課題. .牛頓方式在這些問(wèn)題上會(huì)遇到困難牛頓方式在這些問(wèn)題上會(huì)遇到困難 實(shí)際力學(xué)系統(tǒng)往往存在限制實(shí)際力學(xué)系統(tǒng)往往存在限制( (約束約束),),而約束力又取決于而約束力又取決于運(yùn)動(dòng)情況運(yùn)動(dòng)情況, ,它們作為未知量出現(xiàn)于運(yùn)動(dòng)方程中它們作為未知量出現(xiàn)于運(yùn)動(dòng)方程中, , 牛頓方式對(duì)牛頓方式對(duì)于受約束的力學(xué)系統(tǒng)于受約束的力學(xué)系統(tǒng)并不方便并不方便. . 分析力學(xué)是數(shù)學(xué)、力學(xué)研究者為克服上述困難所取得的分析力學(xué)是數(shù)學(xué)、力學(xué)研究者

3、為克服上述困難所取得的成果的一部分成果的一部分, , 在一定程度上解決了上述問(wèn)題在一定程度上解決了上述問(wèn)題( (并末全部解決并末全部解決, ,有關(guān)的研究現(xiàn)在還在繼續(xù)有關(guān)的研究現(xiàn)在還在繼續(xù)). ). 它給出了力學(xué)系統(tǒng)在完全一般性它給出了力學(xué)系統(tǒng)在完全一般性的的廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)下具有不變形式的動(dòng)力學(xué)方程組，并突出了下具有不變形式的動(dòng)力學(xué)方程組，并突出了能量能量函數(shù)函數(shù)的意義的意義. . 分析力學(xué)概括了比牛頓力學(xué)廣泛得多的系統(tǒng)分析力學(xué)概括了比牛頓力學(xué)廣泛得多的系統(tǒng), , 分析力學(xué)的分析力學(xué)的數(shù)學(xué)形式有著極好的性質(zhì)數(shù)學(xué)形式有著極好的性質(zhì), , 它不僅提供了解決天體力學(xué)及一系它不僅提供了解決天體力學(xué)及一

4、系列動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的較佳途徑列動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的較佳途徑, , 同時(shí)給同時(shí)給量子力學(xué)的發(fā)展提供了啟示量子力學(xué)的發(fā)展提供了啟示, , 最適于成為引向現(xiàn)代物理的跳板最適于成為引向現(xiàn)代物理的跳板. . 其其最小作用量原理提供了建最小作用量原理提供了建立相對(duì)論力學(xué)和量子力學(xué)最簡(jiǎn)練而富有概括性的出發(fā)點(diǎn)立相對(duì)論力學(xué)和量子力學(xué)最簡(jiǎn)練而富有概括性的出發(fā)點(diǎn). . 分析力學(xué)代表作：分析力學(xué)代表作：17881788年拉格朗日的年拉格朗日的分析力學(xué)分析力學(xué). . 全書(shū)全書(shū)沒(méi)有一張圖沒(méi)有一張圖, , 是完全用數(shù)學(xué)分析來(lái)解決所有的力學(xué)問(wèn)題是完全用數(shù)學(xué)分析來(lái)解決所有的力學(xué)問(wèn)題. . 1834 1834年哈密頓：坐標(biāo)和動(dòng)量為獨(dú)立變量年

5、哈密頓：坐標(biāo)和動(dòng)量為獨(dú)立變量, , 將微分方程的階將微分方程的階數(shù)降為一數(shù)降為一. 1843. 1843年引入變分法年引入變分法, , 提出了哈密頓方程提出了哈密頓方程, , 完善了分完善了分析力學(xué)析力學(xué). . 直到最近直到最近, , 分析力學(xué)在非線性非完整系統(tǒng)中的研究分析力學(xué)在非線性非完整系統(tǒng)中的研究, , 非保非保守系統(tǒng)中奇異吸引子的發(fā)現(xiàn)以及有關(guān)守系統(tǒng)中奇異吸引子的發(fā)現(xiàn)以及有關(guān)“渾沌渾沌”現(xiàn)象的研究等等現(xiàn)象的研究等等, , 正在豐富分析力學(xué)的內(nèi)容正在豐富分析力學(xué)的內(nèi)容, , 且大大開(kāi)闊它的應(yīng)用范圍且大大開(kāi)闊它的應(yīng)用范圍. .導(dǎo)讀導(dǎo)讀 約束的概念約束的概念 約束方程約束方程 約束分類(lèi)約束分類(lèi)

6、 約束力約束力自由度自由度廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)5.1 約束與廣義坐標(biāo)約束與廣義坐標(biāo)1 約束的概念約束的概念 機(jī)械運(yùn)動(dòng)是物體空間位置隨著時(shí)間的推移而變動(dòng)機(jī)械運(yùn)動(dòng)是物體空間位置隨著時(shí)間的推移而變動(dòng), 對(duì)對(duì)機(jī)械運(yùn)動(dòng)所加的強(qiáng)制性的機(jī)械運(yùn)動(dòng)所加的強(qiáng)制性的限制條件限制條件叫作叫作約束約束. 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)可用矢徑一個(gè)質(zhì)點(diǎn)可用矢徑r或三個(gè)坐標(biāo)表示或三個(gè)坐標(biāo)表示, n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)系統(tǒng), 則由則由n個(gè)矢徑或個(gè)矢徑或3n個(gè)坐標(biāo)描述個(gè)坐標(biāo)描述, 它們它們確定每一時(shí)刻確定每一時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)的位置以及質(zhì)點(diǎn)組的形狀各質(zhì)點(diǎn)的位置以及質(zhì)點(diǎn)組的形狀確定系統(tǒng)的確定系統(tǒng)的位形位形. 約束條件對(duì)運(yùn)動(dòng)的限制由一些力來(lái)體現(xiàn)約束條件對(duì)運(yùn)

7、動(dòng)的限制由一些力來(lái)體現(xiàn), 這些力一般這些力一般不是給定的不是給定的, 而是與運(yùn)動(dòng)狀況有關(guān)的未知力而是與運(yùn)動(dòng)狀況有關(guān)的未知力. 因此因此, 對(duì)于動(dòng)對(duì)于動(dòng)力學(xué)問(wèn)題力學(xué)問(wèn)題, 約束也應(yīng)作為一個(gè)基本因素加以考慮約束也應(yīng)作為一個(gè)基本因素加以考慮. 位形不能決定系統(tǒng)的位形不能決定系統(tǒng)的“力學(xué)狀態(tài)力學(xué)狀態(tài)”, 僅由某時(shí)刻的位僅由某時(shí)刻的位形不能預(yù)言在下一個(gè)時(shí)刻系統(tǒng)的位形形不能預(yù)言在下一個(gè)時(shí)刻系統(tǒng)的位形. 對(duì)于對(duì)于n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)，還需知道統(tǒng)，還需知道n個(gè)速度矢量才能確定系統(tǒng)的狀態(tài)個(gè)速度矢量才能確定系統(tǒng)的狀態(tài) 給定了某一時(shí)刻的給定了某一時(shí)刻的坐標(biāo)和速度坐標(biāo)和速度, 由動(dòng)力學(xué)方程原則上由動(dòng)力學(xué)方程原則上

8、單值地確定該時(shí)刻的加速度單值地確定該時(shí)刻的加速度, 因而能夠唯一地確定下一因而能夠唯一地確定下一個(gè)時(shí)刻個(gè)時(shí)刻(或前一個(gè)時(shí)刻或前一個(gè)時(shí)刻)的坐標(biāo)和速度的坐標(biāo)和速度, 以此類(lèi)推以此類(lèi)推, 當(dāng)知道當(dāng)知道某一時(shí)刻的某一時(shí)刻的狀態(tài)狀態(tài), 就知道了系統(tǒng)在任一時(shí)刻的狀態(tài)就知道了系統(tǒng)在任一時(shí)刻的狀態(tài) 幾乎所有的力學(xué)系統(tǒng)都存在著約束幾乎所有的力學(xué)系統(tǒng)都存在著約束。例如。例如, 剛體內(nèi)剛體內(nèi)任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離不變?nèi)我鈨少|(zhì)點(diǎn)間距離不變, 兩個(gè)剛體用鉸鏈連接兩個(gè)剛體用鉸鏈連接, 輪子無(wú)滑輪子無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)動(dòng)地滾動(dòng), 兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)用不可伸長(zhǎng)的繩連接等等兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)用不可伸長(zhǎng)的繩連接等等. 對(duì)狀態(tài)的對(duì)狀態(tài)的限制也就是對(duì)力學(xué)系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)

9、點(diǎn)的限制也就是對(duì)力學(xué)系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的位置和速度位置和速度加以限制加以限制, 其數(shù)學(xué)表示式是其數(shù)學(xué)表示式是(5.1) 0,;,321321trrrrrrrrfnn 約束方程約束方程坐標(biāo)和速度必需滿足的條件稱為坐標(biāo)和速度必需滿足的條件稱為約束條件約束條件. 某些約束僅某些約束僅對(duì)力學(xué)系統(tǒng)的幾何位置加以限制對(duì)力學(xué)系統(tǒng)的幾何位置加以限制, 而對(duì)而對(duì)各質(zhì)點(diǎn)的速度沒(méi)有限制各質(zhì)點(diǎn)的速度沒(méi)有限制, 這種約束稱為這種約束稱為幾何約束幾何約束, 其數(shù)學(xué)其數(shù)學(xué)表示式是表示式是(5.2) 0;,321trrrrfn例如，剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離保持不變就是一種幾例如，剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離保持不變就是一種幾何約束何約束.

10、 對(duì)于涉及力學(xué)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)情況的約束對(duì)于涉及力學(xué)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)情況的約束, 即即對(duì)速度也有對(duì)速度也有限制的限制的, 則稱為則稱為運(yùn)動(dòng)約束運(yùn)動(dòng)約束, 約束中顯含速度約束中顯含速度. 022ijjirrr例如例如: 半徑為半徑為R的圓柱在地面上沿著直線作無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)的圓柱在地面上沿著直線作無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng). 這意味著著地點(diǎn)的速度為零這意味著著地點(diǎn)的速度為零.00Rx運(yùn)動(dòng)約束亦稱為運(yùn)動(dòng)約束亦稱為微分約束微分約束或或速度速度約束約束 幾何約束的約束方程雖然不顯含速度項(xiàng)幾何約束的約束方程雖然不顯含速度項(xiàng), 但實(shí)際上它但實(shí)際上它在對(duì)位置限制的同時(shí)也對(duì)系統(tǒng)的速度給予了限制在對(duì)位置限制的同時(shí)也對(duì)系統(tǒng)的速度給予了限制, 事實(shí)

11、事實(shí)上上, 由式由式(5.1)對(duì)時(shí)間求全導(dǎo)數(shù)對(duì)時(shí)間求全導(dǎo)數(shù), 得得(5.3) 0dddddd31tftzzftyyftxxfiiiiniiix R 有些運(yùn)動(dòng)約束又可以通過(guò)積分成為幾何約束，例如有些運(yùn)動(dòng)約束又可以通過(guò)積分成為幾何約束，例如圓柱無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)的約束方程很容易積分為圓柱無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)的約束方程很容易積分為CRx0化成幾何約束的約束方程化成幾何約束的約束方程. 可積分的運(yùn)動(dòng)約束與幾何約束在物理實(shí)質(zhì)上沒(méi)有區(qū)別可積分的運(yùn)動(dòng)約束與幾何約束在物理實(shí)質(zhì)上沒(méi)有區(qū)別, 合稱為合稱為完整約束完整約束. 不可積的運(yùn)動(dòng)約束不可積的運(yùn)動(dòng)約束, 即不能化為幾何約即不能化為幾何約束的運(yùn)動(dòng)約束束的運(yùn)動(dòng)約束, 它們?cè)谖?/p>

12、理實(shí)質(zhì)上不同于幾何約束它們?cè)谖锢韺?shí)質(zhì)上不同于幾何約束,稱為稱為非完整約束非完整約束. 幾何約束幾何約束和和運(yùn)動(dòng)約束運(yùn)動(dòng)約束的分類(lèi)是按數(shù)學(xué)表達(dá)形式來(lái)分的分類(lèi)是按數(shù)學(xué)表達(dá)形式來(lái)分類(lèi)類(lèi), 完整約束完整約束和和非完整約束非完整約束的分類(lèi)是按物理實(shí)質(zhì)來(lái)分類(lèi)的分類(lèi)是按物理實(shí)質(zhì)來(lái)分類(lèi). 對(duì)非完整約束舉例對(duì)非完整約束舉例 具有尖銳邊緣的薄圓盤(pán)在粗糙面上無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)具有尖銳邊緣的薄圓盤(pán)在粗糙面上無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng), 則則圓盤(pán)的著地點(diǎn)的速度為零圓盤(pán)的著地點(diǎn)的速度為零. 薄圓盤(pán)的盤(pán)面是可以轉(zhuǎn)動(dòng)的薄圓盤(pán)的盤(pán)面是可以轉(zhuǎn)動(dòng)的, 但如盤(pán)面始終保持豎直但如盤(pán)面始終保持豎直, 著地點(diǎn)的速度為零著地點(diǎn)的速度為零,可表為可表為 00Rv

13、把上式投影到把上式投影到x軸和軸和y軸上軸上,得得 0sin0cos00RyRx式中式中x0和和y0是盤(pán)心的坐標(biāo)是盤(pán)心的坐標(biāo). 這兩這兩個(gè)微分關(guān)系是不能積分的個(gè)微分關(guān)系是不能積分的.xyzRR0v因?yàn)楫?dāng)薄圓盤(pán)沿著長(zhǎng)度各不相同的不同閉合曲線循行因?yàn)楫?dāng)薄圓盤(pán)沿著長(zhǎng)度各不相同的不同閉合曲線循行一周回到原處時(shí)，盤(pán)心坐標(biāo)一周回到原處時(shí)，盤(pán)心坐標(biāo)(x0，y0)和角和角 都可以回復(fù)都可以回復(fù)到原來(lái)的值，但到原來(lái)的值，但 卻未必也恰好回復(fù)原值卻未必也恰好回復(fù)原值. 這就是說(shuō)，這就是說(shuō)，在在x0, y0, 和和 之間并不存在一種確定不變的關(guān)系之間并不存在一種確定不變的關(guān)系. 這這種運(yùn)動(dòng)約束是不可能積分的種運(yùn)動(dòng)約

14、束是不可能積分的.xyzRR0v 例例: 冰面上滑行的冰刀的簡(jiǎn)化模型冰面上滑行的冰刀的簡(jiǎn)化模型. 假定將冰刀抽象為假定將冰刀抽象為以剛性輕桿相連的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)以剛性輕桿相連的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn),并設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量相等并設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量相等, 桿長(zhǎng)桿長(zhǎng)為為l, 當(dāng)冰刀在冰面上運(yùn)動(dòng)時(shí)當(dāng)冰刀在冰面上運(yùn)動(dòng)時(shí), 質(zhì)心質(zhì)心(桿的中點(diǎn)桿的中點(diǎn))的速度只的速度只能沿桿的方向能沿桿的方向. 選兩質(zhì)點(diǎn)在冰面上的坐標(biāo)為選兩質(zhì)點(diǎn)在冰面上的坐標(biāo)為(x1,y1)和和(x2,y2)，則約束條件為，則約束條件為212121212221221yyxxyyxxlyyxx前一個(gè)約束條件反映桿長(zhǎng)不變前一個(gè)約束條件反映桿長(zhǎng)不變, 是幾何約束是幾何約束, 即

15、完整約即完整約束束. 后一個(gè)約束條件反映質(zhì)心速度沿桿的方向后一個(gè)約束條件反映質(zhì)心速度沿桿的方向, 是運(yùn)動(dòng)是運(yùn)動(dòng)約束約束; 由于它是不可積的由于它是不可積的, 即不能化為幾何約束即不能化為幾何約束, 因而因而是非完整約束是非完整約束. 后一個(gè)約束也可表為后一個(gè)約束也可表為21212121ddddyyxxyyxx這意味著它是對(duì)無(wú)限小變化的限制這意味著它是對(duì)無(wú)限小變化的限制. 約束還分為約束還分為穩(wěn)定約束穩(wěn)定約束和和不穩(wěn)定約束不穩(wěn)定約束. 穩(wěn)定約束不直接依賴于時(shí)間穩(wěn)定約束不直接依賴于時(shí)間, 其數(shù)學(xué)表達(dá)式不顯含其數(shù)學(xué)表達(dá)式不顯含時(shí)間時(shí)間; 不穩(wěn)定約束則明顯依賴于時(shí)間不穩(wěn)定約束則明顯依賴于時(shí)間, 其效學(xué)

16、表達(dá)式顯含其效學(xué)表達(dá)式顯含時(shí)間時(shí)間. 此外，約束還可分為此外，約束還可分為單側(cè)約束單側(cè)約束(可解約束可解約束)和和雙側(cè)約雙側(cè)約束束(不可解不可解). 單側(cè)約束只在某一側(cè)限制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)單側(cè)約束只在某一側(cè)限制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng), 至于至于向另一側(cè)的運(yùn)動(dòng)則是向另一側(cè)的運(yùn)動(dòng)則是 完全自由的完全自由的. 例如例如: 單擺的不可伸長(zhǎng)的懸繩限制擺球不得向繩伸長(zhǎng)的單擺的不可伸長(zhǎng)的懸繩限制擺球不得向繩伸長(zhǎng)的方向運(yùn)動(dòng)，但向繩縮短的方向運(yùn)動(dòng)卻是自由的方向運(yùn)動(dòng)，但向繩縮短的方向運(yùn)動(dòng)卻是自由的. 單側(cè)約束的數(shù)學(xué)表示式是不等式單側(cè)約束的數(shù)學(xué)表示式是不等式, 一般可寫(xiě)為一般可寫(xiě)為 (5.3) 0,;,321321trrrrrrrr

17、fnn稱為約束不等式稱為約束不等式. 單側(cè)約束是有可能解除的單側(cè)約束是有可能解除的. 約束是否解約束是否解除或者何時(shí)解除除或者何時(shí)解除, 需要從運(yùn)動(dòng)方程解出約束力需要從運(yùn)動(dòng)方程解出約束力, 再?gòu)募s束再?gòu)募s束力的指向是否正確來(lái)判斷力的指向是否正確來(lái)判斷. 雙側(cè)約束限制著不論哪一側(cè)的運(yùn)動(dòng)雙側(cè)約束限制著不論哪一側(cè)的運(yùn)動(dòng),其數(shù)學(xué)表示式是其數(shù)學(xué)表示式是 (5.1)或或(5.2)所示的約束方程所示的約束方程.2 約束力約束力 根據(jù)牛頓定律根據(jù)牛頓定律, , 一切影響質(zhì)點(diǎn)機(jī)械運(yùn)動(dòng)的因素都?xì)w一切影響質(zhì)點(diǎn)機(jī)械運(yùn)動(dòng)的因素都?xì)w結(jié)為力結(jié)為力. . 因此約束作用也可以歸結(jié)為力因此約束作用也可以歸結(jié)為力. . 約束力的大

18、約束力的大小隨力學(xué)系統(tǒng)違背約束的趨勢(shì)的不同而自動(dòng)調(diào)節(jié)小隨力學(xué)系統(tǒng)違背約束的趨勢(shì)的不同而自動(dòng)調(diào)節(jié), , 使使約束條件總是得以滿足約束條件總是得以滿足. . 因此出現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)方程中的約因此出現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)方程中的約束力不可能預(yù)先給定束力不可能預(yù)先給定, , 它只能從運(yùn)動(dòng)方程并結(jié)合約束它只能從運(yùn)動(dòng)方程并結(jié)合約束方程解出來(lái)方程解出來(lái). . 一般將作用于第一般將作用于第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的約束力記作個(gè)質(zhì)點(diǎn)的約束力記作Ri, 而把作用而把作用于同一質(zhì)點(diǎn)的其余的力稱為主動(dòng)力，記作于同一質(zhì)點(diǎn)的其余的力稱為主動(dòng)力，記作Fi. 有的資料有的資料把約束力稱為把約束力稱為約束反力約束反力，因?yàn)檫@種力是體現(xiàn)約束條件的，因?yàn)檫@種力是體現(xiàn)約

19、束條件的實(shí)體跟違背約束趨勢(shì)對(duì)抗的反作用力實(shí)體跟違背約束趨勢(shì)對(duì)抗的反作用力.3 自由度和廣義坐標(biāo)自由度和廣義坐標(biāo)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)由個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)由n個(gè)位矢?jìng)€(gè)位矢rl, r 2, , rn確定，或由確定，或由N3n個(gè)個(gè)直角坐標(biāo)，直角坐標(biāo)，(x1，yl，z1) , , (xn，yn，zn)表示表示. 如果該系如果該系統(tǒng)存在統(tǒng)存在m個(gè)完整約束個(gè)完整約束那么，在那么，在N個(gè)坐標(biāo)之中，有個(gè)坐標(biāo)之中，有m個(gè)坐標(biāo)可以從方程組個(gè)坐標(biāo)可以從方程組(5.4) “解出解出”, 即有即有m個(gè)坐標(biāo)可用其余個(gè)坐標(biāo)可用其余N-m個(gè)坐標(biāo)表出，因此個(gè)坐標(biāo)表出，因此只剩下只剩下s=N-m個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)個(gè)獨(dú)立坐標(biāo).(5.4) ),1,2,( 0

20、;,321mitrrrrfni 系統(tǒng)的獨(dú)立坐標(biāo)的個(gè)數(shù)系統(tǒng)的獨(dú)立坐標(biāo)的個(gè)數(shù)s叫作系統(tǒng)在有限運(yùn)動(dòng)中的叫作系統(tǒng)在有限運(yùn)動(dòng)中的自自由度由度單值地確定一個(gè)系統(tǒng)的位形所必需的獨(dú)立參量單值地確定一個(gè)系統(tǒng)的位形所必需的獨(dú)立參量的數(shù)目的數(shù)目. 每一個(gè)完整約束方程使力學(xué)系統(tǒng)減少每一個(gè)完整約束方程使力學(xué)系統(tǒng)減少1個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)個(gè)獨(dú)立坐標(biāo), 即即, 使有限運(yùn)動(dòng)的自由度降低使有限運(yùn)動(dòng)的自由度降低1. 獨(dú)立坐標(biāo)并不一定在原來(lái)的獨(dú)立坐標(biāo)并不一定在原來(lái)的N個(gè)坐標(biāo)中挑選個(gè)坐標(biāo)中挑選, 完全可完全可以自由地選定以自由地選定. 這一組獨(dú)立參數(shù)叫作力學(xué)系統(tǒng)的這一組獨(dú)立參數(shù)叫作力學(xué)系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo). 既然廣義坐標(biāo)描寫(xiě)的力學(xué)系統(tǒng)的幾何

21、形象一定滿足既然廣義坐標(biāo)描寫(xiě)的力學(xué)系統(tǒng)的幾何形象一定滿足系統(tǒng)的完整約束條件系統(tǒng)的完整約束條件, 在引用廣義坐標(biāo)之后在引用廣義坐標(biāo)之后, 就不必再把就不必再把完整約束方程另外提出來(lái)完整約束方程另外提出來(lái). 一般來(lái)說(shuō)一般來(lái)說(shuō), 廣義坐標(biāo)不再三個(gè)一組地組成矢量廣義坐標(biāo)不再三個(gè)一組地組成矢量, 其量綱也不一定是長(zhǎng)度量綱其量綱也不一定是長(zhǎng)度量綱. 廣義坐標(biāo)表征系統(tǒng)的位形，廣義坐標(biāo)表征系統(tǒng)的位形，(5.5) ),1,2,( ,21iini qqqrrs凡可以確定力學(xué)系統(tǒng)幾何形象的任何物理量凡可以確定力學(xué)系統(tǒng)幾何形象的任何物理量, 都可造都可造作廣義坐標(biāo)作廣義坐標(biāo).例如例如: 被約束在球面上的質(zhì)點(diǎn)可用經(jīng)度和

22、緯度這兩個(gè)被約束在球面上的質(zhì)點(diǎn)可用經(jīng)度和緯度這兩個(gè)角度作為廣義坐標(biāo)角度作為廣義坐標(biāo). ),1,2,( )(isi tqqi其隨時(shí)間的變化率稱為其隨時(shí)間的變化率稱為廣義速度廣義速度. 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可表達(dá)為廣義坐標(biāo)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可表達(dá)為廣義坐標(biāo)q1, q2, , qs隨時(shí)間的隨時(shí)間的變化變化, 即有即有顯然顯然, 廣義速度的量綱也不一定是速度量綱廣義速度的量綱也不一定是速度量綱. 對(duì)于只有完整約束的力學(xué)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)不僅對(duì)于只有完整約束的力學(xué)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)不僅s個(gè)廣義坐標(biāo)個(gè)廣義坐標(biāo)全是獨(dú)立的全是獨(dú)立的, 而且而且s個(gè)廣義速度也全是獨(dú)立的個(gè)廣義速度也全是獨(dú)立的. 如果力學(xué)系統(tǒng)除了如果力學(xué)系統(tǒng)除了m個(gè)完整約束外，還存在個(gè)完整約束外，還存在k個(gè)個(gè)非完整約束非完整約束, 則這時(shí)并不能解出則這時(shí)并不能解出k個(gè)坐標(biāo)個(gè)坐標(biāo). 所以所以非完整非完整約束不能減少獨(dú)立坐標(biāo)的個(gè)數(shù)約束不能減少獨(dú)立坐標(biāo)的個(gè)數(shù), 但非完整約束卻會(huì)減但非完整約束卻會(huì)減少獨(dú)立速度分量的個(gè)數(shù)少獨(dú)立速度分量的個(gè)數(shù), 這意味著減少獨(dú)立的坐標(biāo)無(wú)這意味著減少獨(dú)立的坐標(biāo)無(wú)限小變化的個(gè)數(shù)限小變化的個(gè)數(shù). 我們稱我們稱獨(dú)立速度分量的個(gè)數(shù)為力學(xué)系統(tǒng)在無(wú)限小運(yùn)獨(dú)立速度分量的個(gè)數(shù)為力學(xué)系統(tǒng)在無(wú)