軸對稱中幾何動點最值問題總結.docx

1、軸對稱中幾何動點最值問題總結軸對稱的作用是“搬點移線”，可以把圖形中比較分散、缺乏聯(lián)系的元素集中到“新的圖形”中，為應用某些基本定理提供方便。比如我們可以利用軸對稱性質求幾何圖形中一些線段和的最大值或最小值問題。利用軸對稱的性質解決幾何圖形中的最值問題借助的主要基本定理有三個：（1）兩點之間線段最短；（2）三角形兩邊之和大于第三邊；（3）垂線段最短。初中階段利用軸對稱性質求最值的題目可以歸結為：兩點一線，兩點兩線，一點兩線三類線段和的最值問題。下面對三類線段和的最值問題進行分析、討論。（ 1） 兩點一線的最值問題 : （ 兩個定點 + 一個動點）問題特征：已知兩個定點位于一條直線的同一側，在直

2、線上求一動點的位置， 使動點與定點 線段和最短。核心思路：這類最值問題所求的 線段和中只有一個動點， 解決這類題目的方法是找出任一定點關于直線的對稱點，連結這個對稱點與另一定點，交直線于一點，交點即為動點滿足最值的位置。方法： 1. 定點過動點所在直線做對稱。2. 連結對稱點與另一個定點，則直線段長度就是我們所求。變異類型：實際考題中，經常利用本身就具有對稱性質的圖形，比如等腰三角形，等邊三角形、正方形、圓、二次函數(shù)、直角梯形等圖形，即其中一個定點的對稱點就在這個圖形上。1. 如圖，直線 l 和 l 的同側兩點 A、 B，在直線 l 上求作一點 P，使 PA+PB最小。（ 2） 一點兩線的最值

3、問題 : （ 兩個動點 +一個定點）問題特征：已知一個定點位于平面內兩相交直線之間，分別在兩直線上確定兩個動點使線段和最短。核心思路：這類問題實際上是兩點兩線段最值問題的變式，通過做這一定點關于兩條線的對稱點，實現(xiàn)“搬點移線” ，把線段“移”到同一直線上來解決。變異類型：1. 如圖，點 P 是 MON 內的一點，分別在 OM， ON 上作點 A， B。使 PAB 的周長最小。2. 如圖，點 A 是 MON 外的一點，在射線 OM 上作點 P，使 PA 與點 P 到射線 ON 的距離之和最小。（ 3） 兩點兩線的最值問題 : （ 兩個動點 +兩個定點）問題特征：兩動點，其中一個隨另一個動（一個主

4、動，一個從動），并且兩動點間的距離保持不變。核心思路：用平移方法，可把兩動點變成一個動點，轉化為“兩個定點和一個動點”類型來解。變異類型：1. 如圖，點 P， Q 為 MON 內的兩點，分別在 OM， ON 上作點 A， B。使四邊形 PAQB的周長最小。2. 如圖，已知A（1 ，3），B（ 5，1），長度為 2 的線段 PQ 在 x 軸上平行移動，當AP+PQ+QB的值最小時，點P的坐標為 ()3.（ 4） 兩點兩線的最值問題 : （ 兩個動點 +兩個定點）問題特征：兩動點分別在兩條直線上獨立運動，一動點分別到一定點和另一動點的距離和最小。核心思路：利用軸對稱變換， 使一動點在另一動點的對稱

5、點與定點的線段上（兩點之間線段最短），且這條線段垂直于另一動點的對稱點所在直線（連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短）時，兩線段和最小，最小值等于這條垂線段的長。變異類型：演變?yōu)槎噙呅沃荛L、折線段等最值問題。1. 如圖，點 A 是 MON 內的一點，在射線 ON 上作點 P，使 PA 與點 P 到射線 OM 的距離之和最小。二、常見題目Part1 、三角形1如圖， 在等邊 ABC 中，AB=6，AD BC，E 是 AC 上的一點， M 是 AD 上的一點， 且 AE=2，求 EM+EC的最小值。2如圖，在銳角ABC 中， AB=42， BAC 45， BAC 的平分線交分別是 A

6、D 和 AB 上的動點，則BM+MN 的最小值是 _ 。BC 于點D，M、N3如圖， ABC 中， AB=2， BAC=30，若在 AC、 AB 上各取一點 M、 N，使 BM+MN 的值最小，則這個最小值。Part2 、正方形1如圖，正方形 ABCD 的邊長為 8 ，M 在 DC 上，丐 DM 2，N 是 AC 上的一動點， DN MN 的最小值為 _ 。 即在直線 AC 上求一點 N，使 DN+MN 最小 。2如圖所示，正方形ABCD 的面積為 12， ABE 是等邊三角形，點E 在正方形ABCD 內，在對角線AC 上有一點P，使 PD PE 的和最小，則這個最小值為（）A23B26C3D

7、63在邊長為 2 的正方形 ABCD 中，點 Q 為 BC 邊的中點， 點 P 為對角線 AC 上一動點，連接 PB、 PQ，則 PBQ 周長的最小值為 _ （結果不取近似值） 。4如圖，四邊形ABCD 是正方形，AB = 10cm ，E 為邊 BC 的中點， P 為 BD 上的一個動點，求 PC+PE的最小值；Part3、矩形1 如圖，若四邊形ABCD是矩形，AB = 10cm ， BC = 20cm，E為邊BC上的一個動點，P 為BD上的一個動點，求PC+PD 的最小值；Part4、菱形1 如圖，若四邊形ABCD是菱形，AB=10cm ， ABC=45， E為邊BC上的一個動點，P 為 BD 上的一個動點，求PC+PE的最小值；Part5 、直角梯形1 已知直角梯形ABCD 中， AD BC，ABBC，AD=2，BC=DC=5，點當 PA+PD 取最小值時， APD 中邊AP 上的高為（）P 在BC上秱動，則Part6 、一次函數(shù)一次函數(shù)y = kx +