壓縮映像原理翻譯部分1

1、部分1.文摘結(jié)果 主題和概括。壓縮映像原理是一種研究非線性方程最有用的工具，比如代數(shù)方程，積分或微分方程。原則是一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)定理，證明了完備度量空間的壓縮映像本身有一個(gè)獨(dú)特的固定點(diǎn)通過反復(fù)圖像的映射下任意起始點(diǎn)的空間獲得極限的定義。因此，這是一個(gè)建設(shè)性的不動(dòng)點(diǎn)定理并且可以實(shí)現(xiàn)定點(diǎn)的數(shù)值計(jì)算。 從古代數(shù)學(xué)（即計(jì)算古代數(shù)字平方根的古代方案）以來，迭代格式一直被使用并且在牛頓法求解多項(xiàng)式或代數(shù)方程組和皮卡德的迭代過程求解初值和邊值非線性常微分方程的問題變得特別實(shí)用(見,58,59)。 在完整的賦范線性空間中，這個(gè)原理首先被巴拿赫5證明在收縮映射（在巴拿赫的許多結(jié)果請(qǐng)看60）。同時(shí)，豪斯多夫?yàn)橥陚涠攘靠?/p>

2、間的收縮映射（來自Caccioppoli 17， 75）提供了總體框架原則，介紹了一個(gè)抽象的度量空間的概念。它出現(xiàn)在各種文本實(shí)際分析(前一個(gè)注釋,56) 在這些記錄中，我們用不同的形式開發(fā)壓縮映像原理并且提供不同數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中的許多應(yīng)用程序。我們的目的是向讀者介紹一些關(guān)于已經(jīng)發(fā)現(xiàn)有用的原則在不同區(qū)域的分析。我們會(huì)討論這些分析：牛頓法的收斂；如何確定分形是固定的點(diǎn)集值壓縮迭代函數(shù)系統(tǒng)；積極使用希爾伯特的度量矩陣的門階-弗羅貝尼烏斯定理和這個(gè)無限維空間的拓展(定理Krein-Rutman)；常微分方程的存在性和唯一性定理的基本理論（Picard-Lindel定理）和各種相關(guān)的結(jié)果；Abel-Liouv

3、ille類型的積分方程理論的應(yīng)用程序；隱函數(shù)定理；變分不等式的基本存在和唯一性定理；非對(duì)稱二次形式的Lax-Milgram類型結(jié)果；Cauchy-Kowalevsky基本存在性定理的偏微分方程的分析條件。 這些記錄已經(jīng)收集了幾年,最近，被用來作為研討會(huì)中VIGRE項(xiàng)目的一個(gè)部門基礎(chǔ)部分。我們?cè)谶@里要感謝那些參加了研討會(huì)的本科學(xué)生,給了我們有價(jià)值的反饋。 2完備度量空間 在本節(jié)中,我們短暫回顧大多數(shù)本科生數(shù)學(xué)課程中一些非?；镜母拍?。我們將假定這些是必要的知識(shí),這里是相關(guān)基本文本,例如。15,32,62。2.1 度量空間。給定一個(gè)數(shù)組M,一個(gè)度量關(guān)于M(也稱為M是一個(gè)函數(shù)距離)。 滿足 (2.1

4、)(最后一個(gè)要求是稱為三角不等式)。我們叫這一對(duì)(M,d)為度量空間（我們經(jīng)常使用M表示） 一個(gè)數(shù)組 在M中收斂于的前提是 這里我們可以寫成 我們叫數(shù)組在M中是一個(gè)柯西數(shù)組，前提是對(duì)任意，存在 一個(gè)度量空間M是完整的,當(dāng)且僅當(dāng)每一個(gè)柯西序列在M收斂于一個(gè)點(diǎn)。 度量空間形成一個(gè)useful-in-analysis的拓?fù)淇臻g。我們需要討論的一些概念在研究這些空間的同時(shí)。然而,我們可以在度量空間的環(huán)境里這樣做而不是一般的環(huán)境。下面的概念通常是在一個(gè)高級(jí)微積分或分析的基礎(chǔ)課程。我們將簡(jiǎn)單地列出這些概念和參考在相應(yīng)文本(例如。32或72)的正式定義。我們考慮一個(gè)固定的度量空間(M,d)。 開放和封閉的子

5、集M;有界和全有界集M;極限值(聚點(diǎn))的一個(gè)子集M;M的一個(gè)子集(注意關(guān)閉關(guān)閉開放的球不是一定是封閉球);一組直徑集合;一組被密集的概念集合;一個(gè)點(diǎn)到另外一個(gè)集合之間的距離（或兩個(gè)集合）假設(shè)(M,d)是一個(gè)度量空間并且 . 如果我們限制d在X,將是一個(gè)度量空間的“相同”指標(biāo)m 。我們重要注意的是如果M是完整和X M是一個(gè)封閉的子集, 然后也是完整的度量空間(任何柯西序列在將M的柯西序列,因此將收斂于某些點(diǎn)在M中，如果在M中逼近必須在中現(xiàn)在M)。概念的緊密性是關(guān)鍵。一個(gè)度量空間對(duì)于任何簇相關(guān)M的開集合，有一個(gè)有限的自子集。（用M的任意一個(gè)覆蓋面來描述這種情況）。我們可以“分析性的”分析緊密性如下

6、。對(duì)任何在M中的和點(diǎn)；對(duì)于任何的正整數(shù)k0,我們說y是的一個(gè)聚點(diǎn)，存在并且。因此在任何的開發(fā)球中，在每個(gè)數(shù)組M都存在一個(gè)聚點(diǎn)時(shí)，我們的M是緊密的。在本章的剩余部分,我們簡(jiǎn)要列表和描述一些有用的度量空間的例子。2.2賦范矢量空間. 如果M是一個(gè)真實(shí)的或復(fù)雜的向量空間矢量 (標(biāo)量)。一個(gè)映射在下列條件下被叫做模： 如果M是一個(gè)向量空間并且是一個(gè)M里的模，（M，）是一個(gè)賦范矢量空間。我們不應(yīng)模糊地說M是一個(gè)賦范矢量空間。M是一個(gè)向量空間并且是一個(gè)M里的模， M就變成了一個(gè)度量空間通過我們定義一個(gè)度量空間d： 賦范矢量空間,是一個(gè)完備度量空間,在度量d的指標(biāo)上面,叫做巴拿赫空間。因此,一個(gè)封閉的巴拿赫

7、空間的子集可能總是被視為完備度量空間,因此,一個(gè)封閉的子空間的巴拿赫空間也是一個(gè)巴拿赫空間。 我們暫時(shí)一下現(xiàn)在的討論再一起討論一個(gè)小的關(guān)于巴拿赫空間的目錄,以供將來參考。我們應(yīng)當(dāng)考慮唯一真正的巴拿赫空間,類似的定義復(fù)雜的類似物。 在所有情況下,驗(yàn)證這些空間賦范線性空間是非常簡(jiǎn)單的,完整性的驗(yàn)證,另一方面通常是更加困難。的許多例子將稍后討論的設(shè)置完成度量空間的子集或巴拿赫空間的子空間。巴拿赫空間的例子例2.1 （R，）是一個(gè)簡(jiǎn)單的巴拿赫空間例子。例2.2 以下是許多我們可以使用的定理： 例2.3 我們使用坐標(biāo)態(tài)加法和標(biāo)量乘法運(yùn)算,向量空間,可配備標(biāo)準(zhǔn)的某些子空間,尊重他們是完整的。(1) 當(dāng)1p

8、時(shí)(2) 另外 完整。例2.4 令H是一個(gè)復(fù)雜的向量空間。H上的內(nèi)積是一個(gè)映射滿足：（1） 對(duì)任意的是一個(gè)線性映射。（2） 如果H是一實(shí)數(shù)的向量空間，并且內(nèi)積是一個(gè)實(shí)值函數(shù)，。（3） 并且當(dāng)且僅當(dāng)x=0，就定義（H，）將是一個(gè)賦范矢量空間。如果H是完整的,我們稱H為希爾伯特空間。我們注意到 (真正的)是希爾伯特空間。連續(xù)函數(shù)的空間進(jìn)一步的例子分析的重要空間。下面是一個(gè)關(guān)于上述空間簡(jiǎn)短的討論。例 2.5 定義我們注意到對(duì)于 ，我們定義并且對(duì)于對(duì)于常用點(diǎn)態(tài)定義f+g和以及上面被證明的定理，由此可見是一個(gè)賦范矢量空間。這個(gè)空間完全遵照的完整性，遵循定理。(請(qǐng)看15)另一個(gè)常用定理是這相當(dāng)于上面定義的

9、規(guī)范；基于如下的不等式等價(jià)規(guī)范給我們嚴(yán)密的想法和一個(gè)可能，在一個(gè)給定的相同的想法應(yīng)用，使用等效的規(guī)范，使得計(jì)算和驗(yàn)證容易或給我們更透明的結(jié)論。例2.6 讓成為一個(gè)開集Rn，K同上；定義令由于連續(xù)函數(shù)的序列的一致性是連續(xù)的，它遵循的空間是一個(gè)banach空間。假如如上并且是一個(gè)開集滿足我們令因此，是一個(gè)banach空間。例2.7 令是Rn中的開集。令是一個(gè)多指標(biāo)。（非負(fù)整數(shù)）.我們令令然后F是一階偏導(dǎo)數(shù)。給出了當(dāng)，定義令然后，對(duì)可微函數(shù)的族使用進(jìn)一步的收斂結(jié)果，跟隨這個(gè)空間是一個(gè)banach空間?？臻g是用類似方式定義在的方式定義的空間和如果是有界的那么它是巴拿赫空間。2.3 完備性 在這一節(jié)中，

10、我們將簡(jiǎn)要討論完成的概念在一個(gè)度量空間和賦范向量空間中完成。定理2.8 如果（M，d）是一個(gè)度量空間，則存在一個(gè)完備度量空間和一個(gè)映射就像我們給出一個(gè)簡(jiǎn)短的證明。我們讓C成為一系列在M中的柯西序列。我們觀察到，如果Xn和Yn是M中的要素。是一個(gè)柯西序列。如下的三角不等式。我們定義該映射是一個(gè)偽度量（缺乏唯一的條件）從度量的定義）。關(guān)系R定義在C中的關(guān)系或等價(jià)的，是一個(gè)等價(jià)關(guān)系在C上。在空間C/R上，所有等價(jià)類集合在C中，應(yīng)記為M.如果我們表示R xn，所有這類是R等于xn，我們可以定義這定義了一個(gè)度量我們下一個(gè)連接到M。有一個(gè)自然的映射M到C，由（序列，所有的條目都是相同的元素）。我們顯然有從

11、而映射（我們稱之為H）是的等距形象M是密集的，如下容易從上面的解釋。備注 2.9 我們觀察到（M，d）是“獨(dú)特的本質(zhì)”。if（M1，D1）和（M2，D2）是映射H1，H2在M中的完備性，然后存在一個(gè)映射就像上面的定理，其證明是相似的以前的結(jié)果（定理2.8）的證明，回顧一個(gè)規(guī)范定義了一個(gè)度量我們定義（使用該定理的符號(hào)）。對(duì)于一個(gè)給定的柯西序列也很清楚，通過定義加法，設(shè)置為一個(gè)向量空間自然的標(biāo)量乘法。定理2.10 如果是一個(gè)賦范向量空間，則存在（本質(zhì)上獨(dú)特的）完整的賦范向量空間（巴拿赫空間）和（這是一個(gè)等距同構(gòu)）就像在中是密集的。2.4 勒貝格空間 在這一節(jié)中，我們將簡(jiǎn)要討論勒貝格空間用連續(xù)函數(shù)的

12、域是Rn空間中產(chǎn)生，如果我們定義f的支撐是閉集每當(dāng)supp（f）是一個(gè)緊湊的（即封閉有界）集合并且被為的定義在Rn上具有緊支撐的定義連續(xù)k值函數(shù)集表示時(shí)，我們說f具有緊密支撐。（一般情況下，如果是一個(gè)開放的集合）我們首先需要對(duì)定義黎曼積分。要做到這一點(diǎn)，沒有在這個(gè)過程中，我們假設(shè)讀者是熟悉的用這個(gè)概念來定義封閉的矩形框。是固定的真實(shí)數(shù)字（對(duì)于每一個(gè)盒子）。我們觀察到，如果并且B1和B2這樣的盒子，每個(gè)包含是一個(gè)盒包含這讓我們來定義黎曼積分f在Rn上。其中B是包含任何封閉的盒子。映射是一個(gè)線性映射（線性函數(shù)）從到K，另外滿足（1）假如f在Rn中是非負(fù)的，那么（2）如果是C0序列的非負(fù)函數(shù)是單調(diào)降

13、低（逐點(diǎn)）為零，即，那么定義2.11 對(duì)于 ，我們定義這是很容易證明，是一種規(guī)范稱為C0的L1范數(shù)-（RN）。我們現(xiàn)在的寫生過程完成賦范向量空間有限在這樣一種方式，我們可以把向量函數(shù)Rn上完成。定義2.12 子集被稱為一組測(cè)量零的對(duì)于任何存在著一系列的框，如，當(dāng)我們說一個(gè)屬性持有“幾乎無處不在”如果點(diǎn)集在它持有量為零。在一個(gè)非常完備的討論中，可以發(fā)現(xiàn)以下定理的證明和L1完備性 37，7章。定義2.13 一個(gè)序列在賦范向量空間稱為一個(gè)快速的柯西序列，如果收斂。定理2.14 如果fn是快速柯西序列，然后fn 收斂點(diǎn)在Rn。定義2.15 Rn上的勒貝格可積函數(shù)f：f是K值函數(shù)定義在Rn ，有快速柯西

14、序列收斂于f .在Rn。定理2.16 如果f是一個(gè)勒貝格可積函數(shù)，fn 和 gn是快速柯西序列收斂f，然后這樣的結(jié)果，我們可以定義其中fn是任何快速的柯西序列收斂在Rn。由此產(chǎn)生的映射在所有定義在空間上的勒貝格可積函數(shù)是在這個(gè)空間上的線性泛函也滿足定理2.17 映射在，即滿足規(guī)范的所有條件，除了，并不意味著f是上的零。進(jìn)一步的是完整的半范數(shù)是一個(gè)密集的子空間。通常我們確定兩元素滿足；即，我們定義了一個(gè)的等價(jià)關(guān)系每當(dāng)設(shè)置一個(gè)的零度量，這種等價(jià)關(guān)系方面的加法和標(biāo)量乘法運(yùn)算兩等效函數(shù)具有相同的半范數(shù)。所有的向量空間等價(jià)類，然后成為一個(gè)完備的賦范線性空間（巴拿赫空間）。這個(gè)空間，我們叫備注2.18 1

15、.我們?cè)俅伟炎x者參閱 37 為一個(gè)完整的討論主題.其他相關(guān)的，例如，勒貝格積分的收斂定理，等。由此產(chǎn)生的空間3. 一個(gè)也可以模仿這個(gè)程序，以獲得另一個(gè)勒貝格空間在代替原范式當(dāng)然，在類似的情況，可以定義4. 對(duì)于給定的，定義在的，功能性因子被稱為分布定義的f分布，更常見的，在上的線性泛函的集合被稱為一組分布，如果不是這樣的，其分布被定義因此，和，分布在f上，我們從今以后，對(duì)于給定的5. 笛卡爾乘積可以被看作是一個(gè)規(guī)范定義為賦范線性空間。在后者的完備性空間叫Sobolev空間。這樣的元素，則存在一個(gè)序列遵循L1-范式如下另一方面，采用一體化，因此也就是說，在這個(gè)意義上，這可以概括如下：空間是所有L

16、1-函數(shù)的分布的導(dǎo)數(shù)是L1-函數(shù)，以及如果我們?cè)谏鲜龅倪^程中用L2-范式代替L1-范式，獲得空間常常被表示的，用線性規(guī)劃作為基礎(chǔ)空間，一個(gè)可以定義Sobolev空間在函數(shù)N變量和開放區(qū)域的情況下，類似的過程被用來定義Sobolev空間。后來我們?cè)谶@些筆記中對(duì)空間特別感興趣，我們指的是有興趣的讀者到本書亞當(dāng)斯 1 了解Sobolev空間的詳細(xì)發(fā)展和性能。2.5 在Hausdorff度量 讓度量空間M 和度量d。對(duì)于和中心為x和半徑的開放封閉球。如前所指出的封閉球是封閉的，但不需要關(guān)閉的開放球。設(shè)A是一個(gè)非空閉子集M.對(duì)于，我們定義我們觀察到如果A一個(gè)是緊密的，那么這些集合是相等的；如果一個(gè)是不緊

17、密的，這包含可能是正當(dāng)?shù)?。定義 2.19 我們令對(duì)于每一個(gè)集合中的一對(duì)A,B，我們定義這是一個(gè)簡(jiǎn)單的練習(xí)，以證明以下命題。命題 2.20 對(duì)于我們從此以后這樣表示共同價(jià)值命題 2.21 對(duì)于被表示為h是一個(gè)在上的度量（Hausdorff度量）。我們簡(jiǎn)要地得出證明。h是對(duì)稱于其參數(shù)和當(dāng)且僅當(dāng)A=B為了驗(yàn)證三角不等式成立，我們令，讓然后因此然后這意味著同樣的以下推論，這是一個(gè)直接結(jié)果的定義，將在以后使用。命題 2.22 令給定的，存在，下面將要介紹Hausdorff雙閉集合之間距離的計(jì)算。例2.23 令然后所以例 2.24然后有一個(gè)自然映射關(guān)聯(lián)點(diǎn)M和給定的元素這種映射，作為一個(gè)容易驗(yàn)證，是一個(gè)等距

18、i.e.,我們下一步建立的是一個(gè)完整的度量空間，每當(dāng)是完備的度量空間（參見 25 ，包含許多非常好的練習(xí)，關(guān)于Hausdorff度量和度量空間的構(gòu)造層次上述方式。）令成為一個(gè)序列集合，我們可以叫序列為快速序列，假設(shè)我們有下列引理，證明如下Hausdorff度量。引理2.25 令 完備度量空間與序列集合如，假如j是給定的正整數(shù)并且，則存在看到上面的過程如下：讓和通過向后引導(dǎo)定理 2.26 如果是一個(gè)完整的度量空間，那么也是一個(gè)度量空間。證明。令是一個(gè)柯西序列，通過一個(gè)序列，我們可以假設(shè)讓是一個(gè)快速收斂序列，我們斷言的閉合是H的元素和服從Hausdorff度量。建立H中的元素A，它足以說明A是是有界集合。于是令和，以及是一個(gè)