圓錐曲線的統(tǒng)一定義教學設(shè)計-王金林

1、圓錐曲線的統(tǒng)一定義教學設(shè)計江蘇省通州高級中學 王金林教材分析：圓錐曲線是一個重要的數(shù)學模型， ，它具有很多非常好的幾何性質(zhì)，在日常生活、社會生 產(chǎn)及科學技術(shù)中都有著重要而廣泛地應(yīng)用。本章內(nèi)容與數(shù)學必修二中“平面解析幾何初步” 一樣，都以滲透解析幾何的基本思想為教學目標，以“展示背景，建立曲線概念；建立方程， 研究曲線性質(zhì)”為主線，并在學生具有較多的感性認識的基礎(chǔ)上建立一般曲線方程的概念。 這種從特殊到一般、從感性到理性的學習過程符合學生的認知發(fā)展規(guī)律。教材從“總 - 分- 總”的設(shè)計思路，先從整體上認識圓錐曲線的概念，了解橢圓、雙曲線、拋 物線的內(nèi)在關(guān)系，再運用方程思想分別研究橢圓、雙曲線、拋

2、物線的幾何性質(zhì)，進而通過統(tǒng) 一定義從總體上進一步認識三種曲線的關(guān)系。教科書從拋物線的定義出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情境，提出 類比、猜想，得到圓錐曲線的統(tǒng)一定義，從更高的形式上揭示圓錐曲線之間的內(nèi)在的關(guān)系， 使學生充分感受數(shù)學的內(nèi)在的、和諧的美，并且通過對研究過程的反思，培養(yǎng)欣賞美、發(fā)現(xiàn) 美的能力和意識，提高數(shù)學審美能力。教學目標了解圓錐曲線的統(tǒng)一定義，掌握根據(jù)標準方程求圓錐曲線的準線方程的方法教學重點，難點圓錐曲線的統(tǒng)一定義及準線方程教學過程一、問題情境1情境：我們知道，平面內(nèi)到一個定點 F 的距離和到一條定直線 l（F 不在l上） 的距離的比等于 1的 動點 P 的軌跡是拋物線當這個比值是一個不等于的常數(shù)

3、時，動點 P 的軌跡又是什么曲線呢？2問題：1 的定值的點的軌跡為橢圓1 的定值的點的軌跡為雙曲線的距離2進一步證明：動點 P 到定點 (c,0) 的距離和到定直線2 a xc的距離之比為 c (a c 0) a證明：根據(jù)題意可得 (x c) y c2a| x |c化簡得 (a2 c2) x2 a2y2 a2(a2 c2)2y2 1(a b 0)b22l : x a 距離之比 c (c a 0)ca試探討這個常數(shù)分別是 1 和2時，動點 P的軌跡？23. 猜想：猜想一：到定點的距離和到定直線的距離之比為小于 猜想二：到定點的距離和到定直線的距離之比為大于二、學生活動證明猜想1回顧橢圓標準方程的

4、推導過程在推導橢圓的標準方程時， 我們曾得到這樣一個方程： a2cx a (xc)2y2 ，將其變形為(x2 c) ya2 x c你能解釋這個方程的幾何意義嗎？(xc)2 y2 動點( x,y)到( c,0)22 a x 動點( x,y )到直線 x a 的距離 cc2令 a2 c2 b2 ，上式可化為 x2 a這是橢圓的標準方程的軌跡是橢圓3類比證明：已知點 P(x,y) 到定點 F(c,0) 的距離與它到定直線的點 P 的軌跡為雙去線4由探究試驗的結(jié)論以及拋物線的定義，歸納概括出橢圓的統(tǒng)一定義221) x2 y225 9備用：橢圓224xb22 by22 1點到右準線的距離是2 3b ，求

5、該點到橢圓左焦點的距離圓錐曲線可以統(tǒng)一定義為：平面內(nèi)到一個定點 F 和到一條定直線 l(F 不在l上)的距離的比 等于常數(shù) e 的點的軌跡當 0 e 1 時，它表示橢圓；當 e 1 時，它表示雙曲線；當 e 1 時，它表示拋物線其中e是圓錐曲線的離心率，定點 F 是圓錐曲線的焦點，定直線 l是圓錐曲線的準線2 2 25橢圓 x2 y2 1(a b 0)有兩個焦點，兩條準線，右焦點 F ( c,0) ，右準線 x a ，左焦a b c2點 F ( c,0) ，左準線 x a 離心率 e c (0 e 1)ca2 2 2雙曲線 x2 y2 1(a 0，b 0)有兩個焦點，兩條準線，右焦點 F(c,

6、0) ，右準線 x a ，左焦a b c2點 F ( c,0) ，左準線 x a ，離心率 e c (e 1)ca6根據(jù)圖形的對稱性可知，橢圓和雙曲線都有兩條準線，對于中心在原點，焦點在x 軸上的22橢圓或雙曲線，與焦點 F1( c,0), F2(c,0) 對應(yīng)的準線方程分別為 x a , x a cc三、數(shù)學運用 例 1 求下列曲線的焦點坐標與準線方程x2 y 22)4x2 y2 16 (3)x y 1 (4)4 y2 x2 1616 92例2橢圓 2x5 y9 1上一點 P到左焦點的距離是 4，求該點到橢圓左準線的距離變式 1：求該點到橢圓右準線的距離解：設(shè)該橢圓的的左右焦點分別是 F1,

7、F2，該橢圓的離心率為 e 3 ，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義2可知， PF2 e 2 3b 3 2 3b 3b2所以， PF1 4b PF2 4b 3b b即該點到橢圓左焦點的距離為 b 說明：橢圓和雙曲線分別有兩個焦點和兩條準線，在解題過程中要注意對應(yīng)，即左焦點對應(yīng)左準線，右焦點對應(yīng)右準線（或上焦點對應(yīng)上準線、下焦點對應(yīng)下準線 ）四課堂小結(jié)：探究 猜想 證明圓錐曲線的統(tǒng)一定義焦點與準線的求解（求解步驟）利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義來解決問題教學反思：在必修 2 中我們學習了直線和圓的方程，對曲線和方程的概念及求法己經(jīng)有一定理解， 前面又詳細學習了圓錐曲線中橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程、幾何性質(zhì)，以及

8、簡單應(yīng) 用，通過拋物線的學習加深了學生對圓錐曲線統(tǒng)一的認識，提高對坐標法這一解析幾何基本 方法的應(yīng)用能力，提高學生綜合能力。本節(jié)在抓好基礎(chǔ)知識的同時，注重激發(fā)學生學習的興趣，同時注重學生在自我探索過程 中發(fā)現(xiàn)知識，培養(yǎng)探究意識。讓學生成為一名自主的學習者和探索者，讓學生處在一種對知 識的追求狀態(tài)中。圓錐曲線統(tǒng)一定義很簡單但非常重要，學習時指導學生注意和拋物線定義相聯(lián)系。由拋 物線定義導入新課，將比值 1 改變，曲線會是什么形狀？學生先猜想，后從形和數(shù)兩個方面 進行驗證。從探究猜想證明這一過程中，學生獲取了知識，而且加深了理解。教師 作為熱烈討論的平等氛圍中的引導者，鼓勵學生大膽探究、勇于創(chuàng)新，積極談?wù)摵蛥⑴c體驗， 留給學生更多的思考和探索，轉(zhuǎn)變學習方式。驗證學生的結(jié)果。在教學過程中，結(jié)合本節(jié)課的具體內(nèi)容，確立啟發(fā)探究式教學、互動式教學法進行教學 這兩種教學方法，體現(xiàn)了認知心理學的基本理論。課堂上為學生的主動參與提供充分的時間 和空間，讓不同程度的學生勇于發(fā)表自己的各種觀點（無論對錯） ，選出代表上講臺講解等做 法，學生勇于展示。每個學生都經(jīng)過獨立思考后在前后左右的同學形成小組中進行了交流討 論，共同進步。借助與多媒體設(shè)備，用了幾何畫板軟件輔助作圖，動畫、影像