專題05 勾股定理在折疊問題中的應(yīng)用（解析版）[1]

1、專題05 勾股定理在折疊問題中的應(yīng)用折疊問題是中考的熱點(diǎn)也是難點(diǎn)問題,通常與動(dòng)點(diǎn)問題結(jié)合起來,這類問題的題設(shè)通常是將某個(gè)圖形按一定的條件折疊,通過分析折疊前后圖形的變換,借助軸對稱性質(zhì)、勾股定理等知識進(jìn)行解答。此類問題立意新穎,充滿著變化,要解決此類問題,除了能根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)作出要求的圖形外,還要能綜合利用相關(guān)數(shù)學(xué)模型及方法來解答。下面就從以下的題目中逐一進(jìn)行論述.題1. 如圖1-1,在RtABC中,A=90,AB=3,AC=4,現(xiàn)將ABC沿BD進(jìn)行翻折,使點(diǎn)A剛好落在BC上,則CD=_圖1-1【參考參考參考答案】.【解析】A=90,AB=3,AC=4在RtABC中,由勾股定理得：BC=

2、5.由折疊的性質(zhì)知：AB=AB=3,AD=ADAC=2設(shè)CD=x,則AD=AD=4x在RtADC中,由勾股定理得：CD2=AC2+AD2x2=4+(4x)2解得：. 故參考參考參考答案為.題2. 如圖2-1,ABC是一張紙片,C=90,AC=6,BC=8,現(xiàn)將其折疊使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合,折痕為DE,則DE的長為（ ）A1.75 B3 C3.75 D4圖2-1【參考參考參考答案】C.【解析】C=90,AC=6,BC=8,在RtABC中,由勾股定理得：AB=10.由折疊的性質(zhì)知：AD=BD=3,AE=BE=5.設(shè)CD=x,則BD=AD=8x,在RtADC中,由勾股定理得：AD2=AC2+CD2(8x)

3、2=36+x2解得：x=1.75 . BD=6.25.在RtBDE中,由勾股定理得：DE=3.75.故參考參考參考答案為C.題3. 如圖3-1,長方形ABCD中,AB=3,BC=4,點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn),連接AE,把B沿AE折疊,使點(diǎn)B落在點(diǎn)B處當(dāng)CEB為直角三角形時(shí),BE的長為 【參考參考參考答案】3或1.5.【解析】分兩種情況討論：圖3-2當(dāng)CEB=90時(shí),如圖3-2所示.由折疊性質(zhì)得：AB=AB,四邊形ABE B是矩形.所以四邊形ABE B是正方形.此時(shí),BE=AB=3.來源:圖3-3當(dāng)CBE=90時(shí),如圖3-3所示.由折疊性質(zhì)知,ABC=90,所以ABC+CBE=180.點(diǎn)A、B、C共線

4、在RtABC中,由勾股定理得AC=5由折疊得：AB= AB=3所以BC=2設(shè)BE=x,則BE=x,EC=4x在RtABC中,由勾股定理得：EC2=BE2+BC2即：（4-x）2=x2+22解得：x=1.5.綜上所述,BE的值為3或1.5.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵在準(zhǔn)確對問題進(jìn)行分類討論,并作出相應(yīng)圖形利用折疊的性質(zhì)及勾股定理解題. 題4. 如圖4-1,四邊形ABCD中,ADBC,B=90, E為AB上一點(diǎn),分別以ED,EC為折痕將兩個(gè)角（A,B）向內(nèi)折起,點(diǎn)A,B恰好落在CD邊的點(diǎn)F處.若AD=3,BC=5,則EF的值是（ ）圖4-1A. B. C. D. 【參考參考參考答案】A.【解析】由折疊性

5、質(zhì)知：AE=EF,AD=DF,BE=EF,BC=CFCD=CF+FD=8,AE=BE=EF.AED=DEF,BEC=CEFAED+DEF+BEC+CEF=180DEC=90在RtBCE中,由勾股定理得：CE2=BE2+BC2同理得：DE2=AD2+AE2CD2=CE2+DE2CD2= BE2+BC2 +AD2+AE2即64=2EF2+9+25解得：EF=.故參考參考參考答案為A.題5. 如圖5-1,在長方形ABCD中,將DBC沿BD對折至DBC位置,BC與AD交于點(diǎn)E.（1）試說明：BE=DE；（2）如果AB=6,BC=8,求EBD的面積.圖5-1【參考參考參考答案】見解析.【解析】（1）證明

6、：由折疊性質(zhì)知：EBD=DBC,ABCD是長方形,ADBCEDB=DBCEBD=EDBBE=DE.（2）解：設(shè)DE=BE=x,則AE=8-x,在RtABE中,由勾股定理得：即解得：x= .EBD的面積為.題6. 如圖6-1所示,把長方形紙片ABCD折疊,使點(diǎn)B恰好落在CD邊的中點(diǎn)E處,折痕為AF.若CD=6,求AF的長度.圖6-1【參考參考參考答案】見解析.【解析】由折疊性質(zhì)知：BAF=FAE,AB=AEE是長方形ABCD的邊CD的中點(diǎn),AE=CD=2DEDAE=30BAF=FAE=30設(shè)BF=x,則AF=2x來源:在RtABF中,由勾股定理得：即解得：x=.AF=2x=.題7. 如圖7-1,

7、在矩形OABC 中,OA=5,AB=4,點(diǎn)D 為邊AB 上一點(diǎn),將BCD 沿直線CD 折疊,使點(diǎn)B 恰好落在OA邊上的點(diǎn)E 處,分別以O(shè)C,OA 所在的直線為x 軸,y 軸建立平面直角坐標(biāo)系. 求點(diǎn)D的坐標(biāo).圖7-1【參考參考參考答案】見解析.【解析】由折疊性質(zhì)可知：BD=DE, BC=CE=5OC=AB=4在RtOCE中,由勾股定理得：.AE=OA-OE=2.設(shè)AD=x,則BD=DE=4-x,在RtADE中,由勾股定理得：解得：x=.因?yàn)镈點(diǎn)在第三象限,所以D點(diǎn)坐標(biāo)為.題8. 如圖8-1,在中,點(diǎn),分別是邊,上的動(dòng)點(diǎn),沿所在的直線折疊,使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)始終落在邊上.若為直角三角形,則的長為 【參

8、考參考參考答案】或1.【解析】通過觀察及分析可知,C點(diǎn)不可能為直角頂點(diǎn),分兩種情況討論.圖8-2當(dāng)CM B=90時(shí),如圖8-2所示.由折疊知：BMN=BMB=45,又因?yàn)锽=45,所以BNM=90,MNB=90即BNM+MN B=180,所以B、N、B三點(diǎn)共線,此時(shí)B與點(diǎn)A重合. 所以,圖8-3當(dāng)CBM=90時(shí),如圖8-3所示.由折疊知B=B=45,因?yàn)镃=45,可得BMC=45,所以BMC是等腰直角三角形設(shè)BM= BM=x,BC=x,則MC= x因?yàn)锽C=+1來源:ZXXK所以x+x=+1解得：x=1,即BM=1.故參考參考參考答案為：或1.題9. 如圖9-1,AD是ABC的中線,把ADC沿

9、直線AD翻折,點(diǎn)C落在點(diǎn)C的位置,若ADC=45,BC=4. 求BC的長.圖9-1【參考參考參考答案】見解析.【解析】由折疊性質(zhì)得：ADC=ADC=45,CD=CDCDC=BDC=90如圖9-2所示.來源:Zxxk.Com圖9-2BDC為等腰直角三角形,BD=CD=2,根據(jù)勾股定理,得BC =.故BC的長為.題10. 已知,如圖10-1長方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,將此長方形折疊,使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合,折痕為EF,則ABE的面積為圖10-1【參考參考參考答案】6.【解析】由折疊性質(zhì)得：DE=BE設(shè)AE=x,則BE=DE=9-x,在RtABE中,由勾股定理得：解得：x=4.所以三角形

10、ABE的面積為：.故參考參考參考答案為6. 題11. 動(dòng)手操作：在矩形紙片ABCD中,AB=3,AD=5. 如圖11-1所示,折疊紙片,使點(diǎn)A落在BC邊上的A處,折痕為PQ,當(dāng)點(diǎn)A在BC邊上移動(dòng)時(shí),折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng). 若限定點(diǎn)P、Q分別在AB、AD邊上移動(dòng),則點(diǎn)A在BC邊上可移動(dòng)的最大距離為 .圖11-1【參考參考參考答案】2.【解析】此題根據(jù)題目要求準(zhǔn)確判斷出點(diǎn)A的最左端和最右端位置.當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí),A的位置處于最左端,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),點(diǎn)A的位置處于最右端. 根據(jù)分析結(jié)果,作出圖形,利用折疊性質(zhì)分別求出兩種情況下的BA或CA的長度,二者之差即為所求.當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí),A的位置處于最左端,如圖11-2所示.確定點(diǎn)A的位置方法：因?yàn)樵谡郫B過程中,AQ=AQ,所以以點(diǎn)Q為圓心,以AQ長為半徑畫弧,與BC的交點(diǎn)即為點(diǎn)A. 再作出AQA的角平分線,與AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)P. 圖11-2 由折疊性質(zhì)可知,AD= AD=5,在RtACD中,由勾股定理得,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),點(diǎn)A的位置處于最右端,如圖11-3所示.圖11-3來源:確定點(diǎn)A的位置方法：因?yàn)樵谡郫B過程中,AP=AP,所以以點(diǎn)P為圓心,以AP長為半徑畫弧,與BC的交點(diǎn)即為點(diǎn)A. 再作出APA的角平分線,與AD的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q. 由折疊性質(zhì)可知,AB= AB=3,所以四邊形AB AQ為正方形. 所